§2-6 LTI系统的零状态响应

t
2

0 t 1(右移)
1 t 2 (右移)
f1 ( )
1
f 2 (t )
0
1 t 1
t2
2
t

第三步：两信号重叠部 分相乘，求相乘后图形 的积分 t 0, f1 ( ) f 2 (t ) 0, f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d 0
h(n) ,2,3 1
x(n)
3
2 1 2 1 2 1
h(n)
3
0
3
4
n
0
1
2
3
4
n
h(n)
14
结果如上，表示为
y(n) 1, 4, 10, 14, 14, 8, 3
4 1
10 8 3
0 1 2
3 4
5 6 7
n
t 1
1
t 2, f1 ( )与f 2 (t )完全分离，f (t ) 0 以上计算结果归纳为
0 .5
f (t )
下页动画演示卷积
0
1
2
t
卷积动画
, x(t ) u (t ) u (t 1) h(t ) et u(t ) 例(复习系统法) ：设
求系统的零状态响应 y (t ) x(t ) h(t )

y(n)就是系统的零状态响应:
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
上式称为序列x(n)与y(n)的卷积和。
卷积和的运算与卷积积分类似，要注意求和限的确定 和结果序列的定义区间。 x(n) u(n) , h(n) a nu(n) 例1(复习系统法)：设

若以x(t)作用于一零状态的线性时不变系统
x(t )

LTI系统
y(t )



x()(t )d


x()h(t )d
y(t)就是系统的零状态响应。
根据系统的线性时不变性，当系统的单位冲激响应为 h(t)时，则

x() (t )d




0
1
2
3
4
m
当n=6
y(6) 1 3 3
2 1 0
h(5 m)
3
2 1 1 2
当n≥7
y ( n) 0
h(6 m)
3
2
3
4
5 6
m
1
所以
2 1 0
1
2
3
4
5 6
m
y(n) 1, 4, 10, 14, 14, 8, 3
对于这种两个短序列的卷积和，可以用称为“不进位 乘法”的方法求解。
d e
t
e d
1
t
u(t )
1
t 1
0 t
et (et e1 )u(t 1) [1 e
(t 1)
t

u( 1)u(t )
1
0
]u(t 1)
t 1
1
t

所以
y(t ) y1 (t ) y2 (t )
(1 et )u(t ) [1 e(t 1) ]u(t 1)
n
m
y (n) ( a n m )u (n) (a n a m )u (n)
m 0 m 0
n
n
1 a ( n 1) (a n )u (n) 1 1 a
a n a 1 u ( n) 1 1 a
1 a u ( n) 1 a
n 1
y (n)
求系统的零状态响应 y(n) x(n) h(n) 解：
y(n) x(n) h(n)
m
x(m)h(n m)
u (m)
1


m
u (m)a nmu (n m) a nmu (m)u (n m)

m
u (n m)
1
m
响应y(t)。
解：⑴ 求方程的齐次通解。知道特征方程与特征根如下：
2 3 2 0 所以，齐次通解设为
1 1, 2 2
yh (t ) A1et A2e2t
y p (t ) Be3t ⑵ 求对应方程自由项的一个特解。设
代入原方程
yp (t ) 3 yp (t ) 2 y p (t ) e3t

两图形分离，其乘积等 于零 0 t 1, f1 ( ) f 2 (t ) 1 0.5, f (t ) 1 0.5d 0.5t
0 t
1 t 2, f1 ( ) f 2 (t ) 1 0.5, f (t ) 1 0.5d 0.5(2 t )
x()h(t )d
所以x(t)作用于线性时不变系统的零状态响应为
y(t )

x()h(t )d
三、连续时间系统的零状态响应的求解---卷积积分
以上零状态响应的积分式，是卷积积分：

y(t )

x()h(t )d x(t ) h(t )
1、卷积积分的运算
x(t )
1 1 1
y1 (t )
1
y(t )
0
t
0
t
y2 (t )
0
1
t
0 1
1
t
四、离散时间系统的零状态响应的求解---卷积和
若以x(n)作用于一零状态的线性时不变系统
(n)
x ( n)
m
x(m)(n m)

LTI系统
h(n)
y ( n)
m
x(m)h(n m)
( t )
u( 1)
y2 (t ) u( 1)e

u(t )d
1
0
以上积分式的积分的上下限为(1~t)， 积分结果的定义区间为(1~∞)，所以后 面要乘以u(t-1)。
y2 (t ) e
1 t ( t )
u()
1
1

t0
0

t 1
h(m)
当n<0
y ( n) 0
y(0) 11 1
1
2
3
4
m
当n=0
h(1 m)
3
2 1
2 1 0
当n=1 y(1) 1 2 2 1 4
1
2来自百度文库
3
4
m
当n=2
y(2) 1 3 2 2 3 1 10
2 1
x(m)
3
0
1
2
3
4
m
当n=3
y(3) 2 3 3 2 2 1 14
3
2 1 0
h(2 m)
2 1 1 2
3
4
m
当n=4
y(4) 3 3 2 2 11 14
2 1 0
h(3 m)
3
2 1 1 2
3
4
m
h(4 m)
3
2 1
2 1 0
1
2
3
4
m
当n=5
y(5) 2 3 1 2 8
2 1
x(m)
3
如上例， x(n) {1,2,3,2,1} ,
1，2，3，2，1 × 1，2，3 --------------------------------3，6，9，6，3 2，4，6，4，2 1，2，3，2，1 --------------------------------1，4，10，14，14，8，3
解： y (t ) x(t ) h(t )

x()h(t )d
x(t )
1
0
1
t
[u() u( 1)]e(t )u(t )d

h(t )
1
y1 (t ) y2 (t )
e t
0
t

y1 (t )

u()e(t )u(t )d (1 e t )u(t )
ys(t)称为系统的稳态响应，yt(t)称为系统的瞬态响应。
二、连续时间系统的零状态响应的经典解法 系统的零状态响应可以用经典法求解。当系统方程的 右边不出现冲激及其导数时，初始条件等于起始条件，均 是0。
例如：设系统方程如下，已知激励x(t)=e-3tu(t)，求零状态
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) x(t )
1 1 a
1
n
例2：设 x(n) {1,2,3,2,1} ,
h(n) ,2,3 1
求卷积和 y(n) x(n) h(n)
解：我们先借助作图的方法，求此卷积和。
两序列的图形为：
x(n)
3
2 1 2 1 2 1
x(m)
h(n)
1
3
2
3
0
1
2
3
4
m
0
3
4
n
0
1
2
3
4
n
3
2 1 2 1 0
所以求得
1 A1 2
A2 1
于是求得系统的零状态响应
1 t 2 t 1 3t y (t ) e e e 2 2
或表示为
1 t 2 t 1 3t y (t ) ( e e e )u (t ) 2 2
我们下面介绍用卷积积分的方法，求解系统的零状态 响应。由信号的冲激分解我们知道，一连续时间信号可表 示为： x(t ) x()(t )d
01

0 .5
0
1

1
0

第二步：将函数 2 ()沿正轴平移时间 ，得f 2 (t ) f t
f1 ( )
f1 ( )
1
f 2 (t )
1
0 .5
0.5
f 2 (t )
0.5
0 .5
1
f 2 (t )
t 1
t
0

t 1
0
t

0
t 0(左移)
t 1 1
卷积积分运算有两点要注意：积分限的确定和结果函 数的定义区间。
求f1 ( t ) f 2 ( t )的步骤： 第一步：将函数 1 ( t ), f 2 ( t )的自变量用代换，并将 f f 2 ( )反转得f 2 ( ).
f1 ( ) f 2 ( ) f 2 ( )
1
0 .5
§2-4 LTI系统的零状态响应
一、系统的响应 由前述可知，系统的响应可分为：
yh (t )
y p (t )
yzs (t )
y(t ) yh (t ) y p (t )
yzi (t ) yzs (t ) yt (t ) ys (t )
y zi (t ) yt (t )
ys (t )
(9B 9B 2B)e3t e3t
所以
1 1 3t B y p (t ) e 2 2 ⑶ 确定待定系数，求全解。 y (t ) yh (t ) y p (t ) A1e A2 e
t 2t
1 3t e 2
由零状态的条件
1 A1 A2 0 2 3 A1 2 A2 0 2