泛函分析试题九

泛函分析试题九

一、叙述题(每小题10分，共20分)

1. 叙述赋范线性空间的定义.

2. 证明：如果X 是一个赋范线性空间，则X 范数||||⋅作为X 上的一个泛函是连续的.

二. 证明题 (每小题15分，共60分)

1. 设X 是距离空间, ρ是其上的距离. 令X A ⊂非空，令),(inf )(y x x f A y ρ∈= )(X y ∈. 证明)(x f 是X 上的连续函数.

2. 设H 是内积空间, H y x ∈,. 如果对任何数α, 有||||||||x y x ≥+α, 证明：y x ⊥.

3．设E 是赋范线性空间，E K ⊂为紧集，K E x \∈，证明：存在K 中的元素y ，使得z x y x K

z -=-∈inf ； 4. 设E 是Banach 空间，点列E x n ⊂}{满足∑∞

=∞<=1n n M x ，其中0>M 为常数，

证明：存在E x ∈，使得∑∞

==1n n x x 且M x ≤.

三. 判断分析题 (20分)

设X 为赋范线性空间,X x ∈0. 如果对任意的*X f ∈(*X 为X 的对偶空间),都有0)(0=x f . 问：是否有θ=0x ？要给出理由.