正方体的展开和折叠问题的解题规律资料

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(完整版)展开与折叠知识点归纳

展开与折叠
知识点一：正方体的表面展开图
正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型，6种；二三一型，3种；三三型，1种；二二二型，一种。

正方体展开图口诀：
1、一线不过四；田凹应弃之。

2、找相对面：相间，“Z”端是对面。

3、找邻面：间二，拐角邻面知。

知识点二：棱柱的表面展开图
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的。

知识点三:圆柱、圆锥的表面展开图
1、圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆（底面）和
一个长方形（侧面）组成，其中侧面展开图长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高。

2、圆锥的表面展开图是由一个（侧面）和一个圆（底面）
组成，其中扇形的半径长是圆锥母线（即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长。

正方体折叠与展开口诀

正方体折叠与展开口诀
正方体折叠与展开口诀：
1、正方体折叠：“头尾置中，侧面向内，顶面贴边，四面折叠。

”
2、正方体展开：“头尾相连，侧面向外，顶面对边，四角伸出。

”
详解：
1、正方体折叠：
（1）头尾置中：取正方体的一边，将它的头尾放在中间；
（2）侧面向内：取另一边，将它的侧面朝向中间；
（3）顶面贴边：将边贴在另一边的边上；
（4）四面折叠：就像将一个带有花纹的手帕折叠一样，将正方体的四个角折叠起来。

2、正方体展开：
（1）头尾相连：取正方体的一边，将它的头和尾连接在一起；
（2）侧面向外：取另一边，将它的侧面朝向外部；
（3）顶面对边：将顶面置于另一边的边上；
（4）四角伸出：将正方体的四个角分别从四个方向伸出去，形成正方体的模样。

万能解题法——正方体的展开和折叠

正方体的展开和折叠——万能解题法
基本类型：
正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。

一条线上不过四，田“7”和凹要放弃。

相对面：“I”型图不相连；“Z”型图在两端。

同行或同列隔一个的；“Z”字型两端（“Z”字型两端是指紧挨着中间竖线的两个面）。

解题思路：
1.通过相对面排除，相对面不相邻。

2.三面排除或确定。

在正方体8个顶点，每个顶点均连着三个面。

正方体只能看到图形的三个面。

比较这三个面在立体图形与平面图形中的位置来确定或排除。

在平面图形中，通过旋转、移动，让不相邻的面变成立体图形中相邻的面。

（1）旋转，即侧面“滚动”。

如果两个面的两个边构成90°的夹角，其中一个面旋转90度，让这两条边重合。

他们本身就是一条边，被剪开了，当然还能合上。

在滚动的过程抓住一个公共点，每次滚动只能滚动90度，并且在滚动的时候，滚动的面上面的图案也要跟着滚动变化。

（2）移动，即一字型平移。

当四个面排成一列或一行，其中一端的面直接移到另一端，只要保证相邻的面不变即可。

小学数学点知识归纳简单的形的折叠与展开

小学数学点知识归纳简单的形的折叠与展开折纸是小学数学教育中常用的教学方法之一，通过折叠纸张，可以帮助学生理解形状、空间关系以及数学问题的解决方法。

本文将对小学数学中常见的几种简单形状的折叠与展开进行归纳总结。

一、正方形的折叠与展开正方形是一种具有四个相等边长和四个直角的特殊四边形。

在进行正方形折叠时，我们可以按照以下步骤进行：1. 取一张正方形纸张，将其对角线对折，使两个对角线的交点重合。

2. 将对角线交点向下方折叠至正方形的下边中点，使得纸张对折线与下边平行。

3. 将左下角和右下角分别向上折叠至对角线上，使纸张呈现三角形状。

4. 最后，将纸张打开，即可折叠出一个正方形。

展开正方形的方法与折叠相反，按照以下步骤进行：1. 取一张折叠好的正方形，将其对角线对折，使两个对角线的交点重合。

2. 然后将纸张展开，即可得到正方形。

二、矩形的折叠与展开矩形是一种具有四个直角但不具有四个相等边长的四边形。

折叠与展开矩形可以通过以下方法实现：1. 取一张矩形纸张，将其一条长边对折，使得两条长边的折痕重合。

2. 将纸张展开，并将其中两条短边向内折叠至折痕处，使得纸张呈现出折痕垂直于长边的形状。

3. 最后，将已折叠好的纸张再次对折，即可折叠成一个矩形。

展开矩形与折叠相反，按照以下步骤进行：1. 取一张折叠好的矩形纸张，将其展开。

2. 然后将其中两条短边向外展开，使纸张呈现出矩形的形状。

三、三角形的折叠与展开三角形是一种具有三条边和三个角的多边形。

折叠与展开三角形可以按照以下方法进行：1. 取一张正方形或矩形纸张，将其中一条边与另一条边平行地对折，使得两条边重合。

2. 将纸张沿着另外两条边的交点作为折痕，在交点处向内折叠。

3. 最后，将已折叠好的纸张展开，即可得到一个三角形。

展开三角形的方法与折叠相反，按照以下步骤进行：1. 取一张折叠好的三角形，将其展开。

2. 然后将纸张沿着折痕处向外展开，使纸张呈现出正方形或矩形的形状。

展开与折叠正方形的11种方法

展开与折叠正方形的11种方法随着生活水平的日益提高和对美好生活的追求，人们对于家居装饰和家具设计的要求也越来越高。

展开与折叠正方形作为一种现代家具设计，因其灵活性和实用性备受人们青睐。

如何巧妙地展开与折叠正方形，成为了人们关注的焦点之一。

下面将介绍11种不同的方法。

方法一：斜坡展开法1．首先将正方形对角相交的两条边用直线连接2．再依次沿连接线将相对的边折叠，直至形成一个完整的三角形3．最后反方向将折叠的边展开即可得到正方形方法二：平面展开法1．将正方形对角相交的两条边用直线连接2．将一侧的线向内折叠，使其与另一边平行3．然后将另一侧的线向内折叠，使其与前一侧的线平行4．将折叠的正方形展开即可得到完整的正方形方法三：螺旋展开法1．首先在正方形的四个边上分别取四个点2．将这四个点用线依次相连，形成一个螺旋形的图案3．然后将螺旋形的边向内折叠，直至形成一个完整的正方形4．最后将折叠的正方形展开即可得到完整的正方形方法四：图案展开法1．在正方形的每条边上分别取若干个点2．然后将这些点用线连接，形成一个美丽的图案3．将图案向内折叠，直至形成一个完整的正方形4．最后将折叠的正方形展开即可得到完整的正方形方法五：折叠展开法1．首先将正方形的四个顶点用线连接，形成一个闭合的图案2．将图案任意一条边向内折叠，使其与另一边平行3．然后将另一侧的线向内折叠，形成一个三角形4．最后将折叠的正方形展开即可得到完整的正方形方法六：对角线展开法1．将正方形的对角线相交的两条边用线连接，形成一个无限长的图案2．将图案向内折叠，使其与另一边平行3．然后将另一侧的线向内折叠，形成一个三角形4．最后将折叠的正方形展开即可得到完整的正方形方法七：折叠展开法1．将正方形任意一条边上取若干个点2．将这些点用线连接，形成一个不规则的图案3．将图案向内折叠，直至形成一个完整的正方形4．最后将折叠的正方形展开即可得到完整的正方形方法八：旋转展开法1．首先将正方形放在一个平面上2．然后将正方形按一定的角度旋转3．将旋转的正方形向内折叠，直至形成一个完整的正方形4．最后将折叠的正方形展开即可得到完整的正方形方法九：层叠展开法1．将若干个大小不一的正方形层叠放在一起2．然后将这些正方形向内折叠3．将折叠的正方形展开即可得到完整的正方形方法十：折叠展开法1．将正方形分割成多个小正方形2．将这些小正方形依次折叠3．将折叠的小正方形展开即可得到完整的正方形方法十一：叠加展开法1．将若干个大小不一的正方形叠加到一起2．然后将这些正方形向内折叠3．将折叠的正方形展开即可得到完整的正方形通过以上11种不同的展开与折叠正方形的方法，我们可以看到，展开与折叠正方形的过程是非常有趣的。

正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀

有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？解因总面数是5，不会出现5个面全部排成一行（列）的情形.（1）当一行（列）面数最多是4时，有两种情形（注意对称性），如图）（2）当一行（列）面数最多是3时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不）（b同情形，如图15-2图如，形情同不种三有侧异的）列（行一这于位面个两的下剩）3（．（4）当一行（列）的面数最多是2时，仅一种情形，如图所示.总数为2+2+3+1=8种，即有8种不同的展开形式.探究正方体的展开图将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不同的图形呢？要搞清这个问题，最好是动手实践，比如找一些正方体纸盒，沿着棱按不同方式将其剪开（但不要剪断，六个面要通过边连在一起），展成平面，再观察、对比一下不同形状的图形有哪些。

如果不容易找到足够的正方体纸盒，还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板，利用逆向思维，先猜测正方体展开图会有哪些不同形状，并将它们画在纸板上，再将周围多余部分剪去，然后沿所画直线直行折叠，看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。

这种探究方法虽然有点麻烦，但操作简便易行，快速有效。

事先可多画一些纸板（六个正方形边与边对齐，任意连接成不同的平面图形），经过逐个验证，记录下所有可以折叠成正方体的图形，再将这些图形分类，总结并寻找出其中的规律。

那么，沿棱剪开展开一个正方体，究竟有哪些不同的形状呢？如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共11种。

一、“141型”（共6种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有4个正方形（图1～图6）。

理解：有4个面直线相连，其余2个面分别在“直线”两旁，位置任意。

二、“231型”与“33型”（共4种）。

）10～图7个正方形（如图3：这类展开图中，最长的一行（或一列）有特点．”所在行（列）分2“”、“1理解：在“231型”中，“3”所在的行（列）必须在中间，”的任意一个正方形格旁边，”同向，“1”可以放在“3属两边（前后不分），且“2”与“3 33型”只有1种。

正方形折叠问题解题技巧

正方形折叠问题解题技巧正方形折叠问题是一类经典的几何问题，其解题技巧可以帮助我们更好地理解几何知识，提高数学思维能力。

本文将从以下几个方面展开讨论：问题描述、基本原理、常见方法和注意事项。

一、问题描述正方形折叠问题是指将一个正方形沿着对角线折叠成一个三角形，然后再将三角形沿着某个边缘折叠成一个新的三角形，如此重复进行下去，直到无法继续折叠为止。

这个过程中形成的图形称为“折纸图”。

二、基本原理在正方形折叠问题中，有两个基本原理需要掌握：1. 对称性原理：在每次折叠时，要保持图形的对称性不变。

例如，在将正方形沿着对角线折叠成三角形时，要使得三角形两侧的长度相等。

2. 重合性原理：在每次折叠时，要使得图形上的某些点或线段与之前已经出现过的点或线段重合。

例如，在将三角形沿着某条边缘折叠成新的三角形时，要使得边缘上的某些点与之前已经出现过的点重合。

三、常见方法在解决正方形折叠问题时，有几种常见的方法：1. 坐标法：将正方形的四个顶点分别标记为坐标系中的点，然后根据对称性和重合性原理进行计算。

这种方法需要较强的计算能力和空间想象能力。

2. 图形法：将正方形折叠成三角形后，用图形上的线段或角度来描述折叠过程。

这种方法需要较强的几何直觉和图像处理能力。

3. 递归法：将正方形折叠成三角形后，不断重复进行相同的折叠操作，直到无法继续为止。

这种方法需要较强的逻辑思维能力和耐心。

四、注意事项在解决正方形折叠问题时，需要注意以下几点：1. 确定基本原理：在进行每次折叠时，一定要遵循对称性和重合性原理，否则可能会得到错误的结果。

2. 注意单位：在使用坐标法时，要注意单位的选择。

如果单位不统一，则可能导致计算错误。

3. 注意精度：在使用图形法或递归法时，要注意精度问题。

如果精度不够，则可能导致结果偏差较大。

4. 多角形折叠问题：除了正方形折叠问题外，还有其他多边形的折叠问题，其解题方法类似，但需要根据实际情况进行调整。

五、结语正方形折叠问题是一类经典的几何问题，其解题技巧可以帮助我们更好地理解几何知识，提高数学思维能力。

正方体的折叠与展开规律

正方体的折叠与展开规律
正方体的折叠与展开规律是指将一个正方体沿着一些特定的线折叠起来或展开时的形态变化规律。

正方体有6个面，每个面都是正方形，并且相邻的面之间共享一个边。

折叠规律：
1. 将正方体的四个垂直相邻的面（例如前、后、左、右面）沿着垂直于这些面的线折叠，使它们相互靠拢并覆盖在一起。

2. 接着将正方体的顶面和底面沿着垂直于这两个面的线折叠，使它们相互靠拢并覆盖在一起。

3. 最后，将正方体的两个水平相邻的面（例如前、后面）沿着垂直于这两个面的线折叠，使它们相互靠拢并覆盖在一起。

展开规律：
1. 将正方体的垂直折叠后的面展开，使其形成一个正方形的网格。

2. 接着将顶面和底面展开，分别位于正方形网格的上方和下方。

3. 最后将水平折叠后的面展开，分别位于正方形网格的左侧和右侧。

通过这种折叠和展开规律，一个正方体可以变形成一个由6个正方形组成的平面图形。

这种变形也被称为正方体的展开式。

正方体展开式是正方体的一个二维表示形式，可以用于制作模型、计算表面积等。

正方体的展开与折叠秘籍教师用

正方体的展开与折叠一.判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图1．最长的一行（或列）在中间，可为2、3、4个，超过4•个或长行不在中间的不是正方体表面展开图．2．在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是．二.快速确定正方体的“对面” 口诀是：相间、“Z”端是对面如下图，我们先来统一以下认识：把含有图（1）所示或可由其作旋转后的图形统称为“I”型图；把所给平面图中含有（2）、（3）、（4）所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z ”型图。

结论：如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的“I”型图或“Z”型图两端的正方形（阴影部分）必为折成正方体后的对面。

应用上面的结论，我们可以迅速地确定出正方体的“对面”。

三.例1．如图，一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是．分析：自—信—沉—着—超，构成了竖着的Z字型，所以“自”与“超”对应，故应填“自”．三. 间二、拐角邻面知中间隔着两个小正方形或拐角型的三个面是正方体的邻面．例2.如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（）分析：我们把画有圆的一面记为a 面，正方形阴影面记为b 面，三角形阴影面记为c 面．在选项A 中，由Z 字型结构知b 与c 对面，与已知正方体bc 相邻不符，应排除；在选项B 中，b 面与c 面隔着a 面，b 面与c 面是对面，也应排除；在选项D 中，虽然a 、b 、c 三面成拐角型，是正方体的三个邻面，b 面作为上面，a 面为正面，则c 面应在正方体的左面，与原图不符，应排除，故应选（C ）．四. 找正方体相邻或相对的面1．从展开图找．（1）正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点．如，•或在正方形长链中相隔两个正方形．如中A 与D ．（2）在正方体中相对的面，在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如ABCD 中，A 与C ，B 与D ，或和中间一行（或列）•均相连的两正方形亦相对．例1 右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面．解 “祝”与“似”，“你”和“程”，“前”和“锦”相对．例2 在A 、B 、C 内分别填上适当的数．使得它们折成正方体后，对面上的数互为倒数，则填入正方形A 、B 、C •的三数依次是：（A ）12，13，1 （B ）13，12，1 （C ）1，12，13 （D ）12，1，13 分析 A 与2，B 与3中间都隔一个正方形，C 与1分处正方形链两边且与其相连，选（A ）．例3 在A、B、C内分别填上适当的数，使它们折成正方体后，对面上的数互为相反数．分析A与0，B与2，C和-1都分处正方形链两侧且与其相连，∴A─0，B─-2，C─1．例4 找出折成正方体后相对的面．解A和C，D和F，B和E是相对的面．2．从立体图找．例5 正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？上图出现最多的是3，和3相连的有2、4、5、6，余下的1就和3相对．再看6，•和6相邻的有2、3、4，和3相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，余下是4和2相对，•下底面依次是2、5、1．例6由下图找出三组相对的面．五. 由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图例7 如下图，正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（）．分析基本方法是先看上下，后定左右，图A图B都是□和+两个面相对，不合题意，图C“□”和“○”之上，从立体图看“＋”在右，符合要求．图D•“□”和“＋”之上，“○”在右，而立体图“○”应在左，不合要求，故选（C）．例8 不相对则相邻。

解密初中数学解题技巧之立体形的展开与折叠

解密初中数学解题技巧之立体形的展开与折叠数学是一门既有逻辑又有创造性的学科，其中立体几何是初中数学的重要内容之一。

在立体几何中，展开与折叠是解题的重要技巧之一。

本文将围绕这一主题展开。

一、展开的概念及方法在解决立体几何问题时，有时需要将立体形体展开成平面图形来进行分析与计算。

展开就是将一个立体形体在平面上按照一定规则展开，使之成为一个平面图形的过程。

展开后，我们可以更好地观察各个面的结构和关系，进而解决问题。

展开的方法主要有以下几种：1. 表面展开法：通过边沿的共边共点将立体形体展开。

2. 断口展开法：在立体形体上选择适当位置，然后将其切割成若干个部分，使得每个部分能够展开。

3. 考虑对称性：对于具有对称性的立体形体，可以利用对称性将其展开。

二、折叠的概念及技巧与展开相反，折叠是将一个平面图形折叠成一个立体形体的过程。

折叠可以将平面上的关系转化为空间中的关系，从而解决立体几何问题。

折叠的技巧主要有以下几点：1. 边线对折：将图形的边线按照一定关系对折，可以得到立体形体的边。

2. 角点对折：将图形的角点按照一定关系对折，可以得到立体形体的顶点。

3. 面对折：将图形的面按照一定关系对折，可以得到立体形体的面。

三、展开与折叠的应用举例为了更好地理解展开与折叠的技巧，我们来看几个具体的例子。

例1：展开与折叠的应用 - 正方体展开为平面图形假设有一个边长为a的正方体，我们将其展开为平面图形。

首先，我们将正方体的各个面按照一定规则展开，最后将展开后的各个面的边线进行连接，就可以得到一个包含正方形的平面图形。

例2：展开与折叠的应用 - 圆锥展开为扇形考虑一个圆锥，我们可以将其展开为扇形。

将圆锥绕着底面上的一条边旋转，就可以得到一个扇形。

在解题时，我们可以利用扇形的性质来解决问题。

例3：展开与折叠的应用 - 矩形展开为长方体将一个矩形的两个相对边折叠，使其形成一条立体的边，然后将其余两边折叠，可以得到一个长方体。

正方体表面展开图的口诀

巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。

同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。

十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。

对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。

现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）以上六种展开图可归结为四方连线，即，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。

二、跃马失蹄四分开（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。

三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。

四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。

如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。

五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1）（2）（3）这里介绍的是一种排除法。

如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。

如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。

如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。

现举例说明：例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（）解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。

正方体折叠问题小结

0 基本形A和a相对1 如下图所示的Z字形平面展开图，折成立体时，两端图形一定是相对的，如下图所示，这是最普通的Z字形，容易想象，A和a是相对的。

基于上面原理，可以判断出，下图中A和a相对，B和b相对，C和c相对。

下面这个图，不存在那种普通Z字形，但是可以很容易判断出，A和a相对，B和b相对，C和c一定相对吗？如果这个展开图可以构成立方体的话，那就一定相对了。

那一定能构成立方体吗？这个就需要空间想象一下或者试验一下。

有时，题目直接告诉，这个图形可以折成正方体，只是需要我们判断哪些面是相对的。

这样的话就可以判断出来，C和c是相对的。

一般来说，只要我们从平面展开图，分析处一个面存在两个对面的情形时，那就一定不能折成正方体。

2 怎么在平面展开图中判断在平面展开图中不相邻但是在折起来之后在立体图中相邻的两个面A和B的邻边?一般来说，如果在平面展开图上A和B不相邻，那么A与B的对面b相邻，也就是说我们容易找到A与b的相邻边，我们又知道，A与B的邻边上的点一定在B上，而A与b邻边上的点一定在b上，而立体图中B与b相对，所以A与b邻边上的点一定不在B上，所以A与B的邻边一定不包含这A与b邻边上的两个点，在A上有三条边与这两个点有关，这样A只有一条边与这两个点无关，从而判断出这个边是A与B的邻边。

补充说明：因为立体图中A与B的邻边上的两个点都在B上，所以如果能判断出平面展开图中A的某一边中有一个点在立体图中不在B上，那么平面炸开图上A的这条边在立体图中一定不是A与B的邻边。

基础：在平面图上相邻，在立体图中一定相邻，在平面图上的邻边一定也是立体图上的邻边。

所以A与b在平面图上的邻变是line的话，那么在立体图上line也一定是他们的邻边，立体图中邻边line上的点在b上，因为邻边line上的点一定不在B上（因为b与B相对）而A的4条边有三条与这两个点有关，只有1条边与这条边无，所以立体图中，A与b的邻边是剩下的那条边。

正方体的平面展开与折叠

[]第14期方法与技巧]正方体的平面展开与折叠张奎甲山东省无棣县小泊头镇中学邮编：251911正方体的平面展开与折叠问题是初中数学的一个难点。

正方体的展开与折叠有助于培养学生对平面图形与空间几何体的相互转换的认识和空间想像能力，因此与正方体展开与折叠有关的试题成了中考的一个热点。

解决这类问题的方法主要有两种，一是通过动手操作来得到答案；二是通过分析正方体的结构特征，根据其平面展开图的内在规律得出结论。

一、正方体的平面展开规律正方体的平面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形，共11种图形。

（1）“一四一”型：展开图有3行，中间一行有4个正方形，其余两行均有1个正方形，如图1所示。

（2）“二三一”型：展形图有3行，中间一行有3个正方形，第1行有2个正方形，第3行有1个正方形，如图2所示。

（3）“二二二”型：展开图有3行，每一行均有2个正方形，如图3所示.（4）“三三”型：展开图有2行，每一行均有3个正方形，如图4所示.以上是正方体平面展开图的几种形式.为方面记忆，总结口诀如下：中间四个面，上、下各一面；中间三个面，一、二隔河见；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三、三连一线。

从图形我们可以看出如下规律：（1）每一个顶点至多有3个邻面，不会有4个或更多个.所以不存在“田”、“凹”、“凸”形排列；（2）“一”形排列的三个面中，两端的面一定是对面；（3）“L”形排列的三个面中，没有对面，只有邻面.二、正方体的折叠规律正方体的折叠规律与正方体的平面展开规律类似。

为方便起见，多采用填写字母的方式来确定所给图形能否折成正方体。

例如：图5中的4个图形都能折成正方体。

但图6的2个图形却不能围成正方体。

从图5、图6可以看出，由小正方形折叠成正方体，除正方体展开图规律外，还必须满足：（1）图形中要存在2A,2B,2C的条件；（2）相同字母不能在其他四个面的同列.。

正方体的展开和折叠问题是经常考的问题

正方体的展开和折叠问题正方体的展开和折叠问题是经常考的问题，在考试中常见于选择题，这种题有利于培养学生的空间观念和实践、探索能力。

一般情况解决这类问题有两种方法：一是动手操作来解决，二是通过空间想象进行确定。

然而今天给大家带来更为简单有效的方法，希望在以后遇到这样的问题时，能够快速准确的解答。

首先，应该明确，由平面折叠成立体图形时，给定的是正方体的外表面。

注意，本次讲解的方法都是应用于选择题，为了是排除错误选项，从而通过排除法确定正确答案。

由平面图重构立体图形的方法一：相对面排除存在以下选项的答案：一组相对面出现两个的选项；一组相对面出现0个的选项。

那么展开图中如何判断相对面呢？1、同行或同列隔一个的。

2、“Z”字型两端（“Z”字型两端是指紧挨着中间竖线的两个面）。

例1：左边是给定的纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由左边的图形折成的是解析：由图示可知，两个黑面是对立面，所以A排除，一点红和两点蓝分别是对立面，所以B，D排除。

从而选择C。

二、相邻面可以采用公共边法或者是画边法（注意：构成直角的两个边是同一条边）画边法：1、结合选项，在题干中确定一个面的唯一点或者唯一边。

2、从起点出发，沿着顺时针或者逆时针方向描边。

3、确定相邻面与选项相匹配，对应面不一致的选项排除。

例2：左边是给定的纸盒外表面的展开图，哪一项能由它折叠而成解析：由题意知，采用画图法，C选项由公共边2可知错误，排除；D选项有公共边3可知错误，排除。

选项B可知，方框面和点面为相对面，不能同时出现，所以B错误。

因此选择A。

对于初中的学生老师，掌握这两种方法基本就能判断空间重构类型的题目了。

而对于从正方体展开成为平面图形，要记住以下特点：1.上中下三行，每两行之间只能有一条边重合。

2.222、33两类是特殊的，为阶梯状。

3.有的看似不属于任一类，旋转后就是其中一类了。

记住正方体展开图口诀：正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。

「国家公务员行测图形推理之折叠题型解题规律」

国家公务员行测图形推理之折叠题型解题规律解题思路:通过平面图形的性质来分析立体图形空间特征。

图形折叠后的性质很多是可以从平面图形中直接反映出来的,比如哪些面必然是对立的，哪些面必然是相邻的，每个面上直线的方向等。

解题方法：排除法。

利用平面图形的性质可以快速排除错误选项，有利于快速解题。

立方体(六面体）表面展开图的性质你知道正方体表面展开图有多少种吗?解答：11种。

图中“上”和“下”,“左”和“右”，“前”和“后”互为对立面。

ﻫ 1.“一·四·一”型:ﻫ2．“二·三·一”型3．“三·三”型和“二·二·二”型如何确定图形是不是立方体展开图:1、最长链最多只能有４个面,且最长链在中间位置,超过4个或最长链不在中间的不是立方体表面展开图。

如：２、在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是。

如：折叠规律：（1）正方体中相邻的面,在展开图中有公共边或公共顶点。

如,或在正方形长链中相隔两个正方形。

如中上与前。

ﻫ（2)在正方体中相对的面，在展开图中同行(或列）中，中间隔一个正方形。

如中，上与下,前与后,或和中间一行（或列)均相连的两正方形亦相对。

－--－---－------－－-----－-－--－-------－-－--－-－－----－----－－-----－－－--－---－--－--－----－-－------－----－-－－-－-－---－----－-－－--------【例题１】（２０12年国家）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成()解答：由以上性质可以可以看出，一点面和四点面为对立面，B项错误；C项中一点面与六点面构成如图相邻关系时，五点面应位于左面而右顶面(可以六点面为上面折叠)，排除；二点面、三点面、四点面三面相邻，且公共顶点不变，三点面方向不对,D项错误。

注:平面图形的公共顶点和公共边折叠成多面体后仍为这三个面的公共顶点和公共边。

正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀

有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？解因总面数是5，不会出现5个面全部排成一行（列）的情形.（1）当一行（列）面数最多是4时，有两种情形（注意对称性），如图）（2）当一行（列）面数最多是3时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不同情形，）当一行（列）的面数最多是2时，仅一种情形，如图所示（但维，然后但操作形成相对位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共11种。

一、“141型”（共6种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有4个正方形（图1～图6）。

理解：有4个面直线相连，其余2个面分别在“直线”两旁，位置任意。

二、“231型”与“33型”（共4种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有3个正方形（如图7～图10）。

理解：在“231型”中，“3”所在的行（列）必须在中间，“2”、“1”所在行（列）分属两边（前后不分），且“2”与“3”同向，“1”可以放在“3”的任意一个正方形格旁边，这种情况共有3种，而“33型”只有1种。

三、“222型”（只有1种）特点：展开图中，最多只有2个面直线相连（图11）。

评注：⑴将上面11个图中的任意一个，旋转一定角度或翻过来，看上去都与原图似有不同，但这只是图形放置的位置或方式不同。

实际上，它与原图能够完全重合，不能算作一个独立的新图，而从上面11个图中任取两个，不论怎样操作（旋转、翻折、平移等），它们都不可能完全重合，即彼此是独立的、不同的图形。

⑵对于由大小一样的六个正方形通过边对齐相连组成的平面图，如果图中含有“一”字型、“7”字型、“田”字型、“凹”字型，就一定不能折成正方体。

概括地说，只要不符合上述“141”、“231”和“33”、“222”的特点，就不能折成正方体。

如图12，如果将其看作“231”型，那么，无论怎么看，“2”和“3”都不是同向，故不能折成正方体。

其实，它属于“123”（或“321”）型。

6供7，”。

正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀

有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？解因总面数是5，不会出现5个面全部排成一行（列）的情形.（1）当一行（列）面数最多是4时，有两种情形（注意对称性），如图）（2）当一行（列）面数最多是3时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不（3）剩下的两个面位于这一行（列）的异侧有三种不同情形，如图（4）当一行（列）的面数最多是2时，仅一种情形，如图所示.总数为2+2+3+1=8种，即有8种不同的展开形式.探究正方体的展开图将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不同的图形呢？要搞清这个问题，最好是动手实践，比如找一些正方体纸盒，沿着棱按不同方式将其剪开（但不要剪断，六个面要通过边连在一起），展成平面，再观察、对比一下不同形状的图形有哪些。

这种探究方法虽然有点麻烦，但操作简便易行，快速有效。

那么，沿棱剪开展开一个正方体，究竟有哪些不同的形状呢？如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共11种。

一、“141型”（共6种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有4个正方形（图1～图6）。

理解：有4个面直线相连，其余2个面分别在“直线”两旁，位置任意。

二、“231型”与“33型”（共4种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有3个正方形（如图7～图10）。