第四章非稳态导热

第一类边界条件的情况。
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第四章 非稳态导热
对于温度只沿半径方向变化的圆柱体（如无 限长圆柱体或两端面绝热的圆柱体）和球体在第三 类边界条件下的一维非稳态导热问题，同理分别在 圆柱坐标系和球坐标系中进行与上述类似的分析， 可得类似的结果： a hR r Fo 2 f Bi，Fo， Bi R 0 R
若以θm 表示τ 时刻平壁中心截面处的过余温 度，则在平壁中心截面处，X=x/δ=0（定值）
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m f Bi ，Fo 0
第四章 非稳态导热
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无限大平壁无量纲中心温度
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m f Bi，Fo 0
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无限大平壁任意位置无量纲温度
第四章 非稳态导热
§4-1 §4-2 §4-3
*§4-4
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热问题的图解法 特殊多维体非稳态导热的求解 火电厂的非稳态导热实例分析
1
§4-5
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第四章 非稳态导热
基 本 要 求
1. 理解非稳态导热过程的特点。 2. 掌握集总参数法的应用条件，会 用集总参数法求解。 3. 了解非稳态导热问题的分析计算 方法，掌握线算图的适用条件。
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第四章 非稳态导热
非稳态导热: 物体的温度场随时 间而变化的导热过程
非稳态导热根据温度场随时间变化规律 的特点分类： 1.周期性非稳态导热*：物体的温度随 时间而作周期性的变化 2.非周期性非稳态导热(瞬态导热)： 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定 的值2013-9-10
第四章 非稳态导热
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一般采用集总参数法求解的判别条件为： Bi＜0.1
或
h（V / A） BiV 0.1M

当满足Bi＜0.1,即Biv＜0.1M时，导热体
内各点间的过余温度的偏差小于5 %。
上述各式是在物体被冷却的条件下导出
的，同样适用于物体被加热的情况。
【例4-1】 【例4-2】
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A M 1 BiV Bi A R 2l R 1 Bi M BiV 对半径为R的 2Rl 2 2 2 无限长圆柱 4 3 R V 3 R 1 Bi 对半径为R的球 A 4R 2 3 M 3 BiV 3
对厚为2δ的 无限大平壁
V A V A
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h
τ
球体内各处的温度从表面到球心逐层不 断下降 直到与所处环境达到热平衡状态为 止。 随着时间的推移，Φ逐渐减小直至为零。
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二、非稳态导热过程的特点
非稳态导热过程可分为三个阶段:
1.初始阶段: 温度分布为初始温度区与部
分非稳态导热规律区的混合分布 2.正规状况阶段:温度分布不受 to 的影 响，主要取决于边界条件及物性,且具有一定 规律 3.新稳态阶段: 温度分布一定（Φ1=Φ2 或Φ =0 ）
hA hA 0 e
hA cV
W （*）
导热体从初始时刻至某一时刻（0～τ） 时间间隔内与周围环境交换的总热流量为：
Q d hA 0 e
0 0



hA cV
d cV（ e 0 1

hA cV
）
hA cV（t 0 t f ）1 exp( ) cV
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m 利用以上两图即可求得: 0 m 0
3.还可应用于第一类边界条件的情况，
因为当h→∞时Bi→∞ 意味着在过程开始的
瞬间物体表面就达到了周围介质温度恒温
介质第三类边界条件转化为恒壁温第一类边
界条件图中
1 0 的曲线就代表恒壁温 Bi
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x f Bi， m
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上述线算图的适用范围: 适用于Fo≥0.2的下述情况。 1.厚为2δ 的大平壁处于恒温介质第三 类边界条件下的瞬态导热，不论物体是被加 热还是冷却。 2.对于厚为δ 的大平壁一侧绝热、另一 侧为对流换热边界条件下的加热或冷却问题 也适用，这是由于这两种问题的数学描述完 全一致。
如热电偶和电阻温度计, τ c越小， 说明准确测量流体的温度所需时间越短。 由τc定义式 τc取决于导热体的几何参 数V/A,物性参数ρ、c及换热系数h 自身 的热容量（ρc V）↓或表面换热条件（hA） ↑ τc↓
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第四章 非稳态导热
导热体在任一时刻τ，单位时间内与周围环 境之间所交换的瞬时热流量为：
L 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1h 物体表面对流换热热阻 hL
a 换热时间 Fo 2 2 L L / a 边界热扰动扩散到 2 面积上所需时间 L
无量纲 热阻
无量纲 时间
Bi数越小 ，物体内的温度越均匀； Fo数越大，物体温度越接近于周围介质温度。 Bi与Fo一起决定瞬态导热过程中物体的温度分布
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一、集总参数法
任意形状的物体，体 积为V，表面积为A； 物性参数ρ、c、λ均为 常数，无内热源，内部导 热热阻很小； 初始温度为t0； 突然被置于温度为tf的恒温流体中冷却， 物体表面与流体之间的换热系数h为常数。
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二、计算线图的使用 从微分相似法找出影响温度分布的参数

f（Bi ，Fo，X） 0
不满足Bi＜0.1 时，物体内的温度分布不仅取 决于Fo、Bi，而且与空间位置X=x/δ 有关
这正体现了与集总参数法的根本区别。 工程上为了计算方便，绘制成了线算图。



0
e 0

物体内的过余温度随时间呈指数衰减曲 线变化，开始变化较快，而后逐渐减缓
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导热体达到某一温度所需时间：
由 e 0
hA cV
0 ln hA cV
当
cV
hA cV 令 C hA

e 1 36.8% 0
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一、典型非稳态导热过程的分析 1. 大平壁一侧突然受热升温时的导热 （1） 温度分布
1 2
图中直线AD:初始时刻,大平壁内部各处 温度均匀为t0
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曲线HBD:突然使大平壁左侧表面温度 升高到t1并保持不变，右侧仍与温度为t0的 空气接触紧挨高温表面那部分的温度很快 上升，其余部分仍保持初始温度t0。 随着时间的推移，平壁从左到右各部分 的温度依次升高从某一时刻开始平壁右侧 表面温度逐渐升高，图中曲线HCD、HE、 HF示意性地表示了这种变化过程。 直线HG:经过相当长的时间τ∞后达到新 的稳态，温度分布保持恒定。
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非稳态导热过程的两个特点
1. 物体内的温度变化是逐层“传播”
的，各点的温度随时间不断地变化。 2. 同一时刻，与热流方向相垂直的各 截面上的热流量处处不等；同一截面上，不 同时刻的热流量也不相等，物体内有能量的 积聚或散失。
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（2） 热量变化 在平壁右侧表面 温度开始升高以前， 平壁右侧与周围环境 并无换热从平壁左 侧得到的热量Φ1完全 储蓄于平壁之中，用 以提高自身的温度。
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Φ1－板左侧导入的热流量 Φ2－板右侧导出的热流量
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第四章 非稳态导热
从某一时刻开始平壁右侧才向外散热。
二、Bi数对导热体温度分布的影响
的大小对非稳态导热过程中导 热体内的温度分布有重要的影响。 厚为2δ 的平壁突然置于流体中冷却时，Bi数 不同，壁中温度场的变化会出现三种情形。
L/ Bi ห้องสมุดไป่ตู้ 1/ h hL
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第三节 一维非稳态导热问题的图解法
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式中L为导热体的特征尺寸。 对于厚为2δ的无限大平壁：L=δ 半径为R的长圆柱和半径为R的球体：L=R Biv和Fov的下脚标“V”表示其特征尺寸为
V LV A
Bi与Biv之间的关系：Biv=MBi M—与物体几何形状有关的无量纲数
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随着平壁内的温度逐渐升高左侧表面吸热 量Φ1↓，右侧表面散热量Φ 2↑ 当Φ1=Φ2时，进入新的稳态导热阶段。 两条曲线间的面积（阴影部分）则为平
壁在瞬态导热过程中所获得的热量，以热力
学能的形式储存于平壁之中。
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2. 炽热球体突然置于流体中冷却时 的导热
Φ
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第二节
集总参数法
在非稳态导热中，当物体内部的导热热
阻远小于其表面的换热热阻时，物体内的温
度梯度很小可认为物体各部分的温度在同
一时刻都处于同一温度物体内的温度分布
与空间坐标无关而只是时间的函数t=f(τ)。
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集总参数法：这种忽略物体内部导 热热阻认为物体内温度均匀一致，而只 考虑整个物体温度随时间变化的简化分 析法。 一、集总参数法 二、Bi数对导热体温度分布的影响
第四章 非稳态导热
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第一节 非稳态导热的基本概念
非稳态导热主要研究两方面的内容： 1. 确定物体在加热或冷却过程中,其 内部温度随时间和空间位置的变化规律。 t f ( x , y , z , ) 2. 计算物体在加热或冷却过程中,吸 收或放出的热量。 Φ f( ) 一、典型非稳态导热过程的分析 二、非稳态导热过程的特点
具有时间的量纲称为时间常数
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θ/θ0 1.0
c
0.368
c1
c2
c3
不同时间常数物体的温度变化
时间常数反映导热体对周围环境温度变 化响应的快慢，τ c越小，说明导热体的温度 响应越快，越能迅速接近于周围流体温度。
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J （*＇）
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注意: 式（*）计算的是τ 时刻导热体的热 传导速率,单位为W (J/s)； 式（*＇）计算的是0～τ时间间隔内 导热体与周围环境交换的热量,单位为J。
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e 0

hA cV
中e的指数可作如下分解：
由能量平衡关系（任一时刻物体表面 的换热量等于本身的热力学能变化量）：
引入过余温度θ=t-tf 初始条件：τ=0， θ=t0-tf=θ0 分离变量积分：
0
dt hAt t f cV d
d hA cV d
hA d cV
hA cV

d
hA h（V / A） / c） （ BiV FoV 2 cV （V / A）

Bi hL
Bi e 0

a L
2
V
FoV
毕渥数，是表征物理现象特征的 无量纲数，也称特征数或准则数
Fo
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傅里叶数，也是一个 无量纲数
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Bi与Fo的物理意义:
R—圆柱体或球体的半径 r—圆柱体或球体内的任意半径 类似地可绘制出长圆柱体和球体的线算图
对于非稳态导热问题的求解，当不满足 集总参数法的应用条件时，若采用集总参数 法则会产生大于5 %的误差，这是工程上不 允许的。 本节介绍采用线算图求解的图解法。 一、无限大平壁的非稳态导热 二、计算线图的使用
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一、无限大平壁的非稳态导热
t
厚为2δ的无限大平壁，无内热源， =0 λ和a均为常数，初始温度t0 。 t0 1 某一瞬间突然置于温度为tf的恒 2 温流体中（tf＜t0 ），平壁两侧的对 tf tf 流换热系数均为h 。 该问题为第三类边界条件下无内 0 dx x 热源、沿厚度方向进行的一维非稳态 第三类边界条件 导热问题。 平壁非稳态导热 由于几何及换热的对称性，壁内温度以其中心截 面为对称面对称分布讨论平壁半厚δ的情况即可