曲率及其曲率半径的计算
曲率公式和曲率半径
曲率公式和曲率半径曲率和曲率半径公式是什么?曲率半径是ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)/y'']|，K=1/ρ。
计算公式：K=lim|Δα/Δs|。
曲率K=|dα／ds|。
在数学上，曲率是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲率的公式可以表示为：K=|dα／ds|。
曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率。
曲率半径为曲率的倒数。
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率定义为曲线上一点的切向角对弧长的微分旋转率，表示曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于靠近该点曲线的圆弧半径。
曲率半径求法：ρ＝｜｜，K=1/ρ。
或曲率和曲率半径公式是什么？曲率和曲率半径公式是R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
曲率的作用在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。
所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。
如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。
也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能地微分，直到最后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。
曲率和曲率半径1、弧微分公式上式ds是一段曲线上的微元弧。
2、曲率如图，从M点沿曲线C到M'点，点上的切线转动了Δα的角度，Δs是曲线的弧微元，|Δα/Δs|就是从M到M‘的曲线的平均曲率，对平均曲率取极限得到M处的曲率：如果导数存在，也可以写成：根据曲率的定义式，可以求出曲率的一般形式，设函数y=f(x)，从前面的曲率示意图可以看出，tanα=dy/dx，对式子两边再求一次导得到：将上式和前面给出的ds一起代入曲率公式得到：3、曲率圆和曲率半径如图所示，在某点可以按照该点曲率作一个圆，即曲率圆，D是圆心，ρ是曲率半径，曲率半径的得出很简单，对于圆来说，弧长比上半径即是对应的角度，即ds/ρ=dα，所以ρ=ds/dα=1/K。
曲率半径
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y = 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 2 l 求此缓和曲线在其两个端点 O(0 , 0) , B (l , ) 处的曲率. 6R 解: 当 x ∈ [ 0 , l ] 时, y 1 2 l ≈0 ∵ y′ = x ≤ R 2 Rl 2R 1 B y′′ = x Rl o x l 1 x ∴ K ≈ y′′ = 1 3 Rl y= x 1 6 Rl 显然 K x = 0 = 0 ; K x =l ≈ R
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同. 2. 求双曲线 x y = 1 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y 1 2 解: y′ = − 2 , y′′ = 3 , 则 x x 1 3 o 1 x 3 1) 2 2 2 (1 + 4 (1 + y′ ) 3 x 1 ( x2 + 1 ) 2 = R= =2 ≥ 2 2 2 x y′′ 3
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⎧ x = a cos t (0 ≤ t ≤ 2π ) 在何处曲率最大? 例3. 求椭圆 ⎨ ⎩ y = b sin t
解: x = − a sin t ;
x = − a cos t
y = b cos t ;
故曲率为
y = −b sin t
x 表示对参 数 t 的导数
y
D(α , β ) R M ( x, y )
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
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1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
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8
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
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曲率及其曲率半径的计算
曲率及其计算公式
ρ=
1 1 ， K= ． ρ K
例3 设工件表面的截线为抛物线y=0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4
2
O
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y=0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y′=0．8x ，y′′=0．8， y′|x=0=0，y′′|x=0=0．8． 把它们代入曲率公式，得
C M′ ∆s ∆α α+∆α x
s
我们称 K =
曲率：
∆α 为弧段 MM ′ 的平均曲率． ∆s
我们称 K = lim
∆α 为曲Байду номын сангаасC在点M处的曲率． ∆s →0 ∆s ∆α dα dα lim = K= 在 存在的条件下 ． ∆s → 0 ∆ s ds ds
）
∩
平均曲率：
曲率的计算公式：
K= dα ． ds
∆y
∆s MM ′ =± ∆x | MM ′ |
( (
∆y | MM ′ | | MM ′ | = lim =y′， 因为 lim =1， 又 lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 | MM ′ | M ′→ M | MM ′ | ds 2 因此 =± 1 + y′ ． dx ds ds = 1 + y′2 ． 由于s=s(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx 于是 ds = 1 + y′2 dx．这就是弧微分公式．
| ϕ ′(t )ψ ′′(t ) − ϕ ′′(t )ψ ′(t ) | K= ． 2 2 32 [ϕ ′ (t ) + ψ ′ (t )]
曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
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7
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
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5
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r1
，
1 K
．
r K 高校教育精品PPT
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
Dx0 | MM | M M | MM |
曲率及其计算公式ppt课件
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
8
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得
K
| (1
y | y2 )3
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
2．50单位长．
13
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r1
，
1 K
．
K
r
11
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
求曲率半径的公式
求曲率半径的公式
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
1、曲率半径是指曲面的曲率，它表示曲线或曲面上任意一点到它的曲线中心的最小距离。
2、曲率半径的计算公式为：R=1/κ，其中κ表示曲率，它可以由下式计算出来：κ=(y''dx²+2y'xdx+y)/(dx²+2ydx+y²)^(3/2)。
3、其中，y代表任意点处的曲率，dx、dy分别表示该点处的横纵坐标差值，y'和y''表示曲率在此点处的一阶和二阶导数。
曲率及其曲率半径的计算课件
明确报告收集方式，如电子邮件、在线平台提交 等。
3
报告整理与反馈
强调教师将对学生的自我评价报告进行整理和分 析，并针对普遍存在的问题进行反馈和解答。
下节课预告及作业布置
下节课预告
预告下节课将要学习的内容，为学生做好预习准 备。
作业布置
布置相关作业，要求学生应用本节课所学知识进 行计算和练习，以巩固所学内容。作业难度适中 ，题量适当。
方法选择
根据数据类型和精度要求选择合适的方法 。
结果整理
整理计算结果，包括曲率半径、误差等信 息。
结果展示与误差分析
01
02
03
结果展示
以表格或图形形式展示计 算结果，包括曲率半径、 误差等信息。
误差分析
分析计算结果的误差来源 ，如数据质量、方法精度 等。
改进措施
根据误差分析结果，提出 改进措施，如优化算法、 提高数据质量等。
THANKS
感谢观看
非弧长参数化下曲率公式
非弧长参数化
以其他参数（如时间、角度等）为参数，将曲线进行参数化，得到非弧长参数 化下的曲线方程。
曲率公式推导
在非弧长参数化下，通过引入切向量和法向量等概念，可以推导出曲率公式 k(t)=|dθ(t)/dt|/|dr(t)/dt|，其中t为非弧长参数，θ(t)为切向量与某一固定方向 的夹角，r(t)为非弧长参数化下的曲线方程。
实际应用案例分享与讨论
螺旋线曲率计算
以螺旋线为例，介绍如何应用曲 率计算公式求解其曲率半径，并 分析曲率半径随参数变化的规律
。
曲线设计与优化
讨论如何利用曲率概念进行曲线设 计与优化，例如在道路工程、机械 工程等领域中的应用。
曲线拟合与插值
平面曲线的曲率与半径计算
平面曲线的曲率与半径计算曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，而曲率半径则是曲线的半径，曲率和曲率半径密切相关。
在几何学和数学中，为了计算平面曲线的曲率和曲率半径，我们可以运用不同的方法和公式。
一、曲率的定义和计算方法曲率是指曲线在某一点处的弯曲程度，即曲线切线方向的变化情况。
如果曲线的切线方向变化很大，说明曲线的曲率较大，曲线弯曲程度越大；反之，如果曲线的切线方向变化较小，说明曲线的曲率较小，曲线弯曲程度越小。
对于平面曲线的曲率，我们可以通过求取该曲线在某一点处的曲率半径来计算。
具体的计算方法如下：1. 首先，对于给定的平面曲线，我们需要找到该曲线在某一点处的切线方程。
这可以通过求取该曲线在该点处的导数（斜率）来实现。
2. 在确定了切线方程之后，我们需要求取曲线在该点处的曲率。
曲率的计算公式为k = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)，其中y''代表y关于x的二阶导数，y'代表y关于x的一阶导数。
3. 最后，通过求取曲率的倒数即可得到曲率半径r = 1 / k。
二、曲率与曲率半径的示例计算下面以一个具体的例子来演示计算平面曲线的曲率与曲率半径。
假设我们有一个平面曲线的方程为y = x^3 + 2x + 1，我们要计算该曲线在点(1,4)处的曲率和曲率半径。
首先，我们需要求取该曲线在点(1,4)处的切线方程。
根据曲线方程求导得到y' = 3x^2 + 2，代入x = 1得到y' = 5。
因此该曲线在点(1,4)处的切线方程为y = 5x - 1。
接着，我们需要求取曲线在该点处的曲率。
根据公式k = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)，我们需要求取y''和y'的值。
将曲线方程y = x^3 + 2x + 1求二阶导数得到y'' = 6x，代入x = 1得到y'' = 6。
曲率和曲率半径
曲率和曲率半径曲率和曲率半径是微积分、微分几何中的重要概念。
它们是描述曲线、曲面曲率大小和曲率方向的量。
本文将从曲率和曲率半径的概念入手，探讨它们的计算方法和应用。
曲率的概念曲率描述曲线或曲面局部形状的变化程度。
对于曲线，曲率是指曲线上某点处切线方向的变化率。
在数学上，曲率被定义为曲线上某点处切线的极限位置与该点距离的比值。
如果曲线在该点的曲率为正，则曲线在该点的形状向外凸；若曲率为负，则曲线在该点的形状向内凹。
曲率半径的概念曲率半径是曲率的倒数。
即曲率半径R等于曲率k的倒数。
曲率半径描述了曲线近似为圆的程度。
如果曲率半径很小，曲线就很弯，近似为一段圆弧；如果曲率半径很大，曲线就很直，近似为一条直线。
曲率半径在机械、电子、航空、航天等领域有广泛的应用。
曲率和曲率半径的计算方法曲线在数学上可以用参数方程或者一般方程表示。
对于参数方程，曲率公式为：k = |\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)| / |\mathbf{r}'(t)|^3其中，\mathbf{r}(t)表示曲线上的某点，\mathbf{r}'(t)表示该点处曲线的切向量，\mathbf{r}''(t)表示该点处曲线的二阶切向量。
符号|·|表示向量的模长。
对于一般方程表示的曲线，曲率公式为：k = |\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)| / |\mathbf{r}'(t)|^3其中，x(t)和y(t)表示曲线在参数t处的横纵坐标，y'(t)和y''(t)表示曲线在参数t处的一阶和二阶导数。
曲率半径的公式为：R = 1 / k其中，k表示曲线在某点处的曲率。
当曲线在该点的曲率为0时，曲率半径为无穷大，即曲线在该点的局部形状为直线。
曲率和曲率半径在实际应用中的意义曲率和曲率半径在机械、电子、航空、航天等领域有广泛的应用。
高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法
高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法在高考数学中，曲率与曲率半径是一个比较重要的概念，在平面几何和空间几何中都有应用。
曲率指的是曲线在某一点处的弯曲程度，而曲率半径则是曲率的倒数。
对于考生来说，了解曲率与曲率半径的计算方法，能够帮助他们更好地理解和解决相关考题。
一、曲率的定义和计算方法1. 弧长的导数曲线在某一点处的曲率定义为该点处切线与曲线上足够靠近该点的两个点的切线的极限夹角的大小，即：$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}$$其中，$\Delta s$为曲线上两个足够靠近该点的点之间的弧长，$\Delta\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角。
由于$\Delta\alpha$较难直接求解，我们可以通过对式子进行简化，得到：$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}=\lim_{\Deltas\to0}\frac{\Delta(\tan\Delta\alpha)}{\Delta\alpha}\cdot\frac{\Delta\al pha}{\Deltas}=\lim_{\Delta\theta\to0}\frac{\tan\Delta\theta}{\Delta\theta}=\frac{d \alpha}{ds}$$其中，$\Delta\theta$为所求点处两条足够靠近该点的切线夹角，$d\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角微分。
这里要注意的是，当弧长趋近于0时，我们通常会取$\Delta\alpha$为两条切线的夹角$\theta$，而不是切线的转角$d\alpha$。
2. 参数方程的第二类曲率对于参数方程$x=x(t)$，$y=y(t)$，曲线的切向量可以表示为：$$\vec{T}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}$$那么，曲线在某一点处的曲率可以表示为：$$k=\left\lvert\frac{d\vec{T}}{ds}\right\rvert=\sqrt{\left(\frac{d\ve c{T_x}}{ds}\right)^2+\left(\frac{d\vec{T_y}}{ds}\right)^2}$$其中，$\lvert\cdot\rvert$表示向量的模，$\vec{T_x}$和$\vec{T_y}$分别表示$\vec{T}$在$x$和$y$方向上的分量。
曲率及其曲率半径的计算讲解
于是
da
y
1 y2
dx．又知 ds
1 y2 dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K 所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K
| (1
y | y2 )3
2
0.
2．若曲线由参数方程
x j (t)
y
(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K
|
j(t) (t) j(t) [j2 (t) 2 (t)]3
(t)
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0a ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
sec 2a da y， da y y ，
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
高等数学《曲率》
为零,并且当 l 很小 R
( l 1) 时，在终端 R A的曲率近似为 1 .
R
y
B
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
证 如图
y
B
x的负半轴表示直道，
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
y 1 x2 , y 1 x.
2Rl
Rl
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
o
C( x0 ,0)
x
l 1, R
略去二次项 l2 4R2
,
得
kA
1. R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
二、k cos x , sec x .
三、k 2 . 3a sin 2t0
五、( ,1)处曲率半径有最小值 1. 2
六. ( 1 ln 2, 1 ), 3 3 .
2
2
2
3、0.
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
弯道之间接入一段
缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡
到 1 (R为圆弧轨道 R
的半径).
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通常用三次抛物线
y
1 6Rl
x 3，x
[0,
x0
]．作为
缓冲段 OA，其中 l 为 OA的长度，验证缓冲段
几何练习计算曲面的曲率和曲率半径
几何练习计算曲面的曲率和曲率半径在几何学中，曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的重要概念之一。
曲率的计算可以帮助我们理解曲面的形状，并且在许多应用中有着重要的意义。
本文将介绍如何计算曲面的曲率和曲率半径，以及相关的基本概念和公式。
一、曲面曲率的定义在数学中，曲面的曲率是指曲面上某一点处的切平面与曲面相交所形成的曲线的弯曲程度。
曲率描述了曲线的弯曲程度，曲面的曲率则描述了曲面的弯曲程度。
曲率的计算可以帮助我们理解曲面的局部特征，比如凸凹性、平滑性等。
二、曲率的计算方法对于一个参数形式给定的曲面，我们可以利用曲面上的两个参数方向上的切向量来计算曲面的曲率。
设曲面的参数方程为：x = f(u,v), y =g(u,v), z = h(u,v)，其中u,v为参数。
曲率的计算可以分为以下几个步骤：1. 计算切向量由曲面的参数方程可得，曲面上任意一点(x,y,z)处的切向量为：T_u= ∂T/∂T,T_v= ∂T/∂T。
其中P(u,v)表示参数方程对应点的位置向量。
2. 计算曲面法向量曲面法向量N可以通过两个参数方向的向量积得到：N=T_u ×T_v。
3. 计算曲率向量曲率向量K的计算需要先计算曲面法向量N的对称矩阵A：A=T^T ×T。
然后利用切向量T对矩阵A进行线性变换：K=A^(-1) ×T。
4. 计算主曲率和曲率半径考虑到曲面上任意一点的曲率向量K都是三维的，我们可以将其分解为两个相互垂直的方向，即主曲率方向。
主曲率是曲率向量在主曲率方向上的投影。
曲率半径是主曲率倒数的绝对值，即曲率半径=1/主曲率。
三、曲率计算的应用曲率计算在几何学和物理学中具有广泛的应用。
在几何学中，曲率可以帮助我们理解曲面的形状和特征，比如判定曲面的凹凸性、寻找曲面上的最小曲率点等。
在物理学中，曲率计算可以用于描述物体表面的曲率分布，如天体表面的曲率分布、流体表面的曲率分布等。
四、举例说明下面我们通过一个简单的例子来说明曲率的计算方法。
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于是 ds 1 y2 dx．这就是弧微分公式．
(
(
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
M2 N2 )j
N1
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线 C 上从点 M 到点 M 的弧 为 D s ，切线的转角为 D a ．
曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
Ds MM Dx | MM |
(
2
(
y M Ds
2
Dy 2 1 Dx
(
M0
O x0
M
Dy
Dx
x x+Dx x
Ds MM Dx | MM |
2
Dy 2 1 Dx
有如下关系：
1 1 r ， K ． r K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4 2
O
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8． 把它们代入曲率公式，得
K da ． ds
设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数． 因为tan a y ，所以
da y y da sec a y， ， 2 2 dx dx 1 tan a 1 y y 2 dx． 于是 da 1 y dx ． 又知 ds 1 y2
2
从而，有
| y | K ． 2 32 (1 y )
| y | K 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． (1 y 2 ) 3 2
解
1 由y ，得 x
x 因此，y|x11，y|x12．
y
1
2
，y
2 x
3
．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
| j (t ) (t ) j (t ) (t ) | K ． 2 2 32 [j (t ) (t )]
三、曲率圆与曲率半径
y D y =f ( x) O 曲线在M点的曲率圆 r M
曲线在M点的曲率半径
1 |DM| r K
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
）
平均曲率：
曲率的计算公式：
2
2
2 2 MM | MM | MM ( Dx ) ( Dy ) 2 2 | M M | ( D x ) | M M | (Dx)
2
2
2
(
(
2 MM Dy 1 | MM | Dx
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | Dx ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
| y | 2 1 2 0．8． 2 3 2 K ． 2 32 2 (1 y ) (1 (1) ) 2
抛物线顶点处的曲率半径为
1 r 1．25． K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过 2．50单位长．
| y | 2 1 2 K ． 2 32 2 32 2 (1 y ) (1 (1) ) 2
| y | K 2 例2 抛物线yax bxc 上哪一点处的曲率最大？ (1 y 2 ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ， 代入曲率公式，得
| 2a | | y | K ． 2 32 [1 (2ax b) 2 ]3 2 (1 y ) b b 要使K 最大，只须2axb0， 即 x 对应的点为 ．而 x 2a 2a 抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
M0
s>0
MO
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设 x ， x+ D x 为 ( a ， b ) 内两个邻近的点 ，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
Ds MM D x Dx