高中数学选修2-1精品课件15：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
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高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件
2
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
3
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， b（ b ≠ 0 ）
13
14
15
D1 A1 D A B1 E
C1
F
B
C
16
1答案
2答案
证明: 设正方体的棱长为1,
A1
D1
z
C1 B1
建立如图的空间直角坐标系
A
D F
E C
y
x
B
17
18
1.基本知识：
（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；
（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
19
20
分析:
Байду номын сангаас
证三点共线可 尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求
的值.
6
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求 的值.
学习共面
7
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
3
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， b（ b ≠ 0 ）
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D1 A1 D A B1 E
C1
F
B
C
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1答案
2答案
证明: 设正方体的棱长为1,
A1
D1
z
C1 B1
建立如图的空间直角坐标系
A
D F
E C
y
x
B
17
18
1.基本知识：
（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；
（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
19
20
分析:
Байду номын сангаас
证三点共线可 尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求
的值.
6
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求 的值.
学习共面
7
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
高中数学选修2-13.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)
探究三 求空间向量的坐标
[典例 3] 在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4， BO＝2，AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角 坐标系中，求D→O，A→1B的坐标． [解析] ∵D→O＝－O→D＝－(O→O1＋O→1D) ＝－[O→O1＋12(O→A＋O→B)] ＝－O→O1－12O→A－12O→B.
2.如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点， 试用 a，b，c 表示B→F，B→E，A→E，E→F.
解析：连接 BO，则B→F＝12B→P ＝12(B→O＋O→P)＝12(c－b－a) ＝－12a－12b＋12c. B→E＝B→C＋C→E＝－a＋12C→P＝－a＋12(C→O＋O→P)＝－a－12b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. E→F＝12C→B＝12O→A＝12a.
3．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点， 并且 PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量M→N，D→C的坐标．
解析：如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，且 PA⊥平面 ABCD， AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3，以{e1，e2，e3} 为基底建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为D→C＝A→B＝e2，
M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3. 所以M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (共72张PPT)
最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。 只要有信心，人永远不会挫败。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 如果我们一直告诫自己要开心过每一天，就是说我们并不开心。 善良的人永远命是弱者的借口，运是强者的谦辞，辉煌肯定有，就看怎么走。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 人必须有自信，这是成功的秘密。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜！ 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 你既认准这条路，又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 人必须有自信，这是成功的秘密。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜！ 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 你既认准这条路，又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张ppt) .ppt
不是零向量 C．若向量ar ⊥ br ，则ar ，br 与任何一个向量都不能构
成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， 且OuuAr＝ar ，OuuBr＝br ，OuuCr＝cr ，用ar ，br ，cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底，
以er1，er 2，er 3的公共起点O为原点， 分别以er1，er 2，er 3的方向为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ，一定可以把它平移，使它的
uur 起点与原点O重合，得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得pr ＝xer1＋yer 2＋zer 3 我们把x，y，z称作向量pr 在单位正交基底er1，er 2，er 3 下的坐标，记作pr =(x，y，z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，
由平uur面r 向量基本定理可知，
z
在OQ,k所确定的平面上，
uur uur r
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的
边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.
成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， 且OuuAr＝ar ，OuuBr＝br ，OuuCr＝cr ，用ar ，br ，cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底，
以er1，er 2，er 3的公共起点O为原点， 分别以er1，er 2，er 3的方向为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ，一定可以把它平移，使它的
uur 起点与原点O重合，得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得pr ＝xer1＋yer 2＋zer 3 我们把x，y，z称作向量pr 在单位正交基底er1，er 2，er 3 下的坐标，记作pr =(x，y，z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，
由平uur面r 向量基本定理可知，
z
在OQ,k所确定的平面上，
uur uur r
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的
边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.
高中数学选修2-1精品课件1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
典例讲练
[例 1] 若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b ＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①{a，b，c}是空间的一个基底； ②判断{a＋b，b＋c，c＋a}是否也可作为该空间的一个基 底．解答本题可先用反证法，判断 a＋b，b＋c，c＋a 是否共 面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基 底．
[解析] 由 G 为△BCD 的重心易知 E 为 BC 的中点， ∴B→E＝12(B→A＋B→C)＝ 12[(O→A－O→B)＋(O→C－O→B)] ＝21[(a－b)＋(c－b)]＝12(a＋c－2b)， O→G＝O→B＋B→G＝b＋23B→E＝b＋13(a＋c－2b)＝13(a＋b＋c)．
[例 3] 棱长为 1 的正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G 分别为棱 DD′、D′C′、BC 的中点，以{A→B，A→D，A→A′}为基底， 求下列向量的坐标．
起点 与原点 O 重合，得到向量O→P＝p，由空间向量基本定理 可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xe1＋ye2＋ze3 . 我们把 x、y、z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的 坐标，记作 p＝ (x，y，z)．
要点点拨
1．用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空间任 意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基 底． 3．由于 0 可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是 0. 要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个 向量，二者是相关联的不同概念．
第三章 空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示
重难聚焦
第一章
三角函数
(2)唯一性:设还有实数x',y',z',使p=x'a+y'b+z'c,而p=xa+yb+zc, 则xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c, 所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0. 又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'. 所以p=xa+yb+zc的表示形式是唯一的.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个 基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}, 其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a, ∴x,a,b共面,故①不能作为基底. x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底. z=c+a与b和c不共面,故③可以构成一个基底. ④假设a+b,b+c,a+b+c共面, 则a+b+c=λ(a+b)+μ(b+c)=λa+(λ+μ)b+μc, ������ = 1, 则 ������ + ������ = 1, 该方程组无解. ������ = 1, 故x,y,a+b+c不共面,可以作为空间的一个基底. 栏目 导引 答案:C
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张)
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(人教A选修2-1)
【名师点评】 用基底表示向量时 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法 的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘 向量的运算律进行． (2)若没给定基底，要先选择基底，选择时， 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向 量,再就是基向量的模及其夹角已知或易求．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
空间向量的坐标表示
例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判 断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个 基底． 【解】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a),
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c 不共面．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
想一想 1.空间向量的基底是惟一的吗？ 提示：不惟一． 2.0能是基向量吗？ 提示：不能．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正 交基底ຫໍສະໝຸດ 三个有公共起点O的_两__两__垂__直___的 单位向量e1，e2，e3称为单位正交 基底．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
又∵|O→O1|＝2，|O→A|＝4， |O→B|＝2，(5 分) ∴D→O＝－2e1－e2－2e3， ∴D→O＝(－2，－1，－2)．(6 分) ∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1)
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
名师微博 D→O用O→O1、O→A、O→B表示是本题关键， 应注意O→O1、O→A、O→B不是单位向量.
【解】 连接 AC、AD1， (1)A→P＝12(A→C＋A→A1) ＝12(A→B＋A→D＋A→A1) ＝12(a＋b＋c)；
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
空间向量的坐标表示
例1 若{a，b，c}是空间一个基底，试判 断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个 基底． 【解】 假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a),
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c 不共面．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
想一想 1.空间向量的基底是惟一的吗？ 提示：不惟一． 2.0能是基向量吗？ 提示：不能．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正 交基底ຫໍສະໝຸດ 三个有公共起点O的_两__两__垂__直___的 单位向量e1，e2，e3称为单位正交 基底．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
又∵|O→O1|＝2，|O→A|＝4， |O→B|＝2，(5 分) ∴D→O＝－2e1－e2－2e3， ∴D→O＝(－2，－1，－2)．(6 分) ∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1)
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
名师微博 D→O用O→O1、O→A、O→B表示是本题关键， 应注意O→O1、O→A、O→B不是单位向量.
【解】 连接 AC、AD1， (1)A→P＝12(A→C＋A→A1) ＝12(A→B＋A→D＋A→A1) ＝12(a＋b＋c)；
高中数学选修2-1教学课件 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
p xa yb zc {a, b, c}叫做空间一个基底(base) a,b,c都叫做基向量(base vectors).
单位正交基底
设 e1,e2,e3是空间三个单位正交基底,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xe1 ye2 ze3
e1, e2 , e3叫做单位正交基底
O'
(1)OB' a b c
(2)BA' (3)OG
b c
A'
1 a b 1 c
O
2
2
A
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
e3 e1
o
e2
P
y
x
向量的坐标表示
以 e1,e2,e3 方向建立直角坐标系,则
p xe1 ye2 ze3 把x,y,z称作向量 p在正交基底 e1,e2,e3
下的坐标,记为 p (x, y, z) z
e3 e1
o
e2
P
y
x
巩固性训练1
1.已知向量{a, b, c}是空间的一个基底, 从a, b, c中选哪一个向量, 一定可以与 向量 p a b,q a b构成空间的另一个 基底.
_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
A' O
单位正交基底
设 e1,e2,e3是空间三个单位正交基底,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xe1 ye2 ze3
e1, e2 , e3叫做单位正交基底
O'
(1)OB' a b c
(2)BA' (3)OG
b c
A'
1 a b 1 c
O
2
2
A
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
e3 e1
o
e2
P
y
x
向量的坐标表示
以 e1,e2,e3 方向建立直角坐标系,则
p xe1 ye2 ze3 把x,y,z称作向量 p在正交基底 e1,e2,e3
下的坐标,记为 p (x, y, z) z
e3 e1
o
e2
P
y
x
巩固性训练1
1.已知向量{a, b, c}是空间的一个基底, 从a, b, c中选哪一个向量, 一定可以与 向量 p a b,q a b构成空间的另一个 基底.
_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
A' O
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
BC的中点, P,Q是MN的三等分点.用向量OA,OB,OC
表示OP和OQ.
O
解 OP OM MP 1 OA 2 MN M
1 OA 2
2 ON OM
3
Q
23AΒιβλιοθήκη 1 OA 2 [1 (OB OC) 1 OA]
P
C
N
2
32
2
B
1 OA 1 OB 1 OC 1 OA 2333
2 ON OM
3
Q
23
A
1 OA 12 [1 (OB OC) 1 OA]
P
C
N
2
32
2
B
1 OA 1 OB 1 OC 1 OA
2
63
36
36
3.116
1 OA 1 OB 1 OC
36
63
36
1空.平间面向量的坐标表示
如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方、向z轴相方同向
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
的两三个单位向量 i、 j 作、为k 基作底为, 基底,
任何一个向 量 a , 由 空平间面 向量基本定理知, y
有且只有一 对组 实数 x、y, z, 使得
a xi y j zk ············向量表示
(高中数学选修2-1)3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
注意 对于基底{a,b,c}需要明确以下几点：
1.向量a,b,c不共面； 2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的 一个基底； 3.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意 两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐 含着它们都不是0. 4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底 中的某一个向量.
A1 D1 B1 E C1
F D
A
B C
1 1 AF AD DF DC1 DC DD1 2 2 1 1 AB AA1 x AB y AA1 2 2 1 1 所以， x , y 2 2
A1 D1 E C1 A B C F D
B1
课堂小结
1.空间向量基本定理.
p
由空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x,y,z}，使得p=xe1+ye2+ze3. 把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下 的坐标，记做p=(x,y,z).此时，向量p的坐标恰是 点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标（x,y,z）.
这样，我们就有了从正交基 底到空间直角坐标系的转换.
在空间，具有大小和方向的量如果三个向 量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有 序实数组{x，y，z}，使得p=xa+yb+zc.
2.基底与基向量.
空间任意三个不共面向量都可以做空间向 量的一个基底.一个基底指一个向量组，一个基 向量是指基底中的某一个向量.
3.空间向量的正交分解.
能从正交基底到空间直角坐标系转换.
y
由平面向量基本定理可知，在OQ,k所确定 的平面上，存在实数z，使得OP=OQ+zk. z P k O j i x Q
ห้องสมุดไป่ตู้
2015-2016学年高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课件 新人教A版选修2-1
1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 1
2
2 ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ 3
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三空间向量的坐标表示
1.建立空间直角坐标系时,必须寻求三条两两垂直的直线. 2.空间向量坐标表示的方法与步骤: (1)观图形:充分观察图形特征. (2)建坐标系:根据图形特征建立空间直角坐标系. (3)用运算:综合利用向量的加减及数乘运算. (4)定结果:将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标. 【典型例题 3】在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中,∠AOB=2,AO=4,BO=2,AA1=4,D 为 A1B1 的中点,建立适当的空间直角坐 标系,求������������, ������1 B的坐标.
B.空间的基底有且只有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}的基向量对应相等 解析:A 错,任何三个不共面的向量可构成一个基底;B 错,空间的基底有无数 个;D 错,故选 C. 答案:C
1
2
3
4
5
2.已知平行六面体 OABC-O'A'B'C',������������=a,������������=c,������������'=b,D 是四边形 OABC 的 对角线的交点,则( )
探究一
探究二
探究三
探究四
解:假设������������, ������������, ������������ 共面,则有������������=x������������+y������������, 即 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3. ∵ {e1,e2,e3}是基底, -3������ + ������ = 1, ∴ ������ + ������ = 2, 此方程组无解. 2������-������ = -1, ∴ ������������, ������������, ������������ 不共面. ∴ {������������, ������������, ������������ }可以作为空间的一个基底.
2
2 ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ 3
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三空间向量的坐标表示
1.建立空间直角坐标系时,必须寻求三条两两垂直的直线. 2.空间向量坐标表示的方法与步骤: (1)观图形:充分观察图形特征. (2)建坐标系:根据图形特征建立空间直角坐标系. (3)用运算:综合利用向量的加减及数乘运算. (4)定结果:将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标. 【典型例题 3】在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中,∠AOB=2,AO=4,BO=2,AA1=4,D 为 A1B1 的中点,建立适当的空间直角坐 标系,求������������, ������1 B的坐标.
B.空间的基底有且只有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}的基向量对应相等 解析:A 错,任何三个不共面的向量可构成一个基底;B 错,空间的基底有无数 个;D 错,故选 C. 答案:C
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2.已知平行六面体 OABC-O'A'B'C',������������=a,������������=c,������������'=b,D 是四边形 OABC 的 对角线的交点,则( )
探究一
探究二
探究三
探究四
解:假设������������, ������������, ������������ 共面,则有������������=x������������+y������������, 即 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3. ∵ {e1,e2,e3}是基底, -3������ + ������ = 1, ∴ ������ + ������ = 2, 此方程组无解. 2������-������ = -1, ∴ ������������, ������������, ������������ 不共面. ∴ {������������, ������������, ������������ }可以作为空间的一个基底.
推荐-高中数学人教A版选修2-1课件 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(14张)
1、 如 果 a,b与 任 何 向 量 都 不空 能间 构的 成一 个 基 底 ， 练 则a与b有什么关系？ 共线
习 2、判断 O,A,： B,C为空间四点O， ,A O且 ,BO向 C 不量
构成空间的,那 一么 个 O,点 基 A,B,底 C有什么共关 面 系？
例 2 . M ,N 分 别 是 四 面 体 O A B C 的 边 O A ,B C 的 中 点 ， P ,Q 是 M ,N 的 三 等 分 点 。 用 向 量 O A ,O B ,O C 表 示 O P 和 O Q .
四、数学应用
例 1 . 已 知 向 量 a ,b ,c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， 从 a ,b ,c 中 选 哪 一 个 向 量 ，
一 定 可 以 与 向 量 基 底 ？
答 ：c向 ，量 因 为 c与 如 ab， 果 ab共 面 ， c与 那 a， b共 么面 ， 这 与 已 知 矛 盾
△ACD和△BCD的重心，以向量 AB,AC,AD为一
个基底，求 F G (用基底表示)
A
F
B
D
G E
C
五、课堂小结
今天我们学习了什么内容？你有哪些收获？
平面向量 基本定理
空间向量 基本定理
如 果 e1,e2是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 意 向 量 a,
1OA1(ONOM)
M
23
Q
1OA1(ON1OA) A 23 2
P
C
1OA 1ON 33
N B
1O A11(O BO C) 3 32
1OA1OB1OC 36 6
练 习 2.已 知 平 行 六 面 体 O A B C -O A B C ,点 G是 侧 面 B B C C 的 中 心 ，
习 2、判断 O,A,： B,C为空间四点O， ,A O且 ,BO向 C 不量
构成空间的,那 一么 个 O,点 基 A,B,底 C有什么共关 面 系？
例 2 . M ,N 分 别 是 四 面 体 O A B C 的 边 O A ,B C 的 中 点 ， P ,Q 是 M ,N 的 三 等 分 点 。 用 向 量 O A ,O B ,O C 表 示 O P 和 O Q .
四、数学应用
例 1 . 已 知 向 量 a ,b ,c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， 从 a ,b ,c 中 选 哪 一 个 向 量 ，
一 定 可 以 与 向 量 基 底 ？
答 ：c向 ，量 因 为 c与 如 ab， 果 ab共 面 ， c与 那 a， b共 么面 ， 这 与 已 知 矛 盾
△ACD和△BCD的重心，以向量 AB,AC,AD为一
个基底，求 F G (用基底表示)
A
F
B
D
G E
C
五、课堂小结
今天我们学习了什么内容？你有哪些收获？
平面向量 基本定理
空间向量 基本定理
如 果 e1,e2是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 意 向 量 a,
1OA1(ONOM)
M
23
Q
1OA1(ON1OA) A 23 2
P
C
1OA 1ON 33
N B
1O A11(O BO C) 3 32
1OA1OB1OC 36 6
练 习 2.已 知 平 行 六 面 体 O A B C -O A B C ,点 G是 侧 面 B B C C 的 中 心 ，
高中数学选修2-1精品课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
知识点2 空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点O的_两__两__垂__直___的单位向量e1，e2，e3称为单 位正交基底. (2)空间直角坐标系 以e1，e2，e3的公共起点O为_原__点___，分别以e1，e2，e3的方向 为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
2λ－μ＝－1， ∴O→A，O→B，O→C不共面， ∴{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底.
规律方法 空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组中 的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如 果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮 助我们进行判断.
【训练 1】 已知点 O，A，B，C 为空间不共面的四点，
C.0，－14，1
D.14，0，－1
解析 B(1，1，0)，E11，34，1，B→E1＝0，－14，1.
答案 C
课堂达标
1.在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c
共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个
规律方法 建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合 适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用 向量的线性运算，将向量用基底表示.
【训练 3】 如图所示的空间直角坐标系
中，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长
为 1，B1E1＝14A1B1，则B→E1等于(
)
A.0，14，－1
B.－14，0，1
解 假设O→A，O→B，O→C共面， 则存在实 λ，μ 使得O→A＝λO→B＋μO→C， ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3. ∵e1，e2，e3 不共面，
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件(9张)
z
P(x，y，z) O
y Q (x，y，0)
x
利用线性运算，结合图形， O 对向量进行分解
N
A
M
C
B
P
(1)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，
解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
(2)根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的
线性关系式．
三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标．
第三章 空间向量与立体几何
3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
高中数学选修2-1
Байду номын сангаас
平面向量基本定理是什么？空间向量中有类似的结论吗？
有且只有一组 有序实数x,y,z 平面向量基本定理又称为平面向量的分解定理 即：平面内任一向量可被此平面内两个不共线的向量所唯一分解.
(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. (2)基底不同，对于向量的分解形式不同.
所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量．
谢谢观看！
高中数学人教A选修2-1 3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(14张)
四、数学应用
例1.已知向量 a, b , c 是空间的一个基底，从a, b , c中选哪一个向量， 一定可以与向量 p a b, q a b构成空间的另一个基底？
答：向量 c ，因为如果 c与a b ， a b共面，那么 c与a ， b共面，这与已知矛盾。
F B G C E D
五、课堂小结
今天我们学习了什么内容？你有哪些收获？
如果e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数1，2使a 1 e1 2 e2
如果三个向量a, b, c不共面， 那么对空间任一向量p， 存在惟一的有序实数组( x, y, z )，使p xa yb zc
特别地，设e1 , e2 , e3为有公共起点O的两两垂直的单位向量 （我们称为正交基底） Nhomakorabeaz
由空间向量基本定理可知，
e3
o
存在有序实数组 x, y, z，使得 p
e2
x
e1
y
p xe1 ye2 ze3
p xe1 ye2 ze3 ( x, y , z )
A
O
M Q P N B C
练习2.已知平行六面体OABC-OABC,点G是侧面BBCC的中心， 且OA=a,OC=b,OO=c, 用a， b， c表示下列向量： （1） OB,BA,CA (2) OG
练 习
1、 如 果 a, b 与 任 何 向 量 都 不 能 构 空 成间的 一个基底， 则a与b 有 什 么 关 系 ？ 共线
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活学活用 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的 一个基底．给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}， ③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组有______个．
【解析】如图，所设 a＝―A→B ，b＝―AA→1 ， c＝―AD→，则 x＝―AB→1 ，y＝―AD→1 ，z＝―AC→， a＋b＋c＝―AC→1 .由 A，B1，D，C 四点不 共面可知向量 x，y，z 也不共面．同理可知 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作为基底． 【答案】3
3.1.4 空提出问题 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，在 AB，AD，AD1 上分别取单位向量 e1，e2，e3.
问题 1：e1，e2，e3 共面吗？ 提示：不共面． 问题 2：试用 e1，e2，e3 表示―AB→1 . 提示：―AB→1 ＝4e1＋4e2＋4e3.
－3x＋y＝1，
∴x＋y＝2， 2x－y＝－1，
此方程组无解，
即不存在实数 x，y，使―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C 成立． ∴―O→A ，―O→B ，―O→C 不共面． 故{―O→A ，―O→B ，―O→C }能作为空间的一个基底．
类题通法 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底， 关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向 量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如 果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个 向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方 程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向 量不共面．
类题通法
用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形 法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行； (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量 使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向 量的模及其夹角已知或易求．
问题 3：若 M 为 A1B1 的中点，能否用 e1，e1，e3 表示―AM→？ 提示：能，―AM→＝4e1＋2e2＋4e3.
导入新知 空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面 ，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc . 其中，{a，b，c}叫做空间的一个 基底 ，a，b，c 都 叫做 基向量 ．
化解疑难 空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对 应，即若基底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则 b 的坐标为(λ，μ，k).
常考题型 题型一 空间向量基本定理的理解 例 1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且―O→A ＝ e1＋2e2－e3，―O→B ＝－3e1＋e2＋2e3，―O→C ＝e1＋e2－ e3，试判断{―O→A ，―O→B ，―O→C }能否作为空间的一个 基底．
解：假设―O→A ，―O→B ，―O→C 共面， 由向量共面的充要条件知存在实数 x，y， 使―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
题型二 空间向量基本定理的应用 例 2 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一 矩形，PO⊥平面 OABC，设―O→A ＝a，―O→C ＝b，―O→P ＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示―B→F ，―B→E ，―A→E ，―E→F .
解：连接 BO，
则―B→F ＝12―B→P ＝12(―BO→＋―O→P ) ＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋21c，
化解疑难 1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. 3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量 都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定 了基础．
知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示 提出问题 {a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位 正交基底． 问题 1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？ 提示：一定．
问题 2：任一向量 p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是 唯一的吗？ 提示：是．
问题 3：单位正交基底之间的数量积 e1·e2，e1·e3，e2·e3， e1·e1，e2·e2，e3·e3 分别为多少？
(3)空间向量的坐标表示： 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它 平移 ，使它
的起点与原点 O 重合，得到向量―O→P ＝p，由空间向量 基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得 p ＝ xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基 底 e1，e2，e3 下的坐标，记作 (x，y，z) ，即点 P 的坐 标为__p_＝__(_x，__y_，__z_)_．
提示：e1，e2，e3 是两两垂直的单位向量，故有 e1·e2 ＝e2·e3＝e1·e3＝0，e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1.
导入新知 空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底： 三个有公共起点 O 的 两两垂直 称为 单位正交基底 ．
的单位向量 e1，e2，e3
(2)空间直角坐标系： 以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3 的 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.
―B→E ＝―BC→＋―C→E ＝－a＋12―C→P ＝－a＋12(―CO→＋―O→P )＝－a－12b＋21c， ―A→E ＝―A→P ＋―P→E ＝―AO→＋―O→P ＋21(―PO→＋―O→C ) ＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋21c， ―E→F ＝12―C→B ＝21―O→A ＝12a.