窄带随机过程的模拟与分析

实验报告

实验题目：窄带随机过程的模拟

窄带随机过程的模拟

一、实验目的

（1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。 二、实验原理

（1）任意功率谱的正态随机过程的模拟

假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱

满足()X G f 。为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。即

0201

()()j f k k k d

X

t X e f T π∞

=-∞

==

∑

由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{}

()X

t 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。即 2

220

()()(())k

k k X k G f g f kf g

E X δ∞

=-∞

=

- =∑

通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。

假定()X G f 是带限的，即

()0()X G f f B = >

那么，{}

2

k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。然后据此构造时域样本函数即可，有

02()[]()M

j f k i t k k M

X i X i t X e π∆=-=∆=

∑

其中t ∆为任意小的时间间隔。

（2）窄带随机过程的模拟

对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为

0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ

其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得

00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=-

其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。 三、实验内容

1. 有色高斯随机过程的产生 假定要求模拟产生一个功率谱为 4

1

()1(/)X G f f f =

+∆

的高斯随机过程，过程的时长为5ms ，1Hz f k ∆=，画出一个样本函数。

2. 产生窄带随机过程

以(1)产生的有色高斯过程作为同相分量和正交分量，产生时长为5ms 、中心频率为

01000/f =π的窄带随机过程，画出一个样本函数。

四、 实验结果与分析

(一) 设计此实验有如下过程：

a ．根据所需过程的时长td 确定频率f0，并由此确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f0]；

b ．根据式

0()(*)

B

X

B

M

X

k M

G

f df G

k f β-=-=

⎰∑ 确定系数

c ．产生2M+1个独立的高斯随机变量，即

0(0,(*)),,1,,1,k X X N G k f k M M M M

β=--+-

d ．构建时域样本函数。

本题中td=5ms ，f0=0.2kHz ，B=6KHz ，M=30； 按照频域产生有色高斯随机过程的步骤，编程得到： clear all; clc; td=0.005; f0=200; B=6000; M=floor(B/f0); x1=-B:100:B;

y1=1./((1+(x1./1000).^4));

z1=trapz(x1,y1); sum=0; for m=-M:M;

sum=sum+1./(1+(m.*f0/1000).^4)

end a=z1/sum; for j=-M:M;

A=randn(61,1);

h(M+1+j)=sqrt(a*1./((1+(j.*f0/1000).^4)))*A(M+1+j); end m=0:0.01:5; sum=0; for n=-M:M;

sum=sum+h(M+1+n)*exp(1i*2*pi*0.2*n*m);

end

X=sum; %样本函数 plot(m,X);

axis([0 5 -200 100]); xlabel('时间 t/ms'); ylabel('样本函数 X(t)');

其中一个样本如下图所示：

00.51 1.52

2.53

3.54

4.55

时间 t/ms

样本函数 X (t )

该图形关于中间时刻对称，这与f0有关。

(二)

00.51 1.52

2.5

3 3.5

4 4.5

5

x 10

-3

-2.5

-2-1.5-1-0.500.51

1.5时间 t/s

y (t )

窄带随机过程的一个样本函数 y(t)

程序代码： clear all;clc;

t=0:0.0001:0.005; w0=1000/pi;

sita=2*pi*randn(1,51); A=randn(1,51); Ac=A.*cos(sita); As=A.*sin(sita);

y=Ac.*cos(w0*t)-As.*sin(w0*t); plot(t,y);

xlabel('时间 t/s'); ylabel('y(t)');

title('窄带随机过程的一个样本函数 y(t)');

五、 心得体会

在做第一个内容的时候，由于要对功率谱作分析，不清楚前进的方向，因此做了许多无用功，十分沮丧。除此之外，实验内容一大量用到了矩阵的点乘点除，稍有不慎即会报错。

总而言之，还是有不小的收获。 六、实验要求

（1）个人独立完成实验，切勿抄袭； （2）用MATLAB 完成所有要求的实验内容；

（3）撰写详细的实验报告，实验报告中应该包括以下內容： ● 实验内容和原理的简单阐述，分析； ● 得到的实验结果图形及简要分析，比较； ● 自己的实验心得