泛函分析试题九 - 360文档中心

泛函分析考试题集与答案

以及若
d1(x,y) min( d(x,y),1) 0或d2(x,y)
均有d(x,y)0成立，于是x y成立
2)d(y,x) d(x,y)，
因此d1(y,x) min(d(y,x),1) min( d(x,y),1) d1(x, y)和d2(y,x)d(y,x) d(x, y)d2(x,y)
21 d(y,x) 1 d(x, y)2
若R是赋范空间，d(x,0) ||x|| |x|p，所以x,k R，必须有：||kx|||k|||x||成立，即|kx|p|k ||x|p，p1，当p1时，若R是度量空间，p1时，若R是赋范空间。
2．若( X , d)是度量空间，则d1min( d ,1)，d2d也是使X成为度量空间。
1 21 d
映射
T:
c*0l1,
f
(f(e1), f(e2), ,
f (en),
) (1,2, ,n, )
使得
x
(x1, x2, ,xn,
) c0，
有f ( x)xi i成立
i1
则T线性保距同构映射，因此c*0l1
9．设H是Hilbert空间，xn是H中正交集，则以下三条等价；
1)xn收敛，2)y H，(xn,y)收敛，3)||xn||2收敛
1取S1O(0, ) X，则T在S1上无界，因此x1S1，
使得||Tx1||1成立。
1
取S2O(0,2) X，则T在S2上无界，因此x2S2，
22
使得||Tx2||2成立。
类似地过程一直进行，直到
1
取SnO(0,n) X，则T在Sn上无界，因此xnSn，2n
使得||Txn||n成立。
因此，xnX，使得xn0，但||Txn||

泛函分析考试题型及答案

泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。

A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。

A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。

A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。

A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。

A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。

A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。

A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。

A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。

A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。

A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。

答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。

答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。

答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。

答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。

答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。

答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。

泛函分析习题答案第九章习题答案

|q
1/ q
i1

(i ) l p
( 3)
此外，因为(i ) l q，故( i |i |q1 ) l p (其中 i signi )

记x0 ( i | i |q1 )，则 f ( x0 ) i |i |q1 i | i |q (4)
n
n
n
f ( x0 ) ici | ci | f x0 f ，故 | ci | f
( 2)
i 1
i 1
i 1
n
结合(1)、(2)得 f | ci | (3) i 1
由此可知，对每个RMn 上的有界线性泛函，存在唯一的(c1 ,, cn ) Rn，
n
上的一个有界线性泛函，记ci f (ei )，则(ci ) Rn，且 f ( x) ici i 1
n
n
x

(1 ,,n )，f
( x)

max
1 i n
|

i
|
| ci
i 1
|，
故
f | ci | i 1
(1)
又当 f 0时，记 i signci , x0 (1 ,, n )，则 x0 1，且
令 x

x
f (x) f ( x )
x，
则
f
(
x
)

0，故x

N，
从
而
x
x
(x, N )
所以 f (x) f ( x )
f (x) f ( x ) x

(完整word版)大连理工大学泛函分析复习题与答案

泛函分析期末复习题和答案（2005-2006年度）此为答案复习题在后面1、所有元素均为0的n ×n 矩阵2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x ，y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。

子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。

3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L ，则集合x 0+L={x 0+l ，l ∈L}称为E 中一个线性流形。

4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x ，y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。

5、设x ，y 是线性空间E 中的两个元素，d(x ，y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1）非负性：d(x ，y)＞0，且d(x ，y)＝0＜―――＞x=y （2）对称性：d(x ，y)=d(y ，x)（3）三角不等式：d(x ，y)≤d(x ，z)+d(y ，z) for every x ，y ，z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：设x={x 1，x 2，…x n }T ，y={y 1y 2，…y n }Td 2(x ，y)=(21||niii x y=-∑)1/2d 1(x ，y)=1||ni i i x y =-∑d p (x ，y) = (1||np iii x y=-∑ )1/p d ∞(x ，y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x ，d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ，x 0)→0(n →∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n →x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件：（1）||x||≥0，且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||，λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||，for every x ，y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0，总存在自然数N ，使得当n>N ，m>N 时，均有|x m -x n |<ε，则称序列{x n }是E 中的基本列。

泛函分析考试题集与答案

泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令py x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量空间，p 为何值时，R 是赋范空间。

是赋范空间。

解：若R 是度量空间，所以R z y x Î",,，必须有：),(),(),(z y d y x d z x d +£成立成立即pppz y y x z x ||||||-+-£-，取1,0,1-===z y x ，有2112=+£pp p ，所以，1£p若R 是赋范空间，px x x d ||||||)0,(==，所以R k x Î",，必须有：||||||||||x k kx ×=成立，即ppx k kx ||||||=，1=p ，当1£p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。

是赋范空间。

2．若),(d X 是度量空间，则)1,min(1d d =，dd d +=12也是使X 成为度量空间。

为度量空间。

解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x Î",,有：有： 1）0),(³y x d ，因此0)1),,(min(),(1³=y x d y x d 和0),(1),(),(2³+=y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ，于是0)1),,(min(),(1==y x d y x d 和0),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d以及若以及若0)1),,(min(),(1==y x d y x d 或),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立成立 2）),(),(y x d x y d =，因此),()1),,(min()1),,(min(),(11y x d y x d x y d x y d ===和),(),(1),(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=3）),(),(),(z y d y x d z x d +£，因此，因此}1),,(),(min{)1),,(min(),(1z y d y x d z x d z x d +£= ),(),()1),,(min()1),,(min(11z y d y x d z y d y x d +=+£以及设x x x f +=1)(，0)1(1)(2>+=¢x x f ，所以)(x f 单增，单增，所以),(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++£+=),(),(1),(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++=),(),(),(1),(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++£综上所述)1,min(1d d =和d dd +=12均满足度量空间的三条件，故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。

泛函分析习题

第七章度量空间和赋范线性空间复习题：1。

设(,)X d 为一度量空间，令0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε?2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义()()()()01|()()|(,)max.21|()()|r r r r r a t b r f t g t d f g f t g t ∞≤≤=-=+-∑ 证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.3。

设B 是度量空间X 中闭集,证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ,而且1.n n O B ∞==4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+也是X 上的距离.5。

证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f C a b ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f的各阶导数.6.设[,]B a b ⊂,证明度量空间[,]C a b 中的集 {|t , (t)=0}fB f ∈当时为[,]C a b 中的闭集，而集 {||()|}(0)A ft B f t a a =∈<>当时,为开集的充要条件是B 为闭集。

7。

设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。

8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素,[,]f g B a b ∈，规定距离为(,)sup |()()|.a t bd f g f t g t ≤≤=-证明[,]B a b 不是可分区间.9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖. 10。

泛函分析期末试题及答案

泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案：D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。

以下哪个选项是泛函的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案：C3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。

以下哪个选项是范数的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案：B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案：B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。

以下哪个选项是内积的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案：D二、填空题1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。

2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。

三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。

解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。

(完整word版)泛函分析试卷

泛函分析期末考试试卷（总分100分）一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）.A ．10<<-≤-αα，　y x Ty Tx B.1≥-≤-αα，　y x Ty Tx C.10<<-≥-αα，　y x Ty Tx D.1≥-≥-αα，　y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。

2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。

3、1l 的共轭空间是（）。

4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。

5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。

三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。

( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。

( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。

( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。

泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。

以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。

以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。

答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。

答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。

答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。

如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。

答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。

范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。

它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。

- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。

泛函分析习题及参考答案

∑
∞
ξi( n ) < ε p 对任何自然数 n 成立。
1 p
p
p⎞ ⎛ ∞ (n) (n) 证明：必要性证明，由 d ( xn , x) = ⎜ ∑ ξi − ξi ⎟ → 0 可知， ξi → ξi ， i = 1, 2, ⎝ i =1 ⎠
。
由 x = (ξ1 ,
∞
, ξi , ) ∈ l p 可知， ∀ε > 0 ，存在 N1 > 0 ，使得
1 3
1 3
1 1 1 ⎧ ⎫ O( x, ) ∩ O( y, ) = Φ ，从而 ⎨O( x, ) x ∈ M ⎬ 是一族互不相交的球，其总数是不可数的。 3 3 3 ⎩ ⎭
（或：由 ∪O 因此 {y n }至少也有不可数个，这与 {y n }是可数的相矛盾。（yn , ） ⊃l ⊃M 以
∞
1 3
p p
En
∫x
n
பைடு நூலகம்
− x dt +
p
Fn
∫x
n
− x dt 。此时，
p
1 1 ⎡ ⎤ p p p p p p x x dt ( x dt ) ( x dt ) − ≤ + ⎢ ⎥ ， ∫ x n − x dt < (b − a ) ⋅ ε 。 n n ∫ ∫ ∫ ⎢ En ⎥ Fn En En ⎣ ⎦
依测度收敛于 x(t ) 。
，令n → ∞，可得 m( E ( x n − x ≥ σ ) → 0 。即 x n (t )
由 x(t ) 的积分绝对连续性可知，对任何 ε > 0 ，存在 δ 1 > 0 ，使得 e ⊂ E ，me < δ 1 时，
( ∫ x(t ) dt ) <

非线性泛函分析试题与答案

一. 名词解释弱收敛，弱*收敛，,0()k pW Ω，强制，Gateaux 可微，Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，2C 映射的Brouwer 度，全连续场，全连续场的Leray -Schauder 度二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。

三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G -微分21212221212,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}pp n Tu Wu u u L T R ⋅∈=∈，有1,p TW uC u ∞≤五. 设nR Ω⊂是有界闭集，(,,)k x y u 是2R Ω⨯上的连续函数，证明积分算子:()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ϕϕΩΩ→Ω=⎰是全连续算子。

六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞⨯→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解(,)(0)dxf t x dtx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足()()()(), taw t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤⎰则()()exp(())exp(())t t taasdvw t v a u s ds u d ds dsττ≤+⎰⎰⎰ 八. 证明Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare -Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。

泛函分析试卷与答案

泛函分析试卷与答案【篇一：泛函分析习题参考答案】证明：显然为空间x上的距离，试证：~d(y,x)也是xd(y,x)?1?d(y,x)上的距离。

~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0d(x,y)0xy。

~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)d(x,y)；1?d(y,x)1?d(x,y)t1?1?1?t1?t的单调增加性及再者，最后，由d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)~~d(x,z)d(z,y)d(x,z)?d(z,y)。

1?d(x,z)1?d(z,y)、设二p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),?)?lp，n?1,2,?，x?(?1,?,?i,?)?lp，则n??时，p??d(xn,x)i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?；(2)0，i1存在n?0，使得i?n?1i(n)p对任何自然数n成立。

(n)(n)必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?。

i1p由x?(?1,?,?i,?)?l。

p可知，，存在n1?0，使得i?n1?1p?(n)ii?(p?i?1pi(p2，并且n?n1时，2p由此可得，i?n1?1i(n)ppppi(n)??ii????p对n?n1成立。

i?n1?1i?n1?1p对于n?1,2,?n1，存在n2?0，i?n2?1i(n)pp。

取n?max?n1,n2?，则i?n?1(n)pip对任何自然数n成立。

0，存在k?0，使得充分性证明：由条件可知，i?k?1时，k(n)pi(2ip对任何自然数n成立，并且i?k?1pi(p2。

由(n)i??i可知，存在n?0，使得n?n i?1(n)ipp，并且d(xn,x)pi?1(n)i??ipi?1k(n)i??i?pi?k?1pi(n)ipi(n)??ii?1kp(n)ppp?(i)?(i)p2?p。

泛函分析9§1-5,习题选讲与答案

第九章内积空间和希尔伯特空间例题选讲例1． Hilbert 是X 可分的充分必要条件X 存在一个可数的完全规范正交系{}n e证明：若X 是可分的，设{}n x 是X 的一个可数稠密子集。

不妨设{}n x 是线性无关的。

用Gram Schmidt -方法，存在可数的完全规范正交系{}n e ，使span{}1,,n e e L = {}1,,n span x x L 。

这样。

因此{}n e 是完全的。

反之，若{}n e 是X 的一个完全规范正交系，则span {}n e 在X 中稠密。

()01,,1,2,3,n k k k k k k X a ib e a b Q N =⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭∑L 是X 中的可数稠密子集，因此 X 是可分的。

证毕例2．求证：P 是Hilbert 空间X 上的投影算子的充分必要条件是：2P P =且*P P =证明：设P 是X 中相对应与闭线性子空间Y 的投影算子。

对任意x ∈X ，存在1x Y∈，2x ∈Y ⊥，使12x x x =+，1Px x =。

对于1x ，1x =10x +，其中1x Y ∈，0Y ⊥∈。

因此11Px x =，即21P x Px Px ==，因此2P P = 设,x y X ∈，12x x x =+，12y y y =+。

其中11,x y Y ∈，22,x y Y ⊥∈。

这样()()()()()1121112,,,,,Px y x y y x y x x Py x Py =+==+=。

这就证明了*P P =。

反之，若P 满足*P P =，*P P =。

令{}Y x Px x ==，则Y 是X 中的线性子空间。

Y 还是闭的。

事实上，若n x Y ∈，0lim n n x x →∞=，则00lim lim n n n n Px Px x x →∞→∞===。

故0x Y ∈，因此Y 是闭的线性子空间，我们要证明P 是Y 上的投影算子。

设x X ∈，则()x Px x Px =+-。

泛函分析习题测验解答

泛函分析习题测验解答第一章练习题1．记([,])C a b 是闭区间[,]a b 上连续函数全体构成的集合, 在([,])C a b 上定义距离如下:(,)|()()|,,([,])baf g f x g x dx f g C a b ρ=-?∈?，（1）([,])C a b 按ρ是否完备?（2）(([,]),)C a b ρ的完备化空间是什么?答：(1) 不完备, 例如对于[,][0,2]a b =以及1,2,n =L ,定义,01,():1,1 2.n n x x f x x ?≤<=?≤≤? 则{()}([0,2])n f x C ?在本题所定义的距离的意义下是Cauchy 列, 因为111(,)|()()|110,(,).11n m n m n m f f f x f x dxx dx x dxm n n m ρ=-≤+=+→→∞++另一方面, 点列{()}n f x 并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到([0,2])C 中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有0,[0,1)()()1,[1,2].n x f x g x x ∈?→=?∈?因此, 根据Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到11100(,)|()()|1|0|0.1n n nnf g f x g x dxx dx x dx n ρ=-=-==→+但()([0,2])g x C ?.(2) ([,])C a b 的完备化空间是1([,])L a b . 因为(i) 在距离ρ的意义下, ([,])C a b 是1([,])L a b 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个1()([,])f x L a b ∈, 需要证明: 对于任意的0ε>, 存在()[,]g x C a b ∈, 使得[,](,)|()()|a b f g f x g x dx ρε=-<?.事实上, 首先根据积分的绝对连续性, 存在0δ>, 使得当[,]E a b ?, 只要mE δ<, 就有|()|3Ef x dx ε<.因为()f x (Lebesque)可积, 故几乎处处有限, 即10N N m E ∞==I ,其中{[,]||()|}N E x a b f x N =∈>. 由此可以得到 lim ()0N N m E →∞=(因为{}N E 是渐缩集列并且[,]a b 的测度有限),故存在某个自然数N , 使得N mE δ<且|()|3NE f x dx ε<,因此有|()|f x N ≤,[,]\N x a b E ∈.引入一个新函数定义为(),[,]\():0,,NNf x x a b E f x E ∈?=?% 显然对于[,]x a b ∈恒有|()|f x N ≤%. 由Lusin 定理, 存在连续函数()(,)g x C ∈-∞+∞和闭集[,]F a b ?, 使得([,]\)min{,/3}m a b F N δε<且|()|g x N ≤, 进而()()g x f x ≡%,x F ∈.则()g x 限制在[,]a b 即为所求, 因为: [,](,)|()()|a b f g f x g x dx ρ=-?([,]\)|()()|a b F Ff xg x dx ?=-?[,]\|()()||()()|a b FFf xg x dx f x f x dx ≤-+-?%[,]\\(|()|)|()()||()()|NNa b FF E F E f x N dxf x f x dx f x f x dx≤++-+-??%%[,]\|()|([,]\)a b Ff x dx Nm a b F ≤+?\|()|0NNF E F E f x dx dx ?++?333εεεε<++=.(ii) 1 (([,]),)L a b ρ是完备的空间.2．设(,)X ρ是距离空间，A 是X 的子集，对任意的x X ∈，记(,)inf (,)y Ax A x y ρρ∈=，则（1）(,)x A ρ是x 的连续函数.（2）若{}n x 是X 中的点列, 使(,)0n x A ρ→,{}n x 是否为Cauchy 列? 为什么? 证：(1) 任意取定12,x x X ∈, 对于任意的y X ∈根据三角不等式, 有1122(,)(,)(,)x y x x x y ρρρ≤+, 2211(,)(,)(,)x y x x x y ρρρ≤+.对两端关于y A ∈取下确界, 可以得到1122inf (,)(,)inf (,)y Ay Ax y x x x y ρρρ∈∈≤+, 2211inf (,)(,)inf (,)y Ay Ax y x x x y ρρρ∈∈≤+.即1122(,)(,)(,)x A x x x A ρρρ≤+, 2211(,)(,)(,)x A x x x A ρρρ≤+.由此可得1212|(,)(,)|(,)x A x A x x ρρρ-≤.由此容易证明()f x (,)x A ρ=是X 上的连续函数, 实际上, (,)x A ρ还满足Lipschitz 常数等于1的Lipschitz 条件.(2) 答: 未必是Cauchy 列. 例如取X =R , 其中的距离是Euclid 距离. 对于{1,1}A =-, 对于1,2,n =L , 定义点列为1(1).n n x n=-+对于点列{}n x ,不难验证,1(,)0n x A nρ=→; 但显然{}n x 不是Cauchy 列. 这里的原因就在于(,)x A ρ不是点到点之间的距离, 而是点到集合的距离, 当这个集合A 含有不止一个点时, (,)x A ρ不再具有点点之间距离的性质.3． E 是nR 中的Lebesgue 可测集合, 试证()L E ∞按距离(,)esssup |()()|x Ef g f x g x ρ∈=-是不可分空间.证法一：记为方便起见, 设[,]E a b =. 定义[,]1,[,],()()0,(,].a x a f x x x b λλλχλ∈?==?∈?显然()f x λ有界,可测, 因此必属于([,])L a b ∞. 记{()|(,]}A f x a b λλ=∈.则([,])A L a b ∞.既然对于不同的12,[,]a b λλ∈, 1f λ与2f λ不同的部分是正测度集, 容易看出A 的势是?.进而有(不妨设12λλ<)1212121212[,][,]\0[,][,]\0[,][,][,][,]\0(,][,][,]\0(,)infsup |()()|inf sup |()()|inf sup |()()|infsup () 1.E a b x a b E mE E a b x a b E mE a a E a b x a b E mE E a b xa b E mE f f f x f x f x f x x x x λλλλλλλλλλρχχχ?∈=?∈=?∈=?∈==-=-=-==我们用反证法证明所需的结论.设([,])L a b ∞是可分的，则其必有可数的稠密子集123{,,,,,}i g g g g L L , 因此至少有一个i g 属于两个不同的1(,1/3)S f λ和2(,1/3)S f λ.而由三角不等式, 我们有12121(,)(,)(,)112.333i i f f f g g f λλλλρρρ=≤+≤+=这是一个矛盾. 因此([,])L a b ∞不可能是可分的.证法二：既然E 是正测度集,存在0R >使得((0,))0m S R E ?>. 不难验证, 存在一列正数1{}i i R ∞=满足:120i R R R R <<<<<<="" l="" p="">且1([(0,)\(0,)])0i i m E S R S R +?>.对于每一个12(,,,,)i λλλλ=L L ,其中0i λ=或1, 定义1(),[(0,)\(0,)]i i i f x x E S R S R λλ+=∈?,1,2,i =L . 显然()f x λ有界,可测, 因此必属于()L E ∞. 记{()|{0,1}}A f x λλ=∈N ,其中{0,1}N表示具有上述性质的λ的全体. 则()A L E ∞.既然对于不同的,λμ∈{0,1}N, (不妨设1(,,,)i λλλ=L L , 1(,,,)i μμμ=L L 且对于某个i ,0i λ=1i μ=)f λ与f μ不同的部分至少是正测度集1[(0,)\(0,)]i i E S R S R +?, 容易看出A 的势与{0,1}N的势都是连续统的势?.进而有11\0((0,)\(0,))\0((0,)\(0,))\01(,)inf sup |()()|infsup|()()|inf sup|| 1.i i i i F E x E F mF F E x E S R S R FmF i i F E x E S R S R F mF f f f x f x f x f x λμλμλμρλμ++?∈=?∈?=?∈?=≥=-≥-=-= 我们用反证法证明所需的结论.设()L E ∞是可分的，则其必有可数的稠密子集123{,,,,,}i g g g g L L , 因此至少有一个j g 属于两个不同的(,1/3)S f λ和(,1/3)S f μ.而由三角不等式, 我们有1(,)(,)(,)11.33j j f f f g g f λμλμρρρ=≤+≤+这是一个矛盾. 因此()L E ∞不可能是可分的. 补充题．证明[,]L a b ∞是不可分空间. 证：记{}[,]()a t K x a t b χ=<<,其中[,]1,,():0,.a t a x t x t x b χ≤≤?=?<≤?显然[,]K L a b ∞, 且只要12,[,]t t a b ∈,12t t ≠, 则有12[,][,],a t a t K χχ∈, 且因为(不妨设12t t <)12(,]t t 的测度为正, 故1212[,][,][,][,][,]||||sup |()()|a t a t a t a t L a b ess x x χχχχ∞-=- 1212(,](,]sup |()|1t t x t t x χ∈==.因此, 由(,)a b 是不可数集, 而K 的基数与(,)a b 的基数相同, 故也是不可数集,且K 中任何两个不同元的距离均为1.如果[,]L a b ∞是可分的, 因此有一个可数的稠密子集合{()|1,2,}k A f x k ==L , 且11(,)3kk S f K ∞=?U . 但这是荒谬的, 因为上式左端只有可数多个开球, 右端有不可数多个元, 所以至少有K 中的两个不同的12[,][,],a t a t χχ属于同一个开球01(,)3k S f , 由此得到矛盾:121002[,][,][,][,][,][,][,]1||||||||||||112.333a t a t L ab a t k k a t L a b L a b f f χχχχ∞∞∞=-≤-+-<+= 此矛盾表明[,]L a b ∞不可能是可分的.4．设([,])kC a b 是闭区间[,]a b 上具有k 阶连续导数的函数全体, 定义:()()[,](,)max |()()|,,([,])ki i k x a b i f g f x g x f g C a b ρ∈==-∈∑试证:（1）([,])kC a b 是完备的距离空间; （2）若定义||||(,0)f f ρ=,则(([,]),||||)kC a b ?是Banach 空间.证：(1) 这里只证明该距离是完备的. 设1{()}n n f x ∞=是([,])k C a b (0k =时, 0([,])C a b 就理解为[,]C a b )中该距离意义下的Cauchy 列. 因此当,m n →∞时，有()()[,]0(,)max |()()|0ki i m n m n x a b i f f f x f x ρ∈==-→∑.由此容易知道对于每一个0,1,,i k =L , ()1{()}i n n f x ∞=是0([,])C a b 中的Cauchy 列. 根据0([,])C a b 的完备性,知()1{()}i n n f x ∞=收敛到0([,])C a b 中的某个元, 记其为()i f x , 则0()([,])i f x C a b ∈, 且()()()i i n f x f x ?→??→，,0,1,,n i n →∞=L , 其中“??→??→”表示是一致收敛. 如果我们记0()()f x f x =利用数学分析中函数序列一致收敛的分析性质, 可以得到12()()(),()(),,()().k kf x f x f x f x fx f x '''===L (*)例如, 因为1()()n f x f x ?→??→', 故 1()()xxn aaf t dt f t dt ??→??→'?, 即1()()()xn n af x f a f t dt ??→??→-?, 又0()()n f x f x ?→??→及0()()nf a f a ??→??→, 故 001()()()xaf x f a f t dt -=?.求导即可得到01()()f x f x '=, 即 1()()f x f x '=.归纳地可得(*).因此0()()f x f x =([,])kC a b ∈且()[,](,)max |()()|ki i n n x a b i f f f x f x ρ∈==-∑()()[,]max |()()|0ki i n x a b i f x f x ∈==-→∑.即([,])kC a b 是完备的距离空间.（2）证略.7．证明有限维线性赋范空间是完备的.证：记该有限维(实)线性赋范空间为E , 是n 维的，范数记为||||x ,需要证明(,||||)E ?是完备的. 记E 中的一组基为:12,,,n v v v L .因此对于任意的x E ∈, 存在唯一一组实数12,,,n x x x L , 使得1122n n x x x x =+++v v v L , 反之亦然.(i) 我们断言存在一个与x 无关的常数0K >, 使得||||||i x K x ≤, 1,2,,i n =L .(*)首先定义一个映射:nf ?→?为: 对于任意的12(,,,)n x x x L n ∈?,121122(,,,):||||||||n n n f x x x x x x x ==+++v v v L L .则对于任意的,x y E ∈(1122n n y y y y =+++v v v L )有1122||||(,,,)n n x y f x y x y x y -=---L 111||||||||||||n n n x y x y ≤-?++-?v v L2222111()()||||||||n n n x y x y ≤-++-?++v v L L .由此容易知道f 是n R 上的连续函数. 记1B ?是nR 中的单位球面, 即21121{(,,,)|1}nn k k B x x x x =?==∑L . 则对于任意的11(,,)n x x B ∈?L , 有1(,,)0n f x x >L .(事实上, 若有1(,,)0n f x x =L 则111(,,)||||0n n n f x x x x =++=v v L L ,因此110n n x x ++=v v L , 但12,,,n v v v L 线性无关, 故必有120n x x x ====L , 此与11(,,)n x x B ∈?L 相矛盾. )注意到1B ?是n R 中的有界闭集(紧子集), 连续函数f 必可在其上达到正的最小值1/0K >.现在我们可以证明式(*). 事实上, 对于任意的x E ∈,存在唯一的一组实数12,,,n x x x L , 使得1122n n x x x x =+++v v v L , 不失一般性, 可设0x ≠因此, 12,,,n x x x L 不全为零, 注意到111222111,,,n n n n k k k k k k x x x y B x x x ===?? ?=∈? ? ??∑∑∑L , 故111222211111222111()1,,,,nn nnnkkkk k k n n n n k k k k k k x x x f y xxxx x x f K x x x ======+++=?? ?=≥ ? ??∑∑∑∑∑∑v v v L L或2112211||||nn n kk x x x x xK==+++≥∑v v v L .由此容易得出(*)式.(ii) 设()1{}k k x ∞=是E 中的基本列, 这里()()()()1122k k k k n n x x x x =+++v v v L ,即()()||||0k l x x -→, 当,k l →∞.利用(*)式便可以得到对于每一个1,2,,i n =L , 成立()()()()||||||0k l k l i i x x K x x -≤-→, 当,k l →∞.即()1{}k i k x ∞=是1中的基本列, 因此收敛. 设()(0)k i i x x →, (k →∞,1,2,,i n =L ).记(0)()(0)(0)1122k n n xx x x =+++v v v L , 显然(0)x E ∈. 根据E 中收敛的等价性(即按范数收敛意味着每个分量收敛或即按坐标收敛), 容易得到()(0)||||0k x x -→, 当k →∞.因此(,||||)E ?是完备的.9．设X 为线性赋范空间, 0X 是X 的线性闭子空间. 在X 中定义等价关系:为0x y x y X ?-∈:. 对任意的x X ∈, 以[]x 记x 的等价类, 令0/{[]|}X X x x X =∈.称0/X X 为商空间, 在0/X X 上定义线性运算如下: (i) [][][]x y x y +=+, ,x y X ∈, (ii) [][]x x λλ=, ,x X λ∈∈C .并定义0||[]||inf ||||y X x x y ∈=+.试证: 0/X X 按0||[]||x 也是一个线性赋范空间.证：(一) 0/X X 按照所定义的线性运算是线性空间 (证明略).(二) 0||[]||x 是0/X X 中的范数. 按照定义, 对于每一个0[]/x X X ∈显然0||[]||inf ||||y X x x y ∈=+是一个确定的数, 因此00||||:/X X ?→R 是映射.(i) (非负性) 对于x X ∈, 显然0||[]||inf ||||0y X x x y ∈=+≥.(正定性) 当0[]=[0]=x X 时, 有00||[]||||[0]||inf ||||0y X x y ∈===.反之, 如果我们假设0000||[]||inf ||||0y X x x y ∈=+=, 需要证明 00[]=[0]=x X , 也只需证明00x X ∈. 事实上, 根据下确界的定义, 对每一个自然数1,2,k =L , 存在0k y X ∈, 使得00000111||||||[]||inf ||||k y X x y x x y k k k∈+<+=++=, 由此得到一个序列0{}k y X ?且||||0k y x →-.因为0X 是闭子空间因此00x X -∈故00x X ∈, 即00[]=[0]=x X . (ii) (正齐性) 对于,x X λ∈∈C , 如果0λ=, 则000x x X λ==∈, 故0[][0]0[][]x X x x λλ====. 如果0λ≠, 则当y取遍0X 中的所。

泛涵分析考试题及答案

泛涵分析考试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子？A. 线性变换B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性映射答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个是完备的内积空间？A. 有限维欧几里得空间B. 无限维欧几里得空间C. 有界序列空间D. 所有实数序列空间答案：A3. 泛函分析中的紧算子是指什么？A. 有界算子B. 线性算子C. 将有界集映射到相对紧集的算子D. 将有界集映射到紧集的算子答案：D4. 下列哪个定理是泛函分析中的闭图定理？A. 开映射定理B. 闭图定理C. 赫尔德不等式D. 里斯表示定理答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，如果一个线性算子的值域是整个空间，则称该算子为________。

答案：满射2. 泛函分析中的________定理是研究线性算子有界性的重要工具。

答案：一致有界性3. 希尔伯特空间中的________定理说明了每一个有界线性泛函都可以由一个唯一的向量表示。

答案：里斯表示4. 如果一个线性算子是连续的，并且它的逆算子也是连续的，则称该算子为________。

答案：有界可逆三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述泛函分析中弱收敛和强收敛的区别。

答案：在泛函分析中，弱收敛是指序列在空间中任意连续线性泛函下收敛，而强收敛则是指序列在空间的范数下收敛。

弱收敛是比强收敛更弱的收敛形式，它不要求序列的范数收敛到极限的范数，只要求序列在每一个连续线性泛函下收敛到极限。

2. 请解释泛函分析中的巴拿赫空间和希尔伯特空间的区别。

答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，它要求空间中的每一个柯西序列都收敛于空间内的某一点。

而希尔伯特空间是巴拿赫空间的一种特殊形式，它除了满足巴拿赫空间的性质外，还具有内积结构，使得空间中的向量可以进行内积运算，并且内积诱导了一个范数。

希尔伯特空间中的内积结构使得它在研究线性算子和泛函时具有更多的性质和工具。

泛函分析考试题型及答案

泛函分析考试题型及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的基本元素？A. 向量B. 线性组合C. 线性映射D. 拓扑结构答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个性质不是内积空间必须具备的？A. 正定性B. 线性C. 对称性D. 交换性答案：D3. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. 赫尔德不等式B. 闵可夫斯基不等式C. 贝叶斯定理D. 一致有界性原理答案：C4. 巴拿赫空间是指完备的赋范线性空间，以下哪个条件不是巴拿赫空间必须满足的？A. 线性B. 赋范C. 完备性D. 有限维答案：D5. 在泛函分析中，紧算子是指将有界集映射到相对紧集的线性算子，以下哪个性质不是紧算子必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 单射性答案：D6. 下列哪个概念不是泛函分析中的拓扑概念？A. 开集B. 闭集C. 连续性D. 线性映射答案：D7. 泛函分析中，下列哪个概念与巴拿赫空间无关？A. 赋范线性空间B. 完备性C. 紧性D. 线性答案：C8. 在泛函分析中，下列哪个性质不是线性泛函必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 单射性D. 连续性答案：C9. 下列哪个定理不是泛函分析中解决方程问题的基本定理？A. 赫尔德定理B. 拉克斯-米尔格拉姆定理C. 贝祖定理D. 弗雷德霍姆选择定理答案：C10. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子的基本性质？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 可逆性答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中的线性空间必须满足向量加法和标量乘法的______性。

答案：封闭2. 希尔伯特空间中的内积必须满足正定性、线性、对称性和______性。

答案：共轭对称3. 巴拿赫空间是完备的______线性空间。

答案：赋范4. 紧算子将有界集映射到______集。

答案：相对紧5. 巴拿赫空间中的完备性是指空间中的每个柯西序列都收敛到空间内的某个元素，这种性质也称为______性。

泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案### 泛函分析试题及答案#### 一、选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的概念？A. 线性组合B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性变换答案：D2. 在Banach空间中，以下哪个条件不是完备性的必要条件？A. 空间中的每个Cauchy序列都收敛于空间内B. 空间是完备的C. 空间中存在一个完备的度量D. 空间中的每个有界序列都有一个收敛的子序列答案：C3. 泛函分析中，Hilbert空间的完备性是相对于哪种范数？A. 欧几里得范数B. 赋范范数C. 内积诱导的范数D. 以上都是答案：C4. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. Hahn-Banach定理B. Riesz表示定理C. 闭图定理D. 微积分基本定理答案：D#### 二、填空题（每题5分，共20分）1. 线性泛函在定义域上的连续性等价于其在定义域的原点处的连续性，这是基于泛函分析中的________定理。

答案：Hahn-Banach2. 在Hilbert空间中，任意两个向量的内积满足平行四边形法则，即对于任意向量\( u \)和\( v \)，有\( \|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 =2(\|u\|^2 + \|v\|^2) \)，这是基于________定理。

答案：平行四边形3. 线性算子的谱半径公式为\( r(T) = \lim_{n \to \infty}\|T^n\|^{1/n} \)，其中\( T \)是Banach空间上的有界线性算子，这是基于________定理。

答案：Gelfand公式4. 在泛函分析中，紧算子的定义是：如果对于空间中的每一个有界序列，其在算子下的像序列都有一个收敛的子序列，则称该算子为紧算子，这是基于________定理。

答案：Arzelà-Ascoli#### 三、简答题（每题15分，共30分）1. 简述Riesz表示定理的内容及其在泛函分析中的意义。

(完整word版)泛函分析题目集

泛函分析复习题一．选择题：1. 设 },,,,{21 n e e e 是希尔伯特空间H 上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是 ( )A. },,,,{21 n e e e 线性无关；B. 对任何的H x ∈，都有∑∞==122|),(|n n xe x ；C. 任意两组数N a a a ,,,21 ，N b b b ,,,21 都有 ∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛Nn n n N n N n n n n n b a e b e a 111,；D. ()⎩⎨⎧≠==ji j i e e j i ,0,1,， ,3,2,1,=j i 。

2. 下列关于p L 空间（1≥p 且2≠p ）的论述不正确的是（）A. pL 空间是一个赋范线性空间；B. p L 空间是完备的；C. p L 空间是距离空间；D. p L 空间是希尔伯特空间。

3. 下列关于2L 空间的论述不正确的是（）A. 2L 空间是一个赋范线性空间；B. 2L 空间不一定完备的；C. 2L 空间是内积空间；D. 2L 空间是可分的。

4. 设X为一个实赋范线性空间，⋅为他上面的范数，则下面不正确的是（）A. 对任何X x ∈，都有0≥x ，B. 对任何X x ∈，R a ∈都有x a ax ||=，C. 对任何X x ∈，X y ∈，都有222y x y x +=+， D. 对任何X x ∈，X y ∈，都有y x y x +≤+。

5. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（）A. X 和空集φ都是开集；B. 任意多个开集的并还是开集；C. 任意多个开集的交也是开集；D. 有限多个开集的交也是开集。

6. 设X 为一个距离空间，下面不正确的是（）A. X 和空集φ都是闭集；B. 任意多个闭集的并还是闭集；C. 任意多个闭集的交也是闭集；D. 有限多个闭集的并也是闭集。

7. 下面论述正确的是（）A. 紧集不一定是有界的。

B. 紧集的子集一定是紧集。

泛函分析期末考试题库及答案

泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 线性算子C. 微分方程D. 范数答案：C2. 希尔伯特空间中的内积满足的性质不包括以下哪一项？A. 线性B. 对称性C. 正定性D. 可逆性答案：D3. 以下哪个是紧算子的性质？A. 有界B. 可逆C. 连续D. 可微答案：A4. 以下哪个定理是泛函分析中的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 里斯表示定理D. 牛顿-莱布尼茨定理答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，一个线性空间的基是一组线性______的向量。

答案：无关2. 一个线性算子是______的，如果它将一个有界集映射到一个有界集。

答案：有界3. 一个线性算子是______的，如果它将一个紧集映射到一个紧集。

答案：紧4. 一个线性算子是______的，如果它在某个线性空间上是连续的。

答案：连续三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是线性空间，并给出其基本性质。

答案：线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足加法和数乘两种运算，并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配律等性质。

2. 解释什么是紧算子，并给出一个例子。

答案：紧算子是一个线性算子，它将任意有界序列映射到一个收敛序列。

例如，考虑在L^2空间上的算子K，定义为K(f)(x) =∫f(t)sin(x-t)dt，它是一个紧算子。

3. 描述什么是希尔伯特空间，并说明其与欧几里得空间的关系。

答案：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，它允许无限维向量的存在。

希尔伯特空间是欧几里得空间的推广，其中欧几里得空间是有限维的希尔伯特空间。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性算子A: L^2(0,1) → L^2(0,1)，定义为A(f)(x) =∫₀^x f(t)dt，证明A是一个紧算子。

答案：略2. 考虑在L^2(-1,1)上的算子B，定义为B(f)(x) = xf(x)，证明B是一个有界算子，并求出其范数。