基本初等函数-幂函数
基本初等函数16个公式
基本初等函数16个公式1.幂函数公式：a^m*a^n=a^(m+n)幂函数指的是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数。
2.幂函数公式：(a^m)^n=a^(m*n)该公式表示对一个幂函数求幂。
3.倒数公式：1/a*a=1任何数的倒数乘以它本身等于14. 对数公式：log(a^n) = n * log(a)对数函数是幂函数的逆函数，将指数与底数互换。
5. 对数公式：log(a*b) = log(a) + log(b)对数函数在乘法上的性质。
6. 对数公式：log(a/b) = log(a) - log(b)对数函数在除法上的性质。
7. 对数公式：log(1) = 0对数函数中底数为1时，其结果为0。
8.指数函数公式：a^0=1任何常数的0次方等于19.指数函数公式：a^(-n)=1/(a^n)任何常数的负指数等于其正指数的倒数。
10. 三角函数公式：sin(-x) = -sin(x)正弦函数对称的性质。
11. 三角函数公式：cos(-x) = cos(x)余弦函数对称的性质。
12. 三角函数公式：tan(x) = sin(x)/cos(x)正切函数定义。
13. 三角函数公式：sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sin(x),cot(x) = 1/tan(x)余切、正割和余割函数的定义。
14. 双曲函数公式：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲余弦函数的定义。
15. 双曲函数公式：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲正弦函数的定义。
16. 双曲函数公式：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)双曲正切函数的定义。
这些基本初等函数的公式是数学中非常重要的，它们在计算和应用中经常被使用。
通过理解并熟练掌握这些公式，我们可以更好地解决各种数学问题。
基本初等函数(Ⅰ) 幂函数
解析 答案
类型二 幂函数的图象及应用 例 2 若点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数 g(x)的图象上， 问当 x 为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x).
解答
引申探究 若对于例 2 中的 f(x)，g(x)，定义 h(x)＝fgxx，，ffxx≤>ggxx，， 试画出 h(x)的图象. 解 h(x)的图象如图所示：
类型三 幂函数性质的综合应用
命题角度1 比较大小
例3
设
a＝23
2 3
，b＝23
1 3
，c＝25
2 3
，则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>b>a
解析 ∵y＝23x 在 R 上为减函数，
∴23
2 3
<23
1 3
，即
a<b；∵f(x)＝x
2 3
在(0，＋∞)上为增函数，
1
1
A.16
B.16
C.2
√D.2
12345
答案
3.设α∈{－1,1，1 ，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为
2
√A.1,3
B.－1,1
C.－1,3
D.－1,1,3
12345
答案
2
4.下列是y＝x 3 的图象的是
√
12345
答案
5.以下结论正确的是 A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大
基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数1(yf (xx a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4) ()n n n b a ab=b.根式的性质；(1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂； (1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，f xxxx g ⎪⎫⎛=1)(记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
基本初等函数公式及运算法则
基本初等函数公式及运算法则一、基本初等函数公式：1. 幂函数公式： $(a^m)^n=a^{mn}$；2. 对数函数公式： $\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab$；3. 指数函数公式： $a^{\log_ab}=b$；4.三角函数公式：$\begin{aligned} (\sin x)^2+(\cos x)^2&=1\\ (\secx)^2&=1+(\tan x)^2 \\ (\csc x)^2&=1+(\cot x)^2 \end{aligned}$。
5.反三角函数公式：$\begin{aligned} \sin^{-1}x+\cos^{-1} x&=\frac{\pi}{2}\\\tan^{-1}x+\cot^{-1} x&=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$。
6.双曲函数公式：$\begin{aligned} \cosh^2x-\sinh^2x&=1\\ \cos^2x+\sinh^2x&=1 \end{aligned}$。
二、基本初等函数运算法则：1.基本四则运算法则：加法、减法、乘法、除法；2. 复合函数法则：$(f\circ g)(x)=f(g(x))$；3. 取模运算法则：$(a+b)\bmod m=(a\bmod m+b\bmod m)\bmod m$；4. 取整函数法则：$\lfloor x+y\rfloor=\lfloorx\rfloor+\lfloor y\rfloor,\lceil x+y\rceil=\lceil x\rceil+\lceil y\rceil$；5.比较大小法则：对于正整数$a,b,c$，若。
$(1)\ a>b>0,c>0$，则$ac>bc$；$(2)\ a>b>0,c<0$，则$ac<bc$；$(3)\ a<b<0,c>0$，则$ac<bc$；$(4)\ a<b<0,c<0$，则$ac>bc$。
基本初等函数导数公式大全
基本初等函数导数公式大全1.常数函数：若f(x)=C，其中C是一个常数，则f'(x)=0。
2.幂函数：若f(x) = x^n，其中n是一个实数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数：若f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1，则f'(x) = a^xlna。
4.对数函数：a) 若f(x) = ln，x，则f'(x) = 1/x。
b) 若f(x) = log_a ，x，则f'(x) = 1/(xln(a))。
5.正弦函数和余弦函数：a) 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
b) 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
6.正切函数和余切函数：a) 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
b) 若f(x) = cot(x)，则f'(x) = -csc^2(x)。
7.反三角函数：a) 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
b) 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
c) 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
d) 若f(x) = arccot(x)，则f'(x) = -1/(1+x^2)。
8.双曲函数：a) 若f(x) = sinh(x)，则f'(x) = cosh(x)。
b) 若f(x) = cosh(x)，则f'(x) = sinh(x)。
c) 若f(x) = tanh(x)，则f'(x) = sech^2(x)。
d) 若f(x) = coth(x)，则f'(x) = -csch^2(x)。
9.反双曲函数：a) 若f(x) = arcsinh(x)，则f'(x) = 1/√(x^2+1)。
(数学)基本初等函数-幂函数
基本初等函数——幂函数1．幂函数(1)定义：形如a y x =(a ∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，a 为常数．常见的五类幂函数为y x =，2y x =，3y x =，12y=x ，1y x －=.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，+∞)上都有定义；②当0a >时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增； ③当0a <时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：()2f x ax bx c ++=(0a ≠)． ②顶点式：()2()f x a x m n −+=(0a ≠)． ③零点式：()12()()f x a x x x x −−=(0a ≠)． (2)二次函数的图象和性质12y=x题型1 幂函数的图象与性质1.（2020春•沈河区校级月考）设1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【分析】先判断1b >，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小． 【解答】解：1124391416a ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14413b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 3144281327c ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且89012716<<<，函数14y x =在(0，+∞)上是单调增函数，所以1144892716⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c <； 综上知，c a b <<． 故选：A ．2.（2019秋•杨浦区校级期末）幂函数()()()2231,mm f x a x a m −−=−∈N 为偶函数，且在(0，+∞)上是减函数，则a m += ．【分析】先利用幂函数的定义和单调性求出a 的值和m 的范围，再结合偶函数确定m 的值，即可求出结果．【解答】解：∵幂函数()()()2231,m m f x a x a m −−=−∈N ，在(0，+∞)上是减函数，∴11a −=，且2230m m −−<， ∴2a =，13m −<<， 又∵m ∈N ，∵0,1,2m =， 又∵幂函数()f x 为偶函数，∵1m =，∵3a m +=， 故答案为：3．3.已知幂函数223()(22)()nnf x n n x n −=+−∈Z 的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．3−B ．1C ．2D ．1或2【分析】本题考查幂函数的性质，根据幂函数的性质即可求解. 【解析】∵幂函数223()(22)nnf x n n x −=+−在(0，+∞)上是减函数，∴22221,30,n n n n ⎧+−=⎨−<⎩∴1n =，又1n =时，()2f x x －=的图象关于y 轴对称，故1n =.故选B.★幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是()a y x a ∈R =，其中只有一个参数a ，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2 )判断幂函数()a y x a ∈R =的奇偶性时，a 是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数a y x =在(0，+∞)上单调递增，则0a >，若在(0，+∞)上单调递减，则0a <. 题型2 二次函数的解析式1 .（2019秋•道里区校级月考）已知二次函数()()230f x ax bx a =++≠图象过点()3,0A −，对称轴为1x =．（1）求()y f x =的解析式；（2）若函数()y g x =满足()()21g x f x +=，求函数()y g x =的解析式．【分析】（1）根据条件即可得出933012a b b a−+=⎧⎪⎨−=⎪⎩，从而可解出12,55a b =−=，这样即可得出()212355f x x x =−++；（2）可根据题意得出()21221355g x x x +=−++，从而可设21x t +=，解出12t x −=，带入()21221355g x x x +=−++即可得出()2131120104g t t t =−++，t 换上x 即可得出()y g x =的解析式．【解答】解：（1）根据题意得，933012a b b a−+=⎧⎪⎨−=⎪⎩，解得1515a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴∴()212355f x x x =−++；（2）由题意得，()21221355g x x x +=−++，设21x t +=，则12t x −=，∴()()()22111311320520104g t t t t t =−−+−+=−++， ∴()2131120104g x x x =−++．2.(一题多解)已知二次函数()f x 满足()21f −=，()11f −－=，且()f x 的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解】 法一：(利用一般式)设()()20f x ax bx c a =++≠． 由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=⎪⎪−+=−⎨⎪−⎪=⎪⎩解得447.a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩所以所求二次函数的解析式为()2447f x x x −++=. 法二：(利用顶点式)设()2()()0f x a x m n a −+≠=． 因为()(2)1f f −=， 所以抛物线的对称轴为()21122x +−==. 所以1=2m .又根据题意函数有最大值8，所以8n =，所以21()82f x a x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭.因为f ()(2)1f f −=，所以2128=12a ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭，解得4a =−，所以221()=48=4472f x x x x ⎛⎫−−+−++ ⎪⎝⎭.法三：(利用零点式)由已知()10f x +=的两根为12x =，21x =−， 故可设()())1(12f x a x x +=−+， 即()221f x ax ax a =−−−. 又函数有最大值8，即()2421=84a a a a−−.解得4a =−或0a =(舍去)，所以所求函数的解析式为()2447f x x x −++=.3.（2019秋•贺州期中）已知一个二次函数()f x ，()04f =，()20f =，()40f =．求这个函数的解析式．【分析】先设出函数的表达式，再将函数值代入得到方程组，求出即可． 【解答】解：设()2f x ax bx c =++，∴44201640c a b v a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：124a b c ⎧=⎪⎪=−⎨⎪=⎪⎩，∴∴()21342f x x x =−+． ★求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：题型3 二次函数的图象与性质1.已知0abc >，则二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是( )AB【解析】 A 项，因为0a <，02ba−<，所以0b <. 又因为0abc >，所以0c >，而()00f c =<，故A 错． B 项，因为0a <，02ba−>，所以0b >. 又因为0abc >，所以0c <，而()00f c =>，故B 错． C 项，因为0a >，02ba−<，所以0b >.又因为0abc >， 所以0c >，而()00f c =<，故C 错． D 项，因为0a >，02ba−>，所以0b <，因为0abc >，所以0c <，而()00f c =<，故选D.2 .（2019秋•庐江县期末）函数223y x x =−+在闭区间[]0,m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是( )A ．(],2−∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[)1,+∞【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，欲使函数223y x x =−+在闭区间[]0,m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可． 【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示， 当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23f x x x =−+在闭区间[]0,m 上上有最大值3，最小值2， 则实数m 的取值范围是[]1,2． 故选：C ．CD3.（2019秋•吉安期末）函数()()22213f x x a x =−−++在区间[]2,3上是增函数，则a 的取值范围是( )A ．13,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C ．13,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】函数2()2(21)3f x x a x =−−++的对称轴214a x +=−，从而2134a +−≥，由此能求出a 的取值范围．【解答】解：函数()()22213f x x a x =−−++在区间[]2,3上是增函数，函数()()22213f x x a x =−−++的对称轴214a x +=−， ∴2134a +−≥， 解得132a −≤．∴a 的取值范围是13,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦．故选：A ．4.（2019秋•宜昌期末）函数221y x x =−−在闭区间[]0,3上的最大值与最小值的和是( )A ．1−B ．0C ．1D ．2【分析】函数221y x x =−−是一条以1x =为对称轴，开口向上的抛物线，在闭区间[]0,3上y先减后增，所以当1x =时，函数取最小值；当3x =时，函数取最大值，代入计算即可 【解答】解：()222112y x x x =−−=−− ∴当1x =时，函数取最小值2−， 当3x =时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选：B ．5.（2019秋•长春期末）已知函数()()22f x x x a x =++∈R ．（1）若函数()f x 的值域为[)0,+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（1）根据函数的值域可知0=△，解出a 即可；（2）利用分离参数法表示出22a x x >−−，求出22x x −−的取值范围即可． 【解答】解：（1）函数()()22f x x x a x =++∈R 的值域为[)0,+∞，∴22410a =−⨯⨯=△， ∴1a =．（2）∵()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立， ∴220x x a ++>对任意的[)1,x ∈+∞成立， ∴22a x x >−−对任意的[)1,x ∈+∞成立， 又当[)1,x ∈+∞时，()22max21213x x −−=−−⨯=−，∴3a >−．即所求实数的取值范围是()3,−+∞．★1.识别二次函数图象应学会“三看”★2.二次函数的单调性问题（1）对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．（2）利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．★3.二次函数的最值问题（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．★4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2 )两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：()a f x ≥恒成立()max a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立()min a f x ⇔≤.1.（2020春•本溪月考）已知幂函数()()()22421mm f x m x m −+=−∈R ，在()0,+∞上单调递增．设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c −=，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系是( )看函数选象上的一些特殊点，如函数选象与y 选的交点、与x 选的交点、函数选象的最高点或最低点等看选称选和最选。
基本初等函数与初等函数
y tan x
性质
（1）在定义域中是无界函数。 （4）周期为 l （2）是奇函数 , 内是单调增函数。 （3）在 2 2
（4）余切函数
y cot x
图形
x ,
x k
k 0, 1 ,2
y cot x
性质
（1）在定义域中是无界函数。 （4）周期为 l
其底数部分和指数部分都是自变量 x 的表达式，像
y [ f ( x)]
g ( x)
形式的函数称为幂指函数.
四、 初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复
合运算得到的可用一个式子表示的函数称为初等函数.
例如，
y ax bx c,
2
1 y sin , x
ye
等都是初等函数.
解
（1 ）
y u ，u 3x 1
u， u sin v， v 5x 3
2
（2 ） y （3 ）
y u ， u ln v，v w ， w 2x 3
三、 幂指函数
有一类既不能称为幂函数也不能称为指数函数的函数， 如
yx
x
y (1 2x) sin x 等，
0
0.017453 弧度
在直角坐标系中取单位圆 在圆周上任意一点 M x, y 圆的半径 R OM 1
1
1 y M x, y y
0
1 x
从现在开始角度用弧度x 表示 1 y （1）正弦函数 sin x y sin x x , 1 图形 性质：
合运算.
例3
函数 y = arcsin(x2 1)可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu 和 u=g (x)= x2 1
幂函数的特征
幂函数的特征
幂函数是基本初等函数之一，其形式为f（x）=x^n，其中n 为实数。
幂函数有三个主要特征：定义域、值域和图像。
1. 定义域：幂函数的定义域为所有实数。
这意味着无论我们选择什么实数值作为x，幂函数都将给出一个有意义的输出。
2. 值域：幂函数的值域为无穷大。
这意味着幂函数的输出可以是无限大的正数或负数。
3. 图像：幂函数的图像通常在第一象限内呈上升趋势，然后下降。
当指数大于0时，图像在第一象限内上升；当指数小于0时，图像在第二象限内下降。
此外，幂函数的图像关于y轴对称，如果指数是偶数，则还关于x轴对称。
当n >0时，幂函数展现出以下性质：首先，图像经过点（1,1）（0,0）；其次，在区间[0,+∞）上，函数的图像是增函数；另外，在第一象限内，n >1时，导数值逐渐增大；当n等于1时，导数为常数；而在0< n <1的情况下，导数值逐渐减小，趋近于0。
值得注意的是，当n <0时，幂函数y=x^ n呈现出不同的特性。
其图像仍然通过点（1,1），但在区间（0，+∞）上是减函数。
此外，如果n为负偶数，如X-2，该函数是偶函数，其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），随着自变量的增大，函数值趋向于无穷大或无穷小。
综上所述，幂函数的性质丰富多样，与其指数n的取值紧密
相关。
对于不同的n值，幂函数可能在区间端点处的取值、增减性、奇偶性以及渐近线等方面表现出不同的特点。
基本初等函数幂函数
基本初等函数幂函数是数学中的基石之一，从人口增长到放射性衰变，它们 的应用无处不在。让我们一起探索这个神奇的世界！
什么是基本初等函数幂函数？
初等函数
可以由代数运算、初等函数和常数函数复合得到的函数。
幂函数
形如 $f(x)=x^a$，其中 $a$ 是实数。
基本初等函数
指数函数的导数和导函数
1
定义
对于 $a>0$ 且 $a\neq1$，$f'(x)=a^x\ln a$。
2
求解
注意到 $a^x=e^{x\ln a}$，则有 $f'(x)=a^x\ln a$。
3
导函数
导函数即为指数函数本身，$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x=a^x$。
是一组特殊的初等函数，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数 函数。
幂函数的定义及其性质
定义
形如 $f(x)=x^a$，其中 $a$ 是实数。
增减性
当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上单调递增；当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上单调递减。
最值
当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上无最小值和最 大值；当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上有最大
变换
图像的左右移动、上下移动、翻折等变换会影响 $a$，而图像的纵向伸缩会影响 $a$ 的绝对值。
幂函数的导数和导函数
1
定义
对于 $a\neq0$，$f'(x)=ax^{a-1}$。
基本初等函数
2.指数函数 指数函数(exponential function) 指数函数
y=a
(a > 1)
x
(a > 0, a ≠ 1)
y
1 x y=( ) a
y = ax
(0,1) 0 x
y=ax过（0，1）点，当a＞1时单增，当a＜1 时单增， ＜ ， ） ＞ 时单增 时单减。 时单减。
3.对数函数 对数函数(logarithmic function) 对数函数
y
0
0 y x
3 3
3
1
3
cot x
单 减
1
3 3
0
0
x
正割(secant)函数 函数 正割
y = sec x
y
π 2
π − 2
−
3π 2
0
3π 2
x
余割(cosecant)函数 y = csc x 函数 余割
y
− 2π
−π
π
2π π
0
x
常用三角函数公式记忆方法: 常用三角函数公式记忆方法 sinx
sin x 单 增
图像
y 1
0(0o ) π (30o ) π (45o ) π (60o ) π (90o ) 6 4 3 2
0
0 y 1
π π π π 6 4 3 2
x
1 2
3 2
2 2
2 2
3 2
1 2
1
cos x
单 减
1
0
π 6 π π π 4 3 2
0
x
正切(tangent)函数 y = tan x 函数 正切
一、基本初等函数
1.幂函数 幂函数(power function)
基本初等函数一：幂函数
2．对于幂函数y＝xª，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇 偶性，再由a的值得到幂函数在第一象限的基本曲线形状，而后结合 定义域、奇偶性得到整个图像。 注：a＜0，0＜a＜1和a＞1三种情况下幂函数在第一象限的图象的大 致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即a＞0（≠1） 时图象是抛物线型；a＜0时图象是双曲线型；a＞1时图象是竖直抛 物线型；0＜a＜1时图象是横卧抛物线型）．
y x
当<0时，函数图像在第一象限内的规律如下
过点（1，1）呈双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限 接近。
幂函数性质总结
1、所有幂函数恒过定点（1，1）
2、所有幂函数在第一象限一定有图像，在第四象 限一定没有图像。
3.幂函数的单调性 (1)如果α＞0，幂函数y=xα在(0，+∞)上是增函数. (2)如果α＜0，幂函数y=xα在(0，+∞)上是减函数.
(1) 0、 1即y x0 ( x 0), y x, 属直线型
(2) 0 在同一平面直角坐标系 中，画出幂函数 y x, y x 2 , y x 3 , y x , y x 的图像，并进行比较。
(3) 0时 在同一直角坐标系中， 作出幂函数 y x 1 , y x 2 , y x 的图像
V=t⁻¹ km/s,这里v是t的函数。
以上个函数的共同特点是：
（1）都是函数；
（2) 都是底数是自变量，指数为常数；
（3）幂前面的系数为1；
即以上函数都具有y=xª形式的函数。
幂函数的概念
幂函数的概念 α x y ＝ x 一般地，函数__________叫做幂函数，其中_____ α 是常数． 是自变量，______
人教A版(老课标)数学必修1- 第二章 基本初等函数-2.3 幂函数
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
幂函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
奇偶性 _奇___
__偶__
_奇___
_非__奇___ _非__偶___
_奇___
单调性
_增___
x∈[0，＋∞)， _增___ x∈(－∞，0]， _减___
_增___
x∈(0，＋ _增___ ∞)，_减___
性质，并会应用
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
问题导学 预习课本 P77－79，思考以下问题： (1)幂函数的定义是什么？ (2)幂函数的解析式有什么特点？ (3)幂函数的图象有什么特点？ (4)幂函数的性质有哪些？
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1．幂函数的概念 函数 y＝__x_α_叫做幂函数，其中__x__是自变量，__α__是常数．
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
若幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点2，14，则 f13＝________． 解析：因为幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点2，14，所以 2α＝14， 则 α＝－2，所以 f(x)＝x－2，所以 f13＝13－2＝9. 答案：9
＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数
为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
(2)若函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，
则 m 的值为( )
A．1
B．－3
C．－1
D．3
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
栏目 导引
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（此中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0C0y yy Cx y 0xO O平行于x 轴的直线y 轴自己定义域R定义域R 二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；1y y x1.幂函数的图像：2y x2y xy x3y x1O x2.幂函数的性质；性质y x y x231y x1y x y x2函数定义域R R R[0,+ ∞ ){x|x ≠ 0}值域R[0,+ ∞ )R[0,+ ∞ ){y|y ≠ 0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单一性增[0,+∞) 增增增(0,+∞ )减(-∞ ,0] 减(-∞ ,0)减公共点（ 1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ( , )，他们的图形都经过原点，并当α>1 时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形对于原点对称；α为偶数时图形对于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除掉x=0 的全部实数；3）当α为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）假如 m>n 图形于 x 轴相切，假如m<n,图形于 y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称； m， n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一确实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 之外的一确实数。
三、指数函数 y a x(x是自变量,a是常数且a0， a1)，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1.指数函数的图象：yy a x y a xy(a 1)(0a1)(0,1)y1(0,1)y1 O x O x2.指数函数的性质；性质y a x(a1)y a x(0 a 1)函数定义域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时，y 1单一性在（，）是增函数在（，）是减函数1 ）当a 1时函数为单调增 , 当0a 1时函数为单调减；2 ）不论x为何值 ,y 总是正的,图形在 x 轴上方；3 ）当x 0时 , y 1, 所以它的图形通过 (0,1) 点。
4基本初等函数-指数对数幂函数
指数函数 对数函数 幂函数一.指数函数1.指数与指数幂的运算: ⑴n 次方根的定义: 若nx a =，则称___为a 的n 次方根. n 次方根的符号是“na ”.在实数范围内，正数的奇次方根是一个____ ,负数的奇次方根是一个____,0的奇次方根是_____.正数的_____次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是＿＿，负数的偶次方根 意义. 式子na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
性质：①()n n a a =;例如33(2)2=; ②,,n na n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数例如443(2)32,(2)2-=--=例题1：下列说法正确的是（ ）A. 正数的n 次方根是正数B. 负数的n 次方根是负数C. 0的n 次方根是0D. n a 一定是无理数 例题2：填空:①4=________; ②38=__________; ③16的平方根是__________.例题3：填空①338-=_______;②424(3)(3)π-+-=_______;③2()()a b a b ->=2。
分数指数幂的意义:①mna =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）例题:35=_____.325=____.②1mn mna a -==_______（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.3。
分数指数幂的运算法则：（和整数指数幂的运算法则完全相同）其中,,,a b R m n R +∈∈① mn m n aa a += ② ()m n mn a a = 例 222(2)2(2)4x x x x === ③ ()n n n ab a b =例题1：把根式化成幂的形式：①234a b =________②22433()b --=_______③232a a a =________.例题2：化简:12031(0.027)()(2)________7---+=.例题3：求值： ①438-=___________;②31()6-=__________;③15100000=__________;④2316()81-=________. 例题4：①0,a a a a >=若化简_____②323a a a = ③04331(21)(2)(1)()2--+-⨯-⨯=例题5：下列结论中①2223()()32-= ② 16的算术平方根是4 ③函数y x x =---()()237120的定义域是（2，+∞）；④若100510221a b a b ==+=，，则 ⑤ 24(2)xx =其中正确的命题是_________2.指数函数的定义:一般地，函数y =a x（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数.例题:下列函数①x y=2②21()2x y=③xe y=④x y=10 ⑤⋅xy=23 ⑥x-1y=2中,不是指数函数的是________.3. 指数函数的图象和性质:①定义域：______________,值域：____________. ②过点（0，1），即x =0时， y =1.例题1:函数3(0,1)a a +>≠x-2y=a恒过定点_____③当a ＞____时，在R 上是增函数；当_____＜a ＜_____时，在R 上是减函数.例题：比较33.50.70.7--与的大小。
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问题一
• (1)这五个函数是指数函数吗？ • (2)指数函数解析式是 y ax (a 0且a 1) • (3)指数函数的特点：底数为 a 指数为 x
问题二
• 这五个函数又有什么共同特征？ • (1) 指数 是常数
• (2) 底数 是变量
• (3) x的系数是 1 • (4)都是 y x ( R) 的形式
(4)当n为负分数时，q为偶数，p为奇数时，偶函数
结合以上函数图像，尝试总结幂函数何时一定 为奇函数？
总结：
形如y
q
xp
p
xq
( p, q互质整数，且p为正数),设n
q
p
1当n为奇数时，奇函数
2当n为正分数时，p、q均为奇数时，奇函数
(3)当n为负分数时，p、q均为奇数时，奇函数
总结：
题型一：概念考察
1
1.已知y m2 2m 2 x m21 2n 3是幂函数，求m, n的值。
2.已知m为正整数，函数f (x) (2m m2 )x2m2 3m2在(0,)上 是增函数，求f (x)的解析式。
3.如果幂函数y (m2 3m 3)xm2 m2的图像不过原点，则m的 取值范围？
题型五：不等式问题
1.若(a
1
1) 3
(2
3a)
1 3
,
求a的范围？
2.已知幂函数f
(x)
x
1 2
,
若f
(a 1)
f
(10 2a),求a的范围？
思考：
若(a
2
1) 3
(
2
3a
)
2 3
,
求
a的范围？
接下来我们一起来探求幂函数奇偶性
偶函数
函数y=1是不是幂函数？
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
结合以上函数图像，尝试总结幂函数何时一定 为偶函数？
总结：
形如y
q
xp
p
xq
( p, q互质整数，且p为正数),设n
q
p
1当n 0时，偶函数
2当n为偶数时，偶函数
3当n为正分数时，q为偶数，p为奇数时，偶函数
幂函数
一般地，形如
y x ( R) 的函数称为幂函数，其中为常数。 对于幂函数，我们只讨论 1,2,3, 1 ,1时的情形，借助于
2 他们的图像来总结出幂函数的一些性质，并加以运用。
请大家尝试在同一坐标系中作出上述五个常见幂 函数的图像。
常见幂函数性质总结
• (1)上述五个幂函数都在(0,)上有定义，并 且图像都经过点(1,1)
思考：
幂函数y xm2 2m3(m Z )的图像与两坐标轴 都没有交点，且关于y轴对称，求m的值。
题型二：定义域值域问题
4
1.函数y x 5的定义域为？值域为？
2.函数f
(x)
x
2
3的定义域
为？值域为？
3
3.函数y x 2的定义域为？值域为？
3.函数f
(x)
1
x2
, 则函数f
(4x
3)的定义域为？值域为？
1
q
q xp
当q为偶数时，定义域为0， ；
当q为奇数时，定义域为 ,0 0,。
思考：
1
函数f (x) x m2 m1 (m N )的定义域为？ 值域为？
题型三：图像及其应用
1
1.函数y 1 x 1的图像要变换成幂函数y x 2的图像， 需要如何操作？ 2.指出函数f (x) x2 4x 5 的单调区间，并比较
q
形如y x p p xq ( p, q互质整数，且 p为正数), 设n q ,当n为正(负)分数时，
p q为奇数， p为偶数时，非奇非偶函 数
直线x=1的右侧 指大图高
指数互为倒数的两个 幂函数图像间的关系？
在第一象限内，关于直线 y=x对称，即互为反函数。
题型汇总
• 1.幂函数概念 • 2.定义域值域问题 • 3.图像及其应用 • 4.比较大小 • 5.相关不等式问题
1
• (2) 在区间(0,)内函数y x, y x2, y x3, y x 2都是
增函数，y x1是减函数；
• (3) y x, y x3, y x1是奇函数， y x2是偶函数
接下来我们一起探求单调性更具一般性的结论。
总结
幂函数y x ( R)的单调性：
当 0时，在0， 上单调递增； 当 0时，在0， 上单调递减。
总结
幂函数y x ( R)
1当是正整数时，定义域为R；
2当是正分数时，设
p ( p, q是互质的正整数，q 1),则y
p
xq
q
xp
q
当q为偶数时，定义域为0， ；
当q为奇数时，定义域为R；
3当是负整数时，定义域为 ,0 0,；
4当是负分数时，
p
p
x q
x2 4x 4
f ( )与f ( 2 )的大小。
2
1
3.若x3 x 2，则x的取值范围是？
题型四：比较大小
比较下列各组数的大小
1
1
(1)26 与36
(2)(a 2
1
4) 4
与4
1 4
1
1
(3)22 与1.83
思考：
比较下列两组数据的大小
(1)(
2
)
2 3
,
(
10
)
2 3
,1.1
4 3
2
7
(2)0.80.5 ,0.90.4 ,0.70.5