初中数学知识点精讲精析 坐标平面内图形的轴对称和平移

4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移

学习目标

1.了解关于坐标轴对称与原点对称的两个点的坐标变换。

2.会求与已知点关于坐标轴和原点的坐标。

知识详解

1．图形的坐标变化与图形平移之间的关系

在平面直角坐标系中，当纵坐标不变，横坐标都加上或减去一个正数a时，图形会向右或向左平移a个单位长度；当横坐标不变，纵坐标都加上或减去一个正数a时，图形会向上或向下平移a个单位长度．

2.图形的坐标变化与图形的伸长和压缩之间的关系

在平面直角坐标系中，当图形的纵坐标不变，横坐标扩大或缩小一定倍数时，图形就相应地被横向拉长或压缩该倍数，而纵向不变；当图形的横坐标不变，纵坐标扩大或缩小一定倍数时，图形就相应地被纵向拉长或压缩该倍数，而横向不变．

坐标与图形变化的对应关系

当横坐标不变，纵坐标扩大或缩小为原来的a倍时，图形就要被纵向拉长或压缩为原来的a 倍；当纵坐标不变，横坐标扩大或缩小为原来的b倍时，原图形就要被横向拉长或压缩为原来的b倍．

3．图形的坐标变化与图形的轴对称之间的关系

在平面直角坐标系中，当图形上各点的横坐标不变，纵坐标乘－1时，所得的新图形与原图形关于x轴对称；当图形上各点的纵坐标不变，横坐标乘－1时，所得的新图形与原图形关于y轴对称；当图形上各点的横、纵坐标都乘－1时，那么所得到的新图形与原图形关于原点对称．

对称点的坐标变化规律：对应点的坐标对称情况可以简单记为：关于横轴对称，“横不变，纵相反”；关于纵轴对称，“纵不变，横相反”；关于原点对称，“全相反”．

4．图形的变换与点的坐标的关系

将图形放在平面直角坐标系中，我们可以求得各顶点的坐标，反过来，知道了一些点的坐标，我们还可以将各点顺次连接起来得到一些有趣的图形．通过点的坐标的变化与图形的变换，可以得到图形变换的规律．

图形是由点组成的，点的坐标发生了变化，图形也会发生相应的变化；图形移动时，点的坐标也发生变化．其变化规律为：

（1）纵坐标不变，横坐标按比例增大时，图形被横向拉长；纵坐标不变，横坐标按比例减小时，图形被横向“压缩”．

（2）图形向右平移时，纵坐标不变，横坐标增大；图形向左平移时，纵坐标不变，横坐标减小；图形向上平移时，横坐标不变，纵坐标增大；图形向下平移时，横坐标不变，纵坐标减小．

（3）横坐标加上一个数，纵坐标不变时，图形左、右平移（加负数，左移，加正数，右移）；纵坐标加上一个数，横坐标不变时，图形上、下平移（加正数，上移，加负数，下移）．

（4）横坐标不变，纵坐标乘－1时，所得图形与原图形关于x轴对称；纵坐标不变，横坐标乘－1时，所得图形与原图形关于y轴对称．

5．从变化的“鱼”中探索坐标变化与图形变化的关系

通过变化的“鱼”，在坐标系内，将图形的坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩巧妙地融合在一起，既体现了图形的现实性、趣味性，又体现了数学的深刻性以及数形结合的思想方法．

平移：原图形的坐标中，横坐标保持不变，纵坐标分别增加（减少）a（a＞0），则所得图案被向上（向下）平移a个单位长度，形状、大小未发生改变；反之，纵坐标不变，横坐标分别增加（减少）a（a＞0），则所得图案被向右（向左）平移a个单位长度．

轴对称：原图形的坐标中，横（纵）坐标保持不变，纵（横）坐标分别乘－1，则所得的图案与原图案关于横轴（纵轴）对称．

伸长：新图案的坐标变为原图案坐标的a倍，则将原图案伸长a倍，便可得新图案．

压缩：新图案的坐标变为原图案坐标的1

a（a＞1），则将原图案压缩

1

a，便可得新图案．

【典型例题】

例1：如图①所示的箭头是将坐标为（0,0），（1,2），（1,1），（4,1），（4，－1），（1，－1），（1，－2），（0,0）的点用线段依次连接而成的，若纵坐标保持不变，横坐标分别加1，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？若是横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？

【答案】若纵坐标保持不变，横坐标分别加1，则所得各点的坐标依次是（1,0），（2,2），（2,1），（5,1），（5，－1），（2，－1），（2，－2），（1,0），将各点用线段依次连接起来，所得图案如图②所示，所得图案与原图案相比，箭头的形状、大小不变，整个箭头向右平移了1个单位长度．

若横坐标保持不变，纵坐标分别减2，则所得各点的坐标依次是（0，－2），（1,0），（1，－1），（4，－1），（4，－3），（1，－3），（1，－4），（0，－2），将各点用线段依次连接起来所得图案如图③所示，所得图案与原图案相比，箭头的形状、大小不变，整个箭头向下平移了2个单位长度．

【解析】当横坐标不变，纵坐标加上或减去一个正数a时，原图形就相应地向上或向下平移a个单位长度；当纵坐标不变时，横坐标加上或减去一个正数a时，则原图形会向右或向左平移a个单位长度．

例2：按要求回答问题：

（1）在平面直角坐标系中描出点（1,2），（1,4），（1,6），（3,6），（1,4），（3,2），（1,2），并将各点用线段依次连接起来．

（2）将上述各点作如下变化：

①纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段按第一问中的顺序连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？

②横坐标保持不变，纵坐标分别加3呢？

③横、纵坐标分别乘－1呢？

【答案】（1）如图所示．

（2）①按题中的变化要求各点的坐标依次是：（2,2），（2,4），（2,6），（6,6），（2,4），（6,2），（2,2）．所得的图案如图所示，与原图案相比，图形被横向拉伸为原来的2倍．

②各点的坐标依次是：（1,5），（1,7），（1,9），（3,9），（1,7），（3,5），（1,5）．

所得的图案如图所示，与原来的图案相比，图形向上平移了3个单位长度．

③各点的坐标依次是：（－1，－2），（－1，－4），（－1，－6），（－3，－6），（－1，－4），（－3，－2），（－1，－2）．所得的图案如图所示，与原图案相比，图形绕O点旋转了180°，即两个图形关于O点成中心对称．