第九章 振动详解

v d x Asin( t ) dt
v

Acos(
t




2
)

vm
cos
t




2

vm=A称为速度振幅，表示质点速率的最大值。速度的 相位比位移超前 /2。
2.加速度
a

d2 dt
x
2


2
Acos(t


)


2
Acos(t




)

am
2
动物的心跳(次/分)
大象 25~30
马
猪
60~80
兔
松鼠
380
鲸
40~50 100 8
昆虫翅膀振动的频率(Hz)
雌性蚊子
355~415
雄性蚊子
455~600
苍蝇
330
黄蜂
220
3
9-1 简谐振动 振幅 周期和频率 相位
一、简谐振动
1.振动
(1)振动的概念
一个物理量的值在观测时间内不停地经过极大值和极
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四、简谐振动的微分方程
由此式
a

d2 x dt2

2 x
可得：
d2 dt
x
2


2
x

0
此式简谐振动的微分方程。
x(t)=Acos( t+)
是上述微分方程的解，称为简谐运动的运动方程，简称 为简谐运动方程。
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五、弹簧振子
1.谐振子 (1)谐振子
做简谐振动的物体, 称为简谐振子, 简称为谐振子。 (2)谐振系统
第九章 振 动
1
振动
(1)机械振动 物体在一定位置(稳定平衡位置)附近所作的来回往
复的运动称为机械振动。 例如: 机械钟摆的运动、弹簧振子的运动、心脏的
跳动以及其它的往复运动等。
(2)广义振动
类似于机械振动的物理现象。例如任何一个物理量
(如物体的位置矢量、电压、电流、电场强度等等)在某个
数值附近反复变化，都可以称为振动。
2 2
T
③相位
T 2
2
( t + )称为振动的相位，是 t 时刻的； 是t =0时刻
的相位，即初相位。A、 、 称为简谐振动的三要素。 7
(4)相位差
x1(t)=A1cos( t+1)， x2(t)=A2cos( t+2) =( t+ 2)-( t+ 1)= 2- 1
①同相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…),两振动步调相同。
x
A1
x2
A2
x1
O
- A2 - A1
x2
x1
T
t
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②反相
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…), 步调相反。
x
A1 A2
O
- A2 - A1
x2 x1
x2
T
t
x1
9
③超前和落后
若 = 2-1>0, 则 x2比x1较早达到正最大, 称 x2 比 x1 超前(x1比x2 落后)。超前、落后以< 的相位角来判断。
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9-2 旋转矢量法 一、简谐振动的描述方法
x
A1
x1
A2
O
x2
- A2
T
t
- A1
x2 超前于x1, 超前/2。或x1 落后于x2, 落后/2。
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x
1 2
O
x 1 2
O
x
2 1
O
2
1

3
2
或
2
t
2 1
t
2
1


2
t 11
二、简谐振动的速度、加速度
1.速度
x(t)=Acos( t+)
小值而变化, 这种变化状态称为振动。
(2)振动的传播
振动的传播过程称为波动(机械波、电磁波、物质波) 。
(3)振动的函数表示式
x 代表振动量在任意时刻的数值， x 为时间的函数：
x t
4
2.周期振动 (1)周期振动
如果每隔一固定的时间T，振动量的变化就完全重复 一次，这种振动称为周期振动。T 称为周期振动的周期。 (2)周期振动的函数表达式
cost



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a am cost
am=A2称为加速度振幅，表示质点所能达到的最大加速 度。加速度的相位与位移的相位相差, 这种情况称二者
相位相反(或反向)。 v Acos( t )
2
x、v、a
2A
A v
A
o
-A
- A
- 2A v > 0 a<0 减速
F 0a 0
x0
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(1) 受力特点
F= -kx
(2) 动力学方程
ຫໍສະໝຸດ Baidu
由F

ma

m
d2 x dt2
及 F kx
d2 x＋ k dt2 m
x

0
d2 dt
x
2


2
x

0
k
m
(3)固有(圆)频率和周期
k
m
T 2 2 m

k
(4)位移表达式
x(t)=Acos( t+)
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(5)利用初始条件，求A、 已知在t=0时，角频率为，初位移为x0，初速度为v0。
x0 Acos, v0 Asin
A
x02

v02
2
,


arctan

v0
x 0

此关系式可以作为公式使用，很重要。根据已知的初始条
件(、x0、v0)，可通过此关系式求出运动方程。
x(t)=Acos(t+)
(2)简谐振动的特点 ①等幅振动； ②周期振动 x(t)=x(t+T )。 (3)复杂振动的合成
一切复杂的振动都可以看成由许多简谐振动合成的。 6
(3)描述简谐振动的特征量
①振幅A
x(t)=Acos(t+)
振动量最大值的绝对值。
②频率v(周期T)或圆频率(又称为角频率)
谐振子和对其施加恢复力的物体组成的系统称为谐振 系统。 (3)弹簧谐振子
由质量可以忽略的弹簧和一个刚体组成的振动系统称 为弹簧振子。
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2.水平放置的弹簧振子
o
vm
F v0
xA
A
am
x
o
x
F 0a0
v 0F x 0
-A
am
o
x A
vm
x
o
x
F -kx a 2 x
x
v< 0 a< 0 加速
v< 0 a> 0
减速
a
T t
v> 0
a> 0
加速
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三、简谐振动的运动学及动力学特征
1.运动学特征
a

d2 x dt2

2 Acos(
t
)

2 x
质点的加速度与其位移正比且反向。
2.动力学特征
F ma m 2 x
质点所受的力与其位移正比且反向。即质点所 受的力总是指向平衡位置的，故称为回复力。
x t t T t 2T
(3)频率 振动量的变化每重复一次，称为完成一次全振动。 单位时间内完成全振动的次数, 称为频率, 记为 v 。 单位: s-1或Hz。
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3.简谐振动 (1)简谐振动
一物理量随时间的变化规律遵从余弦函数关系，则称 该物理量作简谐振动，简称为谐振动。 其数学表达式为：