变量代换在求极限中的应用

变量代换在求极限中的应用

1 引言

数学分析的理论与方法越来越被广泛地用于工业、农业、军事和科学技术等领域．极限尤其是函数极限是数学分析中非常重要的内容．求极限的方法是微积分学中的基本方法，它是人们从有限认识无限、从近似认识准确、从量变认识质变的一种数学方法，也是教学中的一个难点．求出已知数列或函数的极限是学习数学分析必须掌握的基本技能，掌握了极限的求法就为学好数学分析打下了扎实的基础．数学分析中讲了多种求极限的方法，在众多的求极限方法中变量代换法在解决那些复杂、繁琐的极限问题时显得尤为重要．而现在的教材、参考书虽然对此有所涉及，但其介绍的不够详细，也有些零散，不太系统，不便于初学者的学习和掌握．鉴于此，现对变量代换法求极限作进一步的探讨，并进行归纳总结，使其更系统，更便于了解和掌握．

2 变量代换在求极限中的应用

2．1 “变量代换法”在数列极限计算中的应用

[])4746(11-P 例 设{}n a 为Fibonacci 数列，即：1a =1，2a =1，n n n a a a +=++12（n=1，2，…）

记n

n n a a x 1

+=

，求.

lim n n x ∞→

解 由已知条件知

1

121++++=n n n n a a a a ，即n n x x 111+=+．作变换n n x y 1=，此即n n y y +=+11

1

且112

1

11===

a a x y ．故618.0lim =∞→n n y …

() 618.11lim 1

lim

lim =+==∞

→∞

→∞

→n n n n n n y y x [])47(12P 例 证明数列

2，2

1

2+

，2

1212+

+，…

收敛，并求其极限

解 从数列特征可以看出，相邻两项的关系是

n

n x x 1

21+

=+ （１）

因此，设{}n x 收敛，则极限A 满足方程 =A 2+A

1， 考虑到0>n x ，所以21+

=A ． 作变换

n n n A x αα++=+=21 （２）

将(2)代入(1)得

n n

n ααα++-=

+21)21(1 （３）

至此我们已将满足(1)的序列A x n →}{的问题化为满足(3)的序列0}{→n α的问题．实际上

2111-=-=A x α，2

11<

α， 由(3)应用数学归纳法，易证

n n 2

1<

α． 故 21)21lim(lim +=++

=∞

→∞

→n n n n x α．

说明 递推形式的序列，可以进行变量代换与变形，使变成已知极限或易于计算的极限． 2．2 “变量替换法”在一元函数极限计算中的应用 定理

[])

83(2P (复合函数极限)设复合函数)]([x g f ，若

1) b x g a

x =→)(lim ，

2) )(a x o ∈∀，有)()(b x g u o

∈=， 3)A u f b

u =→)(lim ，则()[]A x g f a

x =→lim ．

证明 由条件(3)，即0>∀ε，0>∃η，η<-<∀b u u 0:，有ε<-A u f )(． 由条件(1)，对上述0>η，0>∃δ，δ<-<∀a x x 0:，有()η<-b x g 再由条件(2)，有()η<-=-

0>∀ε()0>∃η，从而0>∃δ，δ<-<∀a x x 0:，有()()η<-=-

()()[]ε<-=-A x g f A u f ，即()[].lim A x g f n =∞

→

说明 该定理是求极限进行换元的理论根据．

为了将未知的极限化简或转化为已知的极限，可根据极限式的特点适当引入新变量，以替换原

有的变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程.

例[])

1514(23

-P 若a x n n =∞

→lim ，b y n n =∞

↔lim ，试证

ab n

y x y x y x n n n n =+++-∞→1

121lim

.

证明 作变换n n a x α+=，n n b y β+=，则∞→n 时，n α，0→n β，于是，

()()()()()()

n

b a b a b a n y x y x y x n n n n n n 11211121βαβαβα+++++++++=

+++--

n

n

b n

a a

b n n n n

n

1

1212121βαβαβααααβββ++++

+++⋅

++++⋅

+=-

(1)

显然，∞→n 时第二、三项趋于零．现证第四项极限为零.事实上，因0→n α(当∞→n 时) 故{}n a 有界.0>∃M ，使得()N n M n ∈∀≤α，故

001

11

121→++≤+++≤

--n

M

n

n n n n n ββββαβαβα ，

从而（1）式以ab 为极限.

说明 本例的变量具一般性，常常用这种变换可将一般情况归结为特殊情况，如本例原来是已知

a x n n =∞

→lim ，∞

→=n n b y lim ，求证ab n

y x y x n n n =++∞→1

1lim

.变换后，归结为已知0lim =∞→n n α，

0lim =∞

→n n β，求证0lim

1

1=++∞

→n

n n n βαβα .

例4 求.lim 2222

x

x

x x

x e

e e e -

-→-++

分析 此极限式看上去形式复杂，需要进行化简处理，将函数中的一个单元(子函数x

e 2)作为一个整体进行变量替换u e x

=2，该极限就变成一个容易求解的等价极限形式，从而使问题迎刃而解.

解 令u e x

=2，则u

e

x

12=

-

，且当+

→0x 时，+∞→u .所以 原式11

1lim 11

lim 22=-+=-

+

=+∞→+∞→u u u u u u u u

例5 求.21

lim

0x

a x x -→