南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测9 答案

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2014年广东高考理科数学试题含答案(Word版)-推荐下载

提示解: 法一由:射影定理知从பைடு நூலகம்而cos C c cos B a,
a 2b, a 2 . b
解法二: 由上弦定理得: sin B cos C sin C cos B 2sin B,即sin(B C) 2sin B,
sin A 2sin B,即a 2b, a 2 . b
D.130
: C12 C52 A52 40; D.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线0产中不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资22负料，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看2与全22过，22度并22工且22作尽2下可护1都能关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编5试技写、卷术重电保交要气护底设设装。备备4置管高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并3技试资件且、术卷料拒管中试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

广东省六校2014届高三第一次联考数学试卷及答案(理科)

仲元中学中山一中南海中学2013—2014学年高三第一次联考潮阳一中宝安中学普宁二中理科数学本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第一部分（选择题满分40分）一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -12．设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（） A ．(0,)A B =+∞ B ．(](),0UC A B =-∞C ．(){2,1,0}U C A B =--D ．(){1,2}U C A B =3．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a =（）A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－24. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =+；④()21f x x =+．其中“同簇函数”的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为（） A ．16 B ．163C ．64+163D ． 16+3346．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是（） A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]正视图俯视图侧视图A 1C 7．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+ ，则MA MB ⋅=( )A .98B .913C ．98-D ．913- 8．定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-，其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合，则椭圆的方程为（）A ． 13822=+y x B ． 14922=+y x C ．18922=+y x D ．191622=+y x第二部分（非选择题满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9~13题）9．已知数列{}n a 的首项11=a ，若N n *∀∈，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．10．执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ．11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种(用数字作答) ．12．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AA 的概率=p ．13.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k ，已知函数(),()k f x k f x k ⎧=⎨>⎩，取函数()f x =xe x ---3．若对任意的x ∈（-∞，+∞），恒有()k f x =()f x ，则k 的最小值为．（二）选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点π4⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分)设(6cos ,a x = , (cos ,sin 2)b x x =,()f x a b =⋅ （1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合；（2）若锐角α满足()3f α=-，求4tan 5α的值．17．(本小题满分12分) 某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ．F 、G 分别是CE 、AD 的中点．现将ADE ∆沿 AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为0135．（1）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ；（2）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．第15题图19．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OA OP +与FA 共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有(1)n n S m ma =+-（m 为正常数）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）数列{}n b 满足11112,,(2,)1n n n b b a b n n N b -+-==≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21. (本小题满分14分)设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (Ⅰ)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ)令21()()2a F x f x ax bx x =+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．2013-2014学年度高三第一次教学质量检测试题（理科数学）评分参考一、选择题 D C C C D D C B 二、填空题 9．⎩⎨⎧-=是正偶数是正奇数，2 , 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a ； 10．4； 11． 30； 12．43； 13． 2； 14. cos 2ρθ= 15. 30º16．解：（1）解：2()6cos 2f x a b x x =⋅= …………………1分1cos 2622xx +=⨯ 3cos223x x =+ 12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭…3分236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……4分最小正周期22T π==π ……5分当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x 有最大值3，此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈．………7分（2）由()3f α=-得 c o s 2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭…9分又由02απ<<得 2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π．……11分从而4tan tan 53απ== ………………12分17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分 ∴3502()12257P M ==．答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分（3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10．依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分∴ξ的分布列为： … 12分18．（1）证明： DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，,DE CE E DE CE CDE =⊂ ，平面，∴ AE ⊥平面CDE ， ……3分AE ⊂平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ．……5分（2）（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系……6分DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135，……7分 1=AB ，2=BC ，21+=CD ，∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1）．……9分F 、G 分别是CE 、AD 的中点，∴F 1002（，，），G 11122-（，，） ……10分 ∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-，……11分由（1）知AE是平面DCE 的法向量， ……12分设直线FG 与面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin ||||33||||22FG AE FG AE α⋅-===⋅⨯ ，故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为23． ……14分（列式1分，计算1分）（方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分由（1）知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，22=EH ……8分因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135…9分在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 222211152(422224=+-⨯⨯⨯-=（或25=FH ）……11分（列式1分，计算1分）⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中， 2322=+=FH GH GF ……13分所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为32sin ==∠GF GH GFH ……14分 19．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， ……1分离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ，∴c c a ==，∴2a =，21b =…… 3分故椭圆C 的方程为2214x y +=．…… 4分（2）假设椭圆C 上存在点P （00,x y ），使得向量OA OP +与FA 共线，……5分00(,1)OP OA x y +=+，(FA =，∴001)x y =+ （1） ……6分又点P （00,x y ）在椭圆2214x y +=上，∴220014x y += （2） ……8分由（1）、（2）组成方程组解得：(0,1)P -，或1()77P -， ……11分当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =，当点P的坐标为1()7P 时，直线AP440y -+=，故直线AP 的方程为0y =440y -+=． ……14分20．解：（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．…………………1分当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．…………………2分又m 为常数，且0m >，∴1(2)1n n a mn a m-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．……………………4分（2）解：1122b a ==…5分 ∵111n n n b b b --=+，∴1111n n b b -=+，即1111(2)n n n b b --=≥．…7分∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………8分∴1121(1)122n n n b -=+-⋅=，即2()21n b n N n *=∈-．……………………………9分（3）解：由（2）知221n b n =-，则122(21)n n n n b +=-．所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++ ， …10分即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯- ， ① ……11分则234122123252(23)2(21)nn n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯- ， ②………12分②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------ ，……………………13分故31112(12)2(21)22(23)612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分21.解：（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞，当12a b ==时，211()ln 42f x x x x =--，111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=………………2分令，解得 1.(0)x x =>因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减。

广东省佛山市南海区高三题例研究试题(数学理)

x 2y 3 0
10 ．已知变量 x , y 满足 x 3 y 3 0 ，若目标函数 z ax y（其
y10
处取得最大值，则 a 的取值范围是 __________.
n
a
11 ．已知关于 x 的二项式
x
的展开式的二项系数和为
32
3x
值为 _____.
12 ．已知函数 f ( x)
x 1, ( 1 x 0)
“ × ”的概率为 q. 若第 k 次出现“○” ，则记 a k 1 ；出现“ ×
Sn a 1 a2
an.
（ I）当 p （ II ）当 p
1
q
时，记
2
| S3 | ，求的分布列及数学期望；
1
2
,q
时，求 S8 2且 Si 0( i 1,2,3,4) 的概率 .
3
3
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x
h ( x) h (1) 0 ， h (x ) 是增函数， h( x) h (1) 1 ， a 1
5分
因此，实数 a 的取值范围是 0 a 1．
………………
6分
（ 2）当 a 1 时， f ( x )
1 f (x) 1 2
x 8 f ( 3) ． 3
1 x，
x 0 ， f (x ) 在 [ e,3] 上是增函数，
∵ BD
2
2
AD AB 2 2 ，
2
2
1
∴ PO PB BO
2 ， AO BD 2 ，
2
在
三
角
形
PAO
中
，
2
PO
PO AO ，
………………………………

[3]2014年高考理数分类汇编《三角函数》

ép p ù pö , ú 上具有单调性,且 f æ ç ÷=-f ë6 2û è2ø æp ö ç ÷ 知,函数 f ( x ) 的对称中心为 è 6 ø
【解析】 p ；由 f ( x ) 在区间 ê
pö 1 æ p 2p ö 7 p æp ö æ 2 ,设函数 f ( x ) 的最 ç ÷= f ç ÷ 知函数 f ( x ) 的对称轴为直线 x = ç + ÷= 2 è 2 3 ø 12 è2ø è 3 ø 1 p p 2 p 7 p p T 小正周期为 T ,所以 T ³ - ,即 T ³ ,所以 - = ,解得 T = p . 2 2 6 3 12 3 4 1 3.(2014 年天津)在 DABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c = a , 2sin B = 3sin C ,则 4
p
p p æ pö - a Î ç 0, ÷ ,所以 a - b = - a ,即 2 a - b = ,故选 B. 2 2 2 è 2ø
2 cos 3 x 的图像(
)
10.(2014 年浙江)为了得到函数 y = sin 3x + cos 3 x 的图像,可以将函数 y = A．向右平移个单位
1 2
B. 3.(2014 年湖南) 已知函数 f ( x ) = sin ( x - j ) ,且 ( )
ò
2 x 3
0
f ( x ) dx = 0 ,则函数 f ( x ) 的图象的一条对称轴是
A. x =
5 p 6
B. x =
7 p 12
C. x =
p
3
0
2.(2014 年北京) 设函数 f ( x ) = sin (w x + j ) , A > 0, w > 0 ,若 f ( x ) 在区间 ê , ú 上具有单调性,且 ë6 2û

2014年广东高考理科数学试题及标准答案(Word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,满分40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.１．已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A.{1,0,1}-B. {1,0,1,2}- C ． {1,0,2}- D ． {0,1}答案:Ｂ２.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Ｚ=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+答案:A2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m,则M-m ＝A ．８B ．7 Ｃ．６ D.５:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数ｋ满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D. 5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是Ａ．（-１，1,0） B.（１，－1,0) C.（0，-1,１) Ｄ.（-1,０,1)0:11,,60,.22BB =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 2０0,２0B. 100,２0Ｃ. 200,10 Ｄ. 100,1０::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选 7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥,则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥ B ．14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定答案：D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.9０Ｃ.1２0 D.１３0 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题:本大题共7小题，考生作答６小题,每小题5分，满分3０分.（一)必做题（9~13题)9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为: 10.曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,２,3,4,５,６,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为。

南海中学分校2014届高三第一学期理科数学每周一测(5)答案

南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(8)参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5678答案ADAACCBA二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 9.34π 10.4 11.32- 12.43π 13. 233ππ，- 14.cos 2ρθ= 15.94 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤16.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==︒(Ⅰ) 求sin sin a bA B++的值；(Ⅱ)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．解：（1）由正弦定理可得：2243sin sin sin sin 60332a b c A B C =====︒，所以4343sin ,sin 33a A b B ==，所以43(sin sin )433sin sin sin sin 3A B a b A B A B ++==++ …………………6分（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以113sin 43222ABC S ab C ∆==⨯⨯= …………………12分 17. (本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。

(Ⅰ) 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率； (Ⅱ)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望．解：设一次取次品记为事件A ，由古典概型概率公式得：51102==）（A P ……2 分有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B ，：1251254.51C 223==）（）（B P …4分（2）依据知X 的可能取值为1.2.3………5分且541081===）（x P ………6分 458822210=⨯==A x P ）（ (745132102)2===A A x P ）（………8分则X 的分布列如下表： X 123p54458 451 ……10分911455545345164536==++=EX ………12分 18.(本小题满分14分)如图5，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．（Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（Ⅲ）求二面角C BD A --1的余弦值．证明：（Ⅰ）∵ 1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上，∴ 1A O ⊥平面BCD ， ………………………1分又BC ⊂平面BCD ,∴ 1BC A O⊥………………………2分又1,BC CO AO CO O ⊥=I ，∴ BC ⊥平面1ACD ，………………………3分又11A D ACD ⊂平面，∴ 1BC A D ⊥. …………………………4分（Ⅱ）∵ ABCD 为矩形，∴ 11A D A B⊥,…………………………5分由（Ⅰ）知11,A D BC A B BC B ⊥=I ,∴1A D ⊥平面1A BC ，………………6分又1A D ⊂平面1A BD ……………………7分 ∴ 平面1A BC ⊥平面1A BD …………………8分（Ⅲ）∵1A D ⊥平面1A BC ，∴11A D AC ⊥，在1Rt A BD ∆中，由16A D =，10CD =,得18A C =,1245AO =. ……………………9分过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ，连结1A E . 由1A O ⊥平面B C D ，1A O ⊥BD ∴BD ⊥平面1A E O ,BD ⊥1A E , ……………………11分∴1A EO ∠为二面角C BD A --1的平面角. ……………………12分又:Rt DEO Rt DBC ∆∆,⋅BC OD 54EO ==BD 534,13034A E =, ……13分 ∴119cos 25EO A EO A E ∠==. ……………………14分另解：以点D 为坐标原点,以DA 方向为x 轴,以DC 方向为y 轴，以平行1OA 方向为z 轴，建立空间直角坐标系， …………9分知()0,0,0D ，()6,10,0B ,118240,,55A ⎛⎫⎪⎝⎭,得()DB=6,10,0 ,118240,,55⎛⎫= ⎪⎝⎭DA …………10分设平面1A BD 的法向量为()1,,= n x y z ，由61001824055x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()120,12,9=- n …………11分而平面BDC 的法向量为()20,0,1=n ……………………12分∴()12222200120919cos ,2520129n n ⨯-⨯+⨯==+-+， …………13分由图可知，二面角C BD A --1的余弦值为925.……………………14分19.（本小题满分14分）在数列{}n a 中， 3,121==a a ,n n n ka a a -=++123()0k ≠对任意*∈N n 成立，令n n n a a b -=+1，且{}n b 是等比数列.（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：11113421123n +++...+a a a a < ．解：（1）∵11=a ,32=a ,k a -=93,ka 6274-=, …………1分∴21=b ,k b -=62,k b 5183-=. ………………2分∵{}n b 成等比数列，∴22b =31b b ⋅,即()()262185-=⨯-k k . ………………3分解得 k=2或k=0（舍） ………………4分当k=2时，2+n a =n n a a 231-+即 ()n n n n a a a a -=-+++1122， ……………5分∴21=+nn b b ∴ k=2时满足条件. ………………6分（2）∵21=b ,{}n b 成等比数列,∴nn b 2= ………………7分 ∴21a -a =2，232a -a =2，... n-1n n-1a -a =2 ……………８分 ∴2n-1n 1a -a =2+2+...+2，2n 1n a 1222-=++++L …………………９分∴nn a 21=- ……………………10分（3）法一：（构造等比数列）当123n =，，时，1231111342121212121n ++++<---- 显然成立． ……11分当4n ≥时，3333218217221720nn n n n -----=⋅-=⋅+->⋅>故31112172nn -<⋅-．从而 ……12分 123233311111111111()2121212137722211(1)1111111111342211(1)1137737723772112n n n n ---++++<++++++-----=+++⋅=+++⋅-<+++=- ……14分 20．（本小题满分14分）已知点()()1,0,1,0,A B -直线,AM BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-. （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点（0,1）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q 两点，且322PQ =，求直线PQ 的方程.（1）解：设(,)M x y , 1分则(),,111MA Mb y y k k x x x ==≠±+- 3分∴211y y x x ⨯=-+- 4分∴2212y x +=()1x ≠± 6分（条件1分）（2）（2）当直线PQ 的斜率不存在时，即PQ 是椭圆的长轴，其长为22，显然不合，即直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是1y kx =+,()()1122,,,,P x y Q x y 则1212()y y k x x -=-， 8分联立22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222210k x kx ++-= 9分 ∵()()()222442810kkk ∆=++=+>，∴k R ∈, 10分12122221,22k x x x x k k +=-=-++222212121212(x x )(y y )(1k )[(x x )4x x ]PQ =-+-=++-221222k k +=+， 12分∴322PQ =221222k k +=+，22,2k k ==±， 13分所以直线PQ 的方程是y=2±x+1。

2014年广东省佛山市南海区高考数学模拟试卷(理科)

2014年广东省佛山市南海区高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设a是实数，且，则实数a=（）A.-1B.1C.2D.-2【答案】B【解析】解：===+∈R∴=0即a=1故选B．根据复数代数形式的乘除运算公式进行化简，再依据复数为实数时虚部为零，建立等式关系，求出a即可．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念，同时考查了计算能力，属于基础题．2.设a∈R，则“a=4”是“直线l1：ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当a=4时，直线4x+2y-3=0与2x+y-4=0平行，∴满足充分性；当：ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0平行⇒a=4，∴满足必要性．故选C根据直线ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0的斜截式，求出平行的条件，验证充分性与必要性即可．本题考查充要条件的判定．3.已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（-2≤ξ≤2）=（）A.0.477B.0.625C.0.954D.0.977【答案】C【解析】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞2）=0.023，则P（ξ＜-2）=0.023，故P（-2≤ξ≤2）=1-P（ξ＞2）-p（ξ＜-2）=0.954，故选：C．画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．4.设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A.若m∥n，m⊥β，则n⊥βB.若m∥n，m∥β，则n∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若n⊥α，n⊥β，则α⊥β【答案】A【解析】解：由m∥n，m⊥β，则n⊥β；故A正确；若m∥α，m∥β，则α与β可能平行与可能相交，故B错误；若m∥α，m∥β，α、β可能相交，故C错误；由n⊥α，n⊥β，则α∥β，故D错误；故答案为A．根据空间中面面垂直的判定方法，面面平行的判定方法，及线面垂直的判定方法逐一对题目中的四个结论进行判断，即可得到答案．本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定和性质，建立良好的空间想象能力是解答此类题的关键．5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】解：当输入的值为n=5时，n不满足上判断框中的条件，n=16，k=1n不满足下判断框中的条件，n=16，n满足上判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足下判断框中的条件，n=8，n满足判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n满足判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足下判断框中的条件，n=2，n满足判断框中的条件，n=1，k=5，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选B．根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6.函数f（x）=x-cosx的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】解：函数f（x）=x-cosx的零点，即函数y=x与y=cosx图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y=x与y=cosx的图象，如下图所示：由图可知：函数y=x与y=cosx的图象有5个交点，故函数f（x）=x-cosx有5个零点，故选：C将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，结合图象，问题容易解得．本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．故选B．由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果．本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出所给的几何体的形状和长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题．8.设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足，，，则对、，λ∈R，下列结论恒成立的是（）A. B.f（||•+||）=f[f（）+f（）] C.f（||•）=f（） D.f （||•+||）=f[f（）+f（）]【答案】C【解析】解：根据题意，映射f（）的对应法则是将零向量对应到零向量，将一个非零向量对应到与之同向的单位向量，因此可得对于A，若向量、是方向相反且模不相等的两个非零向量，则，且=+=，所以，得A项不正确；对于B，若向量、是方向相反且模不相等的两个非零向量，则||•+||不是零向量，可得f（||•+||）=而f[f（）+f（）]=f（）=，故f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得B项不正确；对于C，若=，则f（||•）=f（）=；若≠，则f（||•）=且f（）=，得f（||•）=f（）由以上的分析，可得对任意向量，均有f（||•）=f（）成立，故C项正确；对于D，若向量且，则f（||•+||）=f（）=而f[f（）+f（）]=f[+•）=•，因此，f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得D项不正确故选：C由映射f的对应法则，可得f（）将零向量对应到零向量，将一个非零向量对应到与之同向的单位向量．由此对C项进行证明，可得对任意向量均有f（||•）=f（）成立，得C正确；而对于A、B、D利用映射f的对应法则结合向量的运算性质，分别举出反例加以说明，即可得到A、B、D均不正确．由此得到本题答案．本题给出定义域为向量集的一个映射f，要我们验证关于映射f的几个等式中哪一个正确．着重考查了平面向量的线性运算法则和映射的概念等知识，属于中档题．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= ______ ．【答案】20【解析】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本．10.已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为______ ．【答案】a＞【解析】解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，-a＜-解得a＞故答案为a＞本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.已知关于x的二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为______ ．【答案】2【解析】解：二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，∴2n=32，∴n=5；∴=，令，可得r=3，∵展开式的常数项是80，∴，解得a=2．故答案为：2．利用二项式系数的和，求出n，通过二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，即可求出a的值．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查计算能力．12.已知函数f（x）=，，＜＜，则f（x）dx= ______ ．【答案】【解析】解：∵根据定积分的几何意义，就等于单位圆的面积的四分之一，∴=又==，∴f（x）dx=+=．故答案为：．根据微积分基本定理求出即可．本题主要考查了微积分基本定理和定积分的几何意义，属于基础题．13.已知直线y=a交抛物线x2=4y于A，B两点，若该抛物线上存在点C使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______ ．【答案】[4，+∞）【解析】解：如图所示，可知A（-2，a），B（2，a），设C（2m，m2），则=（2m+2，m2-a），=（2m-2，m2-a）．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=0，即4m2-4a+（m2-a）2=0．∴m2=a-4≥0，解得a≥4．∴a的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．确定A（-2，a），B（2，a），设C（2m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0，即可得到a的取值范围．本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14.（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为______ ．【答案】相交【解析】解：把直线l的参数方程化为普通方程得：2x-y+1=0，把圆C的极坐标方程化为平面直角坐标系的方程得：x2+=2，所以圆心坐标为（0，），半径r=，因为圆心到直线l的距离d=＜r=，所以直线l与圆C的位置关系为相交．故答案为：相交把直线l的参数方程化为普通方程，把圆C的极坐标方程化为直角坐标系中的方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，比较d与半径r的大小即可判断出直线l与圆C的位置关系．此题考查学生会将极坐标方程化为直角坐标系的方程及会将参数方程化为普通方程，掌握直线与圆位置关系的判断方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．15.如图，已知R t△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为4cm、3cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为______ cm．【答案】【解析】解：∵易知AB==5，又由切割线定理得BC2=BD•AB，∴32=BD•5，∴BD=．故答案为：．由已知R t△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为4cm，3cm，利用勾股定理，我们易求出AB的长，再由切割线定理，易得BD的长度．本题是考查圆的切割线定理及运用，我们要注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其应用；2．圆周角与弦切角定理的内容及其应用；3．圆幂定理的内容及其应用；4．圆内接四边形的性质与判定．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．【答案】解：（1）∵==．（4分）而f（x）的最小正周期为π，ω为正常数，∴，解之，得ω=1．（6分）（2）由（1）得．若x是三角形的内角，则0＜x＜π，∴＜＜．令，得，∴或，解之，得或．由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且，∴，，∴．（10分）又由正弦定理，得．（12分）【解析】（1）先借助诱导公式把角化成相同的角，即sin（ωx+）=cos[-（ωx+）]=cos[（ωx+）-]=cos（ωx-），然后借助二倍角公式化成一个角一个函数的形式根据周期公式即可求出ω的值．（2）由三角函数值为可求出相应的两个角A，B．由内角和求出C角，利用正弦定理即可求出答案．本题主要考查三角函数的诱导公式，二倍角公式和三角函数的周期及其求法，并结合解斜三角形知识考查了正弦定理等知识．属于三角函数章节与解斜三角形的综合考查．17.一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记a k=1；出现“×”，则记a k=-1，令S n=a1+a2+••+a n．（Ⅰ）当p=q=时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当p=，q=时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【答案】解：（I）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又，∴P（ξ=1）=，P（ξ=3）=（4分）∴ξ的分布列为（5分）∴Eξ=1×+3×=．（6分）（II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i≥0（i=1，2，3，4），若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．故此时的概率为或（12分）【解析】（I）ξ=|S3|的取值为1，3，故欲求ξ的分布列，只须分别求出取1或3时的概率即可，最后再结合数学期望的计算公式求得数学期望即可；（II）由S8=2知，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又S i≥0（i=1，2，3，4）知包括两种情形：若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；或者若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．分别求出它们的概率后求和即得．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列、古典概率及数据计算的能力，属于基础题．18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．【答案】解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形．∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）∵=，∴=，，在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），，，，，，．则，，，，，，，，，，，．∴，∴OE∥PF，∵OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，∴OE∥平面PDC．…（9分）（Ⅲ）设平面PDC的法向量为，，，直线CB与平面PDC所成角θ，则，即，解得，令z1=1，则平面PDC的一个法向量为，，，又，，，则＜，＞，∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．…（14分）【解析】（Ⅰ）由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，从而证得PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出和的坐标，由可得OE∥PF，从而证得OE∥平面PDC．（Ⅲ）设平面PDC的法向量为，，，直线CB与平面PDC所成角θ，求出一个法向量为，，，又，，，可得和夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值．本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，把CB和平面PDC所称的角的正弦值转化为CB和平面PDC的法向量夹角的余弦值，是解题的难点和关键．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a=，设b n=，数列{b n}的前n项和为T n．求证：T n＞2n-．【答案】（Ⅰ）解：∵S n=（a n-1），∴n=1时，，解得．…（2分）当n≥2时，有a n=S n-S n-1=，解得，…（4分）∴{a n}是首项为a，公比为a的等比数列．…（5分）∴．…（6分）（Ⅱ）证明：∵a=，∴a n=，…（7分）∴==+==1-+1+=2-（-），…（9分）由＜，＞，得＜，…（11分）∴＞2-（），…（12分）∴=b1+b2+…+b n＞[2-（）]+[2-（）]+…+[2-（）]=2n-[（）+（）+…+（）]=2n-（）＞2n-．即T n＞．…（14分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出{a n}是首项为a，公比为a的等比数列，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由a=，得a n=，=2-（-）＞2-（），由此利用裂项求和法能证明T n＞．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20.一动圆与圆：外切，与圆：内切．（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程．（Ⅱ）设过圆心O1的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点，请问△ABO2（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．由题意，动圆与圆：外切，与圆：内切∴|MO1|=R+1，|MO2|=3-R，∴|MO1|+|MO2|=4．（3分）由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，∴b2=a2-c2=4-1=3．∴动圆圆心M的轨迹L的方程为．（6分）（2）如图，设△ABO2内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形△ABO2的面积=当最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大，（7分）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），则，（8分）由，得（3m2+4）y2+6my-9=0，解得，，（10分）∴，令，则t≥1，且m2=t2-1，有，令，则，当t≥1时，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，，即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为，∴存在直线l：x=1，△ABO2的内切圆M的面积最大值为．（14分）【解析】（1）利用动圆与圆：外切，与圆：内切，可得|MO1|=R+1，|MO2|=3-R，∴|MO1|+|MO2|=4，由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心M的轨迹L的方程；（2）当最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，求得最值，即可求得结论．本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确运用椭圆的定义，确定最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大21.已知f（x）=x-（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+∞]内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，x k都有f（x1）+f（x2）+…+f（x k-1）≤16g（x k）成立；（3）求证：＞ln（2n+1）（n∈N*）．【答案】解：（1）设点（x0，y0）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0-2①∵，∴②由②得，2x0-2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，则g（x）=2lnx．由f（x）≥g（x），即，整理得，∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2-2xlnx恒成立．设h（x）=x2-2xlnx，，∵，∴当x≥1时，h''（x）≥0，则h'（x）是增函数，∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函数，则h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．又a＞0，因此，实数a的取值范围是0＜a≤1．（2）当a=1时，，∵＞，∴f（x）在[e，3]上是增函数，f（x）在[e，3]上的最大值为．要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…，x k，都有f（x1）+f（x2）+…+f（x k-1）≤16g （x k）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=…=x k-1=3时不等式左边取得最大值，x k=e时不等式右边取得最小值．∴（k-1）f（3）≤16g（3），即，解得k≤13．因此，k的最大值为13．（3）证明：1°当n=1时，左边=，右边=ln3，根据（1）的推导有，x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即＞．令x=3，得＞，即＞．因此，n=1时不等式成立．2°假设当n=k时不等式成立，即＞，则当n=k+1时，＞，要证n=k+1时命题成立，即证＞，即证＞．在不等式＞中，令，得＜．∴n=k+1时命题也成立．综上所述，不等式＞对一切n∈N*成立．【解析】（1）首先设出直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，把切点代入两曲线方程后联立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），分离变量a后对函数进行两次求导得到函数在区间[1，+∞）内的最小值，则实数a的范围可求；（2）当a=1时可证得函数f（x）在[e，3]上为增函数，而g（x）也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k；（3）该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n=k+1成立时，穿插运用分析法．本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识，属难题．。

2014年海南卷理科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)理科数学本试卷共24题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)理科数学(参考答案)1．运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．2．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），故选：A3．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．4．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．5．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．6．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．7．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．9．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．10．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=3，y1y2=﹣．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|==×=．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．12．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．13．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．14．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．15．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）16．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．17．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．22．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．23．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．24．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。

[精美版]2014年广东高考理科数学(逐题详解)

4．若实数 k 满足 0 < k < 9 ,则曲线 A．离心率相等
B．虚半轴长相等
2 【解析】D；因为 0 < k < 9 ,所以两条曲线均为双曲线,且 c 均为 34 - k ,故选 D.
5．已知向量 a = (1, 0, - 1) ,则下列向量中与 a 成 60° 夹角的是( A ． ( - 1,1, 0 ) B． (1, - 1, 0 ) C． ( 0, - 1,1)
)
1 【解析】A；按 0 的个数分类:当含有 4 个 0 时, 2C5 = 10 个；当含有 3 个 0 时, 2 3 C5 × 2 2 = 40 个；当含有 2 个 0 时, C5 × 23 = 80 个；故所求个数为10 + 40 + 80 = 130 个.
l1
二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分） (一)必做题(9～13 题)
2014 广东高考理科数学第 1 页
共 8 页
A．100,10
B． 200,10
C．100, 20
D． 200, 20
【解析】D；样本容量为 ( 3500 + 4500 + 2000 ) ´ 2% = 200 ,抽取的高中生近视人数为 2000 ´ 2% ´ 50%
= 20 ,故选 D.
13.若等比数列 {a 的各项均为正数,且 a10 a11 + a9 a12 = 2e 5 ,则 ln a1 + ln a2 + L + ln a20 = ______. n } 【解析】 50 ；考查等比数列性质的应用.由 a10 a11 + a9 a12 = 2 e ,可得 a10 a11 = a9 a12 = e ,所以

佛山市2014年高三教学质量检测(一)理科数学

图12014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则A B =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,A = B . T π=,2A = C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A = 4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3π B ．23π C ．π D ．2π5．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2- 7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43 C ．2 D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.排球队篮球队图4A..A CD BEF 图5 图6ABCD PEF如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M,当QM 的最大值为2时,求t 的值.图数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n = .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<---- .21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围. \2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准9．18010．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．2413．13 14． 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又a =，所以222cos 2a c b B ac+-=， ………………………………………………………3分23b= ……………………………………………………………………4分=……………………………………………………………………5分解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分又2sin cos B B B = ………………………………………4分∵sin 0B ≠， ∴cos B =.……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B==，………………………………………………………………7分（注：直接得到sin B =）所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………………………………………………8分sin cos cos sin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12424=+⨯…………………………………………………………11分 38=. …………………………………………………………12分17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分（注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）解法二图 A C D P E F H(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………5分（注：正确写出X 的值1分）203)0(15141311===C C C C X P , ()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分（注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）……………………………………………11分所以X 的数学期望20232062*********=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分（注：若学生将X 写成ξ 本次不扣分，但要告诉学生，在高考中会不得分）18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==,在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF ⊥ ………………………………………2分在图1中,易得EF ==………………………………………3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥ ………………………………………4分又BF EFF = ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . (6)分（注：学生不写扣1分） (Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,(6,8,P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP =,(FP = ,()6,5,0EF =, …………8分设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x yz ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得()5,6,0=-n ,………………………………………………………………………………12分排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 9 2 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅=== nn. 所以直线AP 与平面PEF. ………………………………………………14分方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED所以PF AH ⊥,又EF PF F = ,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF , 所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. ………………………………………………………9分在Rt APF ∆中,AP …………………………………………11分在AEF ∆中,由等面积公式得AF AD AH EF ⋅==…………………………………………………13分在Rt APH ∆中,sin 427AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF. ………………………………………………14分19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ……………………………………………………………………1分所以2b = …………………………………………………………2分又1c =, …………………………………………………………3分所以2225a b c =+=, …………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………………………………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==8分=…………………………………………………9分当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且max QM ==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, …………………………………………12分且max 2QM ==,解得218t =,又102t <<,所以4t =………………………………13分综上,当4t =,QM的最大值为2. ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. …………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=， …………………………………4分因为数列{}n a 、{}n b的每一项都是正数，所以1n a +…②.于是当2n ≥时，n a …③. …………………………………………………………………4分将②、③代入①式，可得 …………………………………………………………5分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，（注：学生不写上述陈述扣1分）()122n d n -=+，于是()241n b n =+. …………………………………………………6分由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n +. …………………………………7分当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………8分（注：学生从特殊到一般归纳猜想出,n n a b 的解析式各1分，正确证明通项公式各2分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .…………………………9分方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>, …………………………10分所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分当1n =时，1277<. ……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<---- ……………………………14分方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. ……………………………………………………12分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. …………………………………………13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭.当4n ≥时,2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<. ……………………………………………………12分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, …………………………………………………2分所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. ……………………………………………3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞. ⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x+-'=+-=， ……………………………………………4分令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =…5分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ……………………………………6分① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a <-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <，则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， ……………………………………8分若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x ，4x 且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x 的极小值点为x =…………………………………………………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2xx a x +>…（*） …………………………………………………11分（ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx <，0x a +≥，不等式（*）恒成立；（ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1a ≠；…………………………………………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x>-+恒成立.令()ln 2x g x x x=--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x x g x x --+'=<，因此()ln 2xg x x x =--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值，所以ln 2xa x x<--不可能恒成立.令()ln 2xh x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数，所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。

2014年海南省高考理科数学试卷及答案解析(word版)

第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合 M 0,1, 2 ， N = x x 2 3 x 2 0 ，则 M N (A) 1 (B)
2
(C)
0,1
(D) 1, 2
解析：∵ N = x x 2 3 x 2 0 x 1 x 2 ，∴ M N 1, 2 答案：D （2）设复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1 2 i ，则 z1 z2 (A) 5 (B) 5 (C) 4 i (D) 4 i
0.6 0.8 0.75
答案：A （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 (A) (C)
17 27 10 27
(B) (D)
5 9 1 3
答案：C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13） ( x a )10 的展开式中， x 7 的系数为 15 ，则 a ．（用数字填写答案）
由弦长公式得 | AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 12
由点到直线的距离公式得： O 到直线 AB 的距离 d
|
3 3 00 | 3 4 3 8 3 ( ) 2 (1) 2 3
1 3 9 ∴ S OAB 12 2 8 4

2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编：专题16 选修部分(解析版)

一．基础题组1.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考（理）】已知圆22:2410M x y x y +--+，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为．2.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】若直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为 .3.【广东省韶关市2014届高三摸底考试（理）】已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .【答案】54.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦长是．【答案】2 【解析】试题分析：直线为)0(≥=x x y ，圆的方程为1122=-+）（y x ，交于原点和点A （1,1），弦长为2.考点：1.直线和圆的极坐标方程；2.两点间的距离公式.5.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为 .【答案】24 【解析】试题分析：圆C的参数方程为3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩的圆心为)1,3(,半径为3，直线普通方程为6.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】极坐标系中，曲线4cos ρθ=-上的点到直线()cos 8ρθθ=的距离的最大值是 .7.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】已知曲线C的参数方程是12x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是 . 【答案】2cos 4sin ρθθ=+. 【解析】试题分析：曲线C的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），它表示以点()1,2为圆心，C 的标准方程为()()22125x y -+-=，化为一般方程即22240x y x y +--=，化为极坐标方程得22cos 4sin 0ρρθρθ--=，即22cos 4sin ρρθρθ=+，两边约去ρ得2cos 4sin ρθθ=+.考点：1.参数方程；2.直角坐标方程以及极坐标方程之间的转化8.【广东省东莞市2013届高三模拟考试一（理）】在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线极坐标方程为．9.【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考（理）】在极坐标系中，直线6πθ=（R ρ∈）截圆2cos 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭所得弦长是 .考点：1.极坐标与直角坐标互化；2.直线截圆所得的弦长10.【广东省湛江市2014届高三普通高考调研测试（理）】极坐标系内，点1,2π⎛⎫⎪⎝⎭到直线cos 2ρθ=的距离是 .11.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】在极坐标系中,圆=4sin ρθ的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是 .12.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考（理）】如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知4AC =，6AB =，则MP NP ⋅= ．13.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】如图圆O 的直径6AB =,P 是AB的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = .【答案】【解析】试题分析：连接BC ，设PCB α∠=，则CAP α∠=，三角形CAP 中，(90)30180αα++︒+︒=︒，所以30α=︒，所以132BP CB AB ===，而23927CP BP AP ==⨯= ，故CP =考点：切割线定理.14.【广东省韶关市2014届高三摸底考试（理）】如图，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．【答案】13【解析】试题分析：由ACB CDA ∆∆ 可得 13,sin 3AC θ==. 考点：相似三角形.15.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心．已知6=PA ，317=AB ，12=PO ．则圆O 的半径____=R ．16.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】如图，ABC ∆是O 的内接三角形，PA是O 的切线，PB 交AC 于点E ,交O 于点D ，PA PE =,060ABC ∠=，1PD =，9PB =，则EC =.17.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】如图，圆O 的直径6AB =，P是AB 延长线上的一点，过P 作圆的切线，切点为C ，若030CPA ∠=,则CP 的长为 .18.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若3AB =，1CD =，则cos APB ∠的值为 .【答案】13-. 【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，由于圆O 是ACD ∆的外接圆，且AB 是圆O 的直径，故有90ADB ∠=，由正弦定理得1sin 3CD CAD AB ∠==，由于APB ∠为ADP ∆的角APD ∠的外角，则APB ADP ∠=∠90CAD CAD +∠=+∠ ，()1cos cos 90sin 3APB CAD CAD ∴∠=+∠=-∠=- .考点：1.正弦定理；2.诱导公式19.【广东省东莞市2013届高三模拟考试一（理）】如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB的中点，直线过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．若3AD AE =，则:AF FC = ．【答案】1:4 【解析】F AB CD E Ml20.【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考（理）】如图AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AD和BE相交于点C，若圆O的半径是3，那么AC AD BC BE⋅+⋅的值等于________________.考点：1.相交弦定理；2.勾股定理21.【广东省湛江市2014届高三普通高考调研测试（理）】如图，在ABC∆中，已知//DE BC，ADE∆的面积是2a，梯形DBCE的面积是82a，则ADAB=.22.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】如图,AD 为圆O 直径,BC切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ , 4,1AB DC ==,则AD 等于 .。

2014年广东高考理科数学试题及其参考答案word

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}- D.{0,1} 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为。

2014年广东高考理科数学试题含答案(Word版)

B.7 C.6 D.5
答案: C 提示 : 画出可行域(略), 易知在点(2,1) (−1, −1)处目标函数最小值m = −3,∴ M − m = 6, 选 C.
4.若实数 k 满足 0 < k < 9, 则曲线 A 离心率相等
别取得最大值M = 3,
x2 y2 x2 y2 − = 1 曲线 − = 1的 25 9 − k 25 − k 9
B.
a 成 60° 夹角的是
C. 0,-1,1 D. -1,0,1
-1,1,0
1,-1,0
答案 : B 提示 : 1 = ,即 12 + 02 + (−1) 2 ⋅ 12 + (−1) 2 + 0 2 2 (1, 0, −1) ⋅ (1, −1, 0) 两向 1 的夹角余弦值为 , 从而夹角为600 ,∴ 选 B. 2
6、已知某地区中小学生人数和近视情况别如 1 和用层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查则样本容 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10
2 所示为了解该地区中小学生的近视形成原因和抽取的高中生近视人数别为
答案 : A 提示 : 样本容为(3500 + 4500 + 2000) ⋅ 2% = 200,
.
+ 2 在点 (0,3) 处的线方程为答案 : 5 x + y − 3 = 0
提示 : y ' = −5e −5 x ,∴ y '
x =0
= − 5,∴ 所求线方程为y − 3 = −5 x,即5 x + y − 3 = 0 .
.
11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个的数则七个数的中位数是 6 的概率为 1 答案 : 6 提示 : 要使6为取出的7个数中的中位数, 则取出的数中必有3个大于6,

2014年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学考试试题

图12014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则AB =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 22y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,A =B . T π=,2A =C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A =4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3πB ．23πC ．πD ．2π5．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43C ．2D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．(一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为．图2A. .ACDBEF图5图6ABCD PEF三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.排球队篮球队图419.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F到直线90x --=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM的最大值为2时,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n =.（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<----.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；图7（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．9．180 10．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．24 13．1314． 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又a =，所以222cos 2a c b B ac+-=， ………………………………………………………3分23b =……………………………………………………………………4分=……………………………………………………………………5分解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分 ∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分又2sin cos 2B B B =………………………………………4分 ∵sin 0B ≠， ∴cos 4B =.……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin 4B ==，………………………………………………………………7分（注：直接得到sin B =不扣分）所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………8分 sin cos cossin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12=+ …………………………………………………………11分=. …………………………………………………………12分 17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. (4)分（注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………5分（注：正确写出X 的值1分）203)0(15141311===C C C C X P , ()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分（注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）所以X 的分布列为……………………………………………11分所以X 的数学期望20232062*********=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分（注：若学生将X 写成ξ 本次不扣分，但要告诉学生，在高考中会不得分）排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 9 2 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8解法二图ABCD PEFH【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==,在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF ⊥………………………………………2分在图1中,易得EF ==………………………………………3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥ ………………………………………4分又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . ………………6分（注：学生不写BF EF F =扣1分）(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A,(P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP =,(FP =,()6,5,0EF =, …………8分设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得()5,6,0=-n ,………………………………………………………………………………12分设直线AP与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅===n n427. 所以直线AP 与平面PEF . ………………………………………………14分方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥,又EF PF F =,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP与平面PEF 所成的角. ………………………………………………………9分在Rt APF ∆中,AP == …………………………………………11分在AEF ∆中,由等面积公式得AF AD AH EF ⋅==…………………………………………………13分在Rt APH ∆中,sin 427AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为427. ………………………………………………14分【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ……………………………………………………………………1分所以2b = …………………………………………………………2分又1c =, …………………………………………………………3分所以2225a b c =+=, …………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………………………………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==8分=…………………………………………………9分当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且maxQM==解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, …………………………………………12分且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =………………………………13分综上,当4t =,QM 的最大值为2. ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. …………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=， …………………………………4分因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②.于是当2n ≥时，n a =…③.…………………………………………………………………4分将②、③代入①式，可得 …………………………………………………………5分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，（注：学生不写上述陈述扣1分）()122n d n-=+，于是()241nb n=+. …………………………………………………6分由③式，可得当2n≥时，()41na n n+. …………………………………7分当1n=时，18a=，满足该式子，所以对一切正整数n，都有()41na n n=+.…………………………8分（注：学生从特殊到一般归纳猜想出,n na b的解析式各1分，正确证明通项公式各2分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n++++<+-L.…………………………9分方法一:首先证明2121144171n n n n⎛⎫<-⎪+-+⎝⎭（2n≥）.因为2222212111277882 4417144177n n n nn n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+-⎪+-++-+⎝⎭()()220120n n n n⇔+->⇔-+>, …………………………10分所以当2n≥时，21111211111212723441772317727n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯=⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L. …12分当1n=时，1277<. ……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n，有1231111211117na a a a++++<----……………………………14分方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n⎛⎫<==-⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n≥时，2111723441n n++++-L1111111111172345971123212123n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L111111112723457714147⎛⎫<+++<++=⎪⎝⎭. ……………………………………………………12分当1n=时，1277<；当2n=时，11112723777+<+=. …………………………………………13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n，有7211...111111321<-++-+-+-naaaa……………………………14分方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n⎛⎫<==-⎪+---+-+⎝⎭.当4n≥时,2111723441n n++++-L1111111111117234727991123212121n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L1111272347147<+++<. ……………………………………………………12分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=.……13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, …………………………………………………2分所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. ……………………………………………3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞. ⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=， ……………………………………………4分令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =. …5分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a ⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ……………………………………6分 ① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =2x a <-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即02a <<，则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， ……………………………………8分2014年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学考试试题11 / 11 若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x = 340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当22a -≤≤时,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =…………………………………………………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2x x a x+>…（*） …………………………………………………11分（ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02x x<，0x a +≥，不等式（*）恒成立；（ⅱ）当1x =时，ln 02x x=，即10a +>，所以1a ≠；…………………………………………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2x a x x>-+恒成立. 令()ln 2x g x x x=--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x x g x x --+'=<，因此()ln 2x g x x x=--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值，所以ln 2x a x x <--不可能恒成立. 令()ln 2x h x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数，所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。

南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(2)试卷

南海中分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(2)考试时间:2013年02月23日(星期日)晚上18:30～20:40★祝同学们考试顺利★本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,请填写好答题卡与答题卷上的个人信息——班级、学号以及姓名.2.考生必须保持答题卷的整洁.7:20收答题卡,8:30收答题卷.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,0,2,4A =-,{}2|230B x x x =--<，则A B = （）{}.0A {}.2B {}2,0.C {}4,2,0.D2．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（） A. 1 B.1-D. 3. 函数)43(sin 212π--=x y 是（） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数4.“||||||a b a b -=+” 是“0ab <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5. 已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( ) A.35 B. 45 C. 54 D. 34 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．3 7. 等比数列{}n a 共有奇数项，所有奇数项和255S =奇，所有偶数项和126S =-偶，末项是19，则首项1()a =A 、1B 、2C 、3D 、4 8. 对定义域为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行直线侧视图ODCBA11l kx m =+和22l kx m =+，使得当x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在（x D ∈）有一个宽度为d 的通道。