§2-6 LTI系统的零状态响应
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
3
y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , t 0
2
6
3
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 2.系统的零状态响应
当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t) 产生的响应称为系统的零状态响应，用yf (t)表示。
求解系统的零状态响应yf (t)方法：
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y(t)
yh (t)
yp (t)
Ae 2t
Be 4t
1 et 3
y(0) A B 1 1
y'
(0)
2 A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
卷积法求解系统零状态响应yft推导tht????????tht????????thftf由时不变特性由均匀特性由积分特性????????????dtftf???????????dthftyfdthtfthftyf?????????????
信号与系统连续时间LTI系统的几 种响应求解方法及例题
二、卷积法
[例1] 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y" (t)+5y ' (t) +6y (t) =4f(t), t>0
系统的初始状态为y(0) = 1，y' (0) = 3， 求系统的零输入响应yx(t)。
解: 系统的特征方程为 s2 5s 6 0
系统的特征根为 s1 2，s2 3
LTI连续时间系统零状态响应的求解方法
LTI连续时间系统零状态响应的求解方法张楠;李庆华;孙明灿【摘要】目前国内很多“信号与系统”的教材中讨论了LTI连续时间系统零状态响应的一些求解方法，本文根据现有的信号与系统教材中连续时间系统零状态响应的求解方法，分别从利用冲激响应与激励的卷积、微分方程和变换域三方面求解零状态响应，并给出了实例说明了其正确性。
【期刊名称】《齐鲁工业大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2014(028)004【总页数】3页(P27-29)【关键词】零状态响应;卷积;连续系统【作者】张楠;李庆华;孙明灿【作者单位】齐鲁工业大学电气工程与自动化学院,山东济南250353;;;【正文语种】中文【中图分类】TP391.9求解线性时不变连续时间系统零状态响应是信号与系统课程中重要的知识点之一。
零状态响应的概念是初始状态为零,完全由激励产生的响应为零状态响应。
目前国内的一些从事信号与系统教学的教育工作者,也总结了一些求解方法[1-5]。
本人根据自己的教学经验,从卷积、微分方程求解和变换域出发，来讨论连续时间系统零状态解的一般方法，并给出实例证明其有效性。
1 求解方法设线性时不变连续时间系统方程如式(1)所示：yn(t)+a1yn-1(t)+…+any(t)=b0fm(t)+b1fm-1(t)+…+bmf(t)(1)式中f(t)是系统的激励信号,响应为y(t),根据零状态响应的定义,可知求零状态响应时,系统初始条件为1.1 利用冲激响应求解的方法通过系统先求出冲激响应,利用冲激响应与激励的卷积得出yzs(t)=h(t)*f(t),该方法重要的是需要先求出系统的冲激响应。
1.2 微分方程求解的方法用微分方程求解零状态响应时需要利用初始条件该方法需要利用函数的匹配,判断初始条件的跳变情况,从而得出据此得出零状态响应的系数。
1.3 变换域方法通过拉普拉斯变换,根据拉普拉斯变换和反变换,求出零状态响应。
该方法要求掌握拉普拉斯反变换的方法。
零输入响应和零状态响应
齐次解
X
第 14
页
两种分解方式的区别：
1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
c c 与 i
xi 不相同
c i 由初始状态和激励共同确定
c xi 由初始状态确定
2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
t 时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指 t
(Cte-t
)
3
d dt
(Cte-t
)
2(Cte-t
)
e-t
特解 yp (t) t et
零状态响应： yzs (t) C1et C2e2t t et
由起始状态导出初始条件
y(0 ) 0 y '(0 ) 0
y(0 ) 0 y '(0 ) 0
y(0 ) C1 y '(0 ) C1
r1(t) rzi (t) rzs (t) 2e3t sin(2t) u(t)
r2 (t) rzi (t) 2rzs (t) [e3t 2sin(2t)]u(t)
X
四.对系统线性的进一步认识
第 17
页
解得 rzi (t) 3e3tu(t) rzs (t) [e3t sin(2t)]u(t)
零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。
零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于 零），由系统的外加激励信号产生的响应。
X
二．起始状态与激励源的等效转换
第 4
页
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。
§2-1 LTI系统的零状态响应
1 2
x(τ)
1 −1 0 1
τ
τ2 t2 1 当1<t<2 y (t ) = ∫ (t − τ + 1)dτ = (tτ − + τ) t −1 = 2 − 2 2 t −1
∞
h(t − τ)
1
t − 10 t
1
t +1
τ
当t>2
y (t ) =
−∞
∫ x(τ)h(t − τ)dτ = 0
h(t − τ)
−∞
u (t − τ ) d τ
1
0
1
u (−τ)
以上积分式的积分的上下限为(1~t)，积 分结果的定义区间为(1~∞)，所以后面要乘 分结果的定义区间为(1~ (1~∞ 以u(t-1)。
t t
1
0
t =0
τ
u (t − τ)
1 t <1 0 t
y 2 (t ) = − ∫ e − ( t − τ ) d τ = − e − t ∫ e τ d τ
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
∞ ∞
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
y (t ) =
=
−∞ ∞
∫ x ( τ ) h (t − τ ) d τ =
−(t − τ)
−∞
u ( τ ) e − ( t − τ ) u (t − τ ) d τ ∫
u (τ)
1
0
x (t ) = u (t )
,
h (t ) = e − t u (t )
求系统的零状态响应 解：
y (t ) = x (t ) ∗ h (t )
因果周期信号通过LTI系统的零状态响应
Ｋｅ ｗｏ ｄ ｌｎ ａ ｎ ｉ —ｎｖ ｒａ ｔ ｓ ｓ ｅ ；ｆ ｅ ｕ ｎｃ ｏｍａｎ ａ ｌ ｓｓ：ｓ ｄ ｍ ａｎ ａ ａ ｙ ｉ ｙ ｒ ｓ：ｉ ｅ ｒ ａ ｄ ｔｍｅ ｉ ａ ｉ ｎ ｙ ｔ ｍ ｒｑ ｅ ｙｄ ｉ ｎａ ｙ ｉ — ｏ ｉ ｎ ｌ ｓｓ
摘 要 ： 文讨 论 了 因果 正 弦 信 号 或 因 果 周 期 信 号 通 过线 性 时不 变 系统 的零 状 态 响 应 。 用 频 域 分 析技 术 分 析 了单 个 因果 正 弦 信 号通 过 线 性 时 本
不 变 系 统 的零 状 态 响应 和 因果 周 期 信 号 通 过 窄 带 滤 波 器 的稳 态 响应 ； 同时 用 Ｓ 分 析 技 术 分 析 了 因 果 周 期信 号通 过 宽 带 滤 波 器 的稳 态 响 应 和 域 暂 态 响 应 。 给 出 的计 算 方 法 有 益 于 过 线 性 时 不 变 系 统 时 引起 的变 化 。
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｅ ｏ ｓ ａ ｅ ｒ ｓ ｏ ｓ ｆａ ｌ ｅ ｒｔｍｅ ｉ ｖ ｒａ ｔ（ ｓｒ ｃ ： ｅ ｚ ｒ － ｔ ｔ ｅ ｐ ｎ ｅ ｏ ｉ ａ ｉ －ｎ ａ ｉｎ ＬＴＩ ｙ ｔ ｍ ａ ｓ ｄ ｂ ａ ｓ ｌｓｎ ｓ ｉ ａ ｉ－ ｎ ）ｓ ｓ ｅ ｐ ｓ ｅ ｙ ａｃ ｕ ａ ｉ ｕ ｏ ｄ ｌ ｇ ｓ
经 典 教材往 往 未能对 因果 正 弦信号 或 因果周 期
ｓ ｕｄ ｎｔ ｏ ｕｎ ｅ ｓ ａ ｈｅ ｃ ｎ ｈ ｎ ａ ｃ ｕｓ ｌｓｎｕｓ ｉ ａ ｉ ｎａ ｒａ ｃ ｕ ａ ｅ ｉ ｄｉ ｉ ａ ｓ ｅ ｎ ＬＴ Ｉ ｔ ｅ ｓ ｔ ｄ ｒ ｔ ｎｄ ｔ ｈａ ｇｅ ｗ ｅ ａ ａ ｉ ｏ ｄ ｌｓｇ ｌｏ ａ ｓ ｌｐ ｒｏ ｃ ｓｇｎ ｌｐａ ｓ ｓ ａ
离散时间LTI系统零状态响应
x[k]* h[n] ( x[n])* h[k] y[n]
n
n
n
3. 卷积和的性质
[例]
计算
x[k]
{1,
0,
2,
4}与
h[k]
{1,
4,
5,
3}的卷积和。
解: x[k] [k 2] 2[k] 4[k 1]
利用分配律和位移特性
x[k]*h[k] {[k 2] 2[k] 4[k 1]}*h[k]
x[1] h[1]
x[1] h[2]
x[1] h[3]
对角斜线上各数值就 是 x[n]h[k－n]的值。
x[ 2 ] x[2] h[0]
x[ 3 ] x[3] h[0]
x[2] h[1] x[3] h[1]
x[2] h[2] x[3] h[2]
x[2] h[3] x[3] h[3]
对角斜线上各数值的 和就是y[k]各项的值。
h[k] h [ n ] 1
解：
n
n
0
3
k
02
k
y[k]
综上可知： 3
2 1
k 0 1 2 3 4 56
h[-n] 1
-2 0
n
两个信号的卷积和，卷积和结果仍为一个信号。该信号的起点 等于那两个信号起点之和，终点等于那两个信号的终点之和。
2. 卷积和的计算
列表法: 设x[k]和h[k]都是因果序列，则有
2. 卷积和的计算
[例]
计算x [ k ]
{1,
2,
0,
3,
2}
与h [ k ]
{1,
4,
2,
3 } 的卷积和。
解:
h [ -1 ] 1
LTI连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应
2.1 LTI连续系统的模型 2.2 LTI连续系统的响应 2.3 冲激响应与阶跃响应 2.4 卷积与零状态响应
2.1 LTI连续系统的模型
2.1.1 LTI连续系统的数学模型 2.1.2 LTI连续系统的框图
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2.1.1 LTI连续系统的数学模型
对于任意一个线性时不变电路，当电路结构 和组成电路的元件参数确定以后， 根据元件的伏安关系和基尔霍夫定律，可以 建立起与该电路对应的动态方程。
yzi (t) Aie pit
i1
（2）当特征根中含有重根，其他为单根时， 零输入响应的一般形式为：
k
N
yzi (t) e p1t Ait (i1)
Aje pjt
i1
jk 1
表2-1 零输入响应形式对照表
2S
1F
1
10 V
8V
1H
i (t)
2
图2-6 例2-14图
y(t)
h2 (t)
图2-18 两个子系统并联
2.4.4 卷积的性质
3．结合律
[ f1 (t) f 2 (t)] f3 (t) f1 (t) [ f 2 (t) f3 (t)]
4．卷积的微分与积分
2.4.4 卷积的性质
5． (t) 与任意信号的卷积
f (t) (t) f (t)
iL (0 )
vC (0 )
iC (0 )
1
1
iL (0 )
y(0 )
图2-4 0-等效电路
图2-5 0+等效电路
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2.2.2 零输入响应与零状态响应
1．零输入响应 2．零状态响应
§2-6 LTI系统的零状态响应
所以求得
1 A1 2
A2 1
于是求得系统的零状态响应
1 t 2 t 1 3t y (t ) e e e 2 2
或表示为
1 t 2 t 1 3t y (t ) ( e e e )u (t ) 2 2
我们下面介绍用卷积积分的方法，求解系统的零状态 响应。由信号的冲激分解我们知道，一连续时间信号可表 示为： x(t ) x()(t )d
h(n) ,2,3 1
x(n)
3
2 1 2 1 2 1
h(n)
3
0
3
4
n
0
1
2
3
4
n
h(n)
14
结果如上，表示为
y(n) 1, 4, 10, 14, 14, 8, 3
4 1
10 8 3
0 1 2
3 4
5 6 7
n
(9B 9B 2B)e3t e3t
所以
1 1 3t B y p (t ) e 2 2 ⑶ 确定待定系数，求全解。 y (t ) yh (t ) y p (t ) A1e A2 e
t 2t
1 3t e 2
由零状态的条件
1 A1 A2 0 2 3 A1 2 A2 0 2
1 1 a
1
n
例2：设 x(n) {1,2,3,2,1} ,
h(n) ,2,3 1
求卷积和 y(n) x(n) h(n)
解：我们先借助作图的方法，求此卷积和。
两序列的图形为：
x(n)
3
2 1 2 1 2 1
x(m)
h(n)
1
连续LTI系统零状态响应求解方法的分析
连续LTI系统零状态响应求解方法的分析张淑敏【摘要】【摘要】零状态响应是电子技术相关课程中的一个重要概念，本文将通过对时域分析法和（复）频域分析法求解连续LTI系统零状态响应的分析，着重讨论卷积法在（复）频域分析中的应用及优越性。
首先概述每种方法的基本求解原理，然后通过实例说明具体求解中的优点、不足，有助于我们加深对每种方法的理解与掌握。
【期刊名称】科技展望【年(卷),期】2014(000)020【总页数】2【关键词】【关键词】时域分析（复）频域分析卷积目前电子技术和集成电路正在迅速发展，在电子等专业领域，对信号和系统的学习十分必要，而在信号与系统分析中，线性时不变系统的零状态响应的分析尤为重要并更具现实意义，因此应该摆在学习的重要位置上。
1 连续时间信号与系统1.1 连续时间信号信号是信息的物理表现形式，是传输各种消息的工具。
连续时间信号是指在连续时间点上均有意义的信号，又称模拟信号。
1.2 连续时间系统系统是处理或变换信号的物理设备，是由若干相互联系，相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体。
若系统中各个子系统的输入、输出均为连续时间信号，即系统处理的是连续时间信号，则称此系统为连续时间系统。
2 零状态响应系统的响应是指当给系统输入某信号时，系统将得到相应的输出信号。
将这一动作称为系统对输入的响应。
零状态响应是指在初始状态为零的条件下，系统由外加输入（激励）信号引起的响应。
又称为受迫响应。
一般用yzs(t )来表示3 连续LTI系统零状态响应的分析方法连续线性时不变系统指具有线性性质和时不变性质的连续系统。
用LTI表示。
所谓线性性质是指系统的输入信号与输出信号之间呈线性关系。
例如:假设系统输入信号x1(t)得到输出y1(t)，输入信号x2(t)得到输出y2(t)，那么当输入信号为a x1(t)+b x2(t)时将得到输出为a y1(t)+by2(t)。
所谓时不变性是指系统的输出波形与输入的起始作用时刻无关。
§2-6 LTI系统的单位冲激响应
h′(t ) + 2h(t ) = δ(t )
⑴ 求特征根，确定齐次通解。
α+2=0
α = −2
−2 t
hh (t ) = Ae u (t )
⑵ 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。 比较以上方程两边可见， ′(t ) 中应有强度为1的冲激，而 h(t )中 h 没有冲激存在，否则h′(t ) 中将有冲激的导数出现。因此，h(t ) 中没 有特解出现。
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
⑶ 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响应。
hh (0 + ) = B0 = −1 = A
所以
h(t ) = h p (t ) + hh (t )
= δ(t ) − e −2t u (t )
一般的，对于如下形式的微分方程
N k =0 M k =0
《Signals & systems》 systems》 大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
所以
h(t ) = hh (t ) = Ae u (t )
因为
0+ 0+
−2 t
h (0 + ) =
−∞
∫ h′(t )dt
=
−∞
∫ δ(t )dt = 1
所以
A1 = 2
A2 = −1
h(t ) = ( 2e − t − e −2t )u (t )
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《信号与系统》 信号与系统》
第一节 LTI离散系统的响应
Cx1 1, Cx 2 2 yx k 1 2 2 k
k k
yx 1 y1 0, yx 2 y 2 1 2
•
• 代入k ≥0 的初始条件 ∵ y f 1 0, y f 2 0迭代出 y f 0, y f 1 k k k 1 1 , C 1 y k 1 2 2 k • 由它们定出系数C f 1 1 f2 f 3 3 3 • <3>系统的全响应：
•
α为r重特征根 P k r k P k r 1 k P k r r 1 0
P cos k Q sin k A cosk f k cos k 或 sin k 所有特征根不为 e j ， 单根 n k 3.全解： yk y k y k C y k 由初始条件定系数。
解：齐次解：
1 1 1 y k C C 2 5 1 0 1 1 , h 1 2 2 3 2 2 3 k k Q sin 特解： 由输入 y p k P cos 代入方程得：P=Q=1 k k
k k 求全解 2
h p
n
m
• 1.齐次解： 由特征方程 特征根，再由特征根的形式定出齐次解的形式。 • yh k 的形式 单根： yh k Ck yh k Cr 1k r 1k Cr 2k r 2k C0k • 重根： yh k k C cosk D sink 或 A k cosk • 一对共轭： 其中共轭根： 1,2 a jb e j • r重共轭根，形式如书。 • 2.特解：由输入形式定特解的形式。 m m1 k P k P0 • f k k m 所有特征根部不为1 P m m1 m m1 • 有r重为的特征根 K r P k P k P m m1 0 k • α 不为特征根 P k k k • f k a α 为单特征根 P k P 1 0
离散时间LTI系统的零输入响应
主讲人：陈后金电子信息工程学院离散时间LTI系统的零输入响应◆零输入响应的定义◆零输入响应的形式◆零输入响应的求解1.零输入响应的定义][0=-∑=i k y a i n i 数学模型:输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的响应称为零输入响应，记为。
][zi k y(1)特征根是不等实根r 1, r 2, ⋯, r n(2)特征根是相等实根r 1=r 2=⋯=r n (3)特征根是成对共轭复根0j 2,1e j Ωρ±=±=b a r k nn k k r C r C r C k y +++= 2211zi ][k n n k k r kC kr C r C k y 121zi ][-+++= k ΩC k ΩC k y k k 0201zi sin cos ][ρρ+=2.零输入响应的形式零输入响应y zi [k ]的形式求解过程第一步：求出差分方程对应的特征根；第二步：根据特征根确定零输入响应的形式；第三步：将初始状态代入零输入响应表示式，解出待定系数即得到零输入响应。
[例]离散LTI 系统差分方程为y [k ]+3y [k －1]+2y [k －2]=x [k ],k ≥0，初始状态为y [－1]=0，y [－2]= 1/2，求系统零输入响应y zi [k ]。
解：系统的特征方程为系统的特征根为C 1=1，C 2－2232=++r r 2,121-=-=r r zi 12[](1)(2)k ky k C C =-+-2141]2[021]1[2121=+=-=--=-C C y C C y 0)2(2)1(][z i ≥---=k k y kk （两不等实根）某离散LTI 系统的差分方程式为:y [k ]+4y [k －1]+4y [k －2]=x [k ]初始状态为y [－1]=0，y [－2]= 1/2，求系统的零输入响应y zi [k ]。
解：系统的特征方程为系统的特征根为C 1= C 2= -20442=++r r 221-==r r k k C k C k y )2()2(][21zi -+-=022]1[21=-=-C C y 2142]2[21=+-=-C C y 0,)2(2)2(2][zi ≥----=k k k y kk （两相等实根）[例]系统的特征根为222=++r r j r j r --=+-=1,121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k C k C k y k 43πsin 43πcos 2][21zi 0]1[21=--=-C C y 2/12/]2[2==-C y 0],43πsin 43πcos [2][zi ≥+-=k k k k y k某离散LTI 系统的差分方程式为:y [k ]+2y [k －1]+2y [k －2]=x [k ]初始状态为y [－1]=0，y [－2]= 1/2，求系统的零输入响应y zi [k ]。
lti连续时间系统零状态响应的求解方法
lti连续时间系统零状态响应的求解方法1. 介绍在连续时间系统的分析中，零状态响应是指某个系统在初始状态为零的情况下，接收到某个输入信号后的输出响应。
在实际问题中，求解零状态响应是一个重要的任务，本文将介绍lti连续时间系统零状态响应的求解方法。
2. 基本思路求解lti连续时间系统的零状态响应的基本思路是将系统输入分解成一组基函数，然后根据基函数的性质求解对应的输出响应，最后将所有响应按照线性叠加原理相加得到系统的总输出响应。
在lti连续时间系统中，常用的基函数包括单位脉冲响应、单位阶跃响应和正弦信号等。
3. 单位脉冲响应法单位脉冲响应法是求解lti连续时间系统零状态响应的常用方法。
具体方法是将系统的初始状态设置为零，输入信号为单位脉冲函数，然后求解系统对单位脉冲函数的响应，得到系统的单位脉冲响应ht(t)，最后将ht(t)与输入信号进行卷积计算，得到系统的零状态响应y(t)。
如下图所示：其中，δ(t)表示单位脉冲函数，ht(t)表示系统的单位脉冲响应，x(t)表示系统的输入信号，y(t)表示系统的零状态响应。
4. 单位阶跃响应法单位阶跃响应法也是求解lti连续时间系统零状态响应的一种常用方法。
具体方法是将系统的初始状态设置为零，输入信号为单位阶跃函数，然后求解系统对单位阶跃函数的响应，得到系统的单位阶跃响应h(t)，最后将h(t)与输入信号进行卷积计算，得到系统的零状态响应y(t)。
如下图所示：其中，u(t)表示单位阶跃函数，h(t)表示系统的单位阶跃响应，x(t)表示系统的输入信号，y(t)表示系统的零状态响应。
5. 正弦信号法除了单位脉冲响应法和单位阶跃响应法之外，还可以利用正弦信号作为基函数进行求解。
正弦信号法的基本思路是将输入信号分解成一组正弦信号，并求解系统对每个正弦信号的响应，最后将所有响应按照线性叠加原理相加得到系统的总输出响应。
第二章-LTI系统
y h ( t ) A1e t A2 e 2 t
⑵ 求方程对应自由项的特解，即受迫响应。 方程的自由项
dx (t ) 4 x (t ) (t ) e 3 t u (t ) dt
于是令t>0时特解
y p ( t ) Be 3 t
dy p ( t ) dt
将其代入方程左边，并使方程在t>0时平衡
⑵ 由起始条件确定待定常数，即求出零输入响应。 y(0 ) 0 A1
y(0 ) 1 A1 A2
或者可求得
A1 0
A2 1
C 1 , 0
d 2 y (t ) dy (t ) dx (t ) 3 2 y (t ) 4 x (t ) 2 dt dt dt
且已知
x (t ) e 3 t u (t )
y(0 ) y(0 ) 1
试求t>0时的系统响应y(t)。 解：⑴ 求一个方程的齐次通解。 由于方程左边与上例相同，它的齐次通解形式与上例相同：
微分方程的特解形式
方程自由项的形式
E（常数）
tk e t
cos t sin t
k
方程特解的形式
B （常数）
B k t B k 1t
k 1
B 1t B 0
k
i0
B it i
Be t
B1 cos t B2 sin t C cos(t ) D sin(t )
所以求得
7 A1 2
A2 3
最后，当t>0时系统的全响应
7 t 1 3t 2t y ( t ) e 3e e 2 2
或表示为：
7 t 1 3t 2t y ( t ) ( e 3e e ) u ( t ) 2 2
§2-2 LTI系统的零输入响应
y(0 ) 0
y(0 ) 1
解、⑴ 求系统的特征根，并写出其齐次通解。 系统的特征方程为： 2 2 2 0 特征根为：
1,2 1 j
系统的齐次通解为： y(t ) et ( A1 cost A2 sin t )
Bet cos(t ) Ce sin(t )
n n n
式中的待定系数，有n<0时的起始条件确定。
2 A1 3 A2 1 4 A1 9 A2 1 A1 1
1 A2 3
所以系统的零输入响应为：
1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 y ( n) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 3
离散时间系统零输入响应也是齐次解的形式。当系统 的特征根αk为单根，其形式为：
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 0
y(0 ) 0
y(0 ) 1
解、⑴ 求系统的特征根，并写出其齐次通解。
系统的特征方程为： 2 3 2 0 特征根为： 1 1 , 2 2 系统的齐次通解为： y(t ) A1et A2e2t
二、连续时间系统零输入响应的求解
此时系统方程为
d y(t ) ak dtk 0 k 0
即系统方程为齐次方程，其解应该是齐次解。解中的待定 系数起始状态确定。 由于没有输入作用于系统，系统在t=0时刻状态不会发 生改变，此时t=0-与t=0+的状态应该是相同的。
N
k
例1、设系统方程与起始条件如下，试求系统的响应y(t)。
⑵ 由起始条件确定待定常数，即求出零输入响应。
y(0 ) 0 A1 A2 y(0 ) 1 A1 2 A2
LTI连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应
vC (0 )
i(0 )
vL zi (0 )
2
图2-7 零输入条件下的等效电路
2．零状态响应
所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统
的初始状态为零，即 y(0 ) y (1) (0 )
y (n1) (0 ) 0
仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状
态响应。
1．系统的初始状态
根据各电容及电感的状态值能够确定在 t 0
时刻系统的响应及其响应的各阶导数
( y(0 ) k 1, 2 , , n 1)
称这一组数据为该系统的初始状态。
2．系统的初始值
一般情况下，由于外加激励的作用或系统内 部结构和参数发生变化，使得系统的初始值与 初始状态不等，即：
1．全响应分解为零输入响应与零状态响应 2．全响应分解为自由响应与强迫响应 3．全响应分解为暂态响应与稳态响应
1．全响应分解为零输入响应与零状态响应
全响应可以分解为零输入响应 yzi (t) 与零状
态响应 yzs (t) 之和，即：
y(t) yzi (t) yzs (t)
2．全响应分解为自由响应与强迫响应
2.3.1 冲激响应
1．由系统的微分方程求解冲激响应 系统的一般微分方程为：
y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y (1) (t) a0 y(t) bm x (m) (t) bm1 x (m1) (t) b1 x (1) (t) b0 x(t)
y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y (1) (t) a0 y(t) 0
该式为齐次微分方程，其特征方程为：
s N an1s N 1 a1s a0 0
2020年智慧树知道网课《信号与系统(山东联盟-山东师范大学)》课后章节测试满分答案
第一章测试1【判断题】(10分)正弦连续函数一定是周期信号A.对B.错2【判断题】(10分)正弦离散函数一定是周期序列。
A.错B.对3【判断题】(10分)余弦连续函数一定是周期信号。
A.错B.对4【判断题】(10分)余弦离散序列一定是周期的A.对B.错5【判断题】(10分)两个离散周期序列的和一定是周期信号。
A.对B.错6【判断题】(10分)两个连续周期函数的和一定是周期信号。
A.对B.错7【判断题】(10分)两个连续正弦函数的和不一定是周期函数。
A.对B.错8【判断题】(10分)取样信号属于功率信号。
A.对B.错9【判断题】(10分)门信号属于能量信号。
A.错B.对10【判断题】(10分)两个连续余弦函数的和不一定是周期函数。
A.错B.对第二章测试1【判断题】(10分)微分方程的齐次解称为自由响应。
A.对B.错2【判断题】(10分)微分方程的特解称为强迫响应。
A.错B.对3【判断题】(10分)微分方程的零状态响应是稳态响应的一部分A.对B.错4【判断题】(10分)微分方程的零输入响应是稳态响应的一部分A.对B.错5【判断题】(10分)微分方程的零状态响应包含齐次解部分和特解两部分。
A.错B.对6【判断题】(10分)微分方程的零状态响应中的特解部分与微分方程的强迫响应相等。
A.错B.对7【判断题】(10分)对LTI连续系统，当输入信号含有冲激信号及其各阶导数，系统的初始值往往会发生跳变。
A.对B.错8【判断题】(10分)对线性时不变连续系统，当输入信号含有阶跃信号，系统的初始值往往会发生跳变A.对B.错9【判断题】(10分)冲激函数匹配法是用于由零负初始值求解零正初始值。
A.对B.错10【判断题】(10分)LTI连续系统的全响应是单位冲激响应与单位阶跃响应的和。
A.对B.错第三章测试1【判断题】(10分)LTI离散系统的响应等于自由响应加上强迫响应。
A.错B.对2【判断题】(10分)LTI离散系统的响应等于齐次解加上零状态响应的和。
连续时间LTI系统零状态响应
[例] 计算 x(t) * h(t), x(t) etu(t), h(t) u(t)
解：由卷积定义
x(t) h(t) x( )h(t )d e u( )u(t )d
由u( )u(t ) 得到
t 0
e d 1 et ,
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
连续时间LTI系统的零状态响应
系统零状态响应 卷积积分的计算 卷积积分的性质
1. 系统零状态响应
若输入信号为x(t)，连续时间LTI系统的冲激响应为h(t）， 则系统的零状态响应yzs(t)为：
yzs(t) x(t) h(t) x( )h(t )d （卷积）
※ 微分特性： x(t) * '(t) = x '(t)
※ 积分特性： x(t) u(t) t x( )d x(1)(t)
3. 卷积积分的性质
[例] 计算三角波x1(t)与周期冲激串信号~x2 (t)当T=2和T=1时的卷积。
x(t)
~x2 (t)
1
(1)
1 0
1
t
t
[例] 利用等效特性，计算y(t) = x(t) * h(t)。
解:
x(t )
h(t)
1
1
t
0
1
0
x '(t) = (t) － (t－1)
t 2
h(t) h(t 1)
1
23 t
0
1
1
y(t)
y' (t)=x '(t) * h(t)= h(t) －h(t－1)
t
y(t) [h(t) h(t 1)]dt
LTI系统中零状态响应两种时域解法的难点与研究
ＬＴＩ系统中零状态响应两种时域解法的难点与研究作者：随文杰来源：《硅谷》2008年第16期[摘要]零状态响应是电子技术相关理论课程中的一个重要概念，通过对卷积法和经典法求解线性时不变（LTI）系统零状态响应的叙述，着重讨论卷积法中求冲激函数的一种便捷方法算子法和经典法求特解时一般文献中没有涉及的一种情况的分析，起到对相关理论进行完善的作用。
首先概述每种方法的基本求解原理，然后通过实例说明具体求解中的难点，易错点，有助于我们加深对两种时域系统分析方法的理解与掌握，也对本课程教师讲解时域中零状态相应求解具有一定的参考价值。
[关键词]冲激响应算子法求解方法经典法中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1671－7597(2008)0820125－02零状态响应是指不考虑起始时刻储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应，用表示。
零状态响应是电子技术相关理论课程中一个十分重要的概念，在线性时不变LTI（Linear and Time Invariant）系统的分析中有着重要作用，是更进一步求解系统完全响应的桥梁。
本文将结合在时域分析中实际求解零状态响应两种方法的深入研究，并以实例说明每种方法具体求解过程中的难点。
一、卷积求解法卷积积分的定义来源于信号的分解，为了求解在任意激励下通过LTI系统的零状态响应，可以把输入的激励函数分解为一系列具有不同强度(幅度)和不同时延的基本信号，然后再让这些基本信号一一通过系统，根据线性时不变的特性进行响应的合成，就可以得到系统的零状态响应。
其物理意义是：对信号分解成冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，求解零状态响应。
实际运用中多用卷积，这里只研究用冲激函数求解的方法。
由此可知：冲激响应h（t）是利用卷积积分进行系统时域分析的重要基础，所以，对冲激响应的运用自如并懂得它的计算方法是至为重要的。
本文只针对求冲激响应的一种简便方法进行详细分析，具体卷积积分的过程就不再赘述。
§2.2 LTI连续系统的响应
§2.2 LTI连续系统的响应通信与信息工程学院 江帆一．物理系统的模型•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
二．微分方程的列写•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。
例如二端元 件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL.三．n阶线性时不变系统的描述一个线性系统，其激励信号e(t )与响应信号r (t )之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述d n r (t ) d n −1 r ( t ) d r (t ) + C1 + L + C n −1 + C nr (t ) C0 n n −1 dt dt dt d m e( t ) d m −1 e ( t ) d e( t ) = E0 + E1 + L + E m −1 + E m e( t ) m m −1 dt dt dt若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。
阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
四．求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
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1 1 1
y1 (t )
1
y(t )
0
t
0
t
y2 (t )
0
1
t
0 1
1
t
四、离散时间系统的零状态响应的求解---卷积和
若以x(n)作用于一零状态的线性时不变系统
(n)
x ( n)
m
x(m)(n m)
LTI系统
h(n)
y ( n)
m
x(m)h(n m)
y(n)就是系统的零状态响应:
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
上式称为序列x(n)与y(n)的卷积和。
卷积和的运算与卷积积分类似，要注意求和限的确定 和结果序列的定义区间。 x(n) u(n) , h(n) a nu(n) 例1(复习系统法)：设
求系统的零状态响应 y(n) x(n) h(n) 解：
y(n) x(n) h(n)
m
x(m)h(n m)
u (m)
1
m
u (m)a nmu (n m) a nmu (m)u (n m)
m
u (n m)
1
m
如上例， x(n) {1,2,3,2,1} ,
1，2，3，2，1 × 1，2，3 --------------------------------3，6，9，6，3 2，4，6，4，2 1，2，3，2，1 --------------------------------1，4，10，14，14，8，3
t 1
1
t 2, f1 ( )与f 2 (t )完全分离，f (t ) 0 以上计算结果归纳为
0 .5
f (t )
下页动画演示卷积
0
1
2
t
卷积动画
, x(t ) u (t ) u (t 1) h(t ) et u(t ) 例(复习系统法) ：设
求系统的零状态响应 y (t ) x(t ) h(t )
响应y(t)。
解：⑴ 求方程的齐次通解。知道特征方程与特征根如下：
2 3 2 0 所以，齐次通解设为
1 1, 2 2
yh (t ) A1et A2e2t
y p (t ) Be3t ⑵ 求对应方程自由项的一个特解。设
代入原方程
yp (t ) 3 yp (t ) 2 y p (t ) e3t
若以x(t)作用于一零状态的线性时不变系统
x(t )
LTI系统
y(t )
x()(t )d
x()h(t )d
y(t)就是系统的零状态响应。
根据系统的线性时不变性，当系统的单位冲激响应为 h(t)时，则
x() (t )d
1 1 a
1
n
例2：设 x(n) {1,2,3,2,1} ,
h(n) ,2,3 1
求卷积和 y(n) x(n) h(n)
解：我们先借助作图的方法，求此卷积和。
两序列的图形为：
x(n)
3
2 1 2 1 2 1
x(m)
h(n)
1
3
2
3
0
1
2
3
4
m
0
3
4
n
0
1
2
3
4
n
3
2 1 2 1 0
( t )
u( 1)
y2 (t ) u( 1)e
u(t )d
1
0
以上积分式的积分的上下限为(1~t)， 积分结果的定义区间为(1~∞)，所以后 面要乘以u(t-1)。
y2 (t ) e
1 t ( t )
u()
1
1
t0
0
t 1
所以求得
1 A1 2
A2 1
于是求得系统的零状态响应
1 t 2 t 1 3t y (t ) e e e 2 2
或表示为
1 t 2 t 1 3t y (t ) ( e e e )u (t ) 2 2
我们下面介绍用卷积积分的方法，求解系统的零状态 响应。由信号的冲激分解我们知道，一连续时间信号可表 示为： x(t ) x()(t )d
h(m)
当n<0
y ( n) 0
y(0) 11 1
1
2
3
4
m
当n=0
h(1 m)
3
2 1
2 1 0
当n=1 y(1) 1 2 2 1 4
1
2
3
4
m
当n=2
y(2) 1 3 2 2 3 1 10
2 1
x(m)
3
0
1
2
3
4
m
当n=3
y(3) 2 3 3 2 2 1 14
两图形分离，其乘积等 于零 0 t 1, f1 ( ) f 2 (t ) 1 0.5, f (t ) 1 0.5d 0.5t
0 t
1 t 2, f1 ( ) f 2 (t ) 1 0.5, f (t ) 1 0.5d 0.5(2 t )
3
2 1 0
h(2 m)
2 1 1 2
3
4
m
当n=4
y(4) 3 3 2 2 11 14
2 1 0
h(3 m)
3
2 1 1 2
3
4
m
h(4 m)
3
2 1
2 1 0
1
2
3
4
m
当n=5
y(5) 2 3 1 2 8
2 1
x(m)
3
01
0 .5
0
1
1
0
第二步：将函数 2 ()沿正轴平移时间 ，得f 2 (t ) f t
f1 ( )
f1 ( )
1
f 2 (t )
1
0 .5
0.5
f 2 (t )
0.5
0 .5
1
f 2 (t )
t 1
t
0
t 1
0
t
0
t 0(左移)
t 1 1
解： y (t ) x(t ) h(t )
x()h(t )d
x(t )
1
0
1
t
[u() u( 1)]e(t )u(t )d
h(t )
1
y1 (t ) y2 (t )
e t
0
t
y1 (t )
u()e(t )u(t )d (1 e t )u(t )
n
m
y (n) ( a n m )u (n) (a n a m )u (n)
m 0 m 0
n
n
1 a ( n 1) (a n )u (n) 1 1 a
a n a 1 u ( n) 1 1 a
1 a u ( n) 1 a
n 1
y (n)
d e
t
e d
1
t
u(t )
1
t 1
0 t
et (et e1 )u(t 1) [1 e
(t 1)
t
u( 1)u(t )
1
0பைடு நூலகம்
]u(t 1)
t 1
1
t
所以
y(t ) y1 (t ) y2 (t )
(1 et )u(t ) [1 e(t 1) ]u(t 1)
0
1
2
3
4
m
当n=6
y(6) 1 3 3
2 1 0
h(5 m)
3
2 1 1 2
当n≥7
y ( n) 0
h(6 m)
3
2
3
4
5 6
m
1
所以
2 1 0
1
2
3
4
5 6
m
y(n) 1, 4, 10, 14, 14, 8, 3
对于这种两个短序列的卷积和，可以用称为“不进位 乘法”的方法求解。
ys(t)称为系统的稳态响应，yt(t)称为系统的瞬态响应。
二、连续时间系统的零状态响应的经典解法 系统的零状态响应可以用经典法求解。当系统方程的 右边不出现冲激及其导数时，初始条件等于起始条件，均 是0。
例如：设系统方程如下，已知激励x(t)=e-3tu(t)，求零状态
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) x(t )
h(n) ,2,3 1
x(n)
3
2 1 2 1 2 1
h(n)
3
0
3
4
n
0
1
2
3
4
n
h(n)
14
结果如上，表示为
y(n) 1, 4, 10, 14, 14, 8, 3
4 1
10 8 3
0 1 2
3 4
5 6 7
n
(9B 9B 2B)e3t e3t
所以
1 1 3t B y p (t ) e 2 2 ⑶ 确定待定系数，求全解。 y (t ) yh (t ) y p (t ) A1e A2 e