线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题

5. 设 A=
������ + 3 1 2 ������ ������ − 1 1 ，讨论 AX=0 的解的情况。 3������ + 3 ������ ������ + 3
1 6. 设 A= ������ ������2
1 ������ ������2
1 ������ ，讨论 AX=0 的解的情况。 ������ 2
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线性代数第三章向量与线性方程组例题
13 ． 设 ������1 ， ������2 ， ������3 为 AX=0 的 一 个 基 础 解 系 ， ������1 = ������1 + ������2 + ������3 ， ������2 = ������1 + 2������2 + 3������3 ，������3 = ������1 + 6������2 − ������3 ，证明������1 ，������2 ，������3 也是 AX=0 的一个基础解系。
������1 ������2 ������2 ������2 ⋮ ������������ ������2
⋯ ������1 ������������ ⋯ ������2 ������������ ≠0。 ⋱ ⋮ ⋯ ������������ ������������
20.设������������ = （������������1 ，������������2 ，…，������������������ ） (i=1,2,3…r,r<n)是 n 维实向量，且������1 ，������2 ，…，������������ 线性无关， ������11 ������1 + ������12 ������2 + ⋯ + ������1������ ������������ = 0 ������21 ������1 + ������22 ������2 + ⋯ + ������2������ ������������ = 0 已知 β=(������1 ，������2 ， … ，������������������ )������ 是齐次线性方程组(i) 的一个非 : : ������������ 1 ������1 + ������������ 2 ������2 + ⋯ + ������������������ ������������ = 0 零解，证明 β，������1 ，������2 ， … ，������������ 线性无关。
9. 已 知 三 阶 矩 阵 A 的 第 一 行 为 a,b,c ， 且 a,b,c 不 全 为 0 ， 矩 阵 1 2 3 B= 2 4 6 3 6 ������ ������为常数 满足 AB = 0，求 AX = 0 的通解。
线性代数第三章向量与线性方程组例题
10. 设 4 元齐次线性方程组（I）
������
21.设 n 阶矩阵 A,B 满足 R(A)+R(B)<n，证明齐次线性方程组 AX=0 与 BX=0 存在非零公共解。
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22.设 X1，X2，…,Xn-r 为 AX=0 的一个基础解系 X0，为 AX=b（b≠0）的一个特解，证明： （1）X0,X1，X2，…,Xn-r 线性无关 （2）X0,X0+X1，X0+X2，…,X0+Xn-r 线性无关
线性代数第三章向量与线性方程组例题
1 1 2 1 2 2 3 4 1 1. 设������1 = ， ������2 = ， ������3 = ， ������4 = ， ������5 = 2 ， 求向量组������1 ， ������2 ， ������3 ， ������4 ， ������5 的一个极 −1 1 −2 3 0 0 0 5 3 2 大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。
线性代数第三章向量与线性方程组例题
0 1 1 1 0 1 2 4. 设������1 = ，������2 = ，������3 = ，β= 1 问 a,b 为何值时， 0 −1 −2 ������ ������ 3 2 −1 （1） β不能由������1 ，������2 ，������3 线性表出 （2） β可以由������1 ，������2 ，������3 线性表出，并且写出表达式
17.已知������1 ，������2 ，������3 线性相关,������2 ，������3 ，������4 线性无关，问： （1）������1 可否由������2 ，������3 ，������4 线性表出， （2）������4 可否由������1 ，������2 ，������3 线性表出，并说明理由。
14.
设 ������1 ， ������2 ， … ， ������������ 为 AX=0 的 一 个 基 础 解 系 ， ������1 = ������1 ������1 + ������2 ������2 ， ������2 = ������1 ������2 +
������2 ������3 ， … ，������������ = ������1 ������������ + ������2 ������1 ， (������1 ， ������2 为实数)问������1 ， ������2 满足什么条件时， ������1 ， ������2 ， … ，������������ 也 是 AX=0 的一个基础解系。
2. 设 A 为 mxn 阶矩阵，B 为 nxp 阶矩阵，C 为 pxs 阶矩阵，R(C)=p，且 ABC=0，证明 B=0.
3. 设 A 为 mxn 阶矩阵，X 与 b 为 m 维列向量，Y 为 n 维列向量，证明 AY=b 有解的充要条 件是满足A������ X=0 的所有 X 均满足b������ =0.
−6 ������ − 5 ������ 1 11. 在上例中将������1 ，������2 改为������1 = ，������2 = + 3 求（I）与（II）的所有非零公共解。 −1 −1 −1 2
−2������1 + ������2 + ������������3 − 5������4 = 1 ������1 + ������4 = 1 12.已知非齐次线性方程组（I） ������1 + 2������2 − ������3 + 6������4 = 4 与(II) ������2 − 2������4 = 2为通解方程组 ������3 + ������4 = 1 3������1 + 2������2 + ������3 + 2������4 = c 求 a,b,c 的值。
18.设 n 维向量组������1 ，������2 ，…，������������−1 线性无关且其中每一个向量与������1 ，������2 分别都正交，证 明������1 ，������2 线性无关。
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������1 ������1 ������2 ������1 19.证明������1 ，������2 ，…，������������ 线性无关的充要条件是行列式 D= ⋮ ������������ ������1
26 设β1 =������2 + ������3 + ⋯ + ������������ ，β2 =������1 + ������3 + ⋯ + ������������ ，…，β1 =������1 + ������2 + ⋯ + ������������−1 ， （n≥2） ， 证明������1 ，������2 ， … ，������������ 与向量组β1 ，β2 ， … ，β������ 等价。
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16.设������1 ， ������2 ， ������3 ， ������4 线性相关， 其中任意三个线性无关， 证明存在全不为 0 的数������1 ， ������2 ， ������3 ， ������4 使 ������1 ������1 +������2 ������2 +������3 ������3 +������4 ������4 =0。
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0 1 1 1 1 0 1 2 2 7. 设 A= ，β= 1 ，讨论方程组 AX=β的解的情况。 0 −1 ������ − 3 −2 ������ 3 2 1 ������ −1
1 ������ 1 1 8. 设 A= 1 ������ 1 ，b= ������ ，讨论方程组 AX=b的解的情况。 ������2 1 1 ������
15.设 α 可以由������1 ，������2 ，…，������������ 线性表出，但不能由������1 ，������2 ，…，������������−1 线性表出，证明������������ 可 由������1 ，������2 ，…，������������−1 线性表出。
2������1 + 3������2 − ������3 = 0 ，且已知另一个四元齐次线性方程 ������1 + 2������2 + ������3 − ������4 = 0
−1 2 2 − 1 组（II）的一个基础解系为������1 = ，������2 = ，(1)求（I）的一个基础解系。 4 a+2 a+8 1 (2)a 为何值时（I）与（II）有非零公共解，并求所有非零公共解。
23.设 A 为（n-1）x n 矩阵，|Aj|表示 A 中划去第 j 列所构成的行列式，证明： （1）ξ=（|A1|-|A2|） ，…，(−1)������−1 |������������|������ 为 AX=0 的解 （2）当 R(A)=n-1 时(1)中的解 ξ 为 AX=0 的一个基础解系。
24.设 A 为 n 阶矩阵，证明 AX=b 对对任意 b 有解的充分条件为|A|≠0。
线性代数第三章向量与线性方程组例题
25.已知向量组������1 ，������2 ， … ，������������ 中每一个向量均可由向量组β1 ，β2 ， … ，β������ 线性表出，且向 量组������1 ，������2 ， … ，������������ 线性无关,证明: (1)r≤s (2)存在β������ （1≤k≤s）使β������ ，������1 ，������2 ， … ，������������ 线性无关