初三数学-一元二次方程根与系数的关系精讲精练
解一元二次方程-九年级数学上册精讲与精练高分突破(人教版)
21.2 解一元二次方程考点一．直接降次解一元二次方程（1）依据平方根的意义，将形如 2x p = 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤：①将方程转化为2x p =（或()2mx n p +=）的形式； ②分三种情况降次求解：（ⅰ）当0p >时， 1x p =-2x p = ；（ⅱ）当0p =时， 120x x == ；（ⅲ）当0p <时，方程 无实数根 ．考点二．用配方法解一元二次方程（1）定义：通过配成 完全平方 形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边．二除：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为1．三配：方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，将方程左边配成完全平方的形式．四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程：①配方后，化为2()x m n +=型的方程，当0n ≥时，可用直接开方法求解． ②若0n =时，方程有两相等的根，即12x x m ==-，而不是一个根x m =-．③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况．考点三．用公式法解一元二次方程（1）一元二次方程根的判别式：一般地，式子 24b ac - 叫做方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，通常用希腊字母∆表示，即24b ac ∆=-．①当∆>0时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，即x =．②当∆=0时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根，即122bx x a==-． ③当∆<0时，方程()200ax bx c a ++=≠没有实数根． （2）求根公式：当0∆≥时，方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为 x = 的形式，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤：①把方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③计算24b ac -的值；④当240b ac -≥时，把a 、b 、c 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当240b ac -<时，方程 没有实数根 ．考点四．用因式分解法解一元二次方程（1）当方程缺少一次项时，可考虑用 平方差公式 分解因式．（2）当方程缺少常数项时，可考虑用 提公因式法 分解因式，且方程一定有一根为0． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作 整体 ，直接因式分解．考点五．一元二次方程的根与系数的关系如果方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根1x ，2x ，那么12x x += b a - ，12x x ⋅= ca．技巧归纳．选择合适的方法解一元二次方程配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法所有一元二次方程因式分解法若0ab =，则0a =或0b =一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程（1）在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法．（2）如果二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．（3）．涉及两根的代数式的重要变形：（1）()2221212122x x x x x x +=+-； （2）()()221212124x x x x x x -=+-； （3）12121211x x x x x x ++=； （4）()212121221122x x x x x x x x x x +-+=题型一：用配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程27120x x -+=，配方后的方程为（ ）A ．27124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．27124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()2737x -=D ．()2737x +=2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ） A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程： (1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=； (5)2212100x x ++=； (6)()22040x px q p q ++=-≥．题型二：由判别式判断根的情况4．关于x 的一元二次方程2420x x -+=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定5．关于x 的一元二次方程x 2＋kx ﹣2＝0（k 为实数）根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．不能确定6．关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围（ ） A ．k ≥﹣1B ．k ≥﹣1且k ≠0C ．k ＞﹣1且k ≠0D ．k ≤﹣1题型三：估计根的情况判断参数范围7．若方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．28．已知关于x 的一元二次方程()21220k x x -+-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．12k ≥C ．12k >且1k ≠ D ．12k ≥且1k ≠ 9．关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．18k <-B ．18k ≤-C ．18k >-D ．18k ≥-题型四：用公式法解一元二次方程10．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为12x x ==，下列判断一定正确的是（ ） A ．a ＝﹣1B ．c ＝1C ．ac ＝1D ．1ca=-11．若x =是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）A ．23210x x +-=B ．22410x x +-=C ．2230x x -++=D ．23210x x --=12．已知关于x 的一元二次方程()22140mx m x m +-+-=．(1)当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当2m =时，用合适的方法求此时该方程的解．题型五：用因式分解法解一元二次方程13．已知1和2是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根，则关于x 的方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的根为（ ） A ．0和1B ．1和2C ．2和3D ．0和314．若关于x 的方程ax 2+bx +c =0的解是x 1=3，x 2=−5，则关于y 的方程a (y +1)2+b (y +1)+c =0的解是（ ） A ．14y =，24y =- B ．12y =，26y =- C ．14y =，26y =-D ．12y =，24y =-15．用因式分解法解一元二次方程 (1)()()41570x x +-=； (2)2(23)4(23)x x +=+．题型六：一元二次方程的根与系数的关系16．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（ ）A ．7B ．7-C ．6D ．6-17．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m +++=，(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若1x ，2x 是原方程的两根，且12112x x +=-，求m 的值． 18．关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k ---+=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为1x 、2x ，且22121219x x x x ++=，求k 的值．一、单选题19．一元二次方程2480x x +-=的解是（ ）A ．1222x x =+=-B ．1222x x =+=-C ．1222x x =-+=--D ．1222x x =-+=--20．在用配方法解方程2340x x +-=时，可以将方程转化为2325()24x +=其中所依据的一个数学公式是（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．2222()aab b a b ++=+C ．2222()a ab b a b -+=-D ．x =21．一元二次方程2610x ++=的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根22．下列解方程变形正确的是（ ） A ．若23x x =，则3x =B ．若22(31)(56)x x -=+，则3156x x -=+C ．若2410x x ++=，则2(2)3x +=D ．若()()262x x x x +=+，则2x =或23x +=23．已知一元二次方程 220x ax b --= 的两个根分别为 1x 和 2x ，且 22121216x x x x +=-，则 的值为（ ）A ．B ．3C ．D ．424．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22022a b -+的值是（ ） A ．2026B ．2024C ．2022D ．202025．用配方法解方程2230x x --=，配方正确的是（ ） A ．()212x -=B ．()214x -=C ．()212x +=D ．()214x +=26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k2+k ﹣1=0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x2满足x 12+x22=11，求k 的值． 27．按要求解方程．（1）2(32)24x +=（直接开方法） （2）2314x x -=（公式法）（3）()()221321x x +=+（因式分解） （4）223990x x --=（配方法）一：选择题28．设关于x 的方程()2290ax a x a +++=，有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．211a <-B ．2275a <<C ．25a >D ．2011a -<< 29．以下关于一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的说法中，不正确的是（ ） A ．若c ＝0，则方程20ax bx c ++=一定有一根为0； B ．若0b =，则方程20ax bx c ++=一定有两个实数根； C ．若0a b c -+=，则方程20ax bx c ++=必有一根为－1； D ．若0ac <，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根．30．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程27120x x -+=的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A ．12B ．13C ．12或13D ．1531．若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．332．关于x 的一元二次方程2(1)210k x x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≥B ．0k ≤C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤且1k ≠-33．若α、β为方程2x 2-5x -1=0的两个实数根，则2235++ααββ的值为（ ） A ．-13B ．12C ．14D ．1534．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞12B ．k≥12C ．k ＞12且k ≠1D ．k ≥12且k ≠1二、填空题35．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 36．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .37．关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k =0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是_____． 38．如果（2a ＋2b ＋1）（2a ＋2b －1）＝63，那么a ＋b 的值为________．39．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m =3，n 2﹣n =3，那么代数式2n 2﹣mn +2m +2015=_____________． 40．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程220x x --=是“倍根方程”；②若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”，则22450m mn n ++=； ③若,p q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”； ④若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”，则必有229b ac =．41．已知实数a ，b 满足条件2720a a -+=，()2720b b a b -+=≠，则b a a b+=________．42．关于x 的方程mx 2+x ﹣m +1=0，有以下三个结论：①当m =0时，方程只有一个实数解；②当m ≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是__（填序号）．三、解答题43．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=. （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．44．用指定的方法解下列方程： （1）2(21)9x +=；（直接开平方法） （2）23520x x --=；（配方法） （3）22450x x --=；（公式法）（4）2(3)4(3)0x x x ---=．（因式分解法）45．选择适当方法解下列方程 （1）（3x ﹣1）2＝（x ﹣1）2 （2）3x （x ﹣1）＝2﹣2x46．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．47．已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且221212x x +=，求m 的值．48．用因式分解法解下列方程： (1)212350x x -+= ； (2) 23(23)2(23)0x x ---=； (3) 229(2)16(25)x x +=-； (4) 2(3)5(3)60x x +-++=．49．用适当的方法解下列方程： （1）2420x x --=； （2）(1)(2)10x x -+=；（3）211(1)(1)32x x -=-．50．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）已知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值. （3）若已知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.1．A 【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案． 【详解】∵27120x x -+=， ∴2712x x -=-，则2494971244x x -+=-+， 即27124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选：A ．2．B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵23610x x +-=， ∴2361x x +=，2123x x +=，则212113x x ++=+，即()2413x +=，∴1a =，43b =，∴73a b +=． 故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 3．(1)12312x x ==-,(2)121,9x x ==-(3)12651,651x x =-=-(4)12225,225x x =+=-(5)121,5x x =-=-(6)24p p q x -±-=【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2−5x =2移项得：x2-53x =23，配方得：x2-53x +2536=23+2536，合并得：（x -56）2=4936，解得：x 1=56+76=2，x 2=56-76=-13；（2）解：x2+8x =9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x +4）2=25，解得x 1=1，x 2=-9；（3）解：x2+12x −15=0移项得：x 2+12x +36=15+36，配方得：（x +6）2=51解得x 1=-6x 2（4）解：14x2−x −4=0去分母得：24160x x --=，移项得：2416x x -=，配方得：x2-4 x +4=16+4，合并得：（x -2）2=20，解得：x 1=2＋x 2=2－（5）解：2x2+12x +10=0 系数化为1得：2650x x ++=，移项得：265x x +=-，配方得：x2+6x +9=-5+9，合并得：（x +3）2=4，解得：x 1=-1，x 2=--5；（6）解：x2+px +q =0，移项得：2x px q +=-，配方得：x2+px +24p =-q +24p ，合并得：(x +2p )2=244p q -，解得x【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 4．B 【分析】先求出根的判别式∆的值，然后根据∆的值判断即可． 【详解】∵根的判别式224(4)41280b ac ∆=-=--⨯⨯=> ∴该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 5．C 【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求解． 【详解】解：由根的判别式得：Δ=b 2-4ac =k 2+8＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ=b 2-4ac ）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根．上述结论反过来也成立． 6．B 【分析】根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：∵方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根， ∴24b ac ∆=-2(2)4(1)k =--⨯-440k =+≥且0k ≠， 解得k ≥﹣1且k ≠0． 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；∆<0时，方程有没有实数根是解题关键．另外一元二次方程还需二次项系数不为0．【详解】解：方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，∴此方程根的判别式()2340m ∆=-->，解得94m <，观察四个选项可知，只有选项D 符合， 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．8．D 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21220k x x -+-=有实数根，∴()()21024120k k -≠⎧⎨=-⨯-⨯-≥⎩， 解得：12k ≥且1k ≠． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当240b ac -≥时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．9．A 【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程220x x k +-=没有实数根，∴()2Δ1420k =-⨯⨯-<，解得18k <-．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）∆>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）∆=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）∆<0⇔方程没有实数根． 10．D 【分析】根据一元二次方程的求根公式可得答案．【详解】解：根据一元二次方程的求根公式可得：1x 2x =，∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为1x =，2x =∴22a =，44ac =- ∴1a =,1c =-, ∴则1ac =-，1ca=-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．11．D 【分析】根据x =得二次项系数a =3，一次项系数b =-2，常数项c =-1，即可得到方程．【详解】解：根据x a =3，一次项系数b =-2，常数项c =-1，∴这个一元二次方程是23210x x --=， 故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程的求根公式，正确掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 12．(1)112m -＞，且0m ≠ (2)12x =-，212x =【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可知，∆＞0且0m ≠，即可求解； （2）将2m =代入方程，可得22320x x +-=，用公式法即可求解（方法不唯一）．（1）解：由题意得:∆＞0，即：()()221440m m m ---＞，224414160m m m m -+-+＞，解得：112m -＞，∵该方程为一元二次方程，∴0m ≠，∴当112m -＞，且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m ＝2时，方程为22320x x +-=，∵∆＝9＋4×2×2＝25＞0，∴354x -±==，∴22x =-，212x =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程的解法． 13．A 【分析】设1,x y 则2(1)(1)0a x b x c ++++=为：20,ay by c ++= 则1y =或2,y = 从而可得答案． 【详解】解：设1,x y 则2(1)(1)0a x b x c ++++=为：20,ay by c ++=∵1和2是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根，1y =∴或2,y =11x 或12,x解得：120,1,x x ==即2(1)(1)0a x b x c ++++=的根为120,1,x x == 故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握“整体未知数法解方程”是解本题的关键．14．B 【分析】设t =y +1，则原方程可化为at 2+bt +c =0，根据关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=3，x 2=-5，得到t 1=3，t 2=-5，于是得到结论． 【详解】解：设t =y +1， 2∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=3，x 2=-5， ∴t 1=3，t 2=-5， ∴y +1=3或y +1=-5， 解得y 1=2，y 2=-6． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．15．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可； （2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程． 16．B 【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即． 【详解】解：∵一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ， ∴1x +2x =2， ∵11x =-， ∴2x =3，∴1x ·2x =-a =-3， ∴a =3，∴22123917a x x --=--=-．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键． 17．(1)见解析 (2)2m =【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-，证明24b ac ∆=-恒大于0即可得出结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a +=-，12c x x a=，代入即可求出m 的值．（1） 证明：∵22242440b acmm m ∆＞，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题可知，()122m x x =-++，12x x m =，∴()1212122112m x x x x x x m-+++===-， 解得2m =， 经检验m =2有意义．【点睛】此题考查了一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系是本题的关键． 18．(1)见解析； (2)k =7或k =-3．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k +1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，再将它们代入22121219x x x x ++=，即可求出k 的值． （1）∵b 2-4ac =[-（k -3）]2-4×1×（-2k +2）=k 2+2k +1=（k +1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）由根与系数关系得x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，∵22121219x x x x ++=，∴()2121219x x x x +-=，∴()232219k k ---+=（），即24210k k --=， 解得：k =7或k =-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x 1+x 2=-b a，x 1•x 2=ca．【详解】解：∵2480x x +-=， ∴248x x +=， ∴24412x x ++=， ∴()2212x +=，∴2x +=±，解得1222x x =-+=-- 故选D ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 20．B 【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可．【详解】用配方法解方程2340x x +-=时，可以将方程转化为2325()24x +=，其中所依据的一个数学公式是2222()a ab b a b ++=+．故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据． 21．C 【分析】先求一元二次方程根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：∵(24610∆=-⨯⨯=，∴方程有两个相等的实数根． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 22．C 【分析】利用因式分解法求解、直接开平方法变形和配方法变形求解即可判断． 【详解】解：A 、若23x x =， 移项得230x x -= -=(3)0x x则30x x ==，，故该选项不符合题意； B 、若22(31)(56)x x -=+开平方得31(56)x x -=±+，故该选项不符合题意； C 、若2410x x ++= 则2443x x ++=2(2)3x +=，故该选项符合题意；D 262x x x x +=+移项得()()6220x x x x +-+= 提公因式得()520x x +=则x =0或x =-2，故该选项不符合题意． 故选C ．【点睛】本题考查了提公因式因式分解法、直接开平方法和配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．23．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得12122,x x b x x a =-+=，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程 220x ax b --= 的两个根分别为 1x 和 2x ， ∴12122,x x b x x a =-+=，∵221212x x x x ()1212x x x x =+2ab =-，22121216x x x x +=-， ∴216ab -=-， ∴8ab =，=故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 24．A 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a 2+a =3，a +b =−1，将其代入即可求出结论． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+x −3=0的两个实数根， ∴a 2+a =3，a +b =−1， ∴b =-a -1，22022a b ∴-+()212022a a =---+ 212022a a =+++312022=++=2026 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键．25．B 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：2230x x --=2214x x -+=，()214x -=．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．26．（1）k≤58；（2）k=﹣1．【详解】【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k ﹣1）]2﹣4×1×（k 2+k ﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1+x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k ﹣1）]2﹣4×1×（k 2+k ﹣1）=﹣8k+5≥0， 解得k≤58；（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=2k ﹣1，x 1x 2=k 2+k ﹣1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（2k ﹣1）2﹣2（k 2+k ﹣1）=2k 2﹣6k+3， ∵x 12+x 22=11，∴2k 2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1， ∵k≤58，∴k=4（舍去）， ∴k=﹣1．【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.27．（1）x 1x 2= ；（2）x 1= x 2（3）x 1=﹣12，x 2=1；（4）x 1=21，x 2=﹣19【详解】解：（1）()23224x +=，32x +=±32x =-±x =12x x ∴== （2）2314x x -=，()()24431161228=--⨯⨯-=+=，x ===12x x == （3）()()221321x x +=+，()()212130,x x ++-= ()()21220,x x +-=210x +=或220x -=， 1211.2x x =-=，（4）223990x x --=， 2 21400x x -+=，()21400x -=，120x -=±， 120x =±， 122119.x x ==-，28．D 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围，再由根与系数的关系求出a 的取值范围，找到公共解集即可解答．【详解】解：根据题意得，0a ≠ ()2Δ2490a a a =+-⨯>2244360a a a ∴++-> 235440a a ∴-++> (52)(72)0a a ∴-++>520720a a -+>⎧∴⎨+>⎩，解得2275a -<<或520720a a -+<⎧⎨+<⎩，无解121x x <<1210,10x x (1)(1)0x x ∴--<1212()10x x x x121229,9a a a x a x x x 29()10a a 21010a 211a211a 综上，2011a -<< 故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 29．B 【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、若c ＝0，则方程为20ax bx +=，即()0x ax b +=，∴方程20ax bx c ++=一定有一根为0，正确，不符合题意；B 、若0b =，则方程为20ax c +=，∵244b ac ac ∆=-=-，∴只有当ac ≤0时，即0∆≥，方程20ax bx c ++=有两个实数根，故原说法错误，符合题意；C 、将x ＝－1代入方程20(a 0)++=≠ax bx c 可得：0a b c -+=，∴若0a b c -+=，则方程20ax bx c ++=必有一根为－1，正确，不符合题意；D 、∵ac ＜0，∴Δ＝b 2−4ac ＞0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根．30．B 【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，最后计算周长即可。
冀教版九年级数学 24.3 一元二次方程根与系数的关系(学习、上课课件)
C．
x1x2=
7 6
D． x1x2=7
感悟新知
解题秘方：根据根与系数的关系求值 .
知1－练
解：∵ x1， x 2 是方程 x 2－6x－7=0 的两个根， ∴ x1+x 2= －ba =6， x1x 2= ac=－7． 答案：A
感悟新知
知1－练
1-1. [ 中考·泰州 ] 关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－ 1=0 的两根 之和为____－__2____．
第二十四章 一元二次方程
24.3 一元二次方程根与系数的关系 *
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根与系数的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程根与系数的关系
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系 对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥0
两根之积
的关系
已知一根求另一根 及字母的值
求涉及根的代数 式的值
构建以两已知数为 根的一元二次方程
感悟新知
知1－练
1-2. [ 中考·随州 ] 已知关于 x 的一元二次方程x2－3x ＋1=0 的两个实数根分别为x1 和 x2，则 x1＋x2－ x1x2 的值为____2____ ．
感悟新知
知1－练
例2 已知一元二次方程 x2－6x＋q=0 有一个根为 2，求方 程的另一个根和 q 的值 .
感悟新知
解题秘方：利用两根之和与两根之积求解 .
知1－练
解：设这个方程的另一个根为 m，
根据根与系数的关系得 m＋2=6， 2m=q，
九年级数学上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练素材
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当,时,那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强,应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况,以及应用求根公式求出方程的两个根,进而分解因式，即.下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1:已知关于的方程（1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2）没有实数根，问取什么整数时,方程（1）有整数解？分析:在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程(1）有两个不相等的实数根，∴解得;∵方程（2）没有实数根，∴解得;于是,同时满足方程（1)，（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时,方程（1)为,有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程,判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负,则需要确定或的正负情况.因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。
解:∵，∴△＝—4×2×(-7）＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为,∵＜0∴原方程有两个异号的实数根.说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
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一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足 x 1+x 2=x 1x 2，贝U m 的值是（ C . - 2D . - 3 或 22元二次方程 x + （ k+3） x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（ C . - 1 D .2 2（2014?黄冈样卷）设 a , b 是方程x +x - 2015=0的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ 2012B . 2013C . 2014D .11. （2014?江西模拟）一元二次方程 x 2- 2x - 3=0与3x 2- 11x+6=0的所有根的乘积等于（）A . -6B . 6C . 3D .-3 12 . （2014?峨眉山市二模） 已知X 1、X 2是方程X 2 - (k - 2) x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的取大值疋( )A .19 B . 18 C . 15 D . 1313 . （2014?陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程 x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3, x 1x 2=1，贝U a 、b 的值分别 是（ ）参考学习（2014?威海）方程X 2- (m +6) -2或3B .3 （2014?长沙模拟）若关于 X的 2 B .1 1. A .选择题(共(2014?宜宾) 2 .x +3x - 2=022小题）若关于x 的一元二次方程的两个根为 B . x 2- 3x+2=0 X 1=1, X 2=2，则这个方程是( )C . x 2- 2x+3=0D . X 2+3X +2=02. A (2014?昆明) -4已知 X 1,X 2是一元二次方程 x 2- 4X+仁0的两个实数根，则 X 1?x 2等于（ B . - 1 C . 1 3. (2014 ?玉林) X 1, x 2是关于x 的一元二次方程 x 2- mx+m - 2=0的两个实数根,是否存在实数m 使・X 1=0成立？则正确的结论是（ A . m=0时成立 m=2时成立C . m=0或2时成立D .不存在4. A (2014?南昌) 10a,x 2 - 2x - 3=0的两个实数根，则 a 2+ 3的值为（ 9C . 75. A .(2014 ?贵港) -10 若关于x 的一元二次方程 x 2+bx+c=0的两个实数根分别为 x 仁-2, B . 10 C . -6 x 2=4，则b+c 的值是（D . - 16. A(2014?烟台)-1或5关于 x 的方程x 2- ax+2a=0的两根的平方和是 5，贝V a 的值是（B . 1C . 57. A .2（2014?攀枝花）若方程 x +x -仁0的两实根为 a + 3 - 1 3,那么下列说法不正确的是（C . a 2+ 3=3) D .二 "a=-110. A . )20158.A .9. A .15.（2013?桂林）已知关于x 的一元二次方程 x 2+2x+a -仁0有两根为x 1和x 2,且x 12 -X 1x 2=0,则a 的值是（ ） A . a=1 B . a=1 或 a= - 2C . a=2D . a=1 或 a=216.（2013?天河区二模）已知一元二次方程 x 2- 4x+3=0两根为X 1、x 2,则x 1+x 2=（ ）A . 4B . 3C . - 4D . - 317 . （2013?青神县一模）已知 m 和n 是方程2x 2- 5x - 3=0的两根，则一 一一的值等于（） m n A .空B . 5C . _3D . _主53318 . （2012?莱芜）已知 m 、n 是方程x 2+2 . ：x+仁0的两根，则代数式 JnA 口％nn 的值为（ ）A . 9B .均C . 3D . 519 . （2012?天门）如果关于 x 的一元二次方程 x 2+4x+a=0的两个不相等实数根 X 1, X 2满足X 1X 2 -2x 1 - 2x 2- 5=0, 那么a 的值为（ ）A . 3B .-3C .13 D . -1320. （2011?锦江区模拟）若方程 x 2- 3x - 2=0的两实根为X 1、 X 2，则(X 1+2) (X 2+2) 的值为（)A . -4B . 6C . 8D . 1221. （2011?鄂州模拟）已知 2 P - p - 1=0， 1 -q -q 2=0，且pq 为，则竺乜的值为（ Q )A . 1B.2 C . 1D .Vs ■ 12222. （2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边 a 为4，另两边b 、 c 分别满足b 2- 5b+6=0， c 2 -5c+6=0， 则厶ABC 的周 长为（ ）A . 9B .10C . 9或10D . 8或9或10二.填空题（共4小题）23 . （2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+ （k - 2） x+k 2=0的两根互为倒数，则 k= ______________ .2 224 . （2014?呼和浩特）已知 m , n 是方程x +2x - 5=0的两个实数根，则 m - mn+3m+n= _______________ 25 . （2014?广州）若关于 x 的方程x +2mx+m +3m - 2=0有两个实数根 x 1、x 2，则x 1 （x 2+x 1） +x 2的最小值为 —26 . （2014?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x + （2k+1 ） x+k - 2=0的两根为X 1和乂2，且（X 1 - 2） （X 1 - X 2）=0， 则k 的值是 _________ .A . a= — 3, b=1B . a=3, b=1C - a 」，b=- 16D ，p, b =114. (2013?湖北)已知 A . - 1a, B 是一兀二次方程B . 9x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则C . 23a 2+ a + B 的值为(D . 27三.解答题（共4小题）2 227. (2014?泸州)已知x i, x2是关于x的一元二次方程x - 2 (m+1) x+m +5=0的两实数根.(1)若(x i - 1) (X2 - 1) =28，求m 的值；(2)已知等腰△ ABC的一边长为7,若X1, x2恰好是△ ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.3x1 28. (2014?日照二模)已知X1, x2是关于x的一元二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2-仁0的两个实数根，其满足( -X2) (x1 -3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.2 一 229. (2013?孝感)已知关于x的一元二次方程x -( 2k+1) x+k +2k=0有两个实数根x1, x2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k使得X1?x2- X12-X22茅成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.30. (2001 ?苏州)已知关于x的一元二次方程/ - 2kx+-k2 - 2=02(1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)设X1、x2是方程的两个根，且x12- 2kx1+2x1x2=5，求k的值.一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一 •选择题（共22小题） 1.（2014?宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为 x l =1, x 2=2，则这个方程是（）2229A . X 2+3X - 2=0B . x 2 - 3x+2=0C . x 2- 2x+3=0D . x 2+3x+2=0考点： 根与系数的关系.分析： 解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3 ,两实数根的积是1 ><2=2 .解题时检验两根之和 —是否a 为3及两根之积一是否为2即可.a解答：解：两个根为 X 1=1 , X 2=2则两根的和是 3,积是2 . A 、 两根之和等于-3,两根之积等于-2,所以此选项不正确； B 、 两根之和等于 3，两根之积等于 2，所以此选项正确； C 、 两根之和等于 2，两根之积等于 3，所以此选项不正确；D 、 两根之和等于-3,两根之积等于 2，所以此选项不正确， 故选：B .点评： 验算时要注意方程中各项系数的正负.2. （2014?昆明）已知x i , X2是一元二次方程 X 2- 4X +仁0的两个实数根，则 X I ?X2等于（ ）A . - 4B . - 1C . 1D . 4考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题.分析： 直接根据根与系数的关系求解.解答： 解：根据韦达定理得 X 1?x 2=1 . 故选：C . 点评：本题考查了 兀二次方程 a^+bx+c=0 （ aMD ）的根与系数的关系：右方程两个为X 1 ,X 2,则X1+X2=,X 1?X 2- .a 33. （2014?玉林）x 1, X2是关于X 的一元二次方程 立？则正确的结论是（ ）A . m=0时成立B . m=2时成立根与系数的关系.先由一兀二次方程根与系数的关系得出， X 1+x 2=m , X 1x 2=m - 2 .假设存在实数 m 使.+ ~ =0成立，则巧七X 2- mx+m - 2=0的两个实数根，是否存在实数m —丄 =0成 X1巾C . m=0或2时成立D .不存在考点：m=0,再用判别式进行检验即可.解：T X1, X2是关于X的一元二次方程x2- mx+m - 2=0的两个实数根, 解答:/• x1+x2=m , x1x2=m - 2 .2假设存在实数m使亠+亠=0成立，则_2=0,/• =0,D_ 2••• m=0.当m=0 时，方程x2- mx+m - 2=0 即为x2- 2=0,此时△ =8 > 0,•m=0符合题意.故选：A.点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x i, x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x i+x2=- p, x i x2=q .4. （2014?南昌）若a, B是方程x2- 2x - 3=0的两个实数根，则a2+『的值为（）A . 10B . 9 C. 7 D . 5考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系求得a+3=2 , a =- 3,则将所求的代数式变形为（a+ 3）2-2 a 3将其整体代入即可求值.解答：解：•/ a, 3是方程x2- 2x - 3=0的两个实数根，•a+ 3=2 , a = - 3,•a2+ 32= （ a+ 3）2- 2 a =22- 2X（—3）=10.故选：A.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.25.（2014?贵港）若关于x的一元二次方程x +bx+c=0的两个实数根分别为x仁-2, x2=4，则b+c的值是（）A . - 10 B . 10 C. - 6 D . - 1考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系得到- 2+4= - b,- 2“=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可.解答：解：•关于x的兀二次方程x +bx+c=0的两个头数根分别为x仁-2, x2=4, •根据根与系数的关系，可得- 2+4= - b, - 2 >4=c,解得b= - 2, c= - 8• b+c= - 10.故选：A.点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：X1+X2= '■, X1X2「.3 326. （2014?烟台）关于x的方程x2- ax+2a=0的两根的平方和是5，贝V a的值是（）A .- 1 或5B . 1C . 5D . - 1考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：设方程的两根为X1 , x2，根据根与系数的关系得到X1+X2=a, X1?X2=2a，由于X12+X22=5，变形得到（X1+X2）2- 2x1?x2=5，则a2- 4a- 5=0 ,然后解方程，满足△为的a的值为所求.解答：解：设方程的两根为X1, x2,则x1+x2=a, x1?x2=2a, 2 2「•X1 +X2 =5 ,2•(X1+X2) - 2X1?x2=5,•a2- 4a- 5=0,•a1=5 , a2= - 1,2■/ △ =a — 8a^0, --a= — 1. 故选：D .点评： 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a 旳）的根与系数的关系：若方程的两根为x i , x 2,则x i +x 2=,aX 1?X 2==也考查了一元二次方程的根的判别式.327. （ 2014?攀枝花）若方程 x +x -仁0的两实根为 a 3,那么下列说法不正确的是（ ）A . a + 3= - 1B . a3= - 1C . a + 3=3D . 1 1 =莎丁- 1计算题.先根据根与系数的关系得到 a + 3= - 1, a = - 1 ,再利用完全平方公式变形 a 2+ 3?得到（a + 3） 2 - 2 a 3禾U 用通分变形_+_得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判ap] | CL p断.故选：D .本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ aMD ）的根与系数的关系：若方程两个为x 1,x 2,则x 1+x 2=-- ,x 1?x 2左.& （2014?威海）方程x 2-（ m+6） x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足 x 1+x 2=x 1x 2，贝U m 的值是（）A . - 2 或 3B . 3C . - 2D . - 3 或 2考点：根与系数的关系；根的判别式. 专题：判别式法.分析： 根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6, x 1x 2=m 2,再根据X 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2-（ m+6） +m 2=0有两个相等的实数根得出 b 2- 4ac=0,求得m 的值，由相同的解解决问题.2解答： 解： T X 1+x 2=m+6 , X 1x 2=m , X 1+x 2=x 1x 2,2/• m+6=m ,解得m=3或m= - 2,•••方程x 2-（ m+6） x+m 2=0有两个相等的实数根，2 2 2 2△ =b - 4ac= （ m+6） - 4m =- 3m +12m+36=0 解得m=6或m= - 2 /• m= - 2. 故选：C .点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a M 0, a , b , c 为常数）根的判别式 △ =b 2- 4ac .当厶> 0,方程有两个不相等的实数根；当 △ =0，方程有两个相等的实数根；当△< 0，方程没有实数根.同时考查了一元二次、2b亡方程ax +bx+c=0 （aM ））的根与系数的关系：若方程的两根为x 1, x 2,则x 1+x 2=-—, x 1?x2—.a a 99 （2014?长沙模拟）若关于 x 的一元二次方程x 2+ （ k+3） x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（）考点： 专根与系数的关系.解答: 解：根据题意得 a + 3= - 1, 所以a 2+ + a ^= ( a + 3) 2- 2aa = - 1 .=(-1) 2-2X(- 1) =3 ;11 ■-— 1 -1= 31 1 d & -1点评:考点： 根与系数的关系.分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系 x 1?X 2*来求方程的另一个根.a解答：解：设X 1、x 2是关于x 的一兀二次方程 x + ( k+3) x+2=0的两个根， 由韦达疋理，得 X 1?X2=2，即-2x 2=2, 解得，X 2=- 1 . 即方程的另一个根是-1 . 故选C .点评： 此题主要考查了根与系数的关系.在利用根与系数的关系X 1+X 2=-上、X1?X 2*时，要注意等式中的a 、b 、a |ac 所表示的含义.考点：根与系数的关系；一元二次方程的解. 专题：计算题.2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a +a - 2015=0 ,即a +a=2015，则a +2a+b 变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b= - 1,然后利用整体代入的方法计算.解答： 解：T a 是方程x 2+x - 2015=0的根，2 2••• a +a - 2015=0，即 a +a=2015,2• a +2a+b=a+b+2015 ,••• a , b 是方程x 2+x - 2015=0的两个实数根 • a+b= - 1,•- a 2+2a+b=a+b+2015= - 1+2015=2014 . 故选C .评：2小、' 本题考查了根与系数的关系：若X 1, x 2是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a M D )的两根时，x 1+x 2= -一 , x 1x 2^ .也a a 考查了一元二次方程的解.x 2- 2x - 3=0与3x 2 - 11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）C . 3D . - 3考点： 根与系数的关系. 分析：由一兀二次方程 X 2- 2x - 3=0和3x 2- 11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系 仃二二，即可直接得出答案.解答：解：由一元二次方程 X 2- 2x - 3=0 , •/ △ =4+16=20 > 0, • X 1X 2= - 3 ,由一元二次方程 3x 2- 11x+6=0 , •/△ =121 - 4X 30-49>0, • X 1x 2=2 • — 3 疋——6 故选A .点评： 本题考查了一兀二次方程根与系数的关系.解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式.12. (2014?峨眉山市二模)已知 x 1、x 2是方程x 2-( k - 2) x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则 衍‘ +七？的最大值是 ( )A . 2B . 1C . - 1D . 010. (2014?黄冈样卷)设 2 a , b 是方程x +x - 2015=0的两个实数根，则A . 2012B . 2013C . 2014 2a +2a+b 的值为（11. (2014 ?江西模拟)一元二次方程 A . - 6B . 62A . 19B . 18C . 15D . 13考点：根与系数的关系；二次函数的最值.分析： 根据X I 、x 2是方程x 2-( k - 2) x+ (k 2+3k+5) =0的两个实根，由△为即可求出k 的取值范围，然后根据 根与系数的关系求解即可.解答：解：由方程有实根，得 △为，即(k - 2) 2- 4 ( k 2+3k+5 )为2所以 3k +I6k+16 切， 所以(3k+4) ( k+4)切 解得-4NW-3又由 x i +x 2=k - 2, x i ?x 2=k 2+3k+5，得2 2 2 2 2 2 2x i +x 2 = (x i +x 2) - 2x i x 2= (k - 2) - 2 ( k +3k+5) = - k - 10k - 6=19 -( k+5),当k= - 4时，x i 2+x 22取最大值i8.故选：B .点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△为先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解.i3. (20i4?陵县模拟)已知：x i 、x 2是一元二次方程 x 2+2ax+b=0的两根，且x i +x 2=3, x i x 2=i ，贝U a 、b 的值分别 是( ) A . a= — 3, b=iB . a=3, b=iC .]D3(a=-±, b=- i• a=-上，b=i6 2考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题.分析： 根据根与系数的关系得到得 x i +x 2= - 2a , x i x 2=b ，即-2a=3, b=i ，然后解一次方程即可. 解答： 解：根据题意得 x i +x 2= - 2a , x i x 2=b ,所以-2a=3, b=i , 解得a=-三b=i . 故选D .点评： 本题考查了根与系数的关系： 右x i , x 2是一兀二次方程 ax +bx+c=0 (a 老)的两根时，x i +x 2= — , x i x 2—.a aa, B 是一元二次方程 x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则B . 9C . 23根与系数的关系.根据根与系数的关系 a +B =-上，a =二，求出a +B 和a 的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案.a a 解：•/ a, B 是方程x 2- 5x - 2=0的两个实数根， 二 a + B =5 , a = - 2, 又 T /+ a + B = ( a + B) 2 - Ba2 2 2二 a + a + B =5 +2=27 ; 故选D .此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若 、 K c 方程两个为 X i , X 2,则 X i +X 2= , X i x 2—a a2 2i5. （20i3?桂林）已知关于x 的一元二次方程 x +2x+a - i=0有两根为x i 和x 2,且x i -x i x 2=0,则a 的值是（） A . a=i B . a=i 或 a= - 2 C . a=2 D . a=i 或 a=2i4. （20i3?湖北）已知 A . - i a 2+ a + B 的值为（D . 27考点： 分析： 解答:考点：根与系数的关系；一元二次方程的解. 专题：压轴题.分析： 根据X 12- X 1x 2=0可以求得X 仁0或者X 1=X 2,所以① 把x 1=0代入原方程可以求得 a=1 ；② 利用根的判别式 等于0来求a 的值.解答：解：解X 12 - X 1x 2=0 ,得X 仁0 ,或 X 1=X 2,① 把X1=0代入已知方程，得 a - 1=0, 解得：a=1;② 当 X1=X2 时，△ =4 — 4 (a - 1) =0, 即卩 8 - 4a=0, 解得：a=2.综上所述，a=1或a=2. 故选：D .点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义•解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式 等于0来求a 的另一值.216. (2013?天河区二模)已知一元二次方程 x - 4x+3=0两根为X 1、x 2,则x 1+x 2=() A . 4B . 3C . - 4D . - 3考点：根与系数的关系.分析：根据一元二次方程 X 2- 4x+3=0两根为X 1、X 2，直接利用X 1+X 2=-丄求出即可.3解答： 解：T 一元二次方程X 2 - 4x+3=0两根为X 1、X 2,/• X 1+X 2= - —=4 .a故选A .点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键.17 . (2013?青神县一模)已知 m 和n 是方程2x 2- 5x - 3=0的两根，则二—二的值等于()m na”+bx+c=0( a MD)的根与系数的关系：若方程两个为x 1 ,x 2,则x 1+x 2=, x 1?x2^ . a aA . JB . 5 3 考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题. 分析: 根据根与系数的关系得到 m+n= 解答: 解：根据题意得 m+n= 一, mn=-5 一,mn=- 2 37，再变形IT得到 nr+n mn ，然后利用整体思想计算.1丄血n _ 52 n| n ran■g所以故选D .本题考查了一元二次方程+4 .18. (2012?莱芜)已知 m 、n 是方程X 2+2X ： ；.x+1=0的两根，则代数式| ' | ' |的值为()考点： 专题： 分析： 根与系数的关系；二次根式的化简求值. 整体思想._2根据一兀二次方程 ax +bx+c=0 ( a 和)的根与系数的关系得到m+n= - 2 二，mn=1 ,再变形'ri '得，然后把m+n= - 2 ■:, mn=1整体代入计算即可.解答: 解：•/ m 、n 是方程x 2+2€b +1=0的两根, /• m+n= — 2 J :, mn=1 ,''.I ： ' ■ : I.1.= .「・, 上「 - '=3 .点评:故选C .本题考查了一兀二次方程 ax 2+bx+c=0 (a 和)的根与系数的关系: 若方程两根分别为 X 1 , X 2,则X 1+X 2=—,a X 1?X 2==.也考查了二次根式的化简求值. 2 19. (2012?天门)如果关于 x 的一元二次方程 x +4x+a=0的两个不相等实数根 x 1, x 2满足x 1x 2 - 2x 1 - 2x 2- 5=0, 那么a 的值为( ) A . 3 C . 13 D . - 13 考点：分析： 解答:点评:根与系数的关系；根的判别式. 利用根与系数的关系求得 X 1x 2=a , x 1+x 2= - 4，然后将其代入 x 1x 2 - 2x 1 - 2x 2 - 5=x 1x 2 - 2 (x 1+x 2)- 5=0列 出关于a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值. 2 解：■/ X 1, x 2是关于x 的一元二次方程 x +4x+a=0的两个不相等实数根， /• x 1X 2=a , X 1 +x 2= - 4,X 1X 2 - 2x 1 - 2x 2 - 5=x 1x 2 - 2 (X 1+X 2)- 5=a - 2 X (- 4)- 5=0 ,即卩 a+3=0 , 解得，a=- 3;故选B . 本题考查了根与系数的关系.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法. 20 . (2011?锦江区模拟)若方程 A . x - 3x - 2=0的两实根为X 1、乂2,则(x 1+2) (x 2+2)的值为( 6 C . 8D . 12 考点： 分析： 解答:根与系数的关系. 根据(X 1+2) ( X 2+2 ) =X 1 X 2+2X 1+2X2+4=X 1X 2+2 ( X 1+X 2) 和与积，代入数值计算即可. 解：••• X 1、X 2是方程x 2- 3X - 2=0的两个实数根. 二 X 1+x 2=3 , X 1?x 2= - 2.又 T (X 1+2) (X 2+2) =x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2 (X 1+X 2) 将 X 1+x 2=3、X 1?X 2= - 2 代入，得(X 1+2) ( X 2+2) =X 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2 (X 1+X 2) +4= 故选C+4,根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的 (-2) +2 X 3+4=8 .点评: 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.2 221. （2011?鄂州模拟）已知 p - p - 1=0 , 1 - q - q =0,且 pq 为，则A . 1B . 2C.D. .■:-22（丄）-1=0是解题的关键，然后利用 q根与系数的关系就可以求出所求代数式的值.22. （2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边a 为4,另两边b 、c 分别满足b 2 - 5b+6=0, c 2 - 5c+6=0，则△ ABC 的周 长为（ ）A . 9B . 10C . 9 或 10D . 8 或 9 或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系. 专题：压轴题.分析： 由于两边b 、c 分别满足b 2 - 5b+6=0, c 2- 5c+6=0 ,那么b 、c 可以看作方程 x 2- 5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 , bc=6,而厶ABC 的一边a 为4,由此即可求出 △ ABC 的一边a 为4周长.解答： 解：•.•两边 b 、c 分别满足 b 2- 5b+6=0 , c 2- 5c+6=0,• b 、c 可以看作方程x 2- 5x+6=0的两根， • b+c=5, bc=6, 而厶ABC 的一边a 为4,① 若b=c ,则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故 b=c=3 .• △ ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+22i 2 首先把1 - q -q 2=0变形为i考点： 专题： 分析： 根与系数的关系. 计算题.首先把1 - q -q 2=0变形为 「q-1-0，然后结合p 2- p - 1=0,根据一元二次方程根与系数解答: 的关系可以得到 p 与丄是方程x 2- x -仁0的两个不相等的实数根,Q那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值.2 2解：由p - p -仁0和1 - q - q =0，可知p^0, q 旳, 又T pq 为，•••由方程1 - q - q 2=0的两边都除以q 2得：q• p 与丄是方程x 2- x -仁0的两个不相等的实数根, q 则由韦达定理，得 11 p+_=1,□1 “= P+ —= 1 .q • 口：1+丄Q故选A .E +1 Q的值为（）点评: 本题考查了根与系数的关系.②若b丸，•△ ABC的周长为4+5=9 . 故选C.点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来,题要注意分类讨论.二•填空题（共4小题）23. （2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+ （k -2） x+k 2=0的两根互为倒数，则 k= — 1 考点： 根与系数的关系. 专题： 判别式法. 分析：根据已知和根与系数的关系 X 1x 2*得出k 2=1，求出k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的3 k 的值.解答： 解：T X 1x 2=k 2，两根互为倒数，••• k 2=1, 解得k=1或-1;•••方程有两个实数根， △> 0, •当k=1时,△< 0,舍去, 故k 的值为-1. 故答案为：-1.点评： 本题考查了根与系数的关系，根据X 1, X 2是关于x 的一兀二次方程ax +bx+c=0 （a 老,a , b , c 为常数）的两个实数根，则 X 1+x 2= — —, X 1X 2=±进行求解.a a2 224. （2014?呼和浩特）已知 m , n 是方程x 2+2x - 5=0的两个实数根，则 m 2 - mn+3m+n= 8 考点： 根与系数的关系；一兀二 一次方程的解.专题： 常规题型.分析： 根据m+n=- —-2, am?n= - 5，直接求出 m 、n 即可解题.解答： 解: T m 、n 是方程x 2 +2x — 5=0的两个实数根，/• mn= — 5, m+n= — 2,■/ m 2+2m — 5=0• 2 ,…m =5 — 2m2m — mn+3m+n= (5 — 2m ) — (— 5) +3m+n=10+m+n =10 — 2 =8故答案为：8.点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键.25. （2014?广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m — 2=0有两个实数根考点： 根与系数的关系；二次函数的最值. 专题： 判别式法.分析： 由题意可得△ =b 2— 4ac%，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论. 解答： 解：由题意知，方程 x 2+2mx+m 2+3m — 2=0有两个实数根， 贝廿△=b 2— 4ac=4m 2 — 4 ( m 2+3m — 2) =8 — 12m 为， …m利用根与系数的关系来三角形的周长. 此X 1、x 2,贝U x 1 ( x 2+x 1)+x 22 的最小值为/ 、 2■/ X i (X 2+X 1) +X 22=(X 2+X 1) — X 1X 22 2=(-2m ) -( m +3m - 2)=3m - 3m+2=3 (mV 2•••当m==时，有最小值故答案为：上.4点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题. 总结一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：(1) △>0?方程有两个不相等的实数根； (2) △ =0?方程有两个相等的实数根； 3) △ < 0?方程没有实数根.26. (2014?桂林)已知关于 X 的一元二次方程 X + (2k+1 ) X+k - 2=0的两根为X i 和乂2,且(X i - 2) (X i - X 2) =0, 则k 的值是 -2或-二.--------------- 4-考点： 根与系数的关系；根的判别式.分析： 先由(X 1 - 2) (X 1 - X 2) =0,得出X i - 2=0或X 1 - X 2=0，再分两种情况进行讨论： ①如果X 1 - 2=0 ,将X =2 代入X 2+( 2k+1 ) x+k2- 2=0,得 4+2 (2k+1) +k 2- 2=0 ,解方程求出 k= - 2;② 如果 x i - X2=0 ,那么将 X1+X2= -(2k+1 ),x i x 2=k 2- 2代入可求出k 的值，再根据判别式进行检验.解答：解：T ( X 1 - 2) ( X i - X 2) =0, • X i - 2=0 或 X i - X 2=0 . ① 如果X 1 - 2=0,那么x 仁2, 将 X =2 代入 X 2+ (2k+1) x+k 2 - 2=0, 得 4+2 (2k+1) +k 2-2=0 , 整理，得 k 2+4k+4=0 , 解得k= - 2; ② 如果x i - X 2=0 ,2222那么(X 1 - X 2) = (X 1+X 2) - 4X I X2=[ -( 2k+1 ) ] - 4 (k - 2) =4k+9=0 , 解得k=-丄4 又•/ △ = (2k+1) 2 -4 ( k 2- 2)为. 解得：kA 上.4 所以k 的值为-2或-=.42=3 (m 2- m+ )+24'故答案为：-2或-_!.4点评：本题考查了一兀二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验.三•解答题(共4小题)27. (2014?泸州)已知x i, x2是关于x的一元二次方程x2-2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根.(1)若(x i - 1) (x2 - 1) =28，求m 的值；(2)已知等腰△ ABC的一边长为7,若X1, X2恰好是△ ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质.专题：代数几何综合题.分析：2(1)利用(X1- 1) (x2 - 1) =x1?x2-( X1+X2) +仁m +5 - 2 ( m+1) +仁28，求得m 的值即可；(2)分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长.解答：解：(1) T X1，x2是关于x的一兀二次方程x2 2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根，2x1+x2=2 ( m+1 )，x1?x2=m +5，2/• (x1 - 1) (x2 - 1) =x1?x2-( x1+x2) +1=m +5 - 2 ( m+1) +1=28，解得：m= - 4或m=6 ；当m= 4时原方程无解，••• m=6 ；(2)①当7为底边时，此时方程x2- 2 ( m+1) x+m2+5=0有两个相等的实数根，2 2• △ =4 ( m+1) - 4 ( m +5) =0，解得：m=2，•••方程变为x2- 6x+9=0，解得：X1=X2=3，•/ 3+3 v 乙•不能构成三角形；②当7为腰时，设X1=7，代入方程得：49 - 14 (m+1) +m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2- 22x+105=0，解得：x=7或15••• 7+7 V 15,不能组成三角形；当m=4时方程变为x2- 10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17 .点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系.28. (2014?日照二模)已知x1, x2是关于x的一元二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2-仁0的两个实数根，其满足(3x1 -X2) (X1- 3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：根据△的意义由一兀二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2- 1=0的两个实数根得到△为，即(3a- 1) 2-4 (2a2- 1)=a2- 6a+5^0，根据根与系数的关系得到X1+x2= -( 3a - 1)，x1?x2=2a2- 1，由(3x1 - x2) (x1 - 3x2) = - 80 变形得到3(X1+X2) 2- 16X1X2= - 80,于是有3(3a- 1) 2- 16 (2a2- 1) =- 80,解方程得到a=3 或a=-5然后代入△验算即可得到实数 a 的值.解答：解：T x i , x 2是关于x 的一元二次方程x 2+ (3a - 1) x+2a 2-仁0的两个实数根， ••• △为，即(3a - 1) 2 - 4 ( 2a 2 - 1)=a 2 - 6a+5%所以a^5或a<l .…(3分)• x i +x 2= -( 3a - 1), x i ?x 2=2a - 1,2 2■/ (3x 1 - x 2) (x 1 - 3x 2) = - 80,即 3 (x 1 +x 2 ) - 10x 1x 2= - 80,2• 3 (x 1+x 2) - 16x 1x 2=- 80,• 3 (3a - 1) 2- 16 (2a 2- 1) =- 80, 整理得，5a 2+18a - 99=0,• (5a+33) (a - 3) =0,解得 a=3或 a=-2ax +bx+c=0 (a 和)的根与系数的关系： 如果方程的两根为 x 1, x 2,则x 1+x 2=X 1?X 2==.也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力.29. (2013?孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x 2-( 2k+1) x+k 2+2k=0有两个实数根X 1, X 2. (1) 求实数k 的取值范围；(2) 是否存在实数k 使得X 1?x 2-x 12- X 22£成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 考点：根与系数的关系；根的判别式. 专题：压轴题.分析：(1)根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△为，据此列出关于k 的不等式[-(2k+1) ]2-4 (k 2+2k )为，通过解该不等式即可求得 k 的取值范围；(2)假设存在实数k 使得「・工 匸广 -^0成立.利用根与系数的关系可以求得丁「，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、 两根之积的形式-:.■ . -+g'为，通过解不等式可以求得解答：解：(1) T 原方程有两个实数根，2 2• [ -( 2k+1 ) ]2 - 4 (k 2+2k )为,2 2• 4k +4k+1 - 4k - 8k%• 1 - 4k 为，(2)假设存在实数k 使得「-为成立. •/ X 1, X 2是原方程的两根， •衍+匕二龙[・耳？二k +2耳.当 a=3 时，△ =9 - 6X 3+5= - 4V 0,故舍去, △=(-虽)25 当a=-―时,5 -6X(-® +6=(533+6 > 0,•实数a 的值为-33 5占评：点评：本题考查了一元二次方程k 的值.原方程有两个实数根.由Zj •-工1，_ X22^0，得3Xj -X2-( K[ +耳2)2曲••• 3 (k2+2k)-( 2k+1) 2为，整理得：-(k- 1) 2为，•'•只有当k=1时，上式才能成立.又•••由(1)知k显，4•不存在实数k使得卫]・七- 一gc'为成立.点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.(1) 求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2) 设X1、x2是方程的两个根，且x12- 2kx1+2x1x2=5，求k的值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题；证明题；压轴题.分析：(1)要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△>0恒成立；(2)欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.解答：解：(1 )已知关于X的一元二次方程- 2kx4丄k'—2=Q，2 1 2 2•△= (- 2k) - 4X(^k - 2) =2k +8,2•/ 2k +8 > 0恒成立，•不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根.(2) •/ X1、X2是方程的两个根，2•x1+x2=2k, x1?x2^—k - 2,22 2 ] 2•x1 - 2kx1+2x1x2=x1 -(X1+X2) x1+2x1x2=x1x2—k - 2=5,2 解得k=曲诃.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.30. (2001?苏州)已知关于x的一元二次方程。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系要点归纳 同步练习人教版数学九年级上册
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系要点归纳当堂检测(建议用时：10分钟)1.已知x₁,x₂是一元二次方程2x²−4x+1=0的两个实数根，则.x₁·x₂等于( )A.-2B.−12C. 12D.22.已知一元二次方程的两根分别是2 和--3，则这个一元二次方程是( )A.x²−6x+8=0B.x²+2x−3=0C.x²−x−6=0D.x²+x−6=03.已知x₁，x₂是一元二次方程x²+4x−3=0的两个实数根，则x₁+x₂−x₁x₂的值是( )A.6B.0C.7D.-14.已知关于x 的一元二次方程. x²−6x+c=0有一个根为2，则另一根为.5.若关于x 的一元二次方程3x²+(2k−1)x+k—2=0的两个实数根互为相反数，则k的值为.6.已知关于x 的一元二次方程x²+3x+m−1=0的两个实数根为x₁,x₂,若2(x₁+ x₂)+x₁x₂+10=0,则m 的值为.7.不解方程，求下列方程两个根的和与积：(1)6x²−x=2x²+3;(2)4x²−6=2x(x−2)+1.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系要点归纳知识要点：−pq−ba ca ≥当堂检测1.C2. D3. D4.45. 126.-37.解：(1)原方程化为一般形式得4x²−x−3=0,则x1+x2=14,x1⋅x2=−34.(2)原方程化为一般形式得2x²+4x−7=0,则x1+x2=−2,x1⋅x2=−72.。
中学数学《一元二次方程根与系数的关系》知识点精讲
知识点总结一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1+x2= -bc，x1x2= aa（2）若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)（3）根与系数的关系的应用：① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.二、解一元二次方程应用题：它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。
其一般步骤为：1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；3．解：解所列方程，求出解来；4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
一元二次方程的练习题1、若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________22、设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，x1·x2=__________ 2x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________23、若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________24、两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________25、若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为______________226、方程kx+1=x-x无实根，则k___________导学案【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
一元二次方程根与系数关系(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练
专题2.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）【学习目标】掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用⎧⎪⎪⎪→→⎨⎪⎪⎪⎩知识框图：1、求代数式的值2、求待定系数一元二次方程求根公式根与系数关系应用3、构造方程4、解特殊的二元二次方程组5、二次三项式的因式分解【典型例题】类型一、由根与系数关系直接求值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：（1）2211+x x （2）1211+x x 【答案】（1）11；（2） －3． 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=-；（1）将所求式子变形为(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）将所求式子变形为1212x x x x +⋅，然后整体代入上面两个式子计算即可．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，∵12123,1x x x x +=⋅=-，（1）2211+x x ＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1)＝11；)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21（2）12121211331x x x x x x ++===-⋅-． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．举一反三：【变式1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）2760x x ++=； （2）22320x x --=．【答案】（1）12127,6x x x x +=-=；（2）12123,12x x x x +==-【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 解：（1）这里1,7,6a b c ===．22Δ474164924250b ac =-=-⨯⨯=-=>，∵方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是12,x x ， 那么12127,6x x x x +=-=． （2）这里2,3,2a b c ==-=-．22Δ4(3)42(2)916250b ac =-=--⨯⨯-=+=>，∵方程有两个实数根．设方程的两个实数根是12,x x ，那么12123,12x x x x +==-．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知1212,b cx x x x a a+=-=是解题的关键．【变式2】 甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程.【答案】2550x x -+= 【分析】解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解：解法一：设原一元二次方程为2+a b 0+=x x ，代入甲解出的两根3、2得9+3a+b=04+2a+b=0⎧⎨⎩，解得a=5b=6-⎧⎨⎩，因为甲抄错常数项，所以取a=5-同理，代入乙解出的两根－5和－1，可得a=6b=5⎧⎨⎩，而乙抄错了常数项，所以取b=5，综上可得原方程为2550x x -+=解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2，两根之和正确；乙抄错了一次项系数，解得两根为－5和－1，则两根之积正确．设原方程的两根分别为1x 、2x ，可得12+=5x x ，12=5x x ，所以原方程就是2550x x -+=．【点拨】在没有学习根与系数关系之前，可用方程的解的性质，代入两根求出方程系数，学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单．类型二、由根与系数关系求参数的值2．关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m --+=的两根为,a b ，且4a b ab +=-，求m 的值．嘉佳的解题过程如下： 解：221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-， 整理，得2230m m --=， 解得121,3m m =-=．嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【答案】m 的值为1-． 【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．解：嘉佳的解题过程漏了考虑0∆这一条件．正确的解题过程如下：根据题意得22(21)40m m ∆=--，解得14m． 221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-，整理得2230m m --=，解得121,3m m =-=（舍去）， m ∴的值为1-．【点拨】本题中忽略0∆这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“0∆”，才能得出正确结果．举一反三：【变式1】已知1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根，是否存在常数k ，使122132x x x x +=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见分析【分析】根据根与系数关系列出关于k 的方程，根据方程有实数根列出关于k 的不等式，求解即可．解：不存在．∵1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根， ∵240b ac -≥，即22(2)4()0k k k ---≥， 解得，0k ≥；由题意可知122x x k +=，212x x k k =-，∵12121212122221122()232x x x x x x x x x x x x x x +=+-=+=， ∵222(2)32)2(k k k k k --=-，解得120,7k k ==-，经检验，27k =-是原方程的解，∵0k ≥，∵不存在常数k ，使122132x x x x +=成立． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数关系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0．【变式2】 已知方程2 420x x m +-=的一个根比另一个根小4，求这两个根和m 的值．【答案】10x =，24x =-，0m =【分析】设两根为x 1和x 2，根据根与系数的关系得x 1+x 2，x 1·x 2，由|x 2-x 1|=4两边平方，得(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16，代入解得m ，此时方程为x 2+4x=0，解出两根 .解：x 2+4x -2m=0设两根为x 1和x 2，则∵=16+8m>0， 且x 1+x 2=-4，x 1·x 2=-2m 由于|x 2-x 1|=4两边平方得x 12-2x 1·x 2+x 22=16 即(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16 所以16+8m=16 解得：m=0此时方程为x 2+4x=0， 解得 x 1=0 ， x 2=−4 .【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．类型三、根的判断别与根与系数关系综合3、已知一元二次方程220x x m -+=． （1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为12x x 、，且1233x x +=，求m 的值． 【答案】（1）1m ≤；（2)34m = 【分析】（1）一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，∵≥0，把系数代入可求m 的范围； （2）利用根与系数的关系，已知122x x +=结合1233x x +=，先求12x x 、，再求m ． 解：（1）∵方程220x x m -+=有两个实数根，∵()22424440b ac m m =-=--=-≥， 解得1m ≤；（2）由根与系数的关系可知，122x x +=，12x x m =，解方程组1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩，解得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵12313224m x x ==⨯=．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(8)80x k x k -++=． （1）证明：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（2）若221268x x +=，求k 的值．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）证明见分析；（2）2k =±；（3）这个等腰三角形的周长为21或18． 【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论；（2）先计算∵＝（8＋k ）2−4×8k ，整理得到∵＝（k−8）2，根据非负数的性质得到∵≥0，然后根据∵的意义即可得到结论；（3）先解出原方程的解为x 1＝k ，x 2＝8，然后分类讨论：腰长为8时，则k ＝8；当底边为8时，则得到k ＝5，然后分别计算三角形的周长．解：（1）22(8)48(8)k k k ∆=+-⨯=-．2(8)0k -，0∴∆，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）221212128,8,68x x k x x k x x +=+=+=，()2221212122x x x x x x +=++，2(8)6816k k ∴+=+，解得2k =±；（3）解方程2(8)80x k x k -++=得12,8x k x ==．∵当腰长为8时，8k ． 85138+=>，能构成三角形，∴周长为88521++=．∵当底边长为8时，5k =．55108+=>∴能构成三角形，周长为55818++=．综上，这个等腰三角形的周长为21或18．【点拨】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−b a ，x 1•x 2＝ca．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键．【变式2】 已知关于x 的一元二次方程()22121202x k x k -++-=．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足123x x -=，求k 的值． 【答案】（1）见分析 （2）0，-2 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得k 与的1x 、2x 的关系式，进一步可以求出答案.解：(1)证明：∵()222121422492k k k k ⎛⎫∆=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭()2217k =++，∵无论k 为何实数，()2210k +≥， ∵()22170k +∆=+>，∵无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)由一元二次方程根与系数的关系得： 1221x x k +=+，212122x x k =-， ∵123x x -=， ∵()2129x x -=， ∵()2121249x x x x +-=，∵()221214292k k ⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，化简得：220k k +=，解得0k =，2-．【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.类型四、根与系数关系拓展应用14、已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，是否存在实数a 使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，a ＝-6 【分析】根据方程的解的定义得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，再整体代入即可得出a 的值． 解：存在，理由如下：∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根， ∵m 2﹣2m ＝1，n 2﹣2n ＝1，m +n ＝2， ∵﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7） ＝﹣（m +n ）[7（m 2﹣2m ）+a ][3（n 2﹣2n ）﹣7] ＝﹣2×（7+a ）（3﹣7） ＝8（7+a ），由8（7+a ）＝8得a ＝﹣6，∵存在实数a ＝﹣6，使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，注意解题中的整体代入思想．【变式1】阅读材料：已知方程p 2﹣p ﹣1＝0，1﹣q ﹣q 2＝0且pq ≠1，求1pq q+的值． 解：由p 2﹣p ﹣1＝0，及1﹣q ﹣q 2＝0可知p ≠0， 又∵pq ≠1，∵p ≠1q．∵1﹣q ﹣q 2＝0可变形为211()-q q ﹣1＝0，根据p 2﹣p ﹣1＝0和211()-q q﹣1＝0的特征，∵p 、1q 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p +1q，即11pq q +=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m 2﹣5m ﹣1＝0，21520n n+-=，且m ≠n ，求： （1）mn 的值； （2）2211m n +． 【答案】(1)12-；29．【分析】（1）由题意可知：可以将方程22510m m --=化简为21520m m+-=的形式，根据根与系数的关系直接得：11m n的值； （2）将2211m n +变形为2112m n mn ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解．解：由22m 5m 10--=知m≠0，∵21520m m+-=， ∵21520n n+-=，m ≠n ， ∵11m n≠， ∵1m 和1n是方程2520x x +-=的两个根， （1）由1m 和1n 是方程2520x x +-=的两个根得112m n⋅=-， ∵12mn =-；经检验：12mn =-是原方程的根，且符合题意．（2）由1m和1n是方程2520x x+-=的两个根得115m n+=-，112m n⋅=-，∵2221111225429 m n m n mn⎛⎫+=+-=+=⎪⎝⎭．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键．【变式2】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2）12-；（3）存在，b＝﹣6，c＝8；【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；解：（1）∵x2﹣2x＝0，∵x（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．（2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）∵m＜0∵2m＜0解得：x1＝2m，x2＝1，方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）．点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x 轴y轴恰好围城一个正方形，所以2m ＝﹣1，解得12m =-．（3）存在．直线y ＝kx ﹣2（k ﹣2）＝k （x ﹣2）+4，过定点M （2，4）， ∵x 2+bx+c ＝0两个根为x 1＝2，x 2＝4， ∵2+4＝﹣b ，2×4＝c ， ∵b ＝﹣6，c ＝8．【点拨】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．类型五、根与系数关系拓展应用25、如图，在平面直角坐标系中，∵ABC 的BC 边与x 轴重合，顶点A 在y 轴的正半轴上，线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，且满足CO ＝2AO ．(1)求直线AC 的解析式；(2)若P 为直线AC 上一个动点，过点P 作PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，设∵CPQ 的面积为S （0S ≠），点P 的横坐标为a ，求S 与a 的函数关系式；(3)点M 的坐标为()m,2，当∵MAB 为直角三角形时，直接写出m 的值．【答案】(1)132y x =+； (2)22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或；(3)m 的值为－3或－1或2或7；【分析】（1）根据一元二次方程的解求出OB 和OC 的长度，然后得到点B ，点C 坐标和OA 的长度，进而得到点A 坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；（3）根据∵MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．(1)解：解方程2760x x -+=得16x =，21x =，∵线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，∵OB ＝1，OC ＝6，∵()10B ,，()6,0C -， ∵CO ＝2AO ，∵OA ＝3，∵()0,3A ，设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点()0,3A ，()6,0C -代入得603k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∵直线AC 的解析式为132y x =+； (2)解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把()0,3A ，()10B ,代入直线AB 解析式得30q p q=⎧⎨=+⎩， 解得33p q =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 的解析式为33y x =-+，∵PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ， ∵1,32P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),33Q a a -+，(),0D a ， ∵()1733322PQ a a a ⎛⎫=-+-+= ⎪⎝⎭，6CD a =+， ∵1176222S PQ CD a a =⋅=⨯⋅+，当点P 与点A 或点C 重合时，即当a =0或6a =-时，此时S =0，不符合题意，当6a <-时，()21772162242S a a a a ⎛⎫⎡⎤=⨯--+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当60a -<<时，()21772162242S a a a a ⎛⎫=⨯-+=-- ⎪⎝⎭， 当0a >时，()21772162242S a a a a =⨯+=+， ∵22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或； (3)解：∵()0,3A ，()10B ,，(),2M m ， ∵AB ==AM ==，BM =当∵MAB =90°时，222AM AB BM +=，∵222+=， 解得3m =-，当∵ABM =90°时，222AB BM AM+=，∵222+=， 解得m =7， 当∵AMB =90°时，222AM BM AB +=，∵222+=， 解得11m =-，22m =，∵m 的值为－3或－1或2或7．【点拨】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．【变式1】PAC △在平面直角坐标系中的位置如图所示，AP 与y 轴交于点(0,2)B ，点P 的坐标为(1,3)-，线段OA ，OC 的长分别是方程29140x x -+=的两根，OC OA >．(1)求线段AC 的长；(2)动点D 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负半轴向终点C 运动，过点D 作直线l 与x 轴垂直，设点D 运动的时间为t 秒，直线l 扫过四边形OBPC 的面积为S ，求S 与t 的关系式；(3)M 为直线l 上一点，在平面内是否存在点N ，使以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)9 (2)()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (3)存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．【分析】（1）解方程可求得OA 、OC 的长，则可求得A 、C 的坐标，从而可得AC 长；（2）分两种情况：∵当0＜t ≤1时；∵当1＜t ≤7时，利用梯形的面积公式即可求解； （3）分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，∵AP 为正方形的边时，根据正方形以及等腰直角三角形的性质，可求得N 点坐标．(1)解：解方程x 2﹣9x +14＝0可得x ＝2或x ＝7，∵线段OA ，OC 的长分别是方程x 2﹣9x +14＝0的两根，且OC ＞OA ，∵OA ＝2，OC ＝7，∵A （2，0），C （﹣7，0），279.AC(2) 解：过点P 作PH ∵OC 于H ，而()1,3P - ，1OH ∴=，3PH = ，6CH =设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，而点B （0，2），∵32k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得12k b =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 解析式为y ＝﹣x +2，∵如图1所示，当0＜t ≤1时，点E （﹣t ，t +2），∵S ＝S 梯形OBED ＝21122222t t t t （0＜t ≤1）； ∵如图2所示，当1＜t ≤7时，设直线CP 解析式为y ＝mx +n ，∵C （﹣7，0），点P 的坐标为（﹣1，3），∵703m n m n -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得1272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线CP 解析式为1722y x =+， 设17,22E t t ， ∵DE ＝1722t ， ∵S ＝S 梯形OBPH +S 梯形HPED ＝11172+31+132222t t 217317424t t t ；综上，()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩；图1 图2(3) 分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，如图3所示，∵A （2，0），B （0，2），∵∵OAB ＝45°，∵四边形AMPN 是正方形，∵∵P AN ＝45°，∵NAM ＝90°，∵∵OAB +∵P AN ＝90°，∵点M 在x 轴上，NA ∵x 轴，NP x ∥轴，∵N （2，3）；∵AP 为正方形的边时，如图4所示，∵∵OAB ＝45°，四边形AMNP 是正方形，∵∵NAM ＝∵OAB ＝45°，AP ＝AM ，∵HN ＝PH ＝3，∵N （-4，0）；如图5所示，四边形ANMP 是正方形，∵PH ＝NH ＝3，∵()1,3N --；∵N （-4，0）或（-1，-3），综上可知，存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．图3 图4 图5【点拨】本题为四边形的综合题，考查了一元二次方程、勾股定理、待定系数法、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．在（1）中求得OA 、OC 的长是解题的关键，在（2）中分类讨论是解题的关键，在（3）中分类思想的运用是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【变式2】 菱形ABCD 的边长为5，两条对角线AC 、BD 相交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，求m 的值．【答案】3m =-．【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO +BO =−(2m −1)，AO ∙BO =m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，即可求得m 的值．解：∵AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，设方程的两根为1x 和2x ，可令1OA x =，2OB x =，∵四边形ABCD 是菱形，∵AC BD ⊥，在Rt AOB 中：由勾股定理得：222OA OB AB +=，∵222125+=x x ，则()21212225x x x x +-=，由根与系数的关系得：12(21)x x m +=--，2123x x m ⋅=+，∵[]()22(21)2325m m ---+=， 整理得：22150m m --=，解得：15m =，23m =-又∵0∆>，∵()22(21)430--+>m m ，解得114m <-， ∵3m =-．【点拨】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
北师版九年级数学 2.5一元二次方程的根与系数的关系(学习、上课课件)
*5 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为1 的一元二次方程的 性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的定义
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2＋
bx＋c=0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2>0
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
感悟新知
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根， 则代数式1x＋1＋xx1x22的值为 ___1___．
感悟新知
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值； 思路导引：
感悟新知
感悟新知
知1－练
解题归纳：已知一根，利用根与系数的关系求方程 中字母的值的策略：求解此类问题时，若字母在一 次项系数中，则可先用两根之积的关系求出另一根， 然后代入方程求字母的值，或者用两根之和的关系 求字母的值. 若字母在常数项中，则可先用两根之和 的关系求出另一根，然后代入方程求字母的值，或 者用两根之积的关系求字母的值.
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲
初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲一元二次方程根与系数的关系及其应用一元二次方程ax bx c a 200++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之间有密切的关系。
x x b a x x c a1212+=-=， 这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。
反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12，c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是()x x x x x x 212120-++=。
需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。
一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。
例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 220--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。
解：（1）证明： ∆=-=+>b ac k 22480 ∴原方程有两个不相等的实数根 （2） x x k x x 12122+==-， 又() 21212x x x x +>∴>-∴>-221k k说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。
例（2000上海）已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 221200--+-=>()（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。
解：（1）证明：()[]()∆=----21422m m m=-+-+=+441484122m m m m mm m >∴4+>010， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）由()()x x m 12335--= ()x x x x m 12123950-++-=x x m mx x m m1212212+=-=-()∴---+-=m m m mm 2321950 解得：m m 12115==-，经检验m m 12、都是方程的根。
人教版九年级数学上册 21.2.4一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系【基础知识精讲】1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =•21 2．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根， 则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=•>-=+002121a c x x a b x x 0,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=•<-=+002121a c x x a b x x0,0)3(21<>x x 时，有021<=•acx x3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++= 【例题巧解点拨】1．探索韦达定理例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x •的值。
例2.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m 的取值范围；（2）当x 12-x 22=0时，求m 的值．2．已知一个根，求另一个根.例3.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
3．求根的代数式的值例4：设x 1，x 2是方程x 2-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) x 13 x 24+ x 14 x 23；2112)2(x x x x +4．求作新的二次方程例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.2．已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+1 5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
一元二次方程根和系数关系及应用题(讲义及答案)
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）一、知识点睛1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ⋅=_________，这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有：①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1人患了流感，经过两轮传染．经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程：① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证．二、精讲精练1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是（ ）A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22. 若x1=2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________．5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．2289(1)256x -=B ．2256(1)289x -=C ．289(12)256x -=D ．256(12)289x -=6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________________个人．8. 若x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +；（2）2212x x +．解：由原方程知a =_____，b =_____，c =_____，2Δ4 0b ac _____=-==∵∴12x x += ，12x x ⋅= ． （1）原式== =9.已知关于x的方程2(1)20m x x---=．若x1，x2是该方程的两个根，且2212121 8x x x x+=-，求实数m的值．10.如图，在一块长92 m，宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），若水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？11.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_____元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【分析】12.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？【分析】13.我市高新技术开发区的某公司，用320万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金880万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，调查表明：在100~200元范围内，新产品的销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．为了实现年获利240万元，产品的销售单价应定为多少元？（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）【分析】解：三、回顾与思考_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ ______【参考答案】一、知识点睛1. b ca a ，-；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理，Δ0≥．2. ①增长率型；②面积型；③经济型． 二、精讲精练 1．D 2．2，-43．12a <≤4．2±5．A6．6000(1+x )2=88407．108．解：由原方程知：a =2，b =4，c =-3，()22Δ4446400b ac =-=-⨯-=＞∵ ∴122x x +=-，1232x x ⋅=-．（1）原式121224332x x x x +-===-；（2）79．5m = 10．水渠应挖1m 宽．11．（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元． 12．13．产品的销售单价应定为120元．。
湘教版九年级数学 2.4 一元二次方程根与系数的关系(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
例3 [中考·来宾]已知实数x1，x2 满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，
则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12＝0
B. x2＋7x＋12＝0
C. x2＋7x－12＝0
D. x2－7x－12＝0来自悟新知知2－练解题秘方：直接用以x1，x2 为根的一元二次方程是x2－ (x1＋x2)x＋x1x2＝0 求解.
第二章 一元二次方程
*2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为 1 的一元二次方程 的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程根与系数的关系
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0时，设方程的两个实数根
感悟新知
知1－练
例2 [期末·长沙开福区]已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m ＝ 0(m ＜ 0)． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为 －1，求 m 的值和方程的另一个根．
感悟新知
知1－练
解题秘方：根据两根的和与积分别与系数的等量 关系，列关于未知根的方程求解 .
课堂小结
一元二次方程根与系 数的关系
判定两根的符号
使用条件 两根之和 两根之积
一元二次
意义 方程根与 应用 系数的
关系
已知一根求另一根 及字母的值
求涉根代数式的值
构建以两已知数为 根的一元二次方程
知1－练
2023学年九年级数学上册重要考点题精讲精练(人教版) 一元二次方程单元测试(提升)(解析版)
一元二次方程单元测试（提升）(答案版)一、单选题1．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2 则另一根及c的值分别为（）A．2 8B．3 4C．4 3D．4 8【答案】D【解析】【解答】解：设方程的另一个根为t根据题意得t+2＝6 2t＝c解得t＝4 c＝8.故答案为：D.【分析】设方程的另一个根为t 利用根与系数的关系可得t+2＝6 2t＝c 据此解答即可.2．下列方程中是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．4x2+3 √x-1＝0C．x2+4＝0D．3x2+x+ 1x＝0【答案】C【解析】【解答】A、当a≠0时ax2+bx+c＝0是一元二次方程故此选项不符合题意；B、4x2+3 √x-1＝0不是一元二次方程故此选项不合题意；C、x2+4＝0是一元二次方程故此选项符合题意；D、3x2+x+ 1x＝0含有分式不是一元二次方程故此选项不合题意；故答案为：C．【分析】只含有一个未知数（一元）并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程根据一元二次方程的定义对每个选项一一判断即可。
3．方程（x-1）2=16的解是（）A．x1=5 x2=-3B．x1=-5 x2=4C．x1=17 x2=-15D．x1=5 x2=-5【答案】A【解析】【解答】解：（x-1）2=16 ∴x-1=±4 ∴x1=5 x2=-3．故答案为：A．【分析】由题意两边直接开平方即可求解。
4．下列结论：①若x2=16则x=4；②方程x(2x−1)=(2x−1)的解为x=1；③若分式x 2−3x+2 x−1的值为0 则x=1或x=2．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】【解答】解：①若x2＝16 则x＝±4 不符合题意；②移项得：x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0（2x﹣1）（x﹣1）＝0解得：x1＝12x2＝1 不符合题意；③根据题意得：（x﹣1）（x﹣2）＝0 且x﹣1≠0解得：x＝2 不符合题意；故答案为：A【分析】根据平方根、因式分解法及分式的值为0的解法逐项判断即可。
九年级数学每课时精讲精练系列专题212解一元二次方程(第04课时—一元二次方程的根与系数的关系)人教版
一、基础知识（一）韦达定理对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理。
剖析：它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
二、重难点分析本课教学重点：韦达定理应用一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
本题教学难点：韦达定理逆定理根据韦达定理逆定理推断推断一元二次方程的系数，是学习难点，需要在学习过程中，根据，，判断则是的两根。
典例精析：例1．已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
【答案】解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，【考点】人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.4根与系数的关系例2．不解方程，判别方程两根的符号。
【考点】人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.4根与系数的关系三、感悟中考1．（2014年甘肃白银）已知、是方程的两个实数根，求的值。
【考点】人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.4根与系数的关系2．（2014年黑龙江大庆）已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
【答案】解：设两方程的相同根为，根据根的意义，有【考点】人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.4根与系数的关系四、专项训练。
（一）基础练习1.如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2．已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。
【答案】【解析】3．已知关于的方程的两根为，且，则。
4．已知是方程的两个根，那么：；；。
一元二次方程根与系数的关系精讲精练
一元二次方程根与系数的关系一、复习：1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 。
2、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 。
定理1 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ＞0⇔ 。
定理2 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中， ⇔方程有两个相等实数根. 定理3 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中， ⇔方程没有实数根.ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，方程有实根⇔ 。
二、新课从表格中找出两根之和x1+x2与两根之积x1·x2和a,b,c 的关系：1.猜想ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的x 1+x 2,x 1x 2与a,b,c 的关系； 。
2.怎样证明上面的结论.3.为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程”如果方程x 2+px+q=0的两根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-p,x 1x 2=q.用语言表达上述定理.“对于简化的二次方程， .(这个定理又叫做韦达定理) 4、“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理) 5、总结;一、韦达定理： 如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，二、韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a=，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．三、例题讲解，练习例1 已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两根的(1)平方和；(2)倒数和.变式1、1x 、2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值：⑴2212x x + ⑵12x x - ⑶2212233x x x +-变式2、已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则2212x x += ,12(2)(2)x x -⋅-= ,221122x x x x +⋅+= ,2112x xx x += ,12x x -= ，2212x x -= ,1211x x -= ,2112x x x x -= ．例3、求一个一元二次方程，使它的两个根是32-和3．练习： 求一个一元二次方程，使它的两根分别是例4、 已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值．例5、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是 ．例6、已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值．例7、如果实数,a b 满足 213140a a --=，213140b b --=，则 b aa b+的值为多少？变式：1、知2221αα+=，2221ββ+=，求αβ-的值．变式2、,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值变式3阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x 、2x ，则根与系数关系为：12b x x a+=-，12cx x a=．已知210p p --=，210q q --=，且1pq ≠，求1pq q +的值．课堂练习1.已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= .2.已知关于x 的一元二次方程(k 2-1)x 2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k 的取值是( ).3.已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k= .4、 若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为 ，c = ． 5、已知方程2230x mx -+=的两根的平方和为5，则m=__________6、已知关于x 的方程2210x mx m -+-=的两个实数根的平方和为23，求m 的值7、已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．8、已知关于x 的方程260x x c -+=的一个根是另一个根的平方，求c 的值．9、已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为三、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）． ⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．四、注意：利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【例1】 已知关于y 的方程220y ay a -+-=，分别写出下列情形中a 所满足的条件：⑴方程有两个正实数根；⑵方程两根异号．【例2】 已知关于x 的方程22290x mx m ++-=只有一个正根，求m 的取值范围．变式1、已知关于x 的方程22290x mx m ++-=至少有一个正根，求m 的取值范围．2、已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．例3、关于x 的二次方程22(1)40(0)mx m x m ---=≠的两根一个比1大，另一个比1小，则m 的取值范围是______________．例4、实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=． ⑴有两个正根？ ⑵两根异号，且正根的绝对值较大？ ⑶一根大于3，一根小于3？例5、关于x 的方程2230x mx m -+=的两根12,x x 满足212()16x x -=，如果关于x 的另一个方程22690x mx m -+-=的两实根都在12,x x 之间，求m 的值．例6、已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．⑴是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．⑵求使12212x xx x +-的值为整数的实数k 的整数值．例7、已知关于x 的方程()01122=-++-k x k kx 有两个不相等的实数根。
初高中数学衔接精讲精练(第一讲 一元二次方程根与系数的关系)
2014年8月25日星期一
二、一元二次方程的根与系数的关系
2 ax bx c 0 (a 0) 的两个根为： 一元二次方程
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac b x1 x2 2a 2a a 2 2 b b 4ac b b 4ac ( b )2 ( b 2 4ac )2 4ac c x1 x2 2 2 2a 2a (2a ) 4a a
数学学科的基本要求
一、遵守课堂纪律； 二、课前简要预习； 三、课堂积极思考； 四、必要时记笔记； 五、及时总结巩固； 六、先复习再做题； 七、认真完成作业。
2014年8月25日星期一
2014年8月25日星期一
一、一元二次方程的根的判断式
2 ax bx c 0 (a 0) ，用配方法将 一元二次方程 其变形为： b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2
判别式 △=b2- 4ac
△>0
△=0
△<0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
y
x2 x O x1
y
x1 O
x
O
x
ax2+bx+c=0 的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 x1=x2= b 2a
无实根
2014年8月25日星期一
一、一元二次方程的根的判断式
【例1】已知关于的一元二次方程 3 x 2 2 x k 0 ，根据 下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的பைடு நூலகம்数根； (2) 方程有两个相 等的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根．
专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20++=（a≠0）的形式；ax bx c②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（3）公式法：把x b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+ x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+ x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，反过来也成立，x1+ x2=—ba ，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）x|m|−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．a x2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2C．x2+3x−5=0D．3x(x−4)=0【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2)x a2−2−3x−1=0是一元二次方程，则a的值是（ ）A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a=1B．a>1C．a≠1D．a<1【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3=0B．2x2−2x−3=0C．2x2−x+2=0D．2x2−2x+3=0【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为______，它的二次项是_______，一次项是_______，常数项是_______．【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为__．【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为_____．【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为_________．【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是_________．【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为_____．【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为________．【变式4.1】（2022·山东烟台·八年级期末）把一元二次方程x2−4x−8=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值为________．【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是_______．【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1＝_____，x2＝_____．【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为_____．【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法）；(2)3x2−4x−1=0（公式法）；【变式6.1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法）；(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法）；(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3）（x＋2）＝6【变式6.2】（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0【变式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去）；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去）；综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5．问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0．【考点7】根的判别式【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k．(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况．【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+1) x+2=0．(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程p x2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况．【变式7.3】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程k x2+(3k+1)x+2k+2=0(k≠0)．(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值．【考点8】根与系数的关系【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x2+x22+x1x2=19，求k的值．1【变式8.1】（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x＋9＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根．【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−12=0．(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．【变式8.3】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若x1，x2是原方程的两根，且1x1+1x2=−2，求m的值．【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4∵(x+3)2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式x2+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．【变式9.1】（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以分解如下：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=(x−3)2−16=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解．(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y2=0时，求xy的值．【变式9.2】（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5=x2+2+2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【变式9.3】（2022·全国·九年级课时练习）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：将左边分组配方：(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．即(m+1)2+(n−3)2=0．∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，且和为0，∴(m+1)2=0且(n−3)2=0，∴m＝－1，n＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：x2+4x+y2−2y+5=0，求x和y的值．(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=8a+6b−25且△ABC为直角三角形，求c．。
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初三数学
一元二次方程根与系数的关系精讲精练
【典型例题】
例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。
分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：
解得：
（方法二）由题意：
解得：
根据韦达定理设另一根为x，则
点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。
例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：
（1）；（2）；（3）
分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。
解：由已知，根据韦达定理
（1）
（2）
（3）
点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。
例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，
那么求的值。
分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。
解：由题意，为的两个不等实根
因而有
又
点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。
例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。
解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有：
由
当时，代入
当时，由
代入
则
代入
把代入<2>中，
或
（解法二）将与相减得：
此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或
（1）若是0则；
（2）若是，则；
或
点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。
例5. 已知方程
（1）若方程两根之差为5，求k。
（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。
分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。
解：（1）设方程两根与，由韦达定理知：
又
（2）设方程两根，由根系关系知：
点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。
例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。
分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。
解：设已知方程的两根为m，3m
由韦达定理知：
即
把代入
得：
点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。
例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。
（1）用含m的代数式表示；
（2）当时，求m的值。
分析：应注意，即可用根系关系。
解：（1）由题意：
（2）由（1）得：
解得：
检验：当时，原方程无实根。
∴舍去
当时，原方程有实根。
∴
点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。
例8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。
分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。
解：设所求一元二次方程为
为方程的两根
∴由韦达定理
又
∴所求一元二次方程为
即：
点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为
，当为分数时，往往化成整系数方程。
［总结扩展］
1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。
它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。
3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……
4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题。
1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（）
A. 2，-1
B. -1，2
C. -2，1
D. 1，-2
2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（）
A. 4
B. -4
C. 1
D. -1
3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（）
A. B. C. D.
4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（）
A. B.
C. D. 不能确定
5. 方程的大根与小根之差等于（）
A. B. C. 1 D.
6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（）
A. B.
C. D.
二. 填空题。
7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。
8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______。
9. 已知方程的两根，且，则
________。
10. 已知是方程的两根，不解方程可得：________，
________，________。
11. 已知，则以为根的一元二次方程是______ ________________________。
三. 解答题。
12. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。
13. 已知方程的两根不解方程，求和
的值。
14. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。
15. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。
【试题答案】
一. 选择题。
1. A
2. B
3. D
4. B
5. C
6. B
二. 填空题。
7.
8. 设，则
9.
或
时，原方程△＜0，故舍去，
10.
11.
由此
或
或
所求方程或
三. 解答题。
12. 解：设方程的一个根为x，另一根2x
由根系关系知：
解得：
13. 解：由题设条件
14. 解：由题意
即
故所求方程是，即
15. 解：
由
由
不符合题意，舍去。