2015年安徽省淮北市高三一模数学理含答案

淮北市2015届高三第一次模拟考试
数学试题 （理科） 2015.1.24
考生注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。

考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。

2. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。

3．考生务必在答题卷上答题，考试结束后交回答题卷。

第I 卷 (选择题 共50分)
一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）
1.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x y i ++的值为（ ）。

A ．4
B ． 4-
C ． 44i +
D ．2i 2.已知n X m log =，则1>mn 是1>X 的（ ）。

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 3. 已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（ ） A.
2 B.
212- C. 1 D. 4
3
3 4. 等差数列{}n a 有两项m a 和()k a m k ≠，满足11
,m k a a k m
=
=，则该数列前mk 项之和为 ( ) A. 12mk - B 2
mk C 12mk + D 12mk
+ 5.下列命题正确的是（ ） A.函数)32sin(π
+
=x y 在区间)6,3(π
π-
内单调递增
B.函数x x y 4
4sin cos -=的最小正周期为π2
C.函数)3
cos(π+=x y 的图像是关于点)0,6(π
成中心对称的图形
D.函数)3
tan(π
+
=x y 的图像是关于直线6
π
=
x 成轴对称的图形
6.已知实数x ，y 满足20
0,0x y x y y k +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
设y x m +=，若m 的最大值为6，则m 的最小值为（ ）
A ．—3
B ．—2
C ．—1
D ．0
7. 某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A ．34种
B ．48种
C ．96种
D ．144种
8. 若函数)(x f 的导函数是34)(2+-='x x x f ，则函数)()(x
a f x g = (0<a<1)的单调递减区间是( )
A 、 []0,3log a ，[)+∞,1
B 、(]),0[,3log ,+∞∞-a
C 、[]
a a ,3 D 、[]1,3log a
9. 若对任意[]5,0∈x ，不等式x n x
x m 514241+≤+≤+
恒成立，则一定有（ ） A ． 31,21-≥≤n m B ．31,21-≥-≤n m C ．31,21≥-≤n m D ．3
1
,21->-<n m
10.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ,满足：CB n CA m CO +=,234=+n m 34=6=,
则=∙( )
A. 36
B. 24
C. 243
D. 312 二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值 为
12. 在5
2512⎪⎭⎫ ⎝⎛
-x x 的二项展开式中，x 的系数为
13．已知),0(,,,,+∞∈≠∈+
y x n m R n m ，则有y
x n m y n x m ++≥
+2
22)(，且当y
n
x m =时等号成立，利用此结论，可求函数x x x f -+=
1334)(，)1,0(∈x 的最小值为
14. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AD 、CC 1的中点，O
为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则三棱锥O-MNB 的体积是 。

15. 称离心率为e =22221(0,0)x y a b a b -=>>为黄金双曲线．如图是双曲线
22
221(0,0,x y a b c a b
-=>>=的图象，给出以下几个说法：
①双曲线22
1
x =是黄金双曲线；
②若2
b a
c =，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1（0，b ）， B 2（0，-b ）且∠F 1B 1A 2=90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON=90°，则该双 曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为
三、解答题（共75分，请写出详细解答过程） 16. （本题满分12分） 已知函数)(x f =sin （2x+6
π
）+ cos 2x ． （1）求函数)(x f 的单调递增区间。

（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知f （A ）=
2
，a=2，B=3π，求△ABC
的面积．
17.（本题满分12分）如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且OM ∥AC .
(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ； (2)求证：平面P AC ⊥平面PCB ；
(3)设二面角M －BP －C 的大小为θ，求cos θ的值．
18. （本题满分12分）
近年来空气污染是一个生活中重要的话题， PM2．5就是其中一个指标。

PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标． 淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示． （1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；
（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天
空气质量恰好有一天为一级的概率； （3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分
布列及期望．
19. （本题满分12分）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a >b >0)的上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2,且椭圆C
过点P (43，b
3
)，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
20. （本题满分13分）
已知数列}{n a 满足)()1(2,1*11N n a a a n n n ∈-+==+. （1）若3
1
12-
=-n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列并求其通项公式； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）求证：11a +21a +…+
n
a 1
3<.
21. （本题满分14分）已知函数()()(),ln x
g x f x g x ax x
==-. （1）求函数()g x 的单调区间；
（2）若函数()()1,f x +∞在上是减函数，求实数a 的最小值；
（3）若212,,x x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.
答案：
一、选择题：
11、4 12、258- 13、 325 14、 6
7 15、①②③④ 三、解答题：
16、（1）解：()sin(2)cos 26
f x x x π
=++
=sin 2cos
cos 2sin
cos 26
6
x x x π
π
++
32cos 22x x +1sin 22)2x x +
)3
x π
+ …………………………3分
令222232k x k π
ππ
ππ-
+≤+
≤
+ ⇒512312
k x k πππ
ππ-+≤+≤+，k ∈Z ()f x 的单调递增区间为：5[,],1212
k k k ππ
ππ-++∈Z0…………………………6分
（2）由1
())232
f A A π=
+=， 又20,3A π<<52,333A πππ
<+< 因此5236A ππ+=，解得：4A π
= …………………………8分
由正弦定理sin sin a B
A B
=，得b =
又由,4
3
A B π
π
=
=
可得：sin C =
…………………………10分
故 13sin 22
ABC S ab C ∆+== …………………………12分
17. (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以OE ∥PA.
因为PA ⊆平面PAC ，OE ⊄平面PAC ， 所以OE ∥平面PAC. 因为OM ∥AC ，
又AC ⊆平面PAC ，OM ⊄平面PAC ， 所以OM ∥平面PAC.
因为OE ⊆平面MOE ，OM ⊆平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，
所以平面MOE ∥平面PAC. …………………………4分 (2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上， 所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC.
因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ， 所以PA ⊥BC.
因为AC ⊆平面PAC ，PA ⊆平面PAC ，PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC.
因为BC ⊆平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC. …………………………9分
(3)如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz. 因为∠CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2， 所以CB ＝2cos30°＝3，AC ＝1. 延长MO 交CB 于点D. 因为OM ∥AC ，
所以MD ⊥CB ，MD ＝1＋12＝32，CD ＝12CB ＝3
2
.
所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，3，0)，M(32，3
2
，0)．
所以CP →＝(1,0,2)，CB →
＝(0，3，0)． 设平面PCB 的法向量m ＝(x ，y ，z)．
因为⎩⎪⎨⎪⎧
m ·CP →＝0，m ·CB →＝0.
⎩⎨⎧=⋅=⋅∴0)0,3,0(),,(0)2,0,1(),,(z y x z y x 即⎩⎨⎧==+030
2y z x
令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0. 所以m ＝(－2,0,1)．
同理可求平面PMB 的一个法向量n ＝(1，3，1)．
所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝－15.所以cosθ＝1
5
. …………………………12分
18. 解：(1)记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A 5
3
1042)(=+=
A P ………………………………3分 (2)记“他这两次此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”
为事件B ，15
8
)(2
61
412=⋅=C C C B P ………………………………7分 (3)ξ的可能值为0,1,2,3
61)0(31036===C C P ξ 2
1
)1(3
101
426=⋅==C C C P ξ 103)2(3102416=⋅==C C C P ξ
30
1
)3(3
1034===C C P ξ………………10分
5
3031022160=⨯+⨯
+⨯+⨯=ξE ………………12分
19. 解：(1)因为椭圆过点P (43，b 3),所以169a 2+1
9
=1,解得a 2=2,
又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.所以AF 2⊥F 2P ,即-b c ⋅b 3
43-c =-1, b 2=c (4-3c ).……6分
而b 2=a 2-c 2=2-c 2,所以c 2-2c +1=0,解得c 2=1,
故椭圆C 的方程是x 22+y 2
=1. ………………………4分
(2)①当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y =kx +p ，代入椭圆方程得
(1+2k 2)x 2+4kpx +2p 2－2=0.
因为直线l 与椭圆C 有只有一个公共点，所以
△=16k 2p 2－4(1+2k 2)(2p 2－2)=8(1+2k 2―p 2)=0，
即 1+2k 2
=p 2
. …………………………………7分 设在x 轴上存在两点(s ,0),(t ,0),使其到直线l 的距离之积为1,则
|ks +p |k 2+1 ⋅ |kt +p |k 2+1
=|k 2
st +kp (s +t )+p 2
|
k 2+1=1,
即(st +1)k +p (s +t )=0(*)，或(st +3)k 2+(s +t )kp +2=0 (**).
由(*)恒成立,得⎩⎨⎧st +1=0，s+t =0.
解得⎩⎨⎧s =1t =-1,或⎩⎨⎧s =-1
t =1,
而(**)不恒成立. …………………………10分 ②当直线l 斜率不存在时，直线方程为x =±2时，
定点(－1，0)、F 2(1，0)到直线l 的距离之积d 1⋅ d 2=(2－1)(2+1)=1.
综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. ……………12分
20. 解：（1）22122(1)n n n a a +=+-= 2121212[2(1)]141,n n n a a ---+-+=-
21211212114
4334,1133n n n n n n a a b b a a +-+-
--
-
===--又11
12.33b a =-= 所以{}n b 是首项为23，公比为4的等比数列，且12
4.3
n n b -=⨯……………5分
（2）由（Ⅰ）可知121
2112114(21)3333n n n n a b ---=+
=⨯+=+，……………………7分 2121222121
2(1)(21)1(21).33
n n n n n a a ---=+-=+-=- ………………8分
所以11(2(1))3n n n a +=+-，或1(21);(2)3
1(21).(21)3
n
n n n k a n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=-⎪⎩………………9分
（3） ∴2212211121
2,2.3333
n n n n a a --=
⋅-=⋅+ 21221222121222122122121221
21211332121
3(22)222213(22)3(22)222122n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n
a a ----------+=++-⨯+=⋅+--⨯+⨯+=≤⋅+-⋅
2121
132
2n n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ …………………………………11分
当n ＝2k 时，
1234212111111k k a a a a a a -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
223211(1)111122331222
212
k k -⎛⎫≤++++=⨯ ⎪⎝⎭-23332k =-<
当n ＝2k －1时，
12342322211111111k k k a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ <1234212111111k k
a a a a a a -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
<3 ∴
1 a 1 ＋1 a
2 ＋…＋1 a n
＜3．…………13分 21. 解：由已知函数)(),(x f x g 的定义域均为),1()1,0(+∞ ,且ax x
x
x f -=
ln )(. ……1分 （1）函数2
2)(ln 1ln )(ln 1
ln )(x x x x x x x g -=⋅
-=
',
当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ;当e >x 时,0)(>'x g .
所以函数)(x g 的单调减区间是)e ,1(),1,0(,增区间是),e (+∞. ………………4分
（2）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2
ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()
2
2
ln 111()ln ln (ln )
x f x a a x x x -'=-=-+-()2
11
1ln 2
4
a x =--+-， 故当11ln 2
x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．
所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ………………………………7分
（3）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．
由（Ⅱ），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14
f x a '+=．
问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． ………………………………9分
01当14
a ≥时，由（Ⅱ），()f x 在2[e,e ]上为减函数，
则min ()f x =2
22e 1(e )e 24
f a =-≤，故21124e a ≥-．
02当14
a <时，由于()f x '(
)2
11
1ln 2
4
a x =-
-+-在2
[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4
a a --． (i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合题意． ……………………11分
(ii )若0a -<，即104
a <<，由()f x '的单调性和值域知，
∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：
当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数； 所以，min ()f x =00001()ln 4
x f x ax x =
-≤，2
0(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln 44e 244
ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意．
综上，得21124e a ≥-． …………………………………14分。