高中数学竞赛几何专题从调和点列到Apollonius圆到极线

2012暑期专题——几何（1）

从交比到调和点列到Apollonius 圆到极线极点

20XX 年10月17日结束的20XX 年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图1，锐角三角形 ABC 的外心为 O ，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．

求证：若OK ⊥MN ，则ABDC 四点共圆．

图 1

本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。本文拟系统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius 圆、极线等射影几何的重要概念及应用，抽丝剥茧、溯本求源，揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接证明。

知识介绍 定义 1 线束和点列的交比：如图2，共点于O 的四条直线被任意直线所截的有向线段比/AC BC AD BD

称为线束OA 、OC 、OB 、OD 或点列ACBD 的交比。[1] 定理1 线束的交比与所截直线无关。

图 2

证明：本文用[ABC]表示ABC 面积，则

[][]//[][]AC BC AOC BOC AOD BOD AD BD =

sin sin /sin sin sin sin /sin sin CO AOC CO COB DO AOD DO BOD

AOC COB AOD BOD ∠∠=

∠∠∠∠=∠∠ 从而可知线束交比与所截直线无关。

定义2 调和线束与调和点列：交比为-1，即AC BC AD BD

=-的线束称为调和线束，点列称为调和点列。显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束。

定理2 调和点列常见形式：（O 为CD 中点）

（1）、211D C

A A

B A =+ （2）、2*O

C O B O A =

(3)、 AC*AD=AB*AO

(4)、 AB*OD=AC*BD

证明：由基本关系式变形即得，从略。

定理3 一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行（由定义即得，证略） 定义3 完全四边形：如图3，凸四边形ABCD 各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF ，AC 、BD 、EF 称为其对角线（一般的四条直线即交成完全四边形）[2]。

定理4 完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH 、BGDI 、EHFI 分别构成调和点列。

图 3

分析：只需证EHFI 为调和点列，其余可类似证得，也可由线束的交比不变性得到。 证法一：面积法[][][][]

HE IF AEC BDF HF IE AFC BDE ⋅= [][][][][][][][]

AEC ACD BDF BEF ACD AFC BEF BDE = 1EC AD DC AF CD AF EC AD =⋅⋅=，即HE IE HF IF

=。

证法二：由Ceva 定理1=⨯⨯BE AB DA FD HF EH ，由Menelaus 定理得到1=⨯⨯BE AB DA FD IF EI ，故 HE IE HF IF

=，即EHFI 为调和点列。 定理5 完全四边形ABCDEF 中，四个三角形AED 、ABF 、EBC 、FDC 的外接圆共点，称为完全四边形的密克（Miquel ）点。

证明：设出两圆交点，证它在其余圆上即可。

D

图 4

定义4 阿波罗尼斯（Apollonius ）圆：到两定点A 、B 距离之比为定值k （01k k >≠且）的点的轨迹为圆，称为Apollonius 圆，为古希腊数学家Apollonius 最先提出并解决[2]（注：当k=1时轨迹为AB 中垂线也可看成半径为无穷大的圆）。

证明：如图4由AP=kPB ，则在AB 直线上有两点C 、D 满足,AC AD AP BC BD BP

==故PC 、PD 分别为∠APB 的内外角平分线，则CP ⊥DP ，即P 点的轨迹为以CD 为直径的圆O(O 为CD 中点)。（注：解析法亦可证得）

显然图4中ACBD 为调和点列。

定理6 在图4中，当且仅当PB ⊥AB 时，AP 为圆O 的切线。

证明：当PB ⊥AB 时∠APC=∠BPC=∠CDP 故AP 为圆O 的切线，反之亦然。

定理7 Apollonius 圆与调和点列的互推

如下三个条件由其中两个可推得第三个：

1.PC （或PD ）为∠APB 内（外）角平分线

2. CP ⊥PD

3.ACBD 构成调和点列（证略）

定义5 反演：设A 为○O （r ）平面上点，B 在射线OA 上，且满足OA*OB=r*r ，则称A 、B 以○O 为基圆互为反演点。

定理8 图4中，以Apollonius 圆为基圆，AB 互为反演点。（由定理2（2）即得。）

定义6 极线与极点：设A 、 B 关于○O （r ）互为反演点，过B 做OA 的垂线l 称为A 点对圆O 的极线；A 点称为l 的极点。[3]

定理9 当A 点在○O 外时，A 的极线为A 的切点弦。（由定理6即得。）

图 5 定理10 若A 的极线为l ，过A 的圆的割线ACD 交l 于B 点，则ACBD 为调和点列。 证明：如图5，设A 的切点弦为 PQ ，则

[][]BC QPC CP CQ AP AC AC BD QPD DP DQ AD AQ AD

==⋅=⋅=即ACBD 为调和点列。 定理11 配极定理：如图6，若A 点的极线通过另一点D ，则D 点的极线也通过A 。一般的称A 、D 互为共轭点。

证法一：几何法，作AF ⊥OD 于F ，则DFGA 共圆，得OF*OD= OG*OA =2

OI ，由定义6知AF 即为D 的极线。

图 6 证法二：解析法，设圆O 为单位圆，A （11,x y ）, D （22,x y ），A 的极线方程为111xx yy +=，由D 在其上，得21211x x y y +=，则A 在221xx yy +=上，即A 在D 的极线上。

定理12 在图6中，若A 、D 共轭，则

2222

2222AD A +D O D G +DG (G +BG )+(DG BG )

=A +D O A A A ===-的幂的幂（对圆）

证明：的幂的幂(对圆)

定义7 调和四边形：对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形。（因圆上任意一点对此