数学人教A版必修2课时分层作业7 平面
新教材2020学年人教A版数学必修第二册课时分层作业31平面与平面垂直
课时分层作业(三十一)平面与平面垂直(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个D[当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．] 2．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线bD[如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]3．如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°C[由条件得：P A⊥BC，AC⊥BC，又P A∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△P AC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C.]4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥βD[如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α?AC⊥m，AB∥l?AB∥β. 故选D.] 5．在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝12AB，这时二面角B-AD-C的大小为()A．60°B．90°C．45°D．120°A[∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝12m，BD＝DC＝12m，所以∠BDC＝60°.]二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.(用序号表示)①②?③[由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③.]7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC 沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝.。
人教A版新教材高中数学第二册课时作业7：8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系(1)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念『知识导学』知识点一 虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：①i 2＝，其中i 叫做虚数单位；②i 可与实数进行，且原有的加法、乘法运算律仍然成立．知识点二 复数的相关概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做，其中i 叫做．全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }叫做．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中的a 与b 分别叫做复数z 的． 知识点三 复数的分类对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当且仅当时，叫做虚数；当时，叫做纯虚数．可以通过下图表示：(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).(2)集合表示知识点四 复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当.『新知拓展』1．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．2．一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．当两个复数都是实数时，就可以比较大小．当两个复数不都是实数时，不能比较大小．『基础自测』1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．()(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．()(3)b i是纯虚数．()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．()2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.『题型探究』题型一复数的有关概念例1给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．『规律方法』数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立．『跟踪训练1』下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A ．①B ．②C ．③D ．④题型二复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？『条件探究』 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？『规律方法』利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些；(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；(3)解相应的方程(组)或不等式(组)；(4)求出参数的值或取值范围．『跟踪训练2』已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？题型三复数相等例3已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．『规律方法』复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．『跟踪训练3』已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．『随堂达标』1．“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是()A．3－3i B．3＋iC．－2＋2i D．2＋2i3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．4．设复数z＝1m＋5＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．5．如果log12(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，求自然数m，n的值．——★参*考*答*案★——『知识导学』知识点一虚数单位i－1 四则运算知识点二复数的相关概念复数虚数单位复数集实部与虚部知识点三复数的分类b＝0 a＝b＝0 b≠0a＝0且b≠0知识点四复数相等的充要条件a＝c且b＝d『基础自测』1．『答案』(1)×(2)×(3)×(4)√2．『答案』(1)00(2)0,1＋3(3)±1『题型探究』题型一复数的有关概念例1『『解析』』①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．『『答案』』0『跟踪训练1』『答案』 D『解析』对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立，故③错误；④正确.题型二复数的分类例2『解』 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数． 『条件探究』解 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6m i 是纯虚数， 得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m ≠0，解得m ∈∅. 即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6m i 是纯虚数． 『跟踪训练2』解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义， 即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义， 即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2. 题型三复数相等例3『解』 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. ∴实数m 的值为1或2.『跟踪训练3』解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1. 故实数a 的值为－1.『随堂达标』1．『答 案』 A『解 析』 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．『答 案』 A『解 析』 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．『答 案』 a ＝±2，b ＝5『解 析』 由题意得，a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5.4．『答 案』 3『解 析』 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3. 5．解 ∵log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 12 (m ＋n )≥－1，－(m 2－3m )＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3. ∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。
2021_2022学年高中数学课时分层作业7平面(含解析)新人教A版必修2
课时分层作业(七) 平面(建议用时：45分钟)[根底达标练]一、选择题1．点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是( )①A∈a，a⊄α⇒Aα；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A a，a⊂α⇒Aα；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.A．0 B．1 C．2 D．3A[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α〞表述错误；③不正确，如下图，A a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α〞表述错误．]2．以下命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个B[根据公理2可知①④正确，②③错误．应选B.]3．两个平面假设有三个公共点，那么这两个平面( )A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对C[假设三点在同一条直线上，那么这两个平面相交或重合，假设三点不共线，那么这两个平面重合．]4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么以下判断中正确的选项是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.] 5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )A．0 B．1C．0或1 D．1或3D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，那么M________l.∈[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 7．在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.5 [由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．]8．平面α与平面β、平面γ都相交，那么这三个平面可能的交线有________条．1或2或3 [当β与γ相交时，假设α过β与γ的交线，有1条交线；假设α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]三、解答题9．：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如下图．求证：直线AD，BD，CD共面．[证明] 因为D l，所以l与D可以确定平面α，因为A∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．10．求证：三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点．[证明] 如图，延长AA1，BB1,设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂面BC1，∴P∈面BC1，AA1⊂面AC1，∴P∈面AC1，∴P为平面BC1和面AC1的公共点，又∵面BC1∩面AC1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.[能力提升练]1．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，那么平面γ、β的交线必过( )A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]2．假设直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，那么O，C，D三点的位置关系是________．共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，那么α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．]。
高中数学课时分层作业7平平行关系的性质(含解析)北师大版必修2
高中数学课时分层作业7平平行关系的性质（含解析）北师大版必修2课时分层作业(七) 平行关系的性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交B [由题意知，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．]2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点A [因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.]3．已知直线a∥平面α，直线b平面α，则( )A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点D [由题意可知a与b平行或异面，所以两者无公共点．]4．如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( ) A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能B [∵MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.]5.如图，平面α∥平面β，过平面α，β外一点P引直线l 1分别交平面α，平面β于A，B两点，PA＝2，AB＝6，引直线l2分别交平面α，平面β于C，D两点，已知BD＝4，则AC的长等于( )A ．2B ．1C ．4D ．3B [由l 1∩l 2＝P ，知l 1，l 2确定一个平面γ，由 }α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD ，α∥β⇒AC ∥BD ⇒PA PB ＝AC BD， ∴22＋6＝AC 4， 解得AC ＝1.]二、填空题6．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．2 [因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.]7．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)①②⇒③(或①③⇒②) [①②⇒③.设过m 的平面β与α交于l .∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ，∵n α，l α，∴n ∥α.]8．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥β；②若a ，b 相交且都在α，β外，a ∥α，b ∥β，则α∥β；③若a ∥α，a ∥β，则α∥β；④若a α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是________．④ [①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．]三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．[证明] 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，因为AD平面PAD ，BC 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD . 因为平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，所以BC ∥EF .因为AD ＝BC ，AD ≠EF ，所以BC ≠EF ，所以四边形BCFE 是梯形．10．如图，平面四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 均在平行四边形A ′B ′C ′D ′所确定的平面α外，且AA ′，BB ′，CC ′，DD ′互相平行，求证：四边形ABCD 是平行四边形．[证明] 在平行四边形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′∥B ′C ′.∵AA ′∥BB ′，AA ′∩A ′D ′＝A ′，BB ′∩B ′C ′＝B ′，∴平面AA ′D ′D ∥平面BB ′C ′C .∵平面AA ′D ′D ∩平面ABCD ＝AD ，平面BB ′C ′C ∩平面ABCD ＝BC ，∴AD ∥BC . 同理可证AB ∥DC .故四边形ABCD 是平行四边形．[等级过关练]1．如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能 B [因为A 1B 1∥AB ，AB平面ABC ，A 1B 1平面ABC ，所以A 1B 1∥平面ABC .又A 1B 1平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，所以DE ∥A 1B 1.又AB ∥A 1B 1，所以DE∥AB .]2．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25 D [由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ，从而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425.] 3．如图，α∩β＝CD ，α∩γ＝EF ，β∩γ＝AB ，AB ∥α，则CD 与EF 的位置关系为________．平行 [由线面平行的性质得，AB ∥CD ，AB ∥EF ，由公理4得CD ∥EF .]4．如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M 是△ABC 的重心，N 是△ADC 的中线AF 上的点，并且MN ∥平面BCD .当MN ＝43时，BD ＝________.4 [如图，取BC 的中点E ，连接AE ，EF ，则点M 在AE 上，并且AM ∶AE ＝2∶3.因为MN ∥平面BCD ，所以MN ∥EF .所以MN ∶EF ＝2∶3.而EF ＝12BD ，所以BD ＝3MN ＝4.] 5．如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF .[解] 如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，则PQ ∥AE .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ＝BF ，所以四边形BFEP 为平行四边形，所以PB ∥EF .又AE ，EF 平面AEF ，PQ ，PB 平面AEF ，所以PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又BQ 平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，即点M 为AC 的中点时，BM ∥平面AEF .。
2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册课时分层作业：6.1 平面向量的概念 Word版
姓名，年级：时间：课时分层作业（一) 平面向量的概念（建议用时:40分钟）一、选择题1．下列说法不正确的是( ）A．向量的模是一个非负实数B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同D[根据向量的有关概念易判断，D项错误．]2．下面几个命题：①若a＝b,则|a｜＝|b｜；②若|a|＝0，则a＝0；③若｜a|＝｜b｜，则a＝b;④若向量a，b满足错误!则a＝b.其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1C．2 D．3B［①正确．②错误．｜a|＝0，则a＝0。
③错误．a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．］3．在同一平面内,把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( ）A．单位圆B．一段弧C．线段D．直线A［平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．］4。
如图是3×4的格点图（每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处,则与错误!平行且模为错误!的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个C[每个正方形的边长为1,则对角线长为错误!，每个小正方形中存在两个与错误!平行且模为错误!的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．］5。
如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB,BC，AC的中点，则与向量错误!相等的向量是（)A．错误!与错误!B．错误!与错误!C．错误!与错误!D．错误!与错误!B[向量相等要求模相等,方向相同，因此AR，→与RC→都是和错误!相等的向量．]二、填空题6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则错误!的值为________．1 ［因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点,所以错误!的值为1.]7．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当错误!与错误!是平行向量，且｜错误!｜＝2|错误!|＝2时,｜错误!|＝________.3或1 ［当错误!与错误!同向时，｜错误!|＝｜错误!|＋|错误!｜＝3;当错误!与错误!反向时，｜错误!｜＝｜错误!|－|错误!｜＝1。
人教A版新教材高中数学第二册课时作业7：8.5.2 第一课时 直线与平面平行的判定
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积『知识导学』知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体的体积『新知拓展』1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．『基础自测』1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．()(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()2．做一做(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是________．(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为________．『题型探究』题型一多面体的表面积例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．『规律方法』求多面体的表面积(1)对于简单几何体，我们可利用公式，直接求出其表面积，而在求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积．(2)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用． 『跟踪训练1』正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，高为12a ，则正三棱台的侧面积为( )A ．a 2B.12a 2C.92a 2 D.332a 2题型二多面体的体积例2 如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．『规律方法』求多面体体积的常用方法『跟踪训练2』正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面的中心)P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点．则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为( )A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2题型三组合体的表面积与体积例3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．54 B．60 C．66 D．72『规律方法』求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．『跟踪训练3』若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.26 B.23 C.33 D.23『随堂达标』1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是()A．2 3 B．4 3C．4 D．62．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是()A．2 B．4 C．6 D．83．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26 B.36C.23 D.224．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．5．已知三棱台ABC－A1B1C1上底面的面积为a2，下底面的面积为b2(a>0，b>0)，作截面AB1C1，设三棱锥B－AB1C1的高等于三棱台的高，求三角形AB1C1的面积．——★ 参*考*答*案 ★——『基础自测』1．『答 案』 (1)√ (2)× (3)√ 2．『答 案』 (1)A (2)60,94 (3)28『题型探究』题型一多面体的表面积 例1『解』 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8.∴该直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160. 『跟踪训练1』 『答 案』 D『解 析』 如图，O 1，O 分别为上，下底面的中心，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点， 在直角梯形ODD 1O 1中，OD ＝13×32×2a ＝33a ，O 1D 1＝13×32a ＝36a ，∴DE ＝OD －O 1D 1＝36a . 在Rt △DED 1中，D 1E ＝a2，则D 1D ＝⎝⎛⎭⎫36a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝112a 2＋a 24＝33a ， 所以S 棱台侧＝3×12(a ＋2a )×33a ＝332a 2.题型二多面体的体积 例2『解』 解法一：设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc ， 又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a .所以V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′D ′D ·CD ＝16abc .则剩余部分的体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc .故V 棱锥C －A ′DD ′∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.解法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′－BCC ′B ′， 设它的底面ADD ′A ′面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh . 而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为12S ，高为h ，因此，棱锥C －A ′DD ′的体积V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh .剩余部分的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh ∶56Sh ＝1∶5.『跟踪训练2』 『答 案』 C『解 析』 ∵G 为PB 的中点，∴V P －GAC ＝V P －ABC －V G －ABC ＝2V G －ABC －V G －ABC ＝V G －ABC . 又多边形ABCDEF 是正六边形，∴S △ABC ＝12S △ACD .∴V D －GAC ＝V G －ACD ＝2V G －ABC .∴V D －GAC ∶V P －GAC ＝2∶1. 题型三组合体的表面积与体积 例3『『解 析』』 根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图为如图所示的几何体ABC －DEF ，故其表面积为S ＝S △DEF ＋S △ABC ＋S 梯形ABED ＋S 梯形CBEF ＋S 矩形ACFD ＝12×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60. 『『答 案』』 B 『跟踪训练3』 『答 案』 B『解 析』 如图所示，平面ABCD 把该多面体分割成两个体积相等的四棱锥．以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则该凸多面体的体积为V ＝2×13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×22＝23. 『随堂达标』1．『答 案』 B『解 析』 S 表＝4×34×22＝4 3.故选B.2．『答 案』 D『解 析』 由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1，长方体的高为6－2＝2，故这个棱柱的侧面积为1×2×4＝8. 3．『答 案』 A『解 析』 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．如图所示，在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，作出三棱锥O －ABC 的高OD ，连接DC ，则S △ABC ＝12×1×32＝34，OD ＝OC 2－CD 2＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， 所以V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.4．『答 案』1603『解 析』 由题意，知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱的底面为等腰直角三角形，面积为8，高为8－4＝4，故V直三棱柱＝8×4＝32，四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为4，故V 四棱锥＝13×16×4＝643，故该几何体的体积V ＝V 直三棱柱＋V 四棱锥＝32＋643＝1603.5．解 将三棱台分割成三棱锥A －A 1B 1C 1，B －AB 1C 1及C 1－ABC ， 设三棱台的高为h ，则这三个三棱锥的高都是h .由于VABC －A 1B 1C 1＝VA －A 1B 1C 1＋VB －AB 1C 1＋VC 1－ABC ， 即13(a 2＋ab ＋b 2)h ＝13a 2h ＋13S △AB 1C 1·h ＋13b 2h ， 得S △AB 1C 1＝ab ，故三角形AB 1C 1的面积为ab .。
人教A版新教材高中数学第二册课时作业7：8.1 第一课时 多面体
第八章立体几何初步8.1 基本立体图形第一课时多面体基础达标一、选择题1.四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点『解析』四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).『答案』 C2.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台『解析』结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.『答案』 B3.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体『解析』余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.『答案』 B4.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A.20B.15C.12D.10『解析』如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条).『答案』 D5.棱台不具备的特点是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点『解析』由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的. 『答案』 C二、填空题6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________. 『解析』由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方.『答案』1∶47.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_______ cm. 『解析』因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧＝12(cm).棱长为605『答案』128.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.『解析』由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.『答案』13三、解答题9.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.解(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义.(2)截面BCNM 的上方部分是三棱柱BB 1M －CC 1N ，下方部分是四棱柱ABMA 1－DCND 1.10.如图，在边长为2a 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？ 解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF 为等腰三角形，△PEF 为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF 均为直角三角形. (3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE ＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2.能力提升11.从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.其中正确结论的个数为________.『解析』如图所示：四边形ABCD为矩形，故(1)满足条件；四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；故正确的结论有4个.故『答案』为4.『答案』 412.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值.解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 2.∴△AEF周长的最小值为4 2.创新猜想13.(多填题、开放题)如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，(1)如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是________________.(2)如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________(『答案』不唯一).『解析』(1)如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.图①(2)用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台，也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图②所示，也可以截成一个三棱锥和一个五面体，如图③所示.图②图③『答案』(1)A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1(2)两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体)14.给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明.解如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.如图(2)所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的1，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上4底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.。
新人教版高中数学选择性必修第二册 课时分层作业7
课时分层作业(七)等比数列的概念(第1课时)(60分钟 120分)基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列的概念与通项公式1．(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝32，q ＝－12，则a 6等于( ) A ．1B ．－12C ．－1D ．12 C 解析：a 6＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1.故选C ． 2．(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＝16，q ＝2，则n 为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 C 解析：根据a n ＝a 1q n －1，得16＝2×2n －1，解得n ＝4.3．(5分)下面四个数列中，一定是等比数列的是( )A ．q,2q,4q,6qB ．q ，q 2，q 3，q 4C ．q,2q,4q,8qD ．1q ，1q 2，1q 3，1q 4 D 解析：A 项不符合等比数列定义；B ，C 两项中q 不等于0时是等比数列，q ＝0时不是等比数列；D 项符合等比数列的定义，公比是1q. 4．(5分)在等比数列{a n }中，a 2 021＝－8a 2 018，则公比q 等于( )A ．2B ．－2C ．±2D ．12B 解析：∵a 2 021a 2 018＝q 3＝－8，∴q ＝－2. 5．(5分)在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81 B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，∴a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9. ∴a 4＋a 3a 1＋a 2＝a 3(1＋q )a 1(1＋q )＝q 2＝9.∴q ＝±3. ∵a n >0，∴q ＝3.∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.知识点2 等比中项及应用6．(5分)若a ，b ，c 成等差数列，则⎝⎛⎭⎫13a ，⎝⎛⎭⎫13b ，⎝⎛⎭⎫13c 一定( )A ．成等差数列B ．成等比数列C ．既成等差数列也成等比数列D ．既不成等差数列也不成等比数列B 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13b 2＝⎝⎛⎭⎫13a ·⎝⎛⎭⎫13c 成立． ∴这三个数成等比数列．7．(5分)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝9，则a 3＝( )A ．±3B ．3C ．±5D ．5B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 23＝a 1·a 5＝9，∴a 3＝±3. ∵a 3＝a 1·q 2>0，∴a 3＝3.8.(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是________． ±4 解析：因为a 6是a 4与a 8的等比中项，a 6＝a 1q 6－1＝4，所以a 4与a 8的等比中项是±4. 知识点3 等比数列的判断9．(5分)(多选)已知数列{a n }是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是( )A ．{|a n |}B ．{a n －a n ＋1}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 1a nD ．{ka n }AC 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵|a n ||a n －1|＝|q |，∴{|a n |}是等比数列； 当{a n }为常数列时，a n －a n ＋1＝0，∴{a n －a n ＋1}不是等比数列；∵a 1a n a 1a n －1＝a n －1a n ＝1q， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 1a n 是等比数列； 当k ＝0时，ka n ＝0，∴{ka n }不是等比数列． 故只有AC 一定是等比数列．10．(5分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n －3，则S n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n ＋1－1C ．3×2n －3D ．3×2n －1C 解析：∵S n ＝2a n －3，∴a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －3－(2a n －1－3)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2. ∴{a n }是等比数列，首项为3，公比为2. ∴a n ＝3×2n －1.∴S n ＝3×2n －3.11.(5分)在数列{a n }中，已知a 1＝3，且对任意正整数n 都有2a n ＋1－a n ＝0，则a n ＝________.3×⎝⎛⎭⎫12n －1 解析：∵2a n ＋1－a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝12. ∴{a n }是等比数列，且公比q ＝12. ∴a n ＝a 1·q n －1＝3×⎝⎛⎭⎫12n －1.12.(5分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2 解析：∵S n ＝2a n ＋1， ∴a 1＝2a 2，∴a 2＝12. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，。
新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习
新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习课时分层作业(一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．观察如下所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台B[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．]2．下列说法正确的是( )A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形D[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误：选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．]①②3．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )①②③④A．①②B．②③C．③④D．①④B[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而①④则不同．]4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．]①②二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.12[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.] 7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．10[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．3[如图，三棱台可分成三棱锥C1ABC，三棱锥C1ABB1，三棱锥AA1B1C1，三个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图①所示，三棱锥A1AB1D1(答案不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B1ACD1(答案不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)．①②③[能力提升练]1．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是( )A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥B[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10 [在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]课时分层作业(二) 旋转体与简单组合体的结构特征(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )① ②A ．圆锥、棱柱B ．圆锥、棱锥C ．球、棱锥D ．圆锥、圆柱B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°等腰三角形D ．其他等腰三角形A [设圆锥底面圆的半径为r ，依题意可知2πr ＝π·a 2，则r ＝a 4，故轴截面是边长为a 2的等边三角形．]4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )A ．一个棱柱中挖去一个棱柱B ．一个棱柱中挖去一个圆柱C ．一个圆柱中挖去一个棱锥D ．一个棱台中挖去一个圆柱B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC .16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.] 二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆面积为________ cm 2.9π [设截面圆半径为r cm ，则r 2＋42＝52，所以r ＝3.所以截面圆面积为9π cm 2.]三、解答题9．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解] 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．10．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底面半径O 1A ＝2(cm)，下底面半径OB ＝5(cm)，又因为腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－（5－2）2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.[能力提升练]1．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖出一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体B [圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.]2．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .则绳子的最短长度的平方f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4) [将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π，所以∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°. 由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．所以f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．]课时分层作业(三) 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．直线的平行投影可能是( )A ．点B ．线段C ．射线D ．曲线A [直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.]2．下列说法错误的是( )A ．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度B ．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度C ．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度D ．一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样D [正视图和俯视图长度一样；正视图和侧视图高度一样；侧视图和俯视图宽度一样．故3．有下列说法：①从投影的角度看，三视图是在平行投影下画出来的投影图；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，平行线还是成平行的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法有( )A．1个B．2个C．3个D．4个C[由投影的知识知①②④正确．只有③错误，空间图形经过中心投影后，直线变成直线、平行线有可能变成了相交直线，综上可知正确说法有3个，故选C.]4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )C[正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B，D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.]5．如图所示，五棱柱的侧视图应为( )A B C DB[从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.]二、填空题6．如下图，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是________(说出视图名称)．① ② ③ ④正视图 侧视图 俯视图 [由几何体的位置知，①为正视图，②为侧视图，③为俯视图．]7．若线段AB 平行于投影面，O 是线段AB 上一点，且AO OB ＝m n，点A ′，O ′，B ′分别是A ，O ，B 在投影面上的投影点，则A ′O ′O ′B ′＝________． m n [由题意知AB ∥A ′B ′，OO ′∥AA ′，OO ′∥BB ′，则有A ′O ′O ′B ′＝AO OB ＝m n.] 8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．23 [由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D BCC 1B 1，最长棱为DB 1＝DC 2＋BC 2＋BB 21＝4＋4＋4＝2 3.]三、解答题9．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．[解](1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图：10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．[解]该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．[能力提升练]1．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为( )A B C DA [显然AB 1，AC ，B 1D 1，CD 1分别投影得到正视图的外轮廓，B 1C 为可见实线，AD 1为不可见虚线．故A 正确．]2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是________．15 [皮球的直径d ＝103sin 60°＝103×32＝15.]课时分层作业(四) 空间几何体的直观图(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图，已知等腰三角形ABC ，则如下所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是( )① ② ③ ④A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④D [原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别为在∠x ′O ′y ′成135°和45°的坐标系中的直观图．]2．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是( ) A ．三角形的直观图仍然是一个三角形 B ．90°的角的直观图会变为45°的角 C ．与y 轴平行的线段长度变为原来的一半 D ．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同B [对于A ，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A 正确；对于B ，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B 错误；C ，D 显然正确．]3．把△ABC 按斜二测画法得到△A ′B ′C ′(如图所示)，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB ＝BC ＝AC ＝2，故△ABC 为等边三角形，故选A.]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm ，1 cm ，2 cm ，1.6 cmB ．4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，0.8 cmC ．4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cmD ．2 cm ，0.5 cm ，1 cm ，0.8 cmC [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm ，1 cm ，2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋ 2A [画出其相应平面图易求，故选A.]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．M′(4，2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．2.5 [由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]8．如图所示，水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．2 [△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD.所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC.[解](1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′；(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取二点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC.10．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解] (1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，如图①. (2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD . (3)画顶点．在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.① ② [能力提升练]1．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm D [由题意可知其直观图如下图：由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.]2．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′，又在Rt △O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′，所以S 正方形S 直观图＝OC ×OA OA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2. 又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]课时分层作业(五) 柱体、锥体、台体的表面积与体积(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．πC [底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.]2．已知高为3的直棱柱ABC A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34D [由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.] 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8πB [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ， 由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1, 所以V圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.]4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10πD [用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.]5．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A ．54B ．54πC ．58D ．58πA [设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似得r 3r ＝h －h 1h，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.]二、填空题6．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________． 3 [设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.]7．已知一个圆台的正视图如图所示， 若其侧面积为35π， 则a 的值为____．2 [圆台的两底面半径分别为1，2，高为a , 则母线长为1＋a 2， 则其侧面积等于π(1＋2)·（1＋a 2）＝35π，解得a 2＝4，所以a ＝2(舍去负值)．]8．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．S2[如图所示， 设圆锥的底面半径为r , 母线长为l .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12πl 2＝S ，πl ＝2πr ，解得r ＝S2π.所以圆锥的底面面积为πr 2＝π×S 2π＝S2.]三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． [解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157， 圆锥的高h ＝35·157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C A 1DD 1，求棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．[解] 已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C A 1DD 1的体积为：VC A 1DD 1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12S h ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.[能力提升练]1．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14 [如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.] 2．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．8 [如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.]课时分层作业(六) 球的体积和表面积(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．59倍B ．95倍 C ．2倍 D ．3倍 B [设小球半径为1，则大球的表面积S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.]2．把半径分别为6 cm ，8 cm ，10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cmD [由43πR 3＝43π·63＋43π·83＋43π·103，得R 3＝1 728，检验知R ＝12.]3．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6πB [由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S ＝π×12＋12×4×π×12＝3π.]4．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( ) A ．163πB ．4π3C ．323πD ．4πB [根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r ＝1，所以V ＝43πr 3＝43π.]5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4B [设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.] 二、填空题6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 3 [设此球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，R ＝3.]7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．33π [由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S ＝12×4π×32＋π×3×5＝33π.]8．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．32[设球O 的半径为R ， ∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.] 三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．[解] 因为AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5， 所以△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.又球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt △ABC 的外接圆的圆心，所以斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示)， 设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径为R ，截面圆半径为r ， 在Rt △O ′CO 中，由题设知sin ∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， 所以∠O ′CO ＝30°，所以rR＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，(*) 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入(*)得R ＝10 3.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1 200π. 球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(103)3＝4 0003π.[能力提升练]1．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶4C [作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R ，则圆锥的高h ＝3R ，圆锥底面半径r ＝3R ，则l ＝（h 2＋r 2）＝23R ，所以S 圆锥侧S 球 ＝πrl 4πR 2＝π×3R ·23R 4πR 2＝32.] 2．在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球. 若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________.9π2[当球的半径最大时，球的体积最大. 在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r ＝6＋8－102＝2，直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为32，此时体积V ＝9π2.]课时分层作业(七) 平面(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述正确的个数是( )①A ∈a ，a ⊄α⇒Aα；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α；③Aa ，a ⊂α⇒A α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α.A ．0B ．1C ．2D ．3A [①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a ，a ⊂α，但A ∈α；④不正确，“A ⊂α”表述错误．]2．下列命题中正确命题的个数是( ) ①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形； ④圆是平面图形． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [根据公理2可知①④正确，②③错误．故选B.] 3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( ) A ．相交 B ．重合C ．相交或重合D ．以上都不对C [若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.] 5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )A．0 B．1C．0或1 D．1或3D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 7．在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.5[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．] 8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．1或2或3 [当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]三、解答题9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示．求证：直线AD，BD，CD共面．[证明]因为D l，所以l与D可以确定平面α，因为A∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．10．求证：三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点．[证明]如图，延长AA1，BB1,设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂面BC1，∴P∈面BC1，AA1⊂面AC1，∴P∈面AC1，∴P为平面BC1和面AC1的公共点，又∵面BC1∩面AC1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.[能力提升练]1．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]2．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．]课时分层作业(八) 空间中直线与直线之间的位置关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．]2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面D[可能相交也可能异面，选D.]3．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直A[如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]4．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30° B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°.]5．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条A[如图，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．因此，这样的异面直线有无数条．]二、填空题6．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．3 [PA与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线，∴共3对．]7．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.②④[①错，可以异面；②正确，公理4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．]8．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．。
高中数学 课时作业7 平面 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
课时作业7 平面基础巩固1．下图中正确表示两个相交平面的是( )解析：由平面的画法知选D.答案：D2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是 ( )A．①B．①④C．②③D．③④解析：因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．答案：A3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是 ( ) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合解析：选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C 错．答案：C4．一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是( )A．4 B．6C．7 D．10解析：当直线外的三个点能确定平面，且这个平面不经过已知直线时，它们确定的平面最多，此时这条直线和每一个点分别确定一个平面，故最多可确定4个平面．答案：A5．(1)用数学符号表示图1中的点、直线、平面之间的位置关系．图1(2)画出满足下列条件的图形(其中α，β为平面，a，b，l为直线)：α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∩l＝A，B∈a.解：(1)α∩β＝l，a⊂β，a∩l＝A，b∩α＝B，b∩β＝C.(2)如图2所示图2能力提升1．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( )解析：在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.答案：D2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是 ( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图3，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N 交CB 于点Q ，连接PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连接NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形．故选C.图3答案：C3．如图4所示，在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定是( )图4A ．在直线DB 上 B ．在直线AB 上C ．在直线CB 上D ．都不对解析：直线EF 和GH 相交， 设交点为M ，∵EF ⊂平面ABD ，HG ⊂平面CBD ， ∴M ∈平面ABD ，且M ∈平面CBD ，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴M∈BD，∴EF与HG的交点在直线BD上．故选A.答案：A4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1.(4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．解析：(1)错误，如图5所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.图5(2)正确，如图6所示，因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.图6(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．图7答案：(2)(3)(4)5．有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．其中真命题的序号是________．解析：若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l 在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，故②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．答案：①③6．(2019年日照一模)如图8所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C 交平面AB1D1于点M，给出下列结论：图8①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．其中正确结论的序号为________．解析：连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M ∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．答案：①③7．已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明：如图9，∵a∥b，图9∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知，经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．8．已知，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面．(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线．解：(1)连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，图10所以EF∥BD，所以EF与BD共面，所以E，F，B，D四点共面．(2)因为AC ∩BD ＝P ，所以P ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF . 同理，Q ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF ， 因为A 1C ∩平面DBFE ＝R ， 所以R ∈平面AA 1C 1C ∩平面BDEF ， 所以P ，Q ，R 三点共线．9．如图11所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．图11求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接EF ，D 1C ，A 1B ，因为E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， 所以EF 綊12A 1B .又因为A 1B 綊D 1C ， 所以EF 綊12D 1C ，图12所以E ，F ，D 1，C 四点共面， 可设D 1F ∩CE ＝P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ， 所以点P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又因为平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ，所以据公理3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．拓展要求如图13，已知E、F、G分别为正方体AC1的棱AD、AB、BB1的中点，试作出过这三个点的截面图，并判断其形状．图13解：图14作法：(1)过EF作直线分别交CB、CD的延长线于点M、P，连接GM，并延长MG交B1C1于H，交CC1的延长线于N.(2)连接NP，分别交DD1、C1D1于J、I.(3)连接FG，HI，EJ，六边形EFGHIJ即为所求，它是一个正六边形．。
新教材人教A版必修第二册 平面 课时作业
平面(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系可以记作( ) A.A∈b∈β B.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β选B.点A在直线b上,所以A∈b;直线b在平面β内,所以b⊂β.2.若一直线a在平面α内,则正确的作图是( )选A.B中直线a不应超出平面α;C中直线a不在平面α内;D中直线a与平面α相交.3.下列命题中,正确的是( )A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面选B.因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面.4.两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对选C.若这三个点不共线,则这两个平面重合;若这三个点共线,则这两个平面相交.二、填空题(每小题5分,共10分)5.用符号语言表示以下各概念:①点A,B在直线a上________;②直线a在平面α内________.答案:①A∈a,B∈a ②a⊂α6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上).图形①中,连接MN,PQ(图),则由正方体的性质得MN∥PQ,根据两条平行直线可以确定一个平面知①正确.分析可知③中四点共面,②④中四点均不共面.答案:①③三、解答题(每小题10分,共20分)7.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此三条直线必相交于一点.证明已知α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,且l1,l2,l3两两不平行.求证:l1,l2,l3必交于一点.证明:因为l1⊂β,l2⊂β,l1与l2不平行,所以l1∩l2=P,因为P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,所以P∈α∩γ=l3,故l1,l2,l3交于一点.8.如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.证明因为AB∥CD,所以AB,CD共面,设为平面β,所以AC在平面β内,即E在平面β内.而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,可知B,D,E为平面α与平面β的公共点,根据基本事实3可得,B,D,E三点共线.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列说法正确的是( )①任意三点确定一个平面;②圆上的三点确定一个平面;③任意四点确定一个平面;④两条平行线确定一个平面.A.①②B.②③C.②④D.③④选C.不共线的三点确定一个平面,所以①错;圆上的三点一定不共线,所以可以确定一个平面,②对;如果四点共线,无法确定平面,所以③错;根据推论3,两条平行线确定一个平面,所以④对.2.如图所示,用符号语言可表述为( )A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=AB.α∩β=m,n∈α,m∩n=AC.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂nD.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n选A.平面α与平面β相交于m,所以α∩β=m;直线n在平面α内,所以n⊂α;直线m 与直线n相交于A,所以m∩n=A.3.如果点A在直线l上,而直线l又在平面α内,那么可以记作( )A.A⊂l,l⊂αB.A⊂l,l∈αC.A∈l,l∈αD.A∈l,l⊂α选D.点A在直线l上记作A∈l,l在平面α内,记作l⊂α.4.(多选题)用一个平面截正方体所得的截面图形可能是( )A.六边形B.五边形C.菱形D.直角三角形选ABC.正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形.5.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C∉l,直线AD∩l=D,过A、B、C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过( )A.点AB.点BC.点C,但不过点DD.点C和点D选D.A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C、D∈γ,且C、D∈β,故C,D在γ和β的交线上.6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,所以①错;a∩β=P时,②错;如图,因为a∥b,P∈b,所以P∉a,所以由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,所以β与α重合,所以b⊂α,故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB 与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是________.因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.答案:P∈直线DE8.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=CD.因为l∩α=O,所以O∈α. 又因为O∈AB⊂β,所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.答案:共线三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示,因为E∈AC,AC⊂平面SAC,所以E∈平面SAC.同理,可证E∈平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.10.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l的位置;(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.(1)延长DM交D1A1的延长线于E,连接NE,则NE即为直线l的位置.(2)因为M为AA1的中点,AA1∥DD1,所以AD=A1E=A1D1=a.因为A1P∥D1N,且D1N=a,所以A1P=D1N=a,于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.11.已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面. 证明(1)有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a.因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为α.因为N∈a,a⊂α,所以N∈α所以NK⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,d⊂α,所以a,b,c,d共面.(2)无三线共点情况,如图.设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α.所以NQ⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面.由(1)(2)可知,a,b,c,d共面.。
人教新课标版数学高一必修2课时作业 平面的基本性质与推论
§1．2 点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论课时目标1．掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论．2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．1．平面的基本性质(1)基本性质1：如果一条直线上的______点在一个平面内，那么这条直线上的________点都在这个平面内，这时我们说直线在平面内或______________．(2)基本性质2：经过______________________的三点，有且只有一个平面．也可简单说成，__________三点确定一个平面．(3)基本性质3：如果不重合的两个平面有________公共点，那么它们有且只有______过这个点的公共直线．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面________．这条公共直线叫做两个平面的________．2．平面基本性质的推论(1)推论1经过__________________________，有且只有一个平面．(2)推论2经过______________有且只有一个平面．(3)推论3经过______________有且只有一个平面．3．共面和异面直线如果两直线共面，那么它们________或者________，否则称它们为____________．一、选择题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈βB．M∈b⊂βC．M⊂b⊂βD．M⊂b∈β3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点6．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面二、填空题7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)A∉α，a⊂α________．(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．三、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．已知空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2点、线、面之间的位置关系1．2．1平面的基本性质与推论答案知识梳理1．(1)两所有平面经过直线(2)不在同一条直线上不共线的(3)一个一条相交交线2．(1)一条直线和直线外的一点(2)两条相交直线(3)两条平行直线3．平行相交异面直线作业设计1．A2．B3．D4．C5．C6．D7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，所以H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。
人教版数学高一-必修二(人教A)练习 平面
2．1.1平面一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的上述关系可记为()A．M∈α，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α2．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．M不在直线AC上，也不在直线BD上3．给出下列四个结论：①经过三点有且只有一个平面；②两条直线确定一个平面；③经过一条直线和一个点有且只有一个平面；④经过圆上三点有且只有一个平面．其中结论正确的是()A．①B．②C．③D．④4．对于空间中的三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不过同一个点；②三条直线两两平行；③三条直线相交于一点；④有两条直线平行，第三条直线与这两条直线都相交．其中能使三条直线共面的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．平面α与平面β，γ都相交，则这3个平面的交线可能有()A．1条或2条B．2条或3条C．只有2条D．1条或2条或3条6．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是()A．三B．四C．六D．八7．空间中有A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一个平面内，B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点()A．共面B．不一定共面C．不共面D．以上都不对二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有________条．9．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面； ②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交且交点都不同的四条直线共面. 其中正确说法的序号是________．10．两个平面若有三个公共点，则这两个平面________．11．已知空间三条直线两两相交，点P 不在这三条直线上，则由点P 和这三条直线最多可以确定的平面个数为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知直线b ∥c ，且直线a 与直线b ，c 都相交，求证：直线a ，b ，c 共面．13．(13分)如图L211所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，G ，H 分别是CD 和AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CGGD＝2.求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点．图L21114．(5分)已知平面α，β相交，在平面α，β内各取两点，则这四点都不在交线上，则这四点能确定平面________个．15．(15分)如图L212所示，E，F分别是正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点．试判断四边形EBFD1的形状．图L2122．1.1 平面1．B2．A [解析] 由题意得EF 在平面ABC 内，HG 在平面ACD 内，∴EF 与HG 交于点M 一定落在平面ABC 与平面ACD 的交线AC 上．3．D [解析] 经过不共线的三点有且只有一个平面，故①错误；两条相交或平行的直线确定一个平面，故②错误；经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面，故③错误；因为圆上的任意三点都不共线，故④正确．4．B [解析] ①中两条相交直线确定一个平面，第三条直线上的两点在此平面内，故第三条直线在此平面内；②中三条直线两两平行，三条直线可以确定一个平面或三个平面；③中三条直线交于一点，此三条直线确定一个平面或三个平面；④中两条平行线确定一个平面，第三条直线上的两点在此平面内，故第三条直线在此平面内．5．D [解析] 当平面α过平面β与γ的交线时，这3个平面有1条交线；当β∥γ时，α与β和γ各有1条交线，共有2条交线；当β∩γ＝b ，α∩β＝a ，α∩γ＝c 时，这3个平面有3条交线．6．C [解析] 正方体有六个面，所以截面最多有六条边．7．B [解析] 当B ，C ，D 三点共线时，B ，C ，D 三点不能确定平面．A ，B ，C ，D 所在的平面和B ，C ，D ，E 所在的平面可能不同，所以A ，B ，C ，D ，E 五点不一定共面.8．1或2 [解析] 当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；当三个平面交于一条直线时，有一条交线．9．①④ [解析] 对于②，当三条直线是三棱柱的三条棱时，它们平行但不能共面；对于③，三个公共点可能在同一条直线上，此时这两个平面相交．10．相交或重合 [解析] 当三个公共点共线时，两个平面相交或重合；当三个公共点不共线时，两个平面重合．11．6 [解析] 当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P 与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面．12．证明：∵b ∥c ，∴直线b ，c 可以确定一个平面α.设a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ， 则A ∈a ，B ∈a ，A ∈α，B ∈α，即a ⊂α，故直线a ，b ，c 共面．13．证明：连接EF ，GH .因为AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CGGD＝2，所以EF ∥AC ，HG ∥AC ，且EF ≠GH ， 所以EH ，FG 共面，且EH 与FG 不平行． 不妨设EH ∩FG ＝O ，因为O ∈EH ，EH ⊂平面ABD ，所以O ∈平面ABD ， 因为O ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，所以O ∈平面BCD . 又因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以O ∈BD ， 所以EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点O .14．1或4 [解析] 当这四点在同一平面内时，可以确定一个平面；当这四点不共面时，则任意三点可确定一个平面，可确定四个平面．15.解：如图所示，取BB 1的中点M ，连接A 1M ，MF . ∵M ，F 分别是BB 1，CC 1的中点，∴MF ∥B 1C 1.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，有A1D1∥B1C1，∴MF∥A1D1，又MF＝A1D1，∴四边形A1MFD1是平行四边形，∴A1M綊D1F.又E，M分别是AA1，BB1的中点，∴A1E綊BM，∴四边形A1EBM为平行四边形，∴EB綊A1M，∴EB綊D1F，∴四边形EBFD1是平行四边形．又Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，∴四边形EBFD1为菱形．。
2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册课时分层作业：6.3.5 平面向量数量积的坐标表
姓名，年级：时间：课时分层作业(九）平面向量数量积的坐标表示（建议用时：40分钟）一、选择题1．已知平面向量a＝(1，m),b＝（2,5),c＝（m,0)，且（a＋c）⊥（a－b）,则m＝（）A．3＋错误!B．3－错误!C．3±10 D．－3±错误!C[∵a＝(1，m)，b＝(2，5）,c＝(m，0),∴a＋c＝（1＋m,m)，a －b＝(－1，m－5），∵(a＋c)⊥（a－b），∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±错误!.］2．a＝(－4，3)，b＝（5,6），则3|a｜2－4a·b等于（)A．23 B．57C．63 D．83D[因为｜a｜2＝（－4)2＋32＝25，a·b＝（－4）×5＋3×6＝－2，所以3|a｜2－4a·b＝3×25－4×（－2）＝83.]3．设向量a与b的夹角为θ，a＝（2,1)，a＋3b＝(5，4），则sin θ等于( )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!A[设b＝（x,y）,则a＋3b＝(2＋3x,1＋3y）＝(5,4），所以错误!解得错误!即b＝(1，1),所以cos θ＝错误!＝错误!，所以sin θ＝错误!＝错误!。
］4．已知向量a＝（1，－1)，b＝(1,2），向量c满足（c＋b）⊥a，（c－a)∥b，则c等于（）A．(2，1) B．(1,0)C．错误!D．（0，－1)A[设向量c＝(x，y)，则c＋b＝（x＋1，y＋2），c－a＝（x－1，y＋1），因为(c＋b）⊥a，所以（c＋b）·a＝x＋1－（y＋2）＝x－y－1＝0,因为(c－a)∥b，所以x－11＝错误!,即2x－y－3＝0.由错误!解得错误!所以c＝（2，1)．]5．已知O为坐标原点,向量错误!＝（2,2）,错误!＝(4,1),在x轴上有一点P使得错误!·错误!有最小值,则点P的坐标是（) A．（－3,0) B．(2，0）C．(3,0) D．（4，0）C[设点P的坐标为（x，0)，则错误!＝（x－2，－2)，错误!＝(x －4，－1）．错误!·错误!＝(x－2)（x－4）＋（－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，错误!·错误!有最小值1.此时点P的坐标为(3，0)．]二、填空题6．已知向量a＝(－1，x），b＝(x＋2，x）,若|a＋b|＝|a－b｜，则x＝________。
2021学年数学人教A版必修2课时作业 第2章
课时作业8平面——基础巩固类——1.如图所示，用符号语言可表示为(A)A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n解析：两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表示为α∩β＝m，n⊂α，m∩n ＝A．2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M ∈l，N∈l，那么(A)A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α.而M，N 确定直线l，根据公理1可知l⊂α.故选A．3．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有(A)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①中空间三点共线时不能确定一个平面．②中点在直线上时不能确定一个平面．③中两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面．④中三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面．4．一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定(B)A．三个平面B．四个平面C．五个平面D．六个平面解析：直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面，有三个平面，另外，不共线的三点可以确定一个平面，共可确定四个平面．5．在空间，下列说法正确的是(C)A．两组对边相等的四边形是平行四边形B．四边相等的四边形是菱形C．正方形确定一个平面D．三点确定一个平面解析：四边形可能是空间四边形，故A，B错误；当三点在同一直线上时，可以确定无数个平面，故D错误．故选C．6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论中错误的是(D)A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面解析：在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，∵A1C∩平面C1BD＝M，∴C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，选项D不正确．7．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，试根据图形填空：(1)平面AB1∩平面A1C1＝A1B1；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝AC；(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝OO1；(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为B1.8.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线BD上；(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线AC上．解析：(1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，则P∈BD．(2)若EF∩GH＝Q，则Q ∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，则Q∈AC．9．已知平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，P∈β，P∉l且MN∩l ＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ等于直线PR.解析：如图所示，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.10.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．证明：(1)无三线共点情况，如图①.设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.因为a∩d＝M，所以a，d可确定一个平面α.因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α.所以NQ⊂α，即b⊂α.同理c⊂α，所以a，b，c，d共面．(2)有三线共点的情况，如图②.设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a.因为K∉a，所以K和a确定一个平面，设为β.因为N∈a，a⊂β，所以N∈β，所以NK⊂β，即b⊂β.同理c⊂β，d⊂β，所以a，b，c，d共面．由(1)(2)知a，b，c，d共面．——能力提升类——12．下列说法中正确的是(D)A．相交直线上的三个点可以确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内解析：A错误，当三点共线时，过三点的平面有无数个．B错误，空间两两相交的三条直线(不在同一平面内)交于同一点时，无法确定一个平面．C错误，空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形．13．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.其中真命题是(D)A．①②B．②③C．①④D．③④解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，可能a⊄α，∴①错；当a∩β＝P 时，②错；如图所示，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．14．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列说法正确的是(2)(3)(4)(填序号)．(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．解析：(1)错误．如图①所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．(2)正确．如图②所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确．如图③所示，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．15．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD ＝P，A1C1∩EF＝Q，如图．(1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．解：(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C．同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF ＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P ∈(α∩β)．同理可证得Q∈(α∩β)，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．如图，连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．课时作业9空间中直线与直线之间的位置关系——基础巩固类——1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(C)A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．2．两等角的一组对应边平行，则(D)A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b 相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D)A．①②B．②③C．①④D．②④解析：①中GH∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，故GH，MN 必相交，所以①③中GH，MN共面，故选D．6．在四面体ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与BC所成的角为(B)A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图，取BD的中点G，连接EG，GF，则∠EFG即为异面直线EF与BC所成的角．因为EG＝12AD，GF＝12BC，且AD＝BC，所以EG＝GF.因为AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，所以EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，所以∠EFG＝45°.7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°.解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°.8．如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)直线AB1和CC1所成的角为45°；(2)直线AB1和EF所成的角为60°.解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确结论的序号是①③.解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．求证：(1)GB∥D1F；(2)∠BGC＝∠FD1E.证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.(2)因为∠BGC与∠FD1E两边的方向都相同，所以∠BGC＝∠FD1E.11.如图，在三棱锥ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AO⊥OC，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2，求异面直线AB与CD所成角的余弦值．解：如图，取AC的中点M，连接OM，ME，OE，由E为BC 的中点知ME∥AB，OE∥DC，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．EM＝12AB＝22，OE＝12DC＝1，因为OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，所以OM＝12AC＝1，取EM的中点H，连接OH，则OH⊥EM，在Rt△OEH中，所以cos∠OEM＝EHOE＝12×221＝24.——能力提升类——12．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(A)A．1<MN<5 B．2<MN<10C．1≤MN≤5 D．2<MN<5解析：取AD的中点H，连接MH，NH，则MH綊12BD，NH綊12 AC，且M，N，H三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH－NH|<MN<|MH＋NH|，即1<MN<5.13．在正方体ABCDA1B1C1D1上有一只蚂蚁从A点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置可能在(D)A．点A1处B．点A处C．点D处D．点B1处解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D．14．在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.解析：如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM ⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM 所成的角为90°.15．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B 和AD1所成的角为90°，求AA1的长．解：如图，连接CD1，AC．由题意得在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.∵在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC．∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝ 6.课时作业10空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系——基础巩固类——1．正方体的6个面中，一共有几组平面互相平行(C)A．1组B．2组C．3组D．1组或3组解析：正方体的6个面中，对面互相平行，所以共有3组，故选C．2．直线l与平面α有公共点，则有(D)A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．l⊂α或l与α相交3．下列命题中的真命题是(A)A．若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交B．若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面C．若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面αD．若a∥α，b⊂α，则a∥b4．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是(D)A．b⊂平面αB．b与平面α相交C．b∥平面αD．b与平面α相交或b∥平面α解析：根据空间中直线与平面的位置关系可得b可能与平面α相交，也可能b与平面α平行，故选D．5．平面α∥平面β，直线a⊂α，下列四个命题中，正确命题的个数是(B)①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a 与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．A．1 B．2C．3 D．4解析：借助于长方体模型，可以举出反例说明①③是错误的；利用面面平行的定义进行判断，则有②④是正确的．6．以下说法正确的是(D)A．若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交B．直线a和b是异面直线，若直线c∥a，则c与b一定相交C．若直线a和b都和平面α平行，则a和b也平行D．若直线c平行于直线a，直线b⊥a，则b⊥c解析：若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交，或a ⊂α，故A错误；直线a和b是异面直线，若直线c∥a，则c与b相交或异面，故B错误；若直线a和b都和平面α平行，则a和b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误；若直线c平行直线a，直线b⊥a，则b⊥c，故D正确，故选D．7．若一个平面内的一条直线与另一个平面相交，则这两个平面的位置关系是相交．8．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是b与α平行或相交或b在α内．解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b 异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点)．9．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有7个．解析：A，B，C，D四个顶点在平面α的异侧，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．10．已知四棱台ABCDA1B1C1D1，底面A1B1C1D1是梯形，A1D1∥B1C1，如图所示．(1)直线A1B1与四棱台的各面有什么位置关系？(2)平面ABCD与四棱台的其他面有什么位置关系？解：(1)直线A1B1与平面ABCD平行；直线A1B1与平面BCC1B1、平面ADD1A1、平面CDD1C1均相交；直线A1B1在平面A1B1C1D1、平面AA1B1B内．(2)平面ABCD与平面A1B1C1D1平行；平面ABCD与平面AA1D1D、平面DD1C1C、平面CC1B1B、平面BB1A1A均相交．11．证明：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．证明：如图，已知A∈α，A∈a，B∉α，B∈a，求证：直线a与平面α相交．证明：假设直线a和平面α不相交，即a∥α或a⊂α.若a∥α，就与A∈a，A∈α矛盾，若a⊂α，就与B∈a，B∉α矛盾．所以假设不成立，所以直线a和平面α相交．——能力提升类——12．下列四个结论：①两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．②两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行．③两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为(A)A．0B．1C．2D．3解析：当两条直线都和同一平面平行时，这两条直线也可能相交或异面，即①不正确；两条直线没有公共点时也可能异面，即②不正确；③中的两条直线也可能相交或异面；④中的直线也可能与平面相交或在平面内．因此③④不正确．故选A．13．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线(D)A．异面B．相交C．平行D．垂直解析：若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确．所以选D．14．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是①(填序号)．①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线．解析：空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．15．给出三个平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.理由如下，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.理由如下，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．因为a，b都在平面γ内，所以a∥b.又c∥b，所以c∥a.课时作业11直线与平面平行的判定——基础巩固类——1．b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α的是(D) A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交解析：b是平面α外的一条直线，要使b∥α，则b与平面α无公共点，即b与α内的所有直线不相交．2．下列命题(其中a、b表示直线，α表示平面)中，正确的个数是(A)①若a∥b，b∥α，则a∥α；②若a∥b，a⊄α，则a∥α；③若a∥α，b⊂α，则a∥b.A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①中a可能在α内；②中无b⊂α的条件，推不出a∥α；③中a与b还可能异面．故选A．3．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC 的平面β的位置关系是(C)A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊂βC．MN∥β或MN⊂βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β解析：MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，因为平面β过直线BC，若平面β过直线MN，则MN⊂β.若平面β不过直线MN，由线面平行的判定定理可知MN∥β，故选C．4．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有(D)A．l∥αB．l⊂αC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ解析：若α∩β＝m，则m⊄γ，此时m∥γ，反之则m∥β；若α∩γ＝m，则m⊄β，此时m∥β，反之则m∥γ.故选D．5．如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为P A的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是(C)A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCD D．CD∥平面P AB解析：因为O为▱ABCD对角线的交点，所以AO＝OC，又Q为P A的中点，所以QO∥PC．由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，故CD∥平面P AB，故D正确，选C．6．点E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA 的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是(C)A．0 B．1C．2 D．3解析：如图所示，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.7.如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是CD∥α或CD⊂α，原因是CD∥AB．解析：无论如何，都有CD∥AB．8．如下图(1)所示，已知正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位置关系是平行．解析：由图(1)可知BF ∥ED ，由图(2)可知，BF ⊄平面AED ，ED ⊂平面AED ，故BF ∥平面AED ．9．过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有6条．解析：过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．10．已知：△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使A 到A ′的位置，M 是A ′B 的中点，求证：ME ∥平面A ′CD ．证明：如图所示，取A ′C 的中点G ，连接MG 、GD ．∵M 、G 分别是A ′B 、A ′C 的中点，∴MG 綊12BC ，同理DE 綊12BC ，∴MG 綊DE ，即四边形DEMG 是平行四边形，∴ME ∥DG .又∵ME ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，∴ME ∥平面A ′CD ．11．如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．证明：EF ∥平面A 1CD ．证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝12AC 且DE∥AC，又F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1，又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD．——能力提升类——12．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(B)A．①③B．①④C．②③D．②④解析：对图①，可通过证明PN中点与M的连线平行于AB得到AB∥平面MNP，对图④，可通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP，故选B．13.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数有(C)A．1 B．2C．3 D．4解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD 的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是中位线，OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．因为M∈PB，所以OM 与平面PBA、平面PBC均相交．14．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有平面P AD、平面PCD．解析：在△DPB中，∵O为BD的中点，E为PB的中点，∴EO ∥PD，又EO在平面P AD、平面PCD外，PD在平面P AD、平面PCD 内，所以EO与平面P AD、平面PCD平行．15．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解：存在．证明如下：如图，取C1D1的中点F，连接B1A交A1B于点M，连接ME，EF，B1F，C1D．因为E是棱DD1的中点，F为棱C1D1的中点，所以EF綊12C1D．因为C1D綊B1A，M是B1A的中点，所以EF綊B1M，所以四边形EFB1M为平行四边形．所以B1F綊EM.因为B1F⊄平面A1BE，EM⊂平面A1BE，所以B1F∥平面A1BE.课时作业12平面与平面平行的判定——基础巩固类——1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面(C)A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不可能解析：易知两平面可能平行或相交．2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作(B)A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个解析：若过两点的直线与平面α相交，则经过这两点不能作平面与平面α平行；若过该两点的直线与平面α平行，则有唯一一个过该直线的平面与平面α平行．故选B.3．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是(D)A．α，β都平行于直线lB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥α解析：对选项D：∵l∥β，m∥β，∴在β内有两条直线l′，m′满足l′∥l，m′∥m，又l∥α，m∥α，∴l′∥α，m′∥α，又l与m异面，所以l′与m′相交，所以α∥β.4．已知m、n、a、b是四条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m⊂α，n⊂α且直线m与n相交，a⊂β，b⊂β且直线a与b相交，m∥a，n∥b，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是(B)A．0 B．1C．2 D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言，可知①正确；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.5.如图，在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是(A)A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：正方体中E1F∥H1G，E1G1∥EG，从而可得E1F∥平面EGH1，E1G1∥平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1，故选A.6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是(C)A．平面ABB1A1B．平面BCC1B1C．平面BCFE D．平面DCC1D1解析：如图，分别取AB，DC的中点E1和F1，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1，易知平面A1E1F1D1∥平面BCFE.7．六棱柱的面中，互相平行的面最多有4对．解析：当底面六边形是正六边形时，侧面中有3对互相平行，加上下底面平行，故最多可以有4对互相平行的平面．8．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面的位置关系为平行或相交．解析：如图，AB∥CD∥EF且AB＝CD＝EF，则α∥β或α∩β＝l.9．如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中，正确命题的序号是①②③④.解析：展开图可以折成如图(1)所示的正方体．在正方体中，连接AN，如图(2)所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN.因为AN⊂平面DE，BM⊄平面DE，所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图(3)所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．10.如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，E，F，G分别是PB，AB，BC的中点．求证：平面P AC∥平面EFG.证明：因为EF是△P AB的中位线，所以EF∥P A.又EF⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，所以EF∥平面P AC.同理得EG∥平面P AC.又EF⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，EF∩EG＝E，所以平面P AC ∥平面EFG.11．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED.∵A1B∥平面AC1D，ED⊂平面AC1D，∴A1B与ED没有交点．又∵ED⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴ED∥A1B.∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD∥C1D1，且BD＝C1D1，∴四边形C1D1BD为平行四边形，∴C1D∥BD1，∴BD1∥平面AC1D.又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.——能力提升类——12．下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(B)解析：B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF.故选B.13.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②P A∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是①②③④.解析：把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理可知①②③④正确．14．如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则截面的面积为2 6.解析：分别取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.∵A1N∥PC1∥MC，且A1N＝PC1＝MC，∴四边形A1MCN是平行四边形．又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1.因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN.连接MN，作A1H⊥MN于点H.∵A1M＝A1N＝5，MN＝22，∴△A1MN为等腰三角形．∴A1H＝ 3.∴S△A1MN＝12×22×3＝ 6.故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝2 6.15．如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥ADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．解：当F为AB的中点时，平面C1CF∥ADD1A1.理由如下：∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，且AB＝2CD，F为AB的中点，∴CD綊AF綊C1D1，∴四边形AFCD是平行四边形，且四边形AFC1D1是平行四边形，∴CF∥AD，C1F∥AD1.又CF∩C1F＝F，CF，C1F都在平面C1CF内，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.课时作业13直线与平面平行的性质——基础巩固类——1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(D)A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点解析：a不平行于α，则a与α相交或a在α内，故A，B，C 不正确，故选D.2．下列说法正确的是(D)A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都无公共点解析：A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义可知D正确．3．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线(C)A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：根据线面平行的性质定理可知C正确．4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是(C)A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.5．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(D)A．都平行B．都相交C．在两个平面内D．至少和其中一个平行解析：它可以在一个平面内与另一个平面平行，也可以和两个平面都平行．6．如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG和AB的位置关系是(A)A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：因为E、F是AA1、BB1的中点，所以EF∥AB，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.又EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝HG，所以EF∥HG，所以HG∥AB，故选A.7．已知α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，且l∥m，则直线l，m，n 的位置关系为相互平行．解析：如图所示，因为l∥m，m⊂γ，l⊄γ，所以l∥γ.又l⊂α，α∩γ＝n，所以l∥n，又因为l∥m，所以m∥n，即直线l，m，n相互平行．8．如图，三棱柱ABCA′B′C′中，D是BC上一点，且满足A′B∥平面AC′D，则D是BC的中点．。
人教A版高中学案数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.5.3 平面与平面平行——分层作业
∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知
平面MNQ∥平面PBC.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10. [探究点三]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P
又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,
∴△AEH≌△FDH,∴EH=DH.
∵平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,
∴GH∥PE,则G是PD的中点,即PG=GD,∴λ=1.
∵PA=AB=PB=2,∴PE=
1
3
3,GH= PE= .
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中
点,∴FG∥BC1.
∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1.
∵FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D,故选项A正确.
∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,∴EF与平面BC1D1相交,故选项B错误.
∵E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1,
∵FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,∴FG∥平面BC1D1,故选项C正确.
是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面
PAO?
人教版数学高一-A版必修2学业分层测评7 平面
学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·郑州高一检测)给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．【答案】 A2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合【解析】选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．【答案】 C3．(2016·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面()【导学号：09960046】A．只有一个B．可作两个C．可作无数多个D．只有一个或有无数多个【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.【答案】 D4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中() A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线【解析】如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．(1)(2)【答案】 B5．如图2-1-7，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()图2-1-7A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D【解析】根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.【答案】 D二、填空题6．如图2-1-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：图2-1-8(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．【答案】(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．【答案】1或2或3三、解答题8．如图2-1-9所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上.【导学号：09960047】图2-1-9【证明】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，∴P∈平面ABD∩平面CBD，∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上．9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．[自我挑战]10．下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内【解析】经过同一直线上的三点有无数个平面，故选项A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ACC1D1中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故选项C不正确；和同一直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.【答案】 D11．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD ＝P，A1C1∩EF＝Q，如图2-1-10.(1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．图2-1-10【导学号：09960048】【解】(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β. 同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.4.1 平面——分层作业
又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9.[探究点二]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的
中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
A级
必备知识基础练
1.[探究点一·2023山东烟台期末]下列几何元素可以确定唯一平面的是( C )
A.三个点
B.圆心和圆上两点
C.梯形的两条边
D.一个点和一条直线
解析 根据题意,依次分析选项:
对A,三个不共线的点才能确定唯一平面,A错误;
对B,当圆上的两点和圆心共线时,三个点不能确定唯一平面,B错误;
面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(ABC)
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,O,C,M四点共面
D.B,B1,O,M四点共面
解析 因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共
线,从而易知ABC均正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
13.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上.
(1)A∉α,a⊂α:
③
(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:
(3)a⊄α,a∩α=A: ①
;
④
;
;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:
②
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
解析 根据几何中的图示法和几何描述法的对应关系,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时分层作业(七)平面
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．下列命题中正确命题的个数是()
①三角形是平面图形；
②四边形是平面图形；
③四边相等的四边形是平面图形；
④圆是平面图形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
B[根据公理2可知①④正确，②③错误．故选B.]
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()
A. 相交
B. 重合
C. 相交或重合
D. 以上都不对
C[若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]
3．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
B[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.]
4．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是()
①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a ⊂α⇒A⊂α.
A．0 B．1 C．2 D．3
A[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．]
5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()
A．0 B．1 C．0或1 D．1或3
D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.]
二、填空题
6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.
∈[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.]
7．在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.
5[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．]
8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．
1或2或3[当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]
三、解答题
9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图所示．
求证：直线AD，BD，CD共面．
[证明]因为D∉l，所以l与D可以确定平面α，
因为A∈l，所以A∈α，
又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，
所以AD，BD，CD在同一平面α内，
即它们共面．
10．求证：三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点．
[证明]如图，延长AA1，BB1,
设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂面BC1，∴P∈面BC1，
AA1⊂面AC1，∴P∈面AC1，
∴P为平面BC1和面AC1的公共点，
又∵面BC1∩面AC1＝CC1，
∴P∈CC1，
即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.
1．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
D[A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]
2．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．]
由Ruize收集整理。
感谢您的支持！。