2014年复旦附中自主招生测试数学试卷和答案

复旦附中数学自主招生测试（2014）第1页（共1页）

2014年复旦大学附属中学自主招生测试

数学试卷

一．填空题

1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+= ▲ ． 2．已知：23a =，32b =，则

1111

a b +=++ ▲ ． 3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN = ▲ ． 4．方程

2354235

x x x x +=----的根为 ▲ ． 5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第 ▲ 象限．

6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -= ▲ ．

7．已知：222

21231001135

2001A =+++

+

，222

2

12310013572003

B =++++

，则与A B -最接近的整数是 ▲ ．

二．解答题

8．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，1112014x y xy

++=，试求x y -的最大值．

9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．

10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．

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2014年复旦大学附属中学自主招生测试

数学试卷参考答案和评分标准

一．填空题

1．2 2．1 3．3 4．0；4

；4 5．二 6．0 7．501 二．解答题 8．解：由1112014x y xy

++= 得

112015

2014

x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 即

2014201420140xy x y ---=；

即

(2014)(2014)20142013x y --=⨯；

得：

min ()402840271x y -=-=．

9．证明：在AC 上截取'AE AE = ①如果E'和F 重合，那么

△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；

因此

AB AE BE AF CF AC =+=+=；

故

△ABC 是等腰三角形；

②如果E'和F 不重合，易知

△AOE'≌△AOF ；

于是

'OE OF =；

即

''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；

A

B

C

E

F (E')

O

第9题图①

A

B

C

E

E' O

F

第9题图②

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由12BEC A C ∠=∠+∠，1

2AFO B C ∠=∠+∠

推出

11

()(180)22

B C A A ∠+∠=︒-∠=∠； 即

60A ∠=︒．

10．解：首先构造两个数列：

{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024； {}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．

共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数． 因此：

21n ≤．

如果21n >，则构造如下集合：

{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,

,15，…，{}1024,1025,,2014；

共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能

存在一个数是另一个数的倍数．矛盾． 故

n 的最大值为21．