第八章 位移法习题解答

8-2、清华8-2c 试用位移法计算图示结构，并作内力图。

题8-2c (a )

方法一：列位移法典型方程

解：（1）D 处定向支座与AD 段不平行，视为固定端。AB 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来，DA 杆D 端支座与杆轴线不平行，视为固定端。结构只有一个转角位移法基本未知量。基本结构如图(b)。

（2）建立典型方程：

11110P k z R ⋅+=

（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。 （4）利用结点的力矩平的平衡求系数：

1110;

k i = 1P R P l =-⋅

（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。110P l z i

⋅=

（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：1

1

P M M M z =+⋅

30.3()1040.4()

20.2()101030.3()

10AC

AD D A

AE

P l M i Pl i P l P l M i Pl

M

i Pl

i i

P l M

i Pl i

⋅=+⋅=⋅⋅=+⋅==+⋅

=⋅=+⋅

=左拉上拉下拉右拉

方法二：转角位移法

(c)

A C

M A

A B

(d)

(b)(e)

Q A B

F Q A

解：（1）确定结构的基本未知量。有一个角位移z1，如图所示（b）。

（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。

C1111

,,3,3,4,2 F

AB AB A AE AD D A

M Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=⋅

（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：

1111

003430

10

A B A C A D A E

P l M M M M M P l i z i z i z z

i =→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=

∑

（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。

C11

11

,,

330.3,330.3,

1010

440.4,220.2

1010

F

AB AB

A AE

AD D A

M Pl M Pl

Pl Pl

M i z i Pl M i z i Pl

i i

Pl Pl

M i z i Pl M i z i Pl

i i

=-=-

=⋅=⨯==⋅=⨯=

=⋅=⨯==⋅=⨯=

讨论；本题将D处的滑动支座改为与杆轴线平行。

(b)(e)

(d)

M A

A B

A C

(c)

Q A B

F Q A

解：（1）确定结构的基本未知量。有一个线位移z1，如图所示（b）。

（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定。

C

1111,,3,3,,F AB

AB

A AE

AD

D A

M

Pl M

Pl M

i z M

i z M

i z M

i z =-=-=⋅=⋅=⋅=-⋅

（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z 1：

1111003307A B

A C

A D

A E

P l M

M

M

M

M

Pl i z i z i z z i

=→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=

∑

（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。 C

1111,,3333,33,777711,7777

F AB

AB

A AE

AD

D A M Pl M

Pl Pl Pl M i z i Pl M

i z i Pl i i

Pl Pl M

i z i Pl M i z i Pl

i

i

=-=-=⋅=⨯==⋅=⨯

=

=⋅=⨯

==-⋅=-⨯

=-

类8-2 d 、试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。

4q =20k N /m

q =20k N /m

解：1)基本结构如图(b)，有两个位移法未知量。

2)列典型方程：

111122*********

P P k z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨

⋅+⋅+=⎩ 3)画基本结构在下述情况的弯矩图：

荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让刚臂2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。

4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数： (c)：1225;0P P R R =-⋅=kN m ；

(d)：11125;2k i k i ==

(e)：21222;

11k i k i ==

5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。

12275505151z z i

i

-=

=

6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：22

11

z M

z M

M

M P

⋅+⋅+=

27550150217()()515127550150411.1()

()515150003 2.9()

()

512755015248.1()()515127550154234.6()()

5151AB

BA

BC

BD

D B

D E

M i kN m i i M i kN m i

i

M i kN m i M i i kN m i

i M i i kN m i

i

M -=-+⋅+⋅=-⋅-=++⋅

+⋅

=⋅-=++⋅=-⋅-=-+⋅+⋅=-⋅-=++⋅+⋅

=⋅左拉左拉上拉左拉左拉275 5.4()()51275 5.4()()

51ED

i kN m i

M

i kN m i

=⋅

=⋅=-⋅

=-⋅下拉下拉

3、清华5-3a 试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。