2014年复旦附中自主招生测试数学试卷和答案
答案版上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(2)
D. f x
x2 9 ， g x x 3 x3
【解析】A 选项对应关系不同， f x x ， g x x2 x ；C、D 选项定义域不相同.
x 3 x y 6 14、 是 成立的（ y 3 x y 9
2 x x 1
的定义域为_______.
【答案】 2,1
1, 2 ； 1,2 ，本题需注意定义域只能写成区间
2 x 0 2 x 2 【解析】由 ，即 x 2,1 x 1 x 1 0
或是集合的形式，避免写不等式的形式. 4、已知集合 A 1, 2,3, 4 ， B 1, 2 则满足 A C B C 的集合 C 有_______个. 【答案】4; 【解析】由条件 A C B C 可知， B B
复旦大学附属中学 2014-2015 学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷
（时间 90 分钟，满分 120 分） 一、填空题（每小题 4 分，共 44 分）
6 1、用列举法表示集合 A a N* , a Z _______. 5 a
【答案】 1, 2,3, 4 ；
充要条件是“ a b 0 ”. 其中，正确结论的个数 是_______. ．． 【答案】3 个； 【解析】①正确，由于 2015 能够被 5 整除；②错误， 3 1 5 2 ，故 3 2 ；③正确， 将整数按照被 5 除分类，刚好分为 5 类；④正确. 10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费 p （万元）与仓库 到停车库的距离 x （公里）成反比，而每月库存货物的运费 k （万元）与仓库到停车库的距 离 x （公里）成正比. 如果在距离停车库 18 公里处建仓库，这两项费用 p 和 k 分别为 4 万元 和 144 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离 x _______公里. 【答案】 2 ； 【解析】 设 p 所以 p
2014上中自主招生数学试题
F ED C A 2014上中自主招生数学试题一、填空题1．已知b a b a +=+111，则=+ba ab ______． 2．有______个实数x ，可以使得x -120为整数？．3．在△ABC 中，AB=AC ，CD=BF ，BD=CE ，用含∠A 的式子表示∠EDF ，∠EDF 应为=______．4．在直角坐标系中，抛物线)0(4322>-+=m m mx x y 与x 轴交于A 、B 两点，若A 、B 两点到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足3211=-OA OB ，则m=__________．5．定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，r<72且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆且沿圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r 共有__________个可能的值．6．学生若干人租游艇若干只，如果每船坐4人，就余下20人；如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有______人？7．对于各数互不相等的正整数组(a 1，a 2，…，a n )(n 是不小于2的正整数)，如果在i<j 时有a i >a j ，则称a i 与a j 是该数组的一个“逆序”．例如数组(2，4，3，1)中有逆序“2，1”“4，3”“4，1”“3，1”，其逆序数为4，现若有各数互不相同的正数组(a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6)的逆序数为2，则(a 6，a 5，a 4，a 3，a 2，a 1)的逆序数是___________________．8．若n 为自然数，则使得关于x 的不等式19102111<+<n x n 有唯一的整数解的n 的最大值为________．二、选择题9．已知x 2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．810．如图，D 、E 分别为△ABC 的底边所在直线上的两点，DB=EC ，过A 点作直线l ，作DM ∥AB 交l 于M ，作EN ∥AC 交l 于N ，设△ABM 面积为S 1，△ACN 面积为S 2，则( )A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 211．设p 1，p 2，q 1，q 2为实数，则p 1p 2=2(q 1+q 2)，若方程甲：x 2+p 1x+q 1=0，乙：x 2+p 2x+q 2=0，则( )A ．甲必有实根，乙也必有实根B ．甲没有实根，乙也没有实根C ．甲、乙至少有一个有实根D ． 甲、乙是否总有一个有实根不能确定12．设201310075332112222++++= a ，201510077352312222++++= b ，则以下四个选项中最接近a-b 的整数为( )A ．252．B ．504C ．1007D ．2013三、解答题13．直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC(B 、D 位于AC 的两侧)，M 、N 分别是AC 、BD 中点，且M 、N 不重合．(1)线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；(2)若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN 的长．14．是否存在m 个不相等的正数a ，a 2，…，a m (m≥7)，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值；若不存在，说明理由．。
2014复旦附中自招测试题
12014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷一．填空题1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+= ▲ ．2．已知：23a =，32b =，则1111a b +=++ ▲ ． 3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN = ▲ ．4．方程2354235x x x x +=----的根为 ▲ ． 5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第 ▲ 象限．6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -= ▲ ．7．已知：222212310011352001A =++++L ，222212310013572003B =++++L ，则与A B -最接近的整数是 ▲ ．二．解答题28．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，1112014x y xy++=，试求x y -的最大值． 9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷参考答案和评分标准一．填空题1．2 2．1 3．3 4．0；4；43 5．二 6．0 7．501二．解答题8．解：由1112014x y xy++= 得1120152014x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3即2014201420140xy x y ---=；即(2014)(2014)20142013x y --=⨯；得：min ()402840271x y -=-=．9．证明：在AC 上截取'AE AE =①如果E'和F 重合，那么△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；因此AB AE BE AF CF AC =+=+=；故△ABC 是等腰三角形；②如果E'和F 不重合，易知△AOE'≌△AOF ；ABC EF (E')O第9题图①ABCEE' OF 第9题图②4于是'OE OF =；即''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；由12BEC A C ∠=∠+∠，12AFO B C ∠=∠+∠推出11()(180)22B C A A ∠+∠=︒-∠=∠； 即60A ∠=︒．10．解：首先构造两个数列：{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024； {}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数．因此：21n ≤．5如果21n >，则构造如下集合：{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,,15L ，…，{}1024,1025,,2014L ；共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾．故n 的最大值为21．。
上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一下学期期末数学试题(原卷版)
上海市复旦附中2014-2015高一年级期末考试数学试卷分析第二部分优秀试题精讲1.已知数列{}n a 满足:*434121,0,,N n n n n a a a a n --===∈,则2014a =___________.2.等差数列{n a }前n 项和为n S .已知1m a -+1m a +-2m a=0，21m S -=38,则m=_______.3.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.4.设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ． 5.若数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 （ ） A. {a 2k+1}B. {a 3k+1}C. {a 4k+1}D. {a 6k+1}6.已知点11,3⎛⎫⎪⎝⎭是函数()(0,1)xf x a a a =>≠图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足:当2n ≥时,都有1n n S S --=(1)求c 的值;(2)求证:为等差数列,并求出n b . (3)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,是否存在实数m ,使得对于任意的*N n ∈都有n T m ≥,若存在,求出m 的取值范围,若不存在,说明理由.第三部分 试卷展示大学附属中学2014学年第二学期高一年级数学期来考试试卷一､填空题(每题4分,共48分7.求值：2sin arccos 3⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_____．8.等比数列{}n a 中,若245,20a a ==,则6a =__________.9.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前10项和10S =________. 10.函数arccos 2y x =-的反函数为__________.11.已知数列{}n a 满足:*434121,0,,N n n n n a a a a n --===∈,则2014a =___________.12.等差数列{n a }前n 项和为n S .已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=38,则m=_______.13.已知函数13()2sin 122f x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,1()f x -为()f x 的反函数,则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭_______(用反三角形式表示).14.方程sin 2cos ,[0,2]x x x π=∈的解集是____________. 15.函数y =的定义域为____________.16.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.17.当01x ≤≤时，不等式sin 2xkx π≥成立，则实数k 的取值范围是______________.18.设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ． 二､选择题(每题4分,共16分)19.不等式tan 2x <<的解集是（ ） A. |arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭B. 2|arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C. |22arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ D. 2|2arctan 22,3x k x k k Z πππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭20.对数列{}n a ,“0n a >对于任意*N n ∈成立”是“其前n 项和数列{}n S 为递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 非充分非必要条件21.设{(,)|cos(arccos )},{(,)|arccos(cos )}A x y y x B x y y x ====,则A B =I ( ) A. {(,)|,11}x y y x x =-≤≤ B. 11(,)|,22x y y x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭C. {(,)|,01}x y y x x =≤≤D. {(,)|,0}x y y x x π=≤≤22.若数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 （ ） A. {a 2k+1}B. {a 3k+1}C. {a 4k+1}D. {a 6k+1}三､解答题(共5题,共56分)23.解方程:cos2cos sin x x x =+.24.已知方程240x ++=有两个实根12,x x ,记12arctan ,arctan x x αβ==,求αβ+的值.25.已知点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足:当2n ≥时,都有1n n S S --=(1)求c 的值;(2)求证:为等差数列,并求出n b . (3)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,是否存在实数m ,使得对于任意的*N n ∈都有n T m ≥,若存在,求出m 的取值范围,若不存在,说明理由.26.某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2016年起的第n 年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为n a 万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为n b 万元,求n a 和n b ;(2)设从2016年起的第n 年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元,进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元,求n A 和n B ;(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?27.如果有穷数列123,,,m a a a a L (m 为正整数)满足1211,,m m m a a a a a a -===L ,即1(1,2,,)i m i a a i m -+==L ,那么我们称其为对称数列.(1)设数列{}n b 是项数为7的对称数列,其中,1234,,,b b b b 为等差数列,且142,11b b ==,依次写出数列{}n b 的各项;(2)设数列{}n c 是项数为21k -(正整数1k >)的对称数列,其中121,,,k k k c c c +-⋯是首项为50,公差为-4的等差数列.记数列{}n c 的各项和为数列21k S -,当k 为何值时,21k S -取得最大值?并求出此最大值;(3)对于确定的正整数1m >,写出所有项数不超过2m 的对称数列,使得211,2,2,,2m -⋯依次为该数列中连续的项.当1500m >时,求其中一个数列的前2015项和2015S .。
复旦附中自招真题解析
海
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ， 若 BC 边上的高为 AD， 则 BD DC ______________． 【答】4． A 【解析】设 AB 、 BC 、 CA 分别为 n 1 、 n 、 n 1 ，则
昂
立
智
立 方
B
C
上
2
2
B
D C
有 c 2 a 2 b2 2b2 c 2b ab 2 b b 2b 2 而 ab 2 a b c 2 0 b b a 5 ，
2 2 b 7b a 7 ，
若 a 5 ，25 c b c b c b 25 ，c b 1 c 13 ，b 12 代入两式验证成立； 若 a 6 ， 36 c b c b c b 18 ， c b 2 c 10 ， b 8 代入两式验证成立；
2
若它们为不同解，则 19m n 19 矛盾 19m n
原式
m 19m 4m 1 19m2 99m 1 95m 5 ． 19m 19m
9. 若关于 x 的方程 x 2 x 2 4 x m 0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形 的三边长，则 m 的取值范围是______________． 【答】 3 m 4 ． 【解析】显然 x 2 是原方程的根，设另两个根分别为 a 、 b ， a b 4 2 ，
15 sin120 a a 2 3 2 4 则 a 2 2a 1 16 sin 60 2 S 2a 2 ABCD 2
2014复旦附中自招测试题
2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷一．填空题1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+= ▲ ． 2．已知：23a =，32b =，则1111a b +=++ ▲ ． 3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN = ▲ ． 4．方程2354235x x x x +=----的根为 ▲ ． 5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第 ▲ 象限．6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -= ▲ ．7．已知：222212310011352001A =++++L ，222212310013572003B =++++L ，则与A B -最接近的整数是 ▲ ．二．解答题8．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，1112014x y xy++=，试求x y -的最大值．9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷参考答案和评分标准一．填空题1．2 2．1 3．3 4．0；4；4 5．二 6．0 7．501 二．解答题 8．解：由1112014x y xy++= 得1120152014x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 即2014201420140xy x y ---=；即(2014)(2014)20142013x y --=⨯；得：min ()402840271x y -=-=．9．证明：在AC 上截取'AE AE = ①如果E'和F 重合，那么△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；因此AB AE BE AF CF AC =+=+=；故△ABC 是等腰三角形；②如果E'和F 不重合，易知△AOE'≌△AOF ；于是'OE OF =；即''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；ABCEF (E')O第9题图① ABCEE' OF第9题图②由12BEC A C ∠=∠+∠，12AFO B C ∠=∠+∠推出11()(180)22B C A A ∠+∠=︒-∠=∠； 即60A ∠=︒．10．解：首先构造两个数列：{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024； {}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数． 因此：21n ≤．如果21n >，则构造如下集合：{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,,15L，…，{}1024,1025,,2014L ；共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾． 故n 的最大值为21．上海中考微信号：shzhongkao1专注于上海中考升学政策、名校招生信息解读，为家长、学生送上第一手中考资讯。
上海市复旦大学附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共44分）1．（4分）用列举法表示集合=．2．（4分）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是．3．（4分）函数y=的定义域为．4．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足A∩C=B∪C的集合C有个．5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．6．（4分）已知集合P=x，Q={x|（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0}，则P∩Q=．7．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．8．（4分）若关于x不等式ax2+bx+c＜0的解集为，则关于x不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．（4分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n 9．∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是．10．（4分）某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成反比，而每月库存货物的运费k（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成正比．如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p和k分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x=公里．11．（4分）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．二、选择题（每题4分，共16分）12．（4分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc13．（4分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣314．（4分）是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（4分）在关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（）A．﹣4≤a≤4 B．a≥9或a≤﹣7 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2＜a＜4三、解答题（共6大题，满分60分）16．（8分）解关于x的方程：x2+|2x﹣3|=2．17．（8分）设关于x的不等式：．（1）解此不等式；（2）若2∈，求实数k的取值范围．18．（10分）已知P=，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}，其中m＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．（10分）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D 的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？20．（10分）定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=．（1）计算2△（3△1）；（2）对x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断等式x△（y△z）=（x△y）△z是否恒成立，并说明理由；（3）写出函数y=（1△x）△x﹣（2△x）的解析式，其中﹣2≤x≤2，并求函数的值域．21．（14分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c．（1）求证：＞0；（2）现推广如下：把的分子改为一个大于1的正整数p，使得＞0对任意a＞b＞c都成立，试写出一个p并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数m，n，p满足什么条件时，＞0对任意a＞b＞c都成立，请写出条件并证明之．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共44分）1．（4分）用列举法表示集合={﹣1，2，3，4}．考点：集合的表示法．专题：集合．分析：由，则必有，解出即可．解答：解：由，则必有，∴a=﹣1，3，2，4．∴A={﹣1，2，3，4}．故答案为：{﹣1，2，3，4}．点评：本题考查了集合的列举法、整数的整除性质，属于基础题．2．（4分）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是若x2≠1，则x≠1．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：直接利用命题的否命题的定义，写出结果即可．解答：解：命题的否命题是同时对条件与结论进行否定．命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2≠1，则x≠1；故答案为：若x2≠1，则x≠1；点评：本题考查命题的否命题的定义，基本知识的考查．3．（4分）函数y=的定义域为[﹣2，1）∪（1，2]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由式子有意义需使分母和根号有意义，可得x的范围，写成集合的形式可得函数的定义域．解答：解：要使函数的表达式有意义，x须满足：，即x∈[﹣2，1）∪（1，2]，故定义域为：[﹣2，1）∪（1，2]，故答案为：[﹣2，1）∪（1，2]，点评：本题考查了函数的定义域问题，注意分母和根号的特点，本题属于基础题．4．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足A∩C=B∪C的集合C有4个．考点：交集及其运算；子集与真子集．专题：集合．分析：根据A∩C=B∪C，得到符合条件的集合C的个数即为集合{3，4}的子集的个数，求出即可．解答：解：由条件A∩C=B∪C可知：B⊆（B∪C）=（A∩C）⊆C⊆（B∪C）⊆（A∩C）⊆A，则符合条件的集合C的个数即为集合{3，4}的子集的个数，共4个．故答案为：4点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题关键．5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：变形为x与4y的乘积，利用基本不等式求最大值解答：解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．点评：考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型．6．（4分）已知集合P=x，Q={x|（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0}，则P∩Q=．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出不等式的解集即为集合P，根据数轴标根法求出（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0的解集，即求出集合Q，由交集的运算求出P∩Q．解答：解：由得，，解之1≤x≤2，即P=[1，2]，根据数轴标根法，解（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0得：，即Q=，所以P∩Q=．故答案为：．点评：本题考查了交集及其运算，以及无理不等式、高次不等式的解法，数轴标根法是解高次不等式的重要方法．7．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣2，2]．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：计算题．分析：当a﹣2=0，a=2时不等式即为﹣4＜0，对一切x∈R恒成立，当a≠2时利用二次函数的性质列出a满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围．解答：解：当a﹣2=0，a=2时不等式即为﹣4＜0，对一切x∈R恒成立①当a≠2时，则须即∴﹣2＜a＜2 ②由①②得实数a的取值范围是（﹣2，2]故答案为：（﹣2，2]点评：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质．注意对二次项系数是否为0进行讨论．8．（4分）若关于x不等式ax2+bx+c＜0的解集为，则关于x不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知得到ax2+bx+c=0的两个根为﹣2和，利用根与系数关系得到系数的比，变形后得到的值，由此求出方程cx2﹣bx+a=0的两根，则不等式cx2﹣bx+a＞0的解集可求．解答：解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞），∴a＜0，且，﹣2为方程ax2+bx+c=0的两根．∴=﹣，（﹣2）=∴，c=a，∴cx2﹣bx+a＞0可转化为，∴x2﹣x+1＜0，即（x﹣）（x﹣2）＜0，解得x＜2，即不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．故答案为：点评：本题考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的根与系数关系，容易出错的地方是忽略c的符号．（4分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n 9．∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；新定义．分析：对各个选项进行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵﹣3÷5=﹣1…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可得答案．解答：解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①正确；②∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④正确．故答案为：①③④点评：本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．10．（4分）某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成反比，而每月库存货物的运费k（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成正比．如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p和k分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x=3公里．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题；不等式的解法及应用．分析：由题意，设Px=m，（m，n为常数），代入x=18，p=4，k=144求出m，n；从而得到P+k=+8x，利用基本不等式求最值．解答：解：设Px=m，（m，n为常数），由x=18时，p=4，k=144，可得，m=18×4=72，n==8，所以P+k=+8x=8（）≥48，（当且仅当，即x=3时，等号成立）故答案为：3．点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式求最值，属于中档题．11．（4分）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：分类讨论，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．解答：解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2=x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为：．点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．二、选择题（每题4分，共16分）12．（4分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），可得外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，即可得出．解答：解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题．13．（4分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣3考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：常规题型．分析：根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数，即需要确定每组函数的定义域、对应关系、值域是否相同，也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同一个函数．解答：解：A组中两函数的定义域相同，对应关系不同，g（x）=|x|≠x，故A中的两函数不为同一个函数；B组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合，对应关系化简为f（x）=g（x）=1，故B中的两函数是同一个函数；C组中两函数的定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠1}，故C中的两函数不为同一个函数；D组中两函数的定义域不同，g（x）的定义域为R，f（x）的定义域由不等于﹣3的实数构成，故D中的两函数不为同一个函数．故选B．点评：本题考查函数定义域的求解，函数解析式的化简，考查学生对函数三要素的认识和把握程度，考查学生的转化与化归思想，属于基本的函数题型．14．（4分）是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：当时，成立，即充分性成立，当x=10，，满足成立但不成立，即必要性不成立．故是成立充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．15．（4分）在关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（）A．﹣4≤a≤4 B．a≥9或a≤﹣7 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2＜a＜4考点：函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．解答：解：若关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0没有实根，则，解得﹣2＜a＜4，则关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根时，a≤﹣2或a≥4，故选C．点评：本题考查了命题与命题的否定，属于基础题．三、解答题（共6大题，满分60分）16．（8分）解关于x的方程：x2+|2x﹣3|=2．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：直接去掉绝对值符号，然后求解即可．解答：解：或，解之x=2或．方程的解为：x=2或；点评：本题考查函数的零点与方程的根的知识，基本知识的考查．17．（8分）设关于x的不等式：．（1）解此不等式；（2）若2∈，求实数k的取值范围．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（1）化简不等式，得到（k﹣2）x≥k2﹣k﹣4，讨论k=2，k＞2，k＜2，解不等式，即可得到解集；（2）由条件讨论k=2，k＞2，k＜2，得到不等式组，解出它们，再求并集即可．解答：解：（1），即有（k﹣2）x≥k2﹣k﹣4，所以①当k=2时，不等式的解为R；②当k＞2时，不等式的解为，即解集为：[）；③当k＜2且k≠0时，不等式的解为，即解集为：（﹣∞，]；（2）由于，所以k=2符合；结合（1）可以得到：，解之2＜k＜3；或，解之0＜k＜2．综上k∈（0，3）．点评：本题考查含参不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．18．（10分）已知P=，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}，其中m＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义和关系，结合不等式的关系，即可得到结论．解答：解：由“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，可得∁U P⊋∁U Q，即P⊊Q，P=={x|﹣2≤x≤10}，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}={x|1﹣m≤x≤1+m}，则，即，解得m≥9，故实数m的取值范围[9，+∞）．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的解法求出集合是解决本题的关键．19．（10分）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D 的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：当x＞y时，利用不等式的性质可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．解答：解：当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）=（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）=（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故只有1种，就是取A，D．点评：本题考查了不等式的基本性质、“作差法”，考查了推理能力，属于基础题．20．（10分）定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=．（1）计算2△（3△1）；（2）对x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断等式x△（y△z）=（x△y）△z是否恒成立，并说明理由；（3）写出函数y=（1△x）△x﹣（2△x）的解析式，其中﹣2≤x≤2，并求函数的值域．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值域．专题：计算题．分析：（1）先求出（3△1），再求出2△（3△1）的值即可；（2）分别求出x△（y△z）和（x△y）△z的值，判断即可；（3）分别求出（1△x）△x和（2△x）代入求出即可．解答：解：（1）∵（3△1）=3，∴2△（3△1）=2△3=9；（2）由于y＞z，∴（y△z）=y，x△（y△z）=x△y=y2；由于x＜y，∴（x△y）=y2，即有（x△y）△z=y2△z，此时若y2≥z，则（x△y）△z=y2；若y2＜z，则（x△y）△z=z2．∴等式x△（y△z）=（x△y）△z并不能保证对任意实数x，y，z都成立．（3）由于，2△x=2，所以，函数的值域为[﹣1，2]．点评：本题考查了新定义问题，考查了函数解析式的求法，是一道中档题．21．（14分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c．（1）求证：＞0；（2）现推广如下：把的分子改为一个大于1的正整数p，使得＞0对任意a＞b＞c都成立，试写出一个p并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数m，n，p满足什么条件时，＞0对任意a＞b＞c都成立，请写出条件并证明之．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：利用分析法，结合综合法，即可证明结论．解答：证明：（1）由于a＞b＞c，所以a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只需证明．左边=，证毕．（2）欲使，只需，左边=，所以只需4﹣p＞0即可，即p＜4，所以可以取p=2，3代入上面过程即可．（3）欲使，只需，左边=，只需，即（m，n，p∈Z+）．点评：本题考查不等式的证明，考查分析法与综合法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2021年上海复附自招试卷
a - 2009一、填空题冲刺 17 年自主招生之 2014 复附自主招生试卷1. 若 M = 3x 2 -8xy + 9 y 2 - 4x + 6 y + 13 ( x , y 是实数)，则 M 的值一定是( ) A. 零B. 负数C. 正数D. 整数2. 已知sin α < cos α ，那么锐角α 的取值范围是( ) A. 30︒ < α < 45︒ B. 0︒ < α < 45︒ C. 45︒ < α < 60︒D. 0︒ < α < 90︒3. 已知实数 a 满足| 2008 - a | = a ，那么a - 20082 值是( )A. 2009B. 2008C. 2007D. 20064. 如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式 a- b 的值等于( ).cA. - 3 4B. -6C. 3 4D. 65. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像如图所示， Q (n ,2) 是图像上的一点，且 AQ ⊥ BQ ，则a的值为( )A. - 13 B. - 12C. -1D. -2ABC 6. 矩形纸片 ABCD中， AB = 3cm , BC = 4cm ，现将纸片折叠压平，使 A 与C 重合，设折叠为 EF ，则重叠部分 AEF 的面积等于( )。
A.73 8 B. 758C.73 16D.75 167. 若 a = b = c= t ，则一次函数y = tx + t 2 的图像必定经过的象限是( ) b + c c + a a + b A. 第一、二象限 B. 第一、二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第三、四象限8. 如图，以 Rt ABC 的斜边 BC 为一边在 的同侧作正方形 BCEF ，设正方形的中心为O ，连结 AO ，如果 AB = 4, AO = 6 2 ，那么 AC 的长等于( )A. 12B. 16C.D.二、填空题9. 已知 x 2 - -1 = 0 ，那么代数式 x 3 - 2 +1的值是。
2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案 (2)
2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题一．选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ D ）A．2π+B ．83πC ．4πD．2π2.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ B ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 141323.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 0083.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D )A. 521.B. 27.C. 13D. 8214、解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.5. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ B ）2 2 2侧（左）视222正（主）视俯视图.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5、解 当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，C D ⊥AB 于D ，AD=9，BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于P,Q 两点，弦PQ 交CD 于E ，则PE •EQ 的值是（ D ）A ．24 B. 9 C. 36 D. 277.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1，则ab 的取值范围（ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜21-8. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( )A.4+26+22B. 2+26+22C. 4+23 +42 D ．4+23+42 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则32 .由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.10.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，a k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 2014(k=1,2,, 100,则在这100个整数中，不同的整数的个数为 6911.设非负实数x,y,z 满足x+y+z=1,则t=29x ++24y ++21z +12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以BN 与MP 长度相等，BM 与NP 长度相等，因此，曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ， 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC = S△AOB + S △BOC – S△AOC 1142-所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC 13. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则 有 不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定； （3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。
【中考数学】历年各校自招数学真题及参考答案
1 1 10．定义 min a, b, c 表示实数 a, b, c 中的最小值，若 x, y 是任意正实数，则 M min x, , y 的最大 x y
值是 ．
二、计算题（20 分） （10 分） 11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．
12．如图，已知 PA 切 O 于 A ， APO 30 ， AH PO 于 H ，任作割线 PBC 交 O 于点 B 、 C ，计算
HC HB 的值．（10 分） BC
2．定义①1*1=1，②(n+1)*1=n*1+1，求 n*1=_________；
3． f ( x)
(a 1) x 2 (a 3) x 2a 8 的定义域为 D， f ( x)＞0 在定义域 D 内恒成立，求 a 的取值范围？ (2a 1) x 2 (a 1) x a 4
3 3 3
.
3．若有理数 a, b 满足
21 3 3 a b ，则 a b 4
.
4．如图， △ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，线段 DE⊥AB，且 △BDE 的面积是 △ABC 面积的三分之一， 那么，线段 BD 长为 。
5．二次函数 y ax 2 bx c 的图像与 x 轴有两个交点 M，N，顶点为 R，若 △MNR 恰好是等边三角形， 则 b 2 4ac 。
7．如图所示，正方形 ABCD 的面积设为 1， E 和 F 分别是 AB 和 BC 的中点，则图中阴影部分的面积 是 ．
自招真题合集
8．在直角梯形 ABCD 中， ABC BAD 90o ， AB 16 ，对角线 AC 与交 BD 于点 E ，过 E 作 EF AB 于点 F ， O 为边 AB 的中点，且 FE EO 8 ，则 AD BC 的值为 ．
2014-2015学年上海市复旦附中高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝ ．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 3．若cos α=−13，则sin(3π2−α)= ．4．若cos α=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)= ． 5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为 ． 6．函数y =sin(π3−2x)的单调递减区间为 ．7．函数y =√16−x 2−lgsinx 的定义域为 ． 8．函数y =2cosx+12cosx−1的值域为 ．9．在△ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC cosB=2a−c b，则角B ＝ ．10．若动直线x ＝a 与函数f （x ）＝sin x 和g （x ）＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 ．11．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f （x ）＝ ．12．为了使函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是 ．二、选择题（每题5分，共20分）13．下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（ ） A ．y ＝x 3tan x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝﹣2sin x cos xD ．y ＝tan|x |14．在△ABC 中，下列命题中，真命题的个数为（ ）①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件；②∠A ＞∠B 是cos A ＜cos B 的充要条件； ③∠A ＞∠B 是tan A ＞tan B 的充要条件；④∠A ＞∠B 是cot A ＜cot B 的充要条件．A ．1B ．2C ．3D ．415．要得到y ＝cos （2x −π4）的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象（ ） A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位16．已知a 是实数，则函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（共5题，共计52分）17．作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)； （2）sin2α﹣2cos 2α．19．已知函数f（x）＝1﹣cos2（x−5π12），g（x）＝1+12sin2x．（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）在x∈(−π2，0)上的值域．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，C=π3．（1）若△ABC的面积为√3，求a，b；（2）若sin C+sin（B﹣A）＝sin2A，求a，b．21．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k＝{a|f（x）＝ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．2014-2015学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题4分，共48分）1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝135．【分析】利用条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，然后求解sec α． 解：由题意可得 x ＝5，y ＝﹣12，r ＝|OP |＝13，∴cos α=x r =513， ∴sec α=135． 故答案为：135．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 6 cm ． 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ，则：r 2=2S α=2×92=9．解得r ＝3∴扇形的弧长为l ＝r α＝3×2＝6l ＝r α＝3×2＝6cm ． 故答案为：6．【点评】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 3．若cos α=−13，则sin(3π2−α)= 13． 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 解：∵cos α=−13，则sin(3π2−α)=−cos α=13， 故答案为：13．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题． 4．若cos α=−45，α∈(π2，π)，则cos(α−π4)= −√210．【分析】由题意和同角三角函数的基本关系可得sin α，代入两角差的余弦公式计算可得． 解：∵cos α=−45，α∈(π2，π)，∴sin α=2α=35， ∴cos(α−π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=−45×√22+35×√22=−√210 故答案为：−√210．【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．5．已知等腰三角形顶角的余弦值为−725，则这个三角形底角的正切值为 34．【分析】设等腰三角形顶角为α，由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos α2的值，可得sin α2和tan α2的值，从而求得这个三角形底角的正切值为tan （π2−α2）的值．解：设等腰三角形顶角为α，则这个三角形底角为π−α2=π2−α2，且cos α=−725，∴α为钝角． 再根据cos α=−725=2cos 2α2−1，求得cos α2=35，∴sin α2=45，tan α2=43， ∴这个三角形底角的正切值为tan （π2−α2）＝cot α2=1tanα2=34，故答案为：34．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6．函数y =sin(π3−2x)的单调递减区间为 [k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ． 【分析】先根据正弦函数的单调性求得函数y ＝sin （2x −π3）的单调增区间，进而求得函数 y ＝sin （π3−2x ）的单调递减区间．解：由题意可得：y ＝sin （π3−2x ）＝﹣sin （2x −π3），由正弦函数的单调性可知y ＝sin （2x −π3）的单调增区间为[2k π−π2，2k π+π2]，k ∈Z即[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z所以y ＝sin （π3−2x ）＝﹣sin （2x −π3）的减区间为[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ，故答案为：[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ．【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性．考查了学生对正弦函数基本性质的理解，属于基本知识的考查．7．函数y =√16−x 2−lgsinx 的定义域为 [﹣4，﹣π）∪（0，π） ．【分析】根据函数y =√16−x 2−lgsinx ，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 解：∵函数y =√16−x 2−lgsinx ， ∴{16−x 2≥0sinx ＞0， 解得{−4≤x ≤42kπ＜x ＜π+2kπ，k ∈Z ，即﹣4≤x ＜﹣π或0＜x ＜π；∴y 的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）． 故答案为：[﹣4，﹣π）∪（0，π）．【点评】本题考查了根据觳觫的解析式求函数定义域的应用问题，是基础题目． 8．函数y =2cosx+12cosx−1的值域为 （﹣∞，13]∪[3，+∞） ．【分析】此为y =acosx+bccosx−d型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解．或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解． 【解答】解法一：原函数变形为y =1+22cosx−1，∵|cos x |≤1，可直接得到：y ≥3或y ≤13．则函数的值域为（﹣∞，13]∪[3，+∞）．解法一：原函数变形为cosx =y+12(y−1)， ∵|cos x |≤1，∴|y+12(y−1)|≤1，∴y ≥3或y ≤13．则函数的值域为（﹣∞，13]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，13]∪[3，+∞）．【点评】本题主要考查余弦函数的值域，考查分式函数含三角函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．9．在△ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC cosB=2a−c b，则角B ＝π3．【分析】利用正弦定理将2a−c b转化为2sinA−sinCsinB，再利用两角和与差的正弦函数即可求得角B ．解：∵在△ABC ，cosC cosB=2a−c b，由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC=2R 得：2a−c b=2sinA−sinCsinB ，∴cosCcosB=2sinA−sinCsinB，∴sin B cos C ＝2sin A cos B ﹣sin C cos B ，∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，又在△ABC ，B +C ＝π﹣A ， ∴sin （B +C ）＝sin A ≠0，∴cos B =12，又B ∈（0，π），∴B =π3． 故答案为：π3．【点评】本题考查正弦定理与两角和与差的正弦，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 10．若动直线x ＝a 与函数f （x ）＝sin x 和g （x ）＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 √2 ．【分析】设x ＝a 与f （x ）＝sin x 的交点为M （a ，y 1），x ＝a 与g （x ）＝cos x 的交点为N （a ，y 2），求出|MN |的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值． 解：设x ＝a 与f （x ）＝sin x 的交点为M （a ，y 1）， x ＝a 与g （x ）＝cos x 的交点为N （a ，y 2）， 则|MN |＝|y 1﹣y 2|＝|sin a ﹣cos a | =√2|sin （a −π4）|≤√2． 故答案为：√2．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，在解决三角函数周期等问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．11．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f （x ）＝ 4sin （π6x −2π3） ．【分析】根据三角函数的图象确定A ，ω和φ的值即可得到结论． 解：由图象知A ＝4，T ＝2[4﹣（﹣2）]＝12， 则T =2πω=12，即ω=π6， 则f （x ）＝4sin （π6x +φ）， 由五点对应法得π6×4+φ＝0，即φ=−2π3， 故f （x ）＝4sin （π6x −2π3），故答案为：f （x ）＝4sin （π6x −2π3）．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键．12．为了使函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是 [37π2，41π2） ．【分析】根据正弦函数的周期性和最大值的性质，建立不等式关系进行求解即可． 解：若函数y ＝sin ωx （ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值， 则满足9T +T 4≤1，且10T +T4＞1， 即T ≤437且T ＞441， 即441＜T ≤437，441＜2πω≤437，解得37π2≤ω＜41π2， 故答案为：[37π2，41π2），【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．注意对三角函数基础知识如周期相，对称性，单调性等知识的点熟练掌握． 二、选择题（每题5分，共20分）13．下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（ ） A ．y ＝x 3tan x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝﹣2sin x cos xD ．y ＝tan|x |【分析】由条件利用二倍角公式，三角函数的奇偶性和周期性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．解：由于y ＝x 3tan x 为偶函数，故排除A ；由于y ＝|sin x |是偶函数，故排除B ； 由于y ＝﹣2sin x cos x ＝﹣sin2x 是奇函数，且还是以π为周期的函数，故满足条件； 由于y ＝tan|x |是偶函数，故排除D ， 故选：C ．【点评】本题主要考查二倍角公式，三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题． 14．在△ABC 中，下列命题中，真命题的个数为（ ）①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件；②∠A ＞∠B 是cos A ＜cos B 的充要条件； ③∠A ＞∠B 是tan A ＞tan B 的充要条件；④∠A ＞∠B 是cot A ＜cot B 的充要条件． A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：①∠A ＞∠B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，故①∠A ＞∠B 是sin A ＞sin B 的充要条件成立，故①正确，；②y ＝cos x 在（0，π）上为减函数，∴∠A ＞∠B ⇒cos A ＜cos B ，反之也成立，故②正确； ③若∠A ＝120°，∠B ＝45°，满足∠A ＞∠B ，但tan A ＞tan B 不成立，即充分性不成立，故③错误；④y ＝cot x 在（0，π）上为减函数，∴∠A ＞∠B ⇒cot A ＜cot B ，反之也成立，故④正确； 故真命题的个数为3， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 15．要得到y ＝cos （2x −π4）的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象（ ）A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得y ＝cos （2x −π4）＝sin （2x +π4），再根据函数图象平移的公式加以计算，可得本题答案．解：∵y ＝cos （2x −π4）＝sin[（2x −π4）+π2]＝sin （2x +π4），∴若函数y ＝sin2x ＝f （x ），则函数g （x ）＝sin （2x +π4）＝sin[2（x +π8）]＝f （x +π8）． 因此，将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π8个单位，可得y ＝sin （2x +π4）的图象，即函数y ＝sin2x 的图象向左平移π8个单位，得到y ＝cos （2x −π4）的图象．故选：A ．【点评】本题给出形状相同的两个三角函数图象，要我们求从一个图象到另一个图象所要平移的距离．着重考查了三角函数的诱导公式和函数图象平移的公式等知识，属于基础题． 16．已知a 是实数，则函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】函数f （x ）＝1+a sin ax 的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a |，周期为2π|a|，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象． 解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：T =2π|a|，∵|a |＞1，∴T ＜2π， 而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π． 对于选项A ，a ＜1，T ＞2π，满足函数与图象的对应关系， 故选：D ．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键． 三、解答题（共5题，共计52分）17．作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）【分析】由题意作出函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象，从而由图象写出函数的单调区间．解：作函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |，x ∈(π2，3π2)的图象如下，结合图象可知，函数y ＝tan x +sin x ﹣|tan x ﹣sin x |在（π2，π）上单调递增，在（π，3π2）上单调递减．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了函数图象的应用，属于中档题．18．已知tan(α+π4)=3，求下列各式的值：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)；（2）sin2α﹣2cos2α．【分析】由tan(α+π4)=3可求得tanα=12，（1）利用诱导公式化简cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)=cosα+sinαcosα−sinα，再“弦”化“切”即可；（2）利用二倍角的正弦将sin2α﹣2cos2α化为2sinαcosα﹣2cos2α，再将分母除以1＝sin2α+cos2α，“弦”化“切”即可．解：∵由tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=3得tanα=12，于是：（1）cos(π+α)−cos(π2−α)sin(π−α)+sin(3π2+α)=−cosα−sinαsinα−cosα=cosα+sinαcosα−sinα=1+tanα1−tanα=3；（2）sin2α﹣2cos2α＝2sinαcosα﹣2cos2α=2sinαcosα−2cos2αsin2α+cos2α=2tanα−2tan2α+1=−45．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式及变形公式的应用，利用诱导公式及sin2α+cos2α＝1实现角α的正弦、余弦的互化、利用tanα可以实现角α的弦切互化是关键，属于中档题．19．已知函数f（x）＝1﹣cos2（x−5π12），g（x）＝1+12sin2x．（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）＝f（x）+g（x）在x∈(−π2，0)上的值域．【分析】（1）利用三角函数对称轴的性质确定x0的值，然后代入求值即可．（2）求出函数h（x）＝f（x）+g（x）的解析式，由x∈(−π2，0)，可得2x+π3的范围，由正弦函数的图象和性质即可得解．解：（1）f（x）＝cos2（x+π12）=12+12cos(2x+π6)，由2x+π6=kπ，k∈Z得所以函数的对称轴为x=kπ2−π12，k∈Z．因为x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，所以x0=kπ2−π12，k∈Z．所以g（x0）＝1+12sin2（kπ2−π12）＝1+12sin（kπ−π6），若k 是偶数，则g （x 0）＝1+12sin （−π6）=34，若k 是奇数，则g （x 0）＝1+12sin （5π6）=54．（2）h （x ）＝f （x ）+g （x ）=12+12cos （2x +π6）+1+12sin2x =32+12sin （2x +π3）． 因为x ∈(−π2，0)，所以：2x +π3∈（−2π3，π3），sin （2x +π3）∈[﹣1，√32），所以：h （x ）∈[1，6+√34）．【点评】本题主要考查三角函数的化简以及倍角公式，辅助角公式的应用，综合性较强，属于中档题．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C =π3．（1）若△ABC 的面积为√3，求a ，b ； （2）若sin C +sin （B ﹣A ）＝sin2A ，求a ，b ．【分析】（1）由余弦定理可得：4＝a 2+b 2﹣ab ，①，由△ABC 的面积公式可得：√3=12ab sin C ，解得：ab ＝4，②，②代入①可解得：a +b ＝4，③，由②③可解得b ，a 的值． （2）利用两角和与差的正弦函数化简已知等式可得cos A （sin B ﹣sin A ）＝0，可得：cos A ＝0或sin B ＝sin A ，当cos A ＝0时，结合0＜A ＜π，可得A 为直角，结合已知即可求得a ，b 的值，当sin B ＝sin A 时，由正弦定理可得a ＝b ，由余弦定理即可得解． 解：（1）∵c ＝2，C =π3．∴由余弦定理可得：4＝a 2+b 2﹣ab ，①∵△ABC 的面积为√3=12ab sin C =12×√32ab ，解得：ab ＝4，②∴②代入①可得：a 2+b 2＝8，从而（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝16，解得：a +b ＝4，③ ∴由②③可解得：b ＝2，a ＝2．（2）∵sin C +sin （B ﹣A ）＝sin2A ，sin C ＝sin （A +B ）∴sin A cos B +cos A sin B +sin B cos A ﹣cos B sin A ＝2sin A cos A ，整理可得：cos A （sin B ﹣sin A ）＝0， ∴可得：cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴当cos A ＝0时，由0＜A ＜π，可得A =π2，又c ＝2，C =π3，可得：b =ctanC =3=2√33，a =c sinC =232=4√33，当sin B ＝sin A 时，由正弦定理可得：a ＝b ，又c ＝2，C =π3，由余弦定理可得：4＝2a 2﹣a 2，解得：a ＝b ＝2．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．21．设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意的x ∈R 恒成立，且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2．（1）求证：f （x ）是以2为周期的函数（不需要证明2是f （x ）的最小正周期）； （2）对于整数k ，当x ∈[2k ﹣1，2k +1]时，求函数f （x ）的解析式；（3）对于整数k ，记M k ＝{a |f （x ）＝ax 在x ∈[2k ﹣1，2x +1]有两个不等的实数根}，求集合M 2015．【分析】（1）因为f （x +2）＝f [（x +1）+1]＝﹣f （x +1）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ）可得结论． （2）先求出x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x 2，设x ∈[2k ﹣1，2k +1]，则x ﹣2k ∈[﹣1，1]，根据f （x ）是以2为周期的函数，即f （x ﹣2k ）＝f （x ）可求解．（3）将方程f （x ）＝ax 转化为二次函数，利用二次函数根的分布求a 的取值集合． 解：（1）因为f （x +2）＝f [（x +1）+1]＝﹣f （x +1）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ） 所以：f （x ）是以2为周期的函数；（2）∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数 ∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝x 2， ∴x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝x 2，∵f （x ）是以2为周期的函数，即f （x ﹣2k ）＝f （x ），k ∈Z 设x ∈[2k ﹣1，2k +1]，则x ﹣2k ∈[﹣1，1]， ∴f （x ﹣2k ）＝（x ﹣2k ）2，即f （x ）＝（x ﹣2k ）2，x ∈[2k ﹣1，2k +1]（k ∈Z ），（3）当k ∈N *，且x ∈I k 时，方程f （x ）＝ax 化简为x 2﹣（4k +a ）x +k 2＝0， 设g （x ）＝x 2﹣（4k +a ）x +k 2，使方程f （x ）＝ax 在I k 上有两个不相等的实数根， 则{△=a(a +8k)＞02k −1＜k+a 2≤2k +1g(2k −1)=1−2ak +a ＞0g(2k +1)=1−2ak −a ≥0，解得0＜a≤12k+1，当k＝2015时，∴集合M2015＝（0，14031]【点评】本题主要考查函数周期性的应用，以及二次方程根的分布问题，考查学生的转化能力，综合性较强，属于中档题．。
2014高中自主对外招生数学试卷和答案
高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。
2014-2015学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
复旦大学附属中学2014学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空：(每题4分，共44分)1.用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭__________．2.命题“若21x =，则1x =”的否命题为__________．3.函数y =__________．4.已知集合1,2,3,4A ＝｛｝、1,2B ＝｛｝,满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有___个5.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____6.已知集合{()()(){}3,12340P x x Q x x x x =-≥=+-->，则P Q = __________．7.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 成立，则a 的取值范围是__.8.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则不等式20cx bx a -+>的解集为_________9.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈，②[]33-∈，③[][][][][]01234Z = ，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈.其中正确的个数是___________10.某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成反比，而每月库存货物的运费K (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P 和K 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x =________公里.11.设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．二、选择题：(每题4分，共16分)12.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（）.A.如果a b >，b c >，那么a c> B.如果0a b >>，那么22a b >C.对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立 D.如果a b >，0c >那么ac bc>13.设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）A.()(),f x x g x == B.()()()22,xf xg x x==C.()()()01,1f x g x x ==- D.()()29,33x f x g x x x -==-+14.123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件15.在关于x 的方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是（）A.44a -≤≤B.97a a ≥≤-或C.24a a ≤-≥或 D.24a -<<三、解答题16.解方程：212324x x +-=17.若关于x 的不等式：21241(0)x x k k k +-≥+≠（1）解此不等式；（2）若21242{|1}x x x k k+-∈≥+，求实数k 的取值范围.18.已知，其中(){}22112,2103x P x Q x x x m ⎧⎫-=-≤=-+-≤⎨⎬⎩⎭，其中全集U =R ，若U x C P ∈是U x C Q ∈的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.19.现有A B C D 、、、四个长方体容器，AB 、的底面积均为2x ，高分别为,x y ；CD 、的底面积均为2y ，高也分别为x y 、(其中x y ≠)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？20.定义实数,a b 间的计算法∆则如下：2,,a a ba b b a b≥⎧∆=⎨<⎩（1）计算()231∆∆（2）对x z y <<的任意实数,,x y z ，判断等式()()x y z x y z ∆∆=∆∆是否恒成立，并说明理由：（3）写出函数()()12y x x x =∆∆-∆的解析式，其中22x -≤≤并求其值域.21.已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>.（1）求证：1110a b b c c a++>---；（2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110p a b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之；（3）现换个角度推广：正整数m n P 、、满足什么条件时，不等式0m n pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出条件并证明之.复旦大学附属中学2014学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空：(每题4分，共44分)1.用列举法表示集合*6,5A a N a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭__________．【答案】{}1,2,3,4-【分析】对整数a 取值，并使65a-为正整数，这样即可找到所有满足条件的a 值，从而用列举法表示出集合A ．【详解】因为a Z ∈且*65N a∈-所以a 可以取1-，2，3，4.所以{}1,2,3,4A =-故答案为：{}1,2,3,4-【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚Z 表示整数集，属于基础题.2.命题“若21x =，则1x =”的否命题为__________．【答案】若21x ≠，则1x ≠【详解】根据逆否命题的写法：既否条件又否结论，原命题的否命题为若21x ≠，则1x ≠.故答案为若21x ≠，则1x ≠.3.函数y =【答案】[)(]2,11,2- 【分析】函数的定义域满足被开方数非负和分母不为0得到不等式组，从而可得函数的定义域.【详解】函数y =2010x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得22x -≤≤且1x ≠所以函数y =[)(]2,11,2-故答案为：[)(]2,11,2- 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题.4.已知集合1,2,3,4A ＝｛｝、1,2B ＝｛｝,满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有___个【答案】4由条件A C B C ⋂=⋃可知：B B C A C C B C A C A ⊆⋃=⋂⊆⊆⋃⊆⋂⊆（）（）（）（），则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}4，的子集的个数，共4个．5.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【答案】116211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.6.已知集合{()()(){}3,12340P x x Q x x x x =-≥=+-->，则P Q = __________．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先求出不等式3x -≥的解集即为集合P ，根据数轴标根法求出()()()12340x x x +-->的解集，即求出集合Q ，由交集的运算求出P Q .【详解】由3x -≥()2103031x x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得：12x ≤≤，即[]1,2P =.用数轴标根法解()()()12340x x x +-->得312x -<<或4x >.()31,4,2Q ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭ 。
复旦大学附属中学2014学年第二学期数学
复旦大学附属中学2014学年第二学期高一年级数学期末考试试卷2015.6（满分：120分 考试时间：100分钟 请将答案写在答题纸上）一、填空题（每题4分，共48分） 1．求值：2sin arccos 3⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2．在等比数列{}n a 中，若25a =，420a =，则6a =3．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且1a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的前10项和10S = ．4．函数arccos2y x =-的反函数为5．已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，*n ∈N ，则2014a =6．等差数列{}n a 前n 项和为n S ．已知2110m m m a a a -++⋅=，2138m S -=，则m =7．已知函数()132sin 1ππ22f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，()1f x -为()f x 的反函数，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭（用反三角形式表示）8．方程sin 2cos x x =，[]02πx ∈，的解集是9．函数lg sin x y =的定义域为10．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值为．11．当01x ≤≤时，不等式πsin 2xkx ≥恒成立，则实数k 的取值范围是 ．12．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n ∈N ，则数列{}n b 的通项公式n b =二、选择题（每题4分，共16分）13．不等式tan 2x <的解集是（ ）A ．πππarctan 23x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，B ．2ππarctan 2π3x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C ．π2π2πarctan 23x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，D ．2π2πarctan 22π3x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，14．对数列{}n a ，“0n a >对于任意*n ∈N 成立”是“其前n 项和数列{}n S 为递增数列”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．非充分非必要条件15．设()(){}cos arccos A x y y x ==，，()(){}arccos cos B x y y x ==，，则AB =（ ）A ．(){}11x y y x x =-，，≤≤B ．()1122x y y x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，≤≤C ．(){}01x y y x x =，，≤≤D ．(){}0πx y y x x =，，≤≤16．若数列{}n a 的前8项的值各异，且8n n a a +=，对于任意的*n ∈N 都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为（ ）A ．{}21k a +B ．{}31k a +C ．{}41k a +D ．{}61k a +三、解答题（共5题，共56分） 17．（8分）解方程：cos 2cos sin x x x =+18．（8分）已知方程240x ++=有两个实根1x ，2x ，记1arctan x α=，2arctan x β=，求αβ+的值．19．（12分）已知点113⎛⎫⎪⎝⎭，是函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的图像上一点，等比数列{}n a 的前n项和为()f n c -，数列{}n b （0n b >）的首项为c ，且前n 项和n S 满足：当2n ≥时，都有1n n S S -- ⑴ 求c 的值；⑵求证：是等差数列，并求出nb ；⑶ 若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，问是否存在实数m ，使得对于任意的*n ∈N 都有n T m ≥，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．20．（14分）某企业2015年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2016年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．⑴ 设从2016年起的第n 年（以2016年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为n a 万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为n b 万元，求n a 和n b ； ⑵ 设从2016年起的第n 年（以2016年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元，求n A 和n B ；⑶ 依上述预测，从2016年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？ 21．（14分）如果有穷数列1a ，2a ，3a ，…m a （m 为正整数）满足1m a a =，21m a a -=，…1m a a =，即1i m i a a -+=（12i m =，，…，），那么我们称其为对称数列．⑴ 设数列{}n b 是项数为7的对称数列，其中1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且12b =，411b =，依次写出数列{}n b 的各项；⑵ 设数列{}n c 是项数为21k -（正整数1k >）的对称数列，其中k c ，1k c +，…，21k c -是首项为50，公差为4-的等差数列．记数列{}n c 的各项和为数列21k S -，当k 为何值时，21k S -取得最大值？并求出此最大值；⑶ 对于确定的正整数1m >，写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得1，2，22，…，12m -依次为该数列中连续的项．当1500m >时，求其中一个数列的前2015项和2015S ．。
2014年复附自主招生试卷(二)
2014年复附自主招生试卷（二）一、填空题1.实数x,y满足|2x−6|+|y+1|+√(x−4)y2+x2+z2=2+2xz，则x+y−z=________【答案】-1【解析】2.若10013的分子、分母同时加上正整数n时，该分数称为整数。
这样的正整数n共有_____个。
【答案】2【解析】3+n|1001+n,∴3+n|998,∴998=2×499,3+n=499或4983.已知a2=7−3a,b2=7−3b,且a≠b,则ba2+ab2=___________【答案】−9049【解析】4. 设p 是奇数，则方程2xy =p (x +y )满足x <y 的正整数解是____________【答案】{x =p+12y =p 2+p 2 【解析】2xy −p (x +y )=0,x (2y −p )−p 2(2y −p )=p 22(2x −p )(2y −p )=p 20<x <y2x −p <2y −p{2x −p =12y −p =p 2或{2x −p =−p 22y −p =−1(舍) {x =p +12y =p 2+p 2 5. 方程x =(x −1x )12+(1−1x)12的解为____________ 【答案】√5−12 【解析】8. 如图，正方形ABCD的边长为100米，甲，乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动。
甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上。
【答案】70s【解析】追及问题0≤(√甲t+300−√乙t≤100)0≤300−3t≤1002003≤t≤100当t=2003时，第一次两人相离100米t=70010=70s9. 已知△ ABC是等边三角形，动点P、Q、R分别同时从顶点A、B、C出发，沿AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且P、Q、R经过△ABC的一边所用时间分别为1秒，2秒，3秒。
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复旦附中数学自主招生测试（2014）第1页（共1页）
2014年复旦大学附属中学自主招生测试
数学试卷
一．填空题
1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+= ▲ ． 2．已知：23a =，32b =，则
1111
a b +=++ ▲ ． 3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN = ▲ ． 4．方程
2354235
x x x x +=----的根为 ▲ ． 5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第 ▲ 象限．
6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -= ▲ ．
7．已知：222
21231001135
2001A =+++
+
，222
2
12310013572003
B =++++
，则与A B -最接近的整数是 ▲ ．
二．解答题
8．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，1112014x y xy
++=，试求x y -的最大值．
9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．
10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．
复旦附中数学自主招生测试（2014）第2页（共1页）
2014年复旦大学附属中学自主招生测试
数学试卷参考答案和评分标准
一．填空题
1．2 2．1 3．3 4．0；4
；4 5．二 6．0 7．501 二．解答题 8．解：由1112014x y xy
++= 得
112015
2014
x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 即
2014201420140xy x y ---=；
即
(2014)(2014)20142013x y --=⨯；
得：
min ()402840271x y -=-=．
9．证明：在AC 上截取'AE AE = ①如果E'和F 重合，那么
△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；
因此
AB AE BE AF CF AC =+=+=；
故
△ABC 是等腰三角形；
②如果E'和F 不重合，易知
△AOE'≌△AOF ；
于是
'OE OF =；
即
''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；
A
B
C
E
F (E')
O
第9题图①
A
B
C
E
E' O
F
第9题图②
复旦附中数学自主招生测试（2014）第3页（共1页）
由12BEC A C ∠=∠+∠，1
2AFO B C ∠=∠+∠
推出
11
()(180)22
B C A A ∠+∠=︒-∠=∠； 即
60A ∠=︒．
10．解：首先构造两个数列：
{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024； {}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．
共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数． 因此：
21n ≤．
如果21n >，则构造如下集合：
{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,
,15，…，{}1024,1025,,2014；
共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能
存在一个数是另一个数的倍数．矛盾． 故
n 的最大值为21．。