基本初等函数-幂函数

1
q
q xp
当q为偶数时，定义域为0， ；
当q为奇数时，定义域为 ,0 0,。
思考：
1
函数f (x) x m2 m1 (m N )的定义域为？ 值域为？
题型三：图像及其应用
1
1.函数y 1 x 1的图像要变换成幂函数y x 2的图像， 需要如何操作？ 2.指出函数f (x) x2 4x 5 的单调区间，并比较
题型五：不等式问题
1.若(a
1
1) 3
(2
3a)
1 3
,
求a的范围？
2.已知幂函数f
(x)
x
1 2
,
若f
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(a 1)
f
(10 2a),求a的范围？
思考：
若(a
2
1) 3
(
2
3a
)
2 3
,
求
a的范围？
x2 4x 4
f ( )与f ( 2 )的大小。
2
1
3.若x3 x 2，则x的取值范围是？
题型四：比较大小
比较下列各组数的大小
1
1
(1)26 与36
(2)(a 2
1
4) 4
与4
1 4
1
1
(3)22 与1.83
思考：
比较下列两组数据的大小
(1)(
2
)
2 3
,
(
10
)
2 3
,1.1
4 3
2
7
(2)0.80.5 ,0.90.4 ,0.70.5
q
形如y x p p xq ( p, q互质整数，且 p为正数), 设n q ,当n为正(负)分数时，
p q为奇数， p为偶数时，非奇非偶函 数
直线x=1的右侧 指大图高
指数互为倒数的两个 幂函数图像间的关系？
在第一象限内，关于直线 y=x对称，即互为反函数。
题型汇总
• 1.幂函数概念 • 2.定义域值域问题 • 3.图像及其应用 • 4.比较大小 • 5.相关不等式问题
接下来我们一起来探求幂函数奇偶性
偶函数
函数y=1是不是幂函数？
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
结合以上函数图像，尝试总结幂函数何时一定 为偶函数？
总结：
形如y
q
xp
p
xq
( p, q互质整数，且p为正数),设n
q
p
1当n 0时，偶函数
2当n为偶数时，偶函数
3当n为正分数时，q为偶数，p为奇数时，偶函数
思考：
幂函数y xm2 2m3(m Z )的图像与两坐标轴 都没有交点，且关于y轴对称，求m的值。
题型二：定义域值域问题
4
1.函数y x 5的定义域为？值域为？
2.函数f
(x)
x
2
3的定义域
为？值域为？
3
3.函数y x 2的定义域为？值域为？
3.函数f
(x)
1
x2
, 则函数f
(4x
3)的定义域为？值域为？
(4)当n为负分数时，q为偶数，p为奇数时，偶函数
结合以上函数图像，尝试总结幂函数何时一定 为奇函数？
总结：
形如y
q
xp
p
xq
( p, q互质整数，且p为正数),设n
q
p
1当n为奇数时，奇函数
2当n为正分数时，p、q均为奇数时，奇函数
(3)当n为负分数时，p、q均为奇数时，奇函数
总结：
总结
幂函数y x ( R)
1当是正整数时，定义域为R；
2当是正分数时，设
p ( p, q是互质的正整数，q 1),则y
p
xq
q
xp
q
当q为偶数时，定义域为0， ；
当q为奇数时，定义域为R；
3当是负整数时，定义域为 ,0 0,；
4当是负分数时，
p
( p, q是互质的正整数，q
1), y
p
x q
幂函数
问题一
• (1)这五个函数是指数函数吗？ • (2)指数函数解析式是 y ax (a 0且a 1) • (3)指数函数的特点：底数为 a 指数为 x
问题二
• 这五个函数又有什么共同特征？ • (1) 指数 是常数
• (2) 底数 是变量
• (3) x的系数是 1 • (4)都是 y x ( R) 的形式
1
• (2) 在区间(0,)内函数y x, y x2, y x3, y x 2都是
增函数，y x1是减函数；
• (3) y x, y x3, y x1是奇函数， y x2是偶函数
接下来我们一起探求单调性更具一般性的结论。
总结
幂函数y x ( R)的单调性：
当 0时，在0， 上单调递增； 当 0时，在0， 上单调递减。
幂函数
一般地，形如
y x ( R) 的函数称为幂函数，其中为常数。 对于幂函数，我们只讨论 1,2,3, 1 ,1时的情形，借助于
2 他们的图像来总结出幂函数的一些性质，并加以运用。
请大家尝试在同一坐标系中作出上述五个常见幂 函数的图像。
常见幂函数性质总结
• (1)上述五个幂函数都在(0,)上有定义，并 且图像都经过点(1,1)
题型一：概念考察
1
1.已知y m2 2m 2 x m21 2n 3是幂函数，求m, n的值。
2.已知m为正整数，函数f (x) (2m m2 )x2m2 3m2在(0,)上 是增函数，求f (x)的解析式。
3.如果幂函数y (m2 3m 3)xm2 m2的图像不过原点，则m的 取值范围？