第四章非稳态导热
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第四章传热学
4. 非稳态导热4.1 知识结构1. 非稳态导热的特点；2. （恒温介质、第三类边界条件）一维分析解求解方法（分离变量，特解叠加）及解的形式（无穷级数求和）；3. 解的准则方程形式，各准则（无量纲过余温度、无量纲尺度、傅里叶准则、毕渥准则）的定义式及其物理涵义； 4. 查诺谟图求解方法；5. 多维问题的解(几个一维问题解（无量纲过余温度）的乘积)；6. 集总参数法应用的条件和解的形式；7. 半无限大物体的非稳态导热。
4.2 重点内容剖析4.2.1 概述在设备启动、停车、或间歇运行等过程中，温度场随时间发生变化，热流也随时间发生变化，这样的过程称为非稳态导热。
一．过程特点分类1. 周期性非稳态导热（比较复杂，本书不做研究） 如地球表面受日照的情况 （周期为24小时）对于内燃机气缸壁受燃气冲刷的情况，周期为几分之一秒，温度波动只在很浅的表层，一般作为稳态处理。
2. 非周期性非稳态导热：（趋于稳态的过程，非稳态 稳态） 例子：如图4-1，一个无限大平板，初始温度均匀，某一时刻左壁面突然受到一恒温热源的加热，分析平壁内非稳态温度场的变化过程： (1) 存在两个阶段初始阶段：温度变化到达右壁面之前（如曲线A-C-D ），右侧不参与换热，此时物体内分为两个区间，非稳态导热规律控制区A-C 和初始温度区C-D 。
正规状况阶段：温度变化到达右壁面之后，右侧参与换热，初始温度分布的tx1t 0t ABCDEF图4-1 非稳态导热过程的温度变化影响逐渐消失。
(2) 热流方向上热流量处处不等因为物体各处温度随时间变化而引起内能的变化，在热量传递路径中，一部分热量要用于（或来源于）这些内能，所以热流方向上的热流量处处不等。
二. 研究任务1. 确定物体内部某点达到预定温度所需时间以及该期间所需供给或取走的热量，以便合理拟定加热和冷却的工艺条件，正确选择传热工质；2. 计算某一时刻物体内的温度场及温度场随时间和空间的变化率，以便校核部件所承受的热应力，并根据它制定热工设备的快速启动与安全操作规程。
传热学第四章
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
a)温度分布；b)两侧表面上导热量随时间的变化
图4-1
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
（1）温度场：【如图4-1a）所示】 ①首先，紧挨高温表面部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的温度t0，如图中曲线FBC所示； ②其次，随着时间的推移，温度变化波及的范围不断扩大， 以致在一定时间以后，右侧表面的温度也逐渐升高， 如图中曲线FC、FD所示； ③最后，达到一个新的稳态导热时，温度分布保持恒定， 如图中曲线FE所示。（λ为常数时，FE 为直线。）
t f ( x, y, z, )
dt （3）物体在非稳态导热过程中的温升速率： d
（4）某一时刻物体表面的热流量Φ(W) 或从某一时刻起经过一定时间后表面传递的总热量Q(J)。 要解决以上问题，必须首先求出： 物体在非稳态导热过程中的温度场。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
※求解非稳态导热过程中物体的温度场，通常可采用
第四章 非稳态导热
第一节 概 述 一、基本概念
非稳态导热即指温度场随时间而变化的导热过程 1、定义（P53）
t f ( x, y, z, )
※在自然界和工程中有许多非稳态导热问题。 例如，锅炉、蒸汽轮机和内燃机等动力机械在起动、停机和变 工况运行时的导热； 又如，在冶金、热处理和热加工等过程中，工件被加热或冷却 时的导热； 再有，大地和房屋等白天被太阳加热、夜晚被冷却时的导热。 ※由此可见，研究非稳态导热具有很大的实际意义。
l
—— 导热物体的某一尺寸，详见后述。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
1、毕渥数Bi （P55）
有时用引用尺寸l
e
l ——导热物体的某一尺寸
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析
10
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热
❖ 对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍然可 以通过数学分析的方法获得分析解
❖ 这里以（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热 过程为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和 过程
❖ 定性地、定量两个方面
11
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
问题描述： ❖ 厚为2δ、无内热源的常物性平壁 ❖ 初始时刻温度分布均匀，为t0 ❖ 某时刻突然投入到温度为t∞的高
conduction）：物体内任意位置的温度随时间持续升高 （加热过程）或连续下降（冷却过程） 边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于某个 新的稳定温度场
6
4.1 概述
研究目的：
❖ ——确定非稳态过程中的温度场：在此基础上确定物体中
某个部位到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间 内可以达到的温度，或者物体的温度对时间的变化速率。
8
4.1 概述
研究方法与过程：与稳态导热的完全相同 （1）简化假设给出物理模型 （2）给出数学模型（方程＋定解条件） （3）采用适当的数学方法求解 （4）分析讨论
9
4.1 概述
❖ 非稳态导热的控制方程：
τ
ρct
x
λ
t x
y
λ
t y
z
λ
t z
Φ
❖ t=f（x,y,z,t）
❖ 控制方程：偏微分方程，数学求解难度很大
❖ 随着时间的延续，壁面加热的波及区域将继续向平壁中
心推进
16
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
17
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
❖ 当温度扰动刚刚传到平壁对称 面的那个时刻，称为穿透时间， 记作τc
第四章 非稳态导热(5)14
④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
5
2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。 本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种：
一维非稳态导热问题：
无限大平壁 无限长圆柱体
一、概 述
1.1 定义：非稳态导热是指发生在非稳态温度场内的导热过程。
其数学表达式为：t f (x, y, z, )
按照其过程进行的特点，可分为以下二种：
（1）周期性非稳态导热：导热物体内的温度随时间周期性地 变化。
（2）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体内的温度随时 间不断的 升高或降低。
2
1.2 非稳态导热过程的特点
大平壁非稳态导热分析
由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。
② 正常情况阶段。
当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达
到新的平衡状态的这段时间。
4
B）大平壁两侧被加热过程
一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突 然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平 壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温
1.3 求解的目的和方法
1） 求解非稳态导热问题主要目的有四个：
① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某 一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值；
② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率；
二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方柱体
三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体
第四章 非稳态导热..
工程中：
机器启动、停机、变工况时部件的导热过程； 冶金、热加工、热处理工艺中工件的加热及冷却过程等； 石油工程中钻井、焖井、采油等过程中热量在地层内的扩散过程。
具有实际意义。
2
第三节
本节讨论:
非稳态导热
——基本概念和特点
——非稳态导热问题的求解及诺模图
——集总参数法
3
m (0, ) f1 ( Fo，Bi) 0
( x, ) ( x, ) m 0 m 0
意味着初始条件的影响已经消失， 这是正规状况阶段。
( x, ) x f 2 ( Bi， ) m (0, )
工程上常采用两种简化的计算方法：
诺模图方法——由海斯勒(Heisler)提出；
13
第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解
t 2t a 2 0 x , 0 x
初始条件： t | 0 t 0
0 x
边界条件： t | 0 （对称性） x 0
x
t |x h t |x t f x
物体内部各点在同一时刻的温度趋于一 致，温度场与空间位置无关，只是时间 的单值函数。
这样的物体称为集总热容系统。
工程中取Bi<0.1
25
第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
2、Fo数和Bi数的物理意义以及对非稳态过程的影响
h Bi数的影响： Bi 1h
—出现在特征数中的几何尺度 —不同情况下，不同形状的物体特征长度是不同的。 Fo 数 、 Bi数称为特征数，习惯上又称准则数， 具有特定的物理意义。
第四章 非稳态导热(6)14
(b)
36 .8%
可以得出内部热阻可被忽略的非稳 态导热过程具有以下二个特点： （1）物体温度 随时间按指数函数关系下降，如 图所示，开始下降快，随后变化减慢。
0
， t t f 0，即t t f
Tτ
集总参数系统θ -τ曲线
τ
（2）物体温度随周围流体温度变化的快慢与该物体的时间常数Tτ有关。 什么是时间常数？式（b）中 ρcV/（hA） 具有时间的量纲，此外，对于常物 性物体，一旦几何尺寸确定（ V/A 确定）， ρcV/（hA） 的值也就确定了。 cV T 在以上二个意义上，把 ρcV/（hA） 称为时间常数，记为Tτ，即 。 hA
代人（a）式得 cV
Ah(t t f ) V
集总参数系统的微分方程
dt ＝ Ah (t t f ) d
（2）根据能量守恒定律：物体内能（焓）的变化等于物体表面对外散去的热量：
cV
dt ＝Ah (t t f ) d
3
求解微分方程：
引入过余温
初始条件：
t tf
d ＝ Ah ， 上式变成 cV d
o
d
hAo (
cV
hA
o
)(e
hA cV
hA cV
o
1)
Φ的单位—W或kW； Qτ的单位—J或kJ。
cVo (1 e
)
请大家思考：瞬时的传热量Φ和总传热量Qτ的单位是什么？
7
三、集总参数法的适用条件
集总参数法比较简单，但应用它是有条件的，必须满足： Bi
1 R R 2l V BiV Bi 0.05 L 2 2 2Rl A
传热学第四章非稳态导热例题
(V / A)
3
85 K) 3.885 10 39.63 W/(m2· 0.025 / 3
BiV FoV 3.885 10 2.07945
3
535.25
2013-9-10
9
由式(4-6)计算换热量:
hA Q cV（t 0 t f）1 exp( ) cV
a 6
D（t 0 t f）1 e (
3
BiV FoV
)
85 3 2.07945 0.05 （ 60 (1 e 300 ） ) 5 6 2.95 10
=39.6 kJ
返回
2013-9-10 10
【例4-3】一根直径为1m，壁厚40mm 的钢管,初温为-20℃，后将温度为60℃的 热油泵入管中，油与管壁的换热系数为 500 W/(m2· K),管子外表面可近似认为是绝 热的。管壁的物性参数ρ=7823kg/m3, c=434J/(kg·K),λ=63.9 W/(m· K)。
1.882 10 8 60 Fo 2 5.646 2 0.04
a
5
2013-9-10
14
（2） 由于Bi>0.1, 故不能采用集总参
数法，需用线算图求解。
管子外表面， 1 3.195
Bi
查图4-7得
m 0.24 0
管子外表面温度为：
t m m t f 0.24 0 t f 0.24 20 60 60 40.8 （ ）
V 准则中的特征尺寸是用 LV 确定的， A
而不是 R/2 ，所以,是否可采用集总参 数法的判别用BiV<0.1M。
传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热
Lctptw
23/250291/4/16
0~τ范围内积分，得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律，即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小，型壁较厚，所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺，可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比，所以选择不同造型材料，即改变蓄热系数， 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10－6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄（或放出）热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中，确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中，累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式：
qw ' Lctptw
d d
与式
23/250291/4/16
0~τ范围内积分，得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律，即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小，型壁较厚，所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺，可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比，所以选择不同造型材料，即改变蓄热系数， 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10－6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄（或放出）热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中，确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中，累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式：
qw ' Lctptw
d d
与式
第四章导热问题(多维非稳态导热)
因此在块迭代法中用的最普遍的也就是线迭代第四章导热问题多维非稳态导热块迭代法第四章导热问题多维非稳态导热jacobi逐线迭代法在xy平面选取网格线取平行于y坐标轴的网格线第四章导热问题多维非稳态导热在xy平面选取网格线取平行于x坐标轴的网格线第四章导热问题多维非稳态导热在xz平面选取网格线取平行于z坐标轴的网格线第四章导热问题多维非稳态导热取平行于x坐标轴的网格线第四章导热问题多维非稳态导热在yz平面选取网格线取平行于y坐标轴的网格线第四章导热问题多维非稳态导热取平行于z坐标轴的网格线显然上边的六组迭代公式两两相同
n n n n1 n1 n1 n1 a P TP a E TE a W TW a N TN aS TS a T TT a B TB b
第四章 导热问题———多维非稳态导热
在x-z平面选取网格线
取平行于z坐标轴的网格线
a P TP a E TE a W TW a N TN a S TS a T TT a B TB b
当然，我们还可以类似前面，写出x-z平面取平行于 z坐标轴的网格线的迭代公式等等。
第四章 导热问题———多维非稳态导热
再取平行于y轴的网格线，自左右(WE)，自后前 (BT)扫描全计算域，则迭代公式为：
aPTP
n 2 3
aNTN
n
2 3
aSTS
n
2 3
a W T W aBTB
ws
t
e n t t
dT c dtdxdy dt ws
e n t t
td dΒιβλιοθήκη (k )dtdxdy dx dx ws
e n t t
t
d dT (k )dtdxdy dy dy ws
n n n n1 n1 n1 n1 a P TP a E TE a W TW a N TN aS TS a T TT a B TB b
第四章 导热问题———多维非稳态导热
在x-z平面选取网格线
取平行于z坐标轴的网格线
a P TP a E TE a W TW a N TN a S TS a T TT a B TB b
当然，我们还可以类似前面，写出x-z平面取平行于 z坐标轴的网格线的迭代公式等等。
第四章 导热问题———多维非稳态导热
再取平行于y轴的网格线，自左右(WE)，自后前 (BT)扫描全计算域，则迭代公式为：
aPTP
n 2 3
aNTN
n
2 3
aSTS
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2 3
a W T W aBTB
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t
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dT c dtdxdy dt ws
e n t t
td dΒιβλιοθήκη (k )dtdxdy dx dx ws
e n t t
t
d dT (k )dtdxdy dy dy ws
4.7 非稳态导热数值解
边界节点仍采用能量平衡方法：
y
t
k i 1,
j
t
k i,
j
x
t
k i,
j
1
t
k i,
j
x
t
k i,
j
1
t
k i,
j
x
2 y
2 y
hy
tf
t
k i,
j
c
x
y
t
k 1 i, j
t
k i,
j
2
第四章 4.7节 （8）
4
取x = y，整理成节点 (i, j) 下一时刻温度 的显函数形式
t
k i,
第四章 4.7节 （8）
下一章
8
t
k i 1
2t
k i
x2
• 亦可以写作
t
k i
1
t
k i
a
t
k 1 i 1
t
k 1 i 1
2t
k i
1
x2
第四章 4.7节 （8）
7
重新整理成：
1 2Fo
tik 1 Fo
t
k 1 i 1
t
k 1 i 1
t
k i
• 与显式格式的基本区别：节点i 的下一时刻温度 是用相邻节点的下一时刻（不再是当前时刻！） 以及自身节点的当前时刻温度来表示的。于是， 必须一次列出全部待求节点的差分方程并联立 求解。仍然是从初始温度分布开始，逐个时层 地向前推进，但每前进一个时层，就必需解一 次联立方程组。
问题：厚0.06m平壁，初始温度100℃， 突然放入 0℃的流体中，平壁的导热系数 等于40 W/(mK)，表面传热系数 h =1 000 W/(m2K)。若取 Fo = 1, 计算结果如下：
y
t
k i 1,
j
t
k i,
j
x
t
k i,
j
1
t
k i,
j
x
t
k i,
j
1
t
k i,
j
x
2 y
2 y
hy
tf
t
k i,
j
c
x
y
t
k 1 i, j
t
k i,
j
2
第四章 4.7节 （8）
4
取x = y，整理成节点 (i, j) 下一时刻温度 的显函数形式
t
k i,
第四章 4.7节 （8）
下一章
8
t
k i 1
2t
k i
x2
• 亦可以写作
t
k i
1
t
k i
a
t
k 1 i 1
t
k 1 i 1
2t
k i
1
x2
第四章 4.7节 （8）
7
重新整理成：
1 2Fo
tik 1 Fo
t
k 1 i 1
t
k 1 i 1
t
k i
• 与显式格式的基本区别：节点i 的下一时刻温度 是用相邻节点的下一时刻（不再是当前时刻！） 以及自身节点的当前时刻温度来表示的。于是， 必须一次列出全部待求节点的差分方程并联立 求解。仍然是从初始温度分布开始，逐个时层 地向前推进，但每前进一个时层，就必需解一 次联立方程组。
问题：厚0.06m平壁，初始温度100℃， 突然放入 0℃的流体中，平壁的导热系数 等于40 W/(mK)，表面传热系数 h =1 000 W/(m2K)。若取 Fo = 1, 计算结果如下：
第4章-非稳态导热的计算分析
是与物体几何形状
Biv
h( V
A)
1、非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度 随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近 于周围介质温度，最终达到热平衡，物体的温度 随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
❖ 300℃的铁块在冷水中的冷却
x, 0,
cos
1
x
它表明：当Fo>0.2后，虽然θ(x,τ)与θ(0,τ)各自均与τ相关， 但它们的比值却与τ无关而仅取决于平壁的几何位置（x/δ） 和Bi数
这意味着初始条件的影响已经消失，这就是正规状况阶段
❖ 计算正规状况阶段的温度需要根据Bi数确定相应 的特征值，使用时不甚方便
❖ 工程上常采用两种简化的计算方法，由海斯勒 (Heisler)提出的诺模图(nomogram)方法和由 Campo提出的近似拟合公式
数时，即 τ=τr，
＝e1 0.386 0
0.386 01
τ/τr
τ=4τr，
＝e4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热
0
体已达到热平衡状态
瞬态热流量：
Φ( ) hA(t( ) t ) hA
总热量：
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q
0
Φ(
)d
一、无限大平板加热（冷却）过程分析
厚度 2 的无限大平壁，、a 为已知常数；=0时温度为 t0;
突然把两侧介质温度降低为 t 并保持不变；壁表面与介质之 间的表面传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温度分布 对称。中心为原点。
第四章_导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6）2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。
第四章集总参数法
7
第四章 / 第三节 非稳态导热
（4）适用条件 Bi﹤0.1
Bi hl
厚度2 的无限大平壁
无限长圆柱体 球体
l
半厚 半径R 半径R
Bi
h / hR/ hR/
V/A
R/2 R/3
8
第四章 / 第三节 非稳态导热
几点说明
(1)以上分析结果既适用于物体被冷却的情况， 也适用于物体被加热的情况。
(2)以上计算公式针对第三类边界条件下导出。 在其他边界情况下的非稳态导热，只要物体内部
流换热条件hA。 5
第四章 / 第三节 非稳态导热
计算公式的应用：
ttf 0 t0tf
ex p(hcA V)
e xp BV (iFV o)
exp( c
)
（1）已知温度t，求时间； （2）已知时间，求温度t； （3）已知温度t和时间，求c或h。
6
第四章 / 第三节 非稳态导热
（3）换热量的计算
d t (2)以上计算公式针对第三类边界条件下导出。
h A(tt )cV f 1，应采用诺模图或其他方法重新计算。 d （3）利用集总参数法计算时，必须首先检验Bi﹤0.
求解：
❖ 物体温度分布t = f ( );
—使用的前ห้องสมุดไป่ตู้条件： Bi﹤0.
利用＝集 4 总c参数稳法(态求第出h三或l；类边界条件)
后，温度变化dt。 这样热电偶越能迅速地反映被测流体的温度变化。
例如：小金属块炉内加热或空气中冷却；
为常数。
第四章 / 第三节 非稳态导热
热平衡方程： 第四章 / 第三节 非稳态导热 很大，或几何尺寸l很小，或h极低
假设满足Bi0.1的条件。
第四章 / 第三节 非稳态导热 —使用的前提条件： Bi﹤0.
第四章 / 第三节 非稳态导热
（4）适用条件 Bi﹤0.1
Bi hl
厚度2 的无限大平壁
无限长圆柱体 球体
l
半厚 半径R 半径R
Bi
h / hR/ hR/
V/A
R/2 R/3
8
第四章 / 第三节 非稳态导热
几点说明
(1)以上分析结果既适用于物体被冷却的情况， 也适用于物体被加热的情况。
(2)以上计算公式针对第三类边界条件下导出。 在其他边界情况下的非稳态导热，只要物体内部
流换热条件hA。 5
第四章 / 第三节 非稳态导热
计算公式的应用：
ttf 0 t0tf
ex p(hcA V)
e xp BV (iFV o)
exp( c
)
（1）已知温度t，求时间； （2）已知时间，求温度t； （3）已知温度t和时间，求c或h。
6
第四章 / 第三节 非稳态导热
（3）换热量的计算
d t (2)以上计算公式针对第三类边界条件下导出。
h A(tt )cV f 1，应采用诺模图或其他方法重新计算。 d （3）利用集总参数法计算时，必须首先检验Bi﹤0.
求解：
❖ 物体温度分布t = f ( );
—使用的前ห้องสมุดไป่ตู้条件： Bi﹤0.
利用＝集 4 总c参数稳法(态求第出h三或l；类边界条件)
后，温度变化dt。 这样热电偶越能迅速地反映被测流体的温度变化。
例如：小金属块炉内加热或空气中冷却；
为常数。
第四章 / 第三节 非稳态导热
热平衡方程： 第四章 / 第三节 非稳态导热 很大，或几何尺寸l很小，或h极低
假设满足Bi0.1的条件。
第四章 / 第三节 非稳态导热 —使用的前提条件： Bi﹤0.
传热学课件第四章非稳态导热
exp
hA
cV
hA
cV
h V
A
c
V
A2
hl
c
l2
hl
a
l2
BiV
FoV
0
e BiV FoV
exp
BiV FoV
下角标V表示以 l=V/A为特征长度
在0~ 时间内物体和周围环境之间交换的热量
升高到t1并保持不变，而右侧仍与温度为t0的 空气接触。这时紧挨高温表面那部分的温度
很快上升，而其余部分则仍保持初始温度t0， 如图中曲线HBD所示。随着时间的推移，经τ 1, τ 2，τ 3…平壁从左到右各部分的温度也依次 升高，从某一时刻开始平壁右侧表面温度逐
渐升高，图中曲线HCD、HE、HF示意性地表示
• 二、Bi数对导热体温度分布的影响
•
Bi hL L / 的大小对非稳态导热过程中导
热体内的 温1度/ h 分布有重要的影响。
• 厚为2δ的平壁突然置于流体中冷却时 ，Bi数 不同壁中温度场的变化会出现三种情形 。
思考题: 试说明毕渥数的物理意义。 毕渥数趋于
零和毕渥数趋于无穷各代表什么样的换热条件？ 有人认为，毕渥数趋于零代表了绝热工况，你 是否赞同这一观点，为什么？
圆
球 Bi hR
Fo
a 2
BiV
h
FoV
a 2
Fo
a
R2
BiV
h(R / 2)
FoV
第四章 非稳态导热
| x 0 0 x | x h | x x
f (0 , h, , , a, , x)
15
第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解
无穷级数
x , x 2 a 分析解： Cn exp n 2 cos n 0 n 1
2
2 a
分子—表示边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻 为止的时间； 从过程开始到 时刻的时间 分母δ /温度变化波及到 a—表示热扰动经过一定厚度的固体层传播到 2面积所需的时间 面积δ2上所需要的时间。 Fo数看成是反映非稳态进程的无量纲时间。 Fo数越大，边界上的热扰动就能更深入地传播到 物体内部，非稳态过程进行得越充分。
物体内的温度分布受初始温度的影响很大，温度分布呈现部 壁面温差引起 分为非稳态导热规律和部分为初始温度区的混合分布。
B 正规状况阶段——整个物体参与变化
物体内的温度分布不再受初始温度的影响，而只受控于非 稳态导热的规律（边界条件、物性和几何因素的影响）。
热应力，会致 热变形！
（2）在非稳态导热热量传递的路径中，每一个与热流 方向垂直的截面上的热流量是处处不等的。
13
第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解
t 2t a 2 0 x , 0 x
初始条件： t | 0 t 0
0 x
边界条件： t | 0 （对称性） x 0
x
t |x h t |x t f x
（例如半无限大物体的导热）。
22
第四章 / 第三节 非稳态导热
f (0 , h, , , a, , x)
15
第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解
无穷级数
x , x 2 a 分析解： Cn exp n 2 cos n 0 n 1
2
2 a
分子—表示边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻 为止的时间； 从过程开始到 时刻的时间 分母δ /温度变化波及到 a—表示热扰动经过一定厚度的固体层传播到 2面积所需的时间 面积δ2上所需要的时间。 Fo数看成是反映非稳态进程的无量纲时间。 Fo数越大，边界上的热扰动就能更深入地传播到 物体内部，非稳态过程进行得越充分。
物体内的温度分布受初始温度的影响很大，温度分布呈现部 壁面温差引起 分为非稳态导热规律和部分为初始温度区的混合分布。
B 正规状况阶段——整个物体参与变化
物体内的温度分布不再受初始温度的影响，而只受控于非 稳态导热的规律（边界条件、物性和几何因素的影响）。
热应力，会致 热变形！
（2）在非稳态导热热量传递的路径中，每一个与热流 方向垂直的截面上的热流量是处处不等的。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（一）无限大平壁的分析解及诺模图
1、平壁内温度分布的求解
t 2t a 2 0 x , 0 x
初始条件： t | 0 t 0
0 x
边界条件： t | 0 （对称性） x 0
x
t |x h t |x t f x
（例如半无限大物体的导热）。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
传热学 第4章-导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法1、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2、掌握内容：数值解法的实质。
3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。
但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。
随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（1） 有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。
如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。
分析解法与数值解法的异同点：1、 相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z)；② ),,,(τz y x g Q =。
2、 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4—1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本概念1、 实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
2、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础； 2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
第四章-6-集总参数法
cV c称为时间常数。 令 c hA
当＝c时，
e1 0.368 36.8% 0
热电偶的时间常数越 小越好。这样热电偶越 能迅速地反映被测流体 的温度变化。 影响时间常数大小的 主要因素：物体的热容 量cV和物体表面的对 流换热条件hA。 5
时间常数反映物体对周围环境温 度变化响应的快慢。 c 越小，温度变化越快。
假设满足Bi0.1的条件。
求解： 物体温度分布t = f ( ); 换热量Q。
3
dt hA(t tf ) cV d
(第三类边界条件)
第四章 / 第三节 非稳态导热
引入过余温度 = t – tf
d cV hA d
初条： 0， t0 t f 0
2
第四章 / 第三节 非稳态导热
t0
假设：
一个任意形状的物体，体积V，
表面面积A；密度、比热容c及 热导率为常数；
（1）建立数学模型
某一时刻物体内部具有 相同的温度t ；经d时间 后，温度变化dt。 热平衡方程：
无内热源；初始温度为t0。 突然放入温度tf恒定的流体中冷却， 物体和流体之间的表面传热系数h 为常数。
1
第四章 / 第三节 非稳态导热
三、集总参数法
—忽略物体内部导热热阻的非稳态导热问题的研究方法。 —特征：忽略物体温度沿空间的变化（零维）。 —使用的前提条件： Bi﹤0.1
实际导热体：
很大，或几何尺寸l很小，或h极低 导热热阻 l/ << 1/h对流换热热阻。
例如：小金属块炉内加热或空气中冷却；测温热电偶等。
hA Q cV (t 0 t ) cV ( 0 ) cV 0 (1 ) cV 0 [1 exp( )] 0 cV
第四章 非稳态导热(5)14
13
注
意
① 图4-4纵坐标为对数坐标，而图4-5和图4-6横坐标为对数坐标。三个图均为半 对数坐标系。 ② 图4-4中为直线关系，只在 Fo 0.2 时才是这样，即当过程进入正规状态阶段， 求解的无穷级数只取第一项（ n 1）即满足精确要求。因此，成简单的指数函数 关系，它们在半对数坐数上为线性关系。否则，第二项以后的余项不能舍去，结果 就不是简单的指数函数关系，线图就不是图4-4的形式。 当 Fo 0.2 时会是什么样？例如：取数据： a 1.489105 m2 s， 100mm,求 得 134 s ，相对时间很短，一般工程上都不会加热或冷却这样短的时间，由图 4-4可见，数据集中在左上角很小的范围内，在整个图上占的份额很小。 如果确实需要计算 Fo 0.2 时，可用式（4－13）计算，即无穷级数解多取几级。 上述分析解的应用范围可以作三点推广：
2 1 2 2 1 2
m / e m 0 0 1 sin 1 cos 1
x 2 sin 1 cos(1 )
a
a
11
通过上述两个线算图分别查出 m ，
，利用 如果已知温度分布 t、x、Bi ，求τ，可以先计算出 ，再由图查出 0 m 1 m 公式 和 反查图得出 Fo 数，求出加热或冷却到此温度 m ，求出 o 0 m o Bi
（1）对无限大平板问题的分析是以平板被加热的情况为例的，上述结果对物体被冷 却的情况同样适用； （2）从无限大平板问题的数学描述式可以看出，分析解也适用于一侧绝热、另一侧 为第三类边界条件的厚为δ 的平板情形； （3） 当固体表面与流体间的表面传热系数趋于无穷大时，固体的表面温度就趋近于流 体温度，因而 Bi 时的上述分析解就是物体表面温度发生突然变化然后保 持不变时的解， 即第一类边界条件的解。
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hA h（V / A） / c） （ BiV FoV 2 cV （V / A）
Bi hL
Bi e 0
a L
2
V
FoV
毕渥数，是表征物理现象特征的 无量纲数，也称特征数或准则数
Fo
2013-9-10
傅里叶数，也是一个 无量纲数
第四章 非稳态导热
21
Bi与Fo的物理意义:
hA hA 0 e
hA cV
W （*）
导热体从初始时刻至某一时刻（0～τ） 时间间隔内与周围环境交换的总热流量为：
Q d hA 0 e
0 0
hA cV
d cV（ e 0 1
hA cV
）
hA cV（t 0 t f ）1 exp( ) cV
2013-9-10 第四章 非稳态导热 4
一、典型非稳态导热过程的分析 1. 大平壁一侧突然受热升温时的导热 （1） 温度分布
1 2
图中直线AD:初始时刻,大平壁内部各处 温度均匀为t0
2013-9-10 第四章 非稳态导热 5
曲线HBD:突然使大平壁左侧表面温度 升高到t1并保持不变，右侧仍与温度为t0的 空气接触紧挨高温表面那部分的温度很快 上升，其余部分仍保持初始温度t0。 随着时间的推移，平壁从左到右各部分 的温度依次升高从某一时刻开始平壁右侧 表面温度逐渐升高，图中曲线HCD、HE、 HF示意性地表示了这种变化过程。 直线HG:经过相当长的时间τ∞后达到新 的稳态，温度分布保持恒定。
h
τ
球体内各处的温度从表面到球心逐层不 断下降 直到与所处环境达到热平衡状态为 止。 随着时间的推移，Φ逐渐减小直至为零。
2013-9-10 第四章 非稳态导热 9
二、非稳态导热过程的特点
非稳态导热过程可分为三个阶段:
1.初始阶段: 温度分布为初始温度区与部
分非稳态导热规律区的混合分布 2.正规状况阶段:温度分布不受 to 的影 响，主要取决于边界条件及物性,且具有一定 规律 3.新稳态阶段: 温度分布一定（Φ1=Φ2 或Φ =0 ）
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11
第二节
集总参数法
在非稳态导热中，当物体内部的导热热
阻远小于其表面的换热热阻时，物体内的温
度梯度很小可认为物体各部分的温度在同
一时刻都处于同一温度物体内的温度分布
与空间坐标无关而只是时间的函数t=f(τ)。
2013-9-10
第四章 非稳态导热
12
集总参数法：这种忽略物体内部导 热热阻认为物体内温度均匀一致，而只 考虑整个物体温度随时间变化的简化分 析法。 一、集总参数法 二、Bi数对导热体温度分布的影响
第一类边界条件的情况。
2013-9-10 33
第四章 非稳态导热
对于温度只沿半径方向变化的圆柱体（如无 限长圆柱体或两端面绝热的圆柱体）和球体在第三 类边界条件下的一维非稳态导热问题，同理分别在 圆柱坐标系和球坐标系中进行与上述类似的分析， 可得类似的结果： a hR r Fo 2 f Bi，Fo， Bi R 0 R
2013-9-10 第四章 非稳态导热 28
二、计算线图的使用 从微分相似法找出影响温度分布的参数
f（Bi ，Fo，X） 0
不满足Bi＜0.1 时，物体内的温度分布不仅取 决于Fo、Bi，而且与空间位置X=x/δ 有关
这正体现了与集总参数法的根本区别。 工程上为了计算方便，绘制成了线算图。
随着平壁内的温度逐渐升高左侧表面吸热 量Φ1↓，右侧表面散热量Φ 2↑ 当Φ1=Φ2时，进入新的稳态导热阶段。 两条曲线间的面积（阴影部分）则为平
壁在瞬态导热过程中所获得的热量，以热力
学能的形式储存于平壁之中。
2013-9-10 第四章 非稳态导热 8
2. 炽热球体突然置于流体中冷却时 的导热
Φ
L 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1h 物体表面对流换热热阻 hL
a 换热时间 Fo 2 2 L L / a 边界热扰动扩散到 2 面积上所需时间 L
无量纲 热阻
无量纲 时间
Bi数越小 ，物体内的温度越均匀； Fo数越大，物体温度越接近于周围介质温度。 Bi与Fo一起决定瞬态导热过程中物体的温度分布
第四章 非稳态导热
§4-1 §4-2 §4-3
*§4-4
非稳态导热的基本概念 集总参数法 一维非稳态导热问题的图解法 特殊多维体非稳态导热的求解 火电厂的非稳态导热实例分析
1
§4-5
2013-9-10
第四章 非稳态导热
基 本 要 求
1. 理解非稳态导热过程的特点。 2. 掌握集总参数法的应用条件，会 用集总参数法求解。 3. 了解非稳态导热问题的分析计算 方法，掌握线算图的适用条件。
2013-9-10
第四章 非稳态导热
13
一、集总参数法
任意形状的物体，体 积为V，表面积为A； 物性参数ρ、c、λ均为 常数，无内热源，内部导 热热阻很小； 初始温度为t0； 突然被置于温度为tf的恒温流体中冷却， 物体表面与流体之间的换热系数h为常数。
2013-9-10 第四章 非稳态导热 14
2013-9-10 2
第四章 非稳态导热
非稳态导热: 物体的温度场随时 间而变化的导热过程
非稳态导热根据温度场随时间变化规律 的特点分类： 1.周期性非稳态导热*：物体的温度随 时间而作周期性的变化 2.非周期性非稳态导热(瞬态导热)： 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定 的值2013-9-10
第四章 非稳态导热
24
一般采用集总参数法求解的判别条件为： Bi＜0.1
或
h（V / A） BiV 0.1M
当满足Bi＜0.1,即Biv＜0.1M时，导热体
内各点间的过余温度的偏差小于5 %。
上述各式是在物体被冷却的条件下导出
的，同样适用于物体被加热的情况。
【例4-1】 【例4-2】
2013-9-10 第四章 非稳态导热 25
二、Bi数对导热体温度分布的影响
的大小对非稳态导热过程中导 热体内的温度分布有重要的影响。 厚为2δ 的平壁突然置于流体中冷却时，Bi数 不同，壁中温度场的变化会出现三种情形。
L/ Bi 1/ h hL
2013-9-10
第四章 非稳态导热
返回
26
第三节 一维非稳态导热问题的图解法
2013-9-10 第四章 非稳态导热 32
m 利用以上两图即可求得: 0 m 0
3.还可应用于第一类边界条件的情况，
因为当h→∞时Bi→∞ 意味着在过程开始的
瞬间物体表面就达到了周围介质温度恒温
介质第三类边界条件转化为恒壁温第一类边
界条件图中
1 0 的曲线就代表恒壁温 Bi
2013-9-10 第四章 非稳态导热 10
非稳态导热过程的两个特点
1. 物体内的温度变化是逐层“传播”
的，各点的温度随时间不断地变化。 2. 同一时刻，与热流方向相垂直的各 截面上的热流量处处不等；同一截面上，不 同时刻的热流量也不相等，物体内有能量的 积聚或散失。
2013-9-10 第四章 非稳态导热
由能量平衡关系（任一时刻物体表面 的换热量等于本身的热力学能变化量）：
引入过余温度θ=t-tf 初始条件：τ=0， θ=t0-tf=θ0 分离变量积分：
0
dt hAt t f cV d
d hA cV d
hA d cV
hA cV
d
0
e 0
物体内的过余温度随时间呈指数衰减曲 线变化，开始变化较快，而后逐渐减缓
2013-9-10 第四章 非稳态导热 15
导热体达到某一温度所需时间：
由 e 0
hA cV
0 ln hA cV
当
cV
hA cV 令 C hA
e 1 36.8% 0
2013-9-10 第四章 非稳态导热 22
式中L为导热体的特征尺寸。 对于厚为2δ的无限大平壁：L=δ 半径为R的长圆柱和半径为R的球体：L=R Biv和Fov的下脚标“V”表示其特征尺寸为
V LV A
Bi与Biv之间的关系：Biv=MBi M—与物体几何形状有关的无量纲数
2013-9-10 第四章 非稳态导热 23
如热电偶和电阻温度计, τ c越小， 说明准确测量流体的温度所需时间越短。 由τc定义式 τc取决于导热体的几何参 数V/A,物性参数ρ、c及换热系数h 自身 的热容量（ρc V）↓或表面换热条件（hA） ↑ τc↓
2013-9-10 18
第四章 非稳态导热
导热体在任一时刻τ，单位时间内与周围环 境之间所交换的瞬时热流量为：
R—圆柱体或球体的半径 r—圆柱体或球体内的任意半径 类似地可绘制出长圆柱体和球体的线算图
第四章 非稳态导热
3
第一节 非稳态导热的基本概念
非稳态导热主要研究两方面的内容： 1. 确定物体在加热或冷却过程中,其 内部温度随时间和空间位置的变化规律。 t f ( x , y , z , ) 2. 计算物体在加热或冷却过程中,吸 收或放出的热量。 Φ f( ) 一、典型非稳态导热过程的分析 二、非稳态导热过程的特点
A M 1 BiV Bi A R 2l R 1 Bi M BiV 对半径为R的 2Rl 2 2 2 无限长圆柱 4 3 R V 3 R 1 Bi 对半径为R的球 A 4R 2 3 M 3 BiV 3
对厚为2δ的 无限大平壁
V A V A
2013-9-10
具有时间的量纲称为时间常数