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《三元一次方程组及其解法》课件
02
三元一次方程组的解法
利用消元法解三元一次方程组
消元法原理
通过消元将三元一次方程组转化成二元一 次方程组，再逐步消元，最终求得方程组 的解。
VS
消元法步骤
• 先将三元一次方程组中的某个方程用 两个未知数表示，另一个方程用未知 数表示，得到两个二元一次方程组。 再通过消元法求解二元一次方程组， 得到两个未知数的值，然后代入其中 一个二元一次方程中，求解第三个未 知数。
学会利用已知条件和方程组的性质，如对称性、 奇偶性等，简化计算过程，提高解题速度。
06
三元一次方程组在数学中的应用
在几何中的应用
确定多面体和旋转体的体积
利用三元一次方程组可以方便地解决多面体和旋转体的体积计算问题。例如 ，通过确定长方体的长、宽、高，可以求出其体积。
证明几何定理
三元一次方程组可以用来证明一些几何定理。例如，通过建立三个方程，可 以证明三角形三个角的和等于180度。
03
三元一次方程组的实际应用
在物理学中的应用
自由落体运动
自由落体运动公式是三元一次方程组的一种应用，通过求解方程可以得到物 体下落的时间、速度和位移等物理量。
力学系统
在力学系统中，三元一次方程组可以用来描述物体的运动状态和受力情况， 例如物体在重力场中的运动、弹性力学问题等。
在化学中的应用
化学反应平衡
利用加减法解三元一次方程组
加减法原理
通过加减消元，将三元一次方程组转化成二元一次方程组， 再逐步求解，最终得到方程组的解。
加减法步骤
• 先将三元一次方程组中的两个方程相加或相减，消去其中 一个未知数，得到一个二元一次方程组。再通过求解这个 二元一次方程组，得到两个未知数的值，然后代入原方程 组中另外一个方程中，求解第三个未知数。
三元一次方程组课件ppt
5x-4y-29z=0
5．已知
并且Z≠0，求x：y的值．
X-3y+3z=0
解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为 5x－4y=29z x－3y=－3z
x=9z 解这个方程组，得
y=4z
∴x：y=9：4
6．己知：
3x - 4y - 5z x + 2y -15z
= =
0 0
(x , y , z?0)
②
x＋y＋z=17
③
x－y=2
①
y－z=3
②
x＋y＋z=17
③
②＋③，得
x＋2y=20 ④
①与④组成方程组
x－y=2
x＋2y=20
解这个方程组，得
x=8 y=6
x=8
∴ y=6
z=3
把y=6代入②，得 6－z=3
所以z=3
解三元一次方程组的步骤：
①利用代入法或加减法，消去一个未知数， 得出一个二元一次方程组；
x + y + z = 33 x - y = 2 2x + z - y = 24
三元一次方程组 消元
二元一次方程组
消元 一元一次方程
代入消元法和加减消元法
x + y + z = 33 ①
x - y = 2
②
2x &#y 2 ④
把④代入①得： y 2 y z 33
x + y + z = 30 化简，得 x = 5z
y = 4z
解这个方程组，得
x = 15 y = 12 z = 3
答：甲种零件生产15天，乙种零件生产 12天，丙种零件生产3天．
x(x + y + z) = 9
简单的三元一次方程组ppt课件
所以原方程组的解为
易错：
错因：解三元一次方程组时，由于粗心漏乘常数项. 易错警示：在给方程变形时一定要注意，在方程两边同时乘一个常数时， 注意不要漏乘任何一项.
-13-
6.4 简单的三元一次方程组*
[题型探究]
■题型一 三元一次方程组与非负数性质的综合
例1 若
，求 x-y-z 的值.
解析：根据非负数的性质列出三元一次方程组，即可求得 x，y，z 的值，
所以原方程组的解为
把 x=a，y=2a，z=3a 代入 x-2y+3z=-10，得 a-2× 2a+3×3a=-10， 解
得 a=
.
题型解法：当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以将三个方 程相加，再分别减去每个方程，即可求出方程组的解.
-16-
6.4 简单的三元一次方程组*
[方法总结]
■灵活求解三元一次方程组 解三元一次方程组时，先仔细观察每个方程中同一个未知数的系数的特点，
然后代入 x-y-z 中即可.
答案：解：因为
，
所以 x-y-z=1.5-（-3）-（-1）=5.5. 题型解法：如果几个非负数的和为 0，那么每一个非负数都是 0.利用非 负数的这条性质可以建立方程组，进而求出有关字母的取值.
-14-
6.4 简单的三元一次方程组*
■题型二 利用三元一次方程组的解求未知字母的值
解法二（参数法）：由①②，得 x∶y∶z=3∶4∶5. 设 x=3k，y=4k，z=5k，并代入③， 得 3k+4k+5k=36， 解得 k=3， 所以 x=9，y=12，z=15， 所以原方程组的解为
-20-
6.4 简单的三元一次方程组 *
▍考点集训/夯实基础
易错：
错因：解三元一次方程组时，由于粗心漏乘常数项. 易错警示：在给方程变形时一定要注意，在方程两边同时乘一个常数时， 注意不要漏乘任何一项.
-13-
6.4 简单的三元一次方程组*
[题型探究]
■题型一 三元一次方程组与非负数性质的综合
例1 若
，求 x-y-z 的值.
解析：根据非负数的性质列出三元一次方程组，即可求得 x，y，z 的值，
所以原方程组的解为
把 x=a，y=2a，z=3a 代入 x-2y+3z=-10，得 a-2× 2a+3×3a=-10， 解
得 a=
.
题型解法：当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以将三个方 程相加，再分别减去每个方程，即可求出方程组的解.
-16-
6.4 简单的三元一次方程组*
[方法总结]
■灵活求解三元一次方程组 解三元一次方程组时，先仔细观察每个方程中同一个未知数的系数的特点，
然后代入 x-y-z 中即可.
答案：解：因为
，
所以 x-y-z=1.5-（-3）-（-1）=5.5. 题型解法：如果几个非负数的和为 0，那么每一个非负数都是 0.利用非 负数的这条性质可以建立方程组，进而求出有关字母的取值.
-14-
6.4 简单的三元一次方程组*
■题型二 利用三元一次方程组的解求未知字母的值
解法二（参数法）：由①②，得 x∶y∶z=3∶4∶5. 设 x=3k，y=4k，z=5k，并代入③， 得 3k+4k+5k=36， 解得 k=3， 所以 x=9，y=12，z=15， 所以原方程组的解为
-20-
6.4 简单的三元一次方程组 *
▍考点集训/夯实基础
《三元一次方程组》教学演示精品PPT课件
z=x＋y＋12 y-x=z-y．
3
这个问题的解必须同时满足上面的三个方 程.将这三个方程联立，得到方程组
x y z 120 ①
z
x
y
12
②
y
x
z
y
②
4
三元一次方程组
解:设小亮x岁，爸爸y岁，爷爷z岁，
x＋y＋z=120, ①
x y z 120 ①
z=x＋y＋12 ②
z
x
y
12
16
例2 解方程组 解: ③ - ②，得
x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
x y 1
④
① + ④，得
2x 2
∴ x 1
把 x=1 代入方程①、③，分别得
y 2, z 3
x 1
所以,原方程组的解是
y
2
z 3
17
可不可以只用方程组中的两个就求解出方程的解？
例2 解方程组
x y 3 ①
②
x-z=4.
③
解法三：消去z
由③得，z=x-4 ④
把④代入①、②得
x+y+(x-4)=2,⑤ x-y+(x-4)=0,⑥
化简得， ⑦
2x+y=6
4-y=0 ⑧
13
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例1中的③）中 缺少的那个元。缺某元，消某元。
,
《三元一次方程组》PPT课件
6.布置作业
1.课本习题5.9 2.有同学说列三元一次方程组能解决的问题， 一元一次方程也能解决，说一下你的看法.
三元一次方程组中各个方程的公共解， 叫做这个三元一次方程组的解.
2.类比学习，探究新知
我们能解这个三元一次方程组吗？
x y z 23 ① 2x+y-z 20 ② x-y １ ③
能不能像以前一 样“消元”，把 “三元”化成 “二元”呢？
在解三元一次方程组时的消元与解二元一 次方程组的消元有什么不同？解上面的方程 组时，你能先消去未知数y（或z），从而得 到方程组的解吗？ （先独立思考，再进行小组讨论，由学生代 表回答思考所获）
2
x
+
y -z
20
x - y 1
这个方程组和前 面学过的二元一 次方程组有什么 区别和联系？
在这个方程组中， 和 都含有三个未知 数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样 的方程叫做三元一次方程. （linear equation with three unknowns）
像这样共含有三个未知数的三个一次方 程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组. （system of linear equations with three unknowns）
第五章 二元一次方程组
三元一次方程组
1.创设情景，导入新课
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数 大1，甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求 这三个数.
上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z， 由题意可得到方程组：
x y z 23
2
x
+
y
-z
20
x - y 1
x y z 23
①得到关于y的一元一次方程.
三元一次方程组PPT课件
x y z 80, ①
x
y
6,
②
x y 7z. ③
定 义： 像这样，把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起， 组成的方程组叫做三元一次方程组.
知识要点
三元一次方程组的定义
练一练：下列是三元一次方程组的是（ D ）
2x 5,
A.
x
2
y
7,
x
y
z
6.
B.
3 x
y
z
2,
x 2 y z 9,
知识要点
三元一次方程组的解法
解这个方程组，得
x
y
1， 2．
把x＝1，y＝－2代入①，得 z=4.
x 1，
所以原方程组的解是
y
2,
z 4.
知识要点
三元一次方程组的解法
归 纳： 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或
“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三 元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解 一元一次方程．
知识要点
三元一次方程组的解法
5x 4 y z 0, ① 练一练：解方程组 3x y 4z 1, ②
x y z 2. ③
解：②×4-①，得 7x-17z=4. ②-③，得2x-5z=3.
由此得到
7x 2x
17z 5 3.
4,
提示：通过观察发现，z 或y的系数较为简单，可 以先下去消去z或y来求解.
知识要点
三元一次方程组的定义
还有其他的方法列方程组求解吗？
因为要求三个人的年龄，所以可设爸爸的年龄 为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽的年龄为z岁. 根据题意，得 x+y+z=80，x-y=6，x+y=7z.
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1.化“三元”为“二元” （也就是消去一个未知数）
2.化“二元”为“一元”
学习永远 不晚。 JinTai College
感谢您的阅读！ 为 了 便于学习和使用， 本文档下载后内容可 随意修改调整及打印。
例1 解方程组
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ②
x-z=4. ③
1 . 化“三元”为“二元”
y3
代入消元法
加减消元法
2、解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元
消 二元一次方程组 元 一元一次方程
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总 结
三元一次方程组求法步骤： PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuwen/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
例2 也可以这样解:
①+②+③,得 2(x y z) 12 ④
即， ⑤－①,得
xyz6 ⑤ z 3
⑤－②,得
x 1
⑤－③，得
y2
所以，原方程组的解是
x 1
y
2
z 3
小结
（一）三元一次方程组的概念是什么? （二）解三元一次方程组的基本思路是什么? （三）在三元化二元时，对于具体方法的选取 应该注意什么？
x＋y+z=26，
含有三个未知数
x-y=1， 特点
2x+z-y=18. 未知数的项次数都是一次
定
义 含有三个相同的未知数，每个方程中含有未
知数的项的次数都是 1 ，像这样的方程组叫
做三元一次方程组
辨 析 判断下列方程组是不是三元一次方程组?
x y z 17 ① 3x y 7z 2
x y 16 ② 3x y 2
(z+4)-y+z=0 ⑥
化简得， 2z+y=-2 ⑦
2z-y =-4 ⑧
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
解法三：消去z
由③得，z=x-4 ④
把④代入①、②得
x+y+(x-4)=2,⑤ x-y+(x-4)=0,⑥
化简得， ⑦
2x+y=6
4-y=0 ⑧
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
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PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 美术课件：/kejian/meishu/ 物理课件：/kejian/wuli/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 历史课件：/kejian/lishi/
三元一次方程组
定义
含有三个未知数，并且含有未知数的 项的次数都是1，像这样的整式方程 叫做三元一次方程。
解:设流氓兔x岁，加菲猫y岁，米老鼠z岁，
x＋y+z=26，
①x-y=1， ②
2x+z-y=18． 组合在
③
一起
x+y+z=26 ①
x-y=1
②
2x+z-y=18 ③
这样就构成了 方程组
三元一次方程组如何定义?
√
×
方程个数不一定是三个, 方程中含有未知
但至少要有两个。
数的个数是三个
辨析
x 2y z 3 ③ 3x y z 2
2xy y z 11
×
x+y =20
④ y+z=19
x+z=21
√
方程中含有未知数的 方程组中一共有
项的次数都是一次
三个未知数
1、解二元一次方程组32xx
y的 2方法有哪些？
②
x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例1中的③）中 缺少的那个元。缺某元，消某元。
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择最恰当、最简便的方法。
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
x y 1
④
① + ④，得
2x 2
∴ x 1
把 x=1 代入方程①、③，分别得
y 2, z 3
x 1
所以,原方程组的解是
y
2
z 3
可不可以只用方程组中的两个就求解出方程的解？
例2 解方程组
x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
1 . 化“三元”为“二元”
解：
③－②，得
x y 1
解： ①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④ x-z=4 ③
∴
x+z= 1 ④
③+④,得 2x=5
z
x
3 2
5
5
2把 x=代入③，得25z4
2
① ②
③
把x
5 2
,
z
3 2
代入②，得
5 y ( 3) 0
2
2
y=1
所以，原方程组的解是
x y
5 2 1
z
3
2
课堂练习
x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
x y 3 x y 1
④ ① ④
原方程组中有 哪个方程还没 有用到？
可不可以不用①？
yz5 ②
zx4
③
x y 1 ④
x y 1 ④
在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的
二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程
一般都至少要用到一次．
x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
例2 解方程组 x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
1 . 化“三元”为“二元”
解：③－②，得
x y 1
④
xy3 ① x y 1 ④ 2. 化“二元”为“一元”
原方程组中 有哪个方程 还没有用到 ？
例2 解方程组 解: ③ - ②，得
x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
解法一：消去y
①＋②，得 2x+2z=2 x z 1 ④
x-z = 4 ③
xz 1 ④
2. 化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
解法二：消去x
由③得，x=z+4 ④ 把④代入①、②得，
（z+4)+y+z=2 ⑤