第八章 位移法习题解答
《结构力学习题集》第8章位移法
第8章 位移法习 题一、判断题：1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
（ ）2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
（ ） 4、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
（ ）5、图示结构，当支座B 发生沉降∆时，支座B 处梁截面的转角大小为12./∆l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。
（ ）6、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
（ ）2θθC7、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。
（ ）8、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。
（ ）q9、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程 的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。
（ ） 10、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
（ ） 11、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于 杆 端 位 移 。
（ ） 12、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
2θθC二、填空题：13、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
（1） （2） （3）（4） （5） （6）EIEIEIEI 2EI EI EIEIEA EA ab EI=EI=EI=24442第13题14、位移法可解超静定结构、静定结构，位移法典型方程体现了_______条件。
15、图示梁A 截面的角位移φA = ____________。
（杆长l，荷载作用在中点）16、图示结构，M AB = __________。
17、图示刚架，各杆线刚度i 相同，不计轴向变形，用位移法求得 M AD = ，M BA =___________。
Di i i A4518、图示结构M BA 的值为_____________,________________侧受拉。
位移法习题解答
8-2、清华8-2c 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
题8-2c (a )方法一：列位移法典型方程解：（1）D 处定向支座与AD 段不平行，视为固定端。
AB 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来，DA 杆D 端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
结构只有一个转角位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：11110P k z R ⋅+=（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。
（4）利用结点的力矩平的平衡求系数：1110;k i =1P R P l =-⋅（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。
110P lz i⋅=（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：11P M M M z =+⋅30.3()1040.4()20.2()101030.3()10AC AD DA AEP lM i Pl i P l P lM i Pl M i Pl i iP l M i Pl i⋅=+⋅=⋅⋅=+⋅==+⋅=⋅=+⋅=左拉上拉下拉右拉 方法二：转角位移法(c)ACMAB(d)(b)(e)Q ABF Q解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个角位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
C1111,,3,3,4,2 FAB AB A AE AD DAM Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：111100343010AB AC AD AEPl M M M M M Pl i z i z i z zi =→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
C1111,,330.3,330.3,1010440.4,220.21010FAB ABA AEAD DAM Pl M PlPl PlM i z i Pl M i z i Pli iPl PlM i z i Pl M i z i Pli i=-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯=讨论；本题将D处的滑动支座改为与杆轴线平行。
位移法习题
结构力学-位移法习题1.确定用位移法计算下图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。
2.判断题1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。
（）2)位移法可用于求解静定结构的内力。
（）3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。
（）4)位移法只能用于求解连续梁和钢梁，不能用于求解桁架。
（）3.已知下图所示钢架的结点B产生转角，试用位移法概念求解所作用外力偶M。
4.若下图所示结构结点B向右产生单位位移，试用位移法概念求解应施加的力。
5.已知钢架的弯矩图如下图所示，各杆常数，杆长，试用位移法概念直接计算结点B的转角。
6.用位移法计算下图所示的连续梁，作弯矩图和剪力图。
EI=常数。
7.用位移法计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
8.用位移法计算下图所示各结构，并作弯矩图。
常数。
9.利用对称性计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
10.下图所示等截面连续梁，，已知支座C下沉，用位移法求作弯矩图。
11.下图所示的刚架支座A下沉，支座B下沉，求结点D的转角。
已知各杆。
12.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
13.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
14.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
15.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
16.试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。
6m 6m9ml lq(a)4m 4m4m(b)10kN/m6m6m 6m 6m6m(a)8m 4m 4m 4m 4m20kN/m17. 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M 图。
18. 试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
19. 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M 图。
已知杆件截面高度h ＝0.4m ，EI ＝2×104kN ·m 2，α＝1×10－5。
20.试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M 图。
3EI lA D CB l EI EIϕl Δ=ϕa 2aa 2aaF P6m 4m A B C +20℃0℃ +20℃0℃ 20kN8m 8m 6m 3m A C D EB F G EI 1=∞EI 1=∞ 3EI3EI 3EI EI。
位移法习题
一、图示结构，要使结点 B 产生单位转角， 则在结点 B 需施加外力偶为 ——.
D
3i Ai
E
3i
Bi
C
二、已知图示结构 C 点线位移为 pl 3 ( ↓ )， 30 EI
各杆EI=常数，作 M 图。
P
D
B
A
E
F
C
l
l
三、作图示结构的 M 图。P=24KN, M0=15KNm, EI=常数.
P
k
l/ 2 l/ 2 l
3
P
A
BC
D
பைடு நூலகம்
E
七、作图示结构弯矩图 。
E
F
I
P C
D
l/2 B
l
A
G
H
l
l/2
l/2
八、用 位 移 法 作 图 示 结 构 M 图 。 E I = 常数，
EI1= ∞
q
A EI1 C EI D EI1 B
l/3
l/3
l/3
九、作图示结构M图， EI=常数
A l
q
B
C
F l
G l
D
E
l
H
I
l
十、如图n1, n2均为比例系数，当 n1>n2时，则有： (1) MA> MB , (2) MA<MB , (3) MA= MB , (4)不定
aP
A EI
n1EI
n1EI
h
l
aP
B EI
n2EI
n2EI
h
l
十一、试用位移法求解图示刚架，各杆EI相同。
qa
F
q
结构力学 第八章 作业参考答案
D
Z2
B
2I 2FL/9 I
M图
D
L
B
A
L
B
2FL/9
A
L
FL/9
B
解： （1）该结构为有两个基本未知量，分别为 Z1 和 Z 2 ，如图。 （2）可以得到位移法的典型方程：
⎧r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 ⎨ ⎩r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
（3）做出基本结构的各单位内力图和荷载内力图。令 其中系数： r11 = 14i 自由项： R1 p = 0 （4）求解出多余未知力。
4
1m
E
E
E r12 2I
4m
I
I
4m
I
I
1m
0.75 E
1m
结构力学 第八章 习题 参考答案
（2）可以得到位移法的典型方程：
⎧r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 ⎨ ⎩r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
（3）做出基本结构的各单位内力图和荷载内力图。 其中系数： r11 = r22 =
8－7 试用位移法计算连续梁，绘制弯矩图。 EI = 常数
A Z1 B 6m 6m
基本体系
Z1 C 6m
A B 6m 6m C 6m
D
D
解： （1）该结构为有两个基本未知量，分别为 Z1 和 Z 2 ，如图。 （2）可以得到位移法的典型方程：
⎧r11Z1 + r12 Z 2 + R1P = 0 ⎨ ⎩r21Z1 + r22 Z 2 + R2 P = 0
结构力学(5.1.2)--位移法习题及参考答案
习 题6-1 试确定图示结构位移法基本未知量的个数。
6-2～6-6作图示刚架的M 图。
(a)(f)习题6-1图(d)习题6-2图习题6-5图习题6-3图（BC 杆件为刚性杆件）习题6-4图6-6 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-7 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-8 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
EI 为常数。
6-9试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。
EI 为常数。
6-10 试用位移法计算图示结构，并作弯矩图（提示：结构对称）。
习题6-9图习题6-7图6-11作图示刚架的体系内力图。
6-12 设支座 B 下沉0.5cm B D =，试作图示刚架的M 图。
6-13如图所示连续梁,设支座C 下沉淀1cm ，试作M 图。
6-14图示等截面正方形刚架,内部温度升高+t°C ，杆截面厚度h ,温度膨胀系数为 ，试作M 图。
10 kN/m( a )( b)40 kN习题6-10图BGH习题6-11图（a ）（b ）q6-15试作图示有弹性支座的梁的弯矩图，332EIk l=，EI =常数。
6-16 试用弯矩分配法计算图示连续梁，并作M 图。
6-176-18 用力矩分配法计算图示结构，并作M 图。
6-19 已知图示结构的力矩分配系数1238/13,2/13,3/13,A A A m m m ===作M 图。
6-20 求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。
已知q=20kN/m,各杆EI 相同。
习题6-17图习题6-13图习题6-14图6-21～6-22 用力矩分配法计算图示连续梁，作M 图，并计算支座反力。
EI=常数。
6-23～6-25用力矩分配法计算图示刚架，作M 图。
EI=常数。
参考答案6.1 (a) 2 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 6 (f) 26.2 15BD M =kN·m （右侧受拉）20kN/m 40kN习题6-22图习题6-21图15kN/m习题6-23图F P =10kN 习题6-24图习题6-25图6.321112AB M ql =（上侧受拉）6.4P 0.4AD M F l =（上侧受拉）6.5150AC M =kN·m （左侧受拉）6.651.3AB M =kN·m （左侧受拉）6.780AB M =kN·m （上侧受拉）6.816.9AB M =kN·m （左侧受拉）6.9 (a) 10.43CA M =kN·m （左侧受拉） (b) 56.84CE M =kN·m （下侧受拉）6.10 (a) 8.5AB M =kN·m （上侧受拉） (b) 34.3AC M =kN·m （左侧受拉）6.11 (a) 20.794DC M ql =（右侧受拉） (b) 6.14GD M q =（右侧受拉）6.1223.68AC M =kN·m （右侧受拉）6.1359.3310BA M =ￗkN·m （上侧受拉）6.142/M EIt h a =（外侧受拉）6.152/32BA M ql =（下侧受拉）6.1617.5CB M =kN·m （下侧受拉）6.1778.75CD M =kN·m （上侧受拉）6.1827/12AB M ql =（上侧受拉）6.191117.95A M =kN·m （上侧受拉）6.200.34AD m =，13.33AD M =kN·m 6.2142.3BA M =kN·m （上侧受拉）6.2217.35BA M =kN·m （上侧受拉）6.2357.4BA M =kN·m （上侧受拉）6.2428.5BA M =kN·m （上侧受拉）6.2573.8BD M =kN·m （左侧受拉）。
位移法习题课+(1)
结点弯矩平衡 利用转角位移方程写
出杆端弯矩剪力 截面内外力平衡
问题： 1。位移法方程的物理意义？ 平衡方程
2，变形协调条件何处体现
设定关键位移时已体现
典型方程法
图8-7刚架位移法方程
｛r11Z1+r12Z2+r13Z3+FRR1P1P==00 r21Z1+r22Z2+r23Z3+FRR2P2P==00 r31Z1+r32Z2+r33Z3+FRR3P3P==00
自由项： R1p=-ql2/12 R2p=ql2/12
R3p=-FP
｝ 带入位移法典型方程，12iZ1+4iZ2-6iZ3-ql2/12=0
求得Z1 Z 2和Z3
4iZ1+12iZ2-6iZ3+ql2/12=0 -6iZ1-6iZ2+24i/l2Z3-FP=0
位移法典型方程
不同结构相同 的方程形式
F BA
——杆端弯矩的一般公式 近角 （习惯上称为两端固支单跨 梁的转角位移方程）。
方程的记忆的口诀：
远角 侧移 固端弯矩
θA FP
q
θB
A
B
i EI l ΔAB
B’
“近4远2侧负6，固端弯矩不能丢。”
（3）杆端剪力的 一般公式由迭加 原理，同样可得：
FQ AB
6i l
A
6i l
（2）由迭加原理，得总的杆端弯矩 MAB：
M AB
3i A
- 3i
AB l
M
F AB
θA q A
FP
B
——一端固支、一端铰支 单跨梁的转角位移方程。
位移法基本原理加例题分析课件
10
2. 形常数载常数
2.2 等截面直杆的形常数
等截面直杆的形常数是由单位杆端位移引起的单跨超静定 梁的杆端力。如图所示两端固定梁，由左端单位转角作用下产 生的杆端力，可用力法求解，并令： 得到杆端弯矩（即形常 数）为：
各种情形的形常数都可用力法求出，如表11-1。
学习交流PPT
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2. 形常数载常数
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3. 位移法的典型方程
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3. 位移法的典型方程
3.2 典型方程的建立：
基本结构的位移与原结构一致了，要使其受力与原结构 相同，则基本结构在荷载与未知量Z1 、Z2 共同作用下，刚 臂上的附加链杆的反力矩R1，反力R2都应等于零，即： 将R1 、R2展开：
Rij中，i表示反力所属的附加联系；j表示引起反力的原因。
学习交流PPT
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3. 位移法的典型方程
3.3 方程的物理意义：
基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用下，每一 个附加联系处附加反力矩或附加反力都应为零。 实质：是反映结构的静力平衡条件。
主系数－——主对角线上的系数。恒为正值 系数,自由项正负 号规定：与该附加联系所设位移方向一致为正， 的 方向总是 与所设位程 方向一致，恒为正，不为零。 副系数－——主对角线上下的系数。可正，可负，可零。 系数（反力）rij与刚度成正比
4.1 位移法的计算步骤 4.2 计算举例
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4. 计算步骤和举例
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4.2 计算举例
4. 计算步骤和举例
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4. 计算步骤和举例
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4. 计算步骤和举例
位移法
100.00
M图
-3500.00
-100.00 -100.00 -100.00 200.00 200.00 -3700.00 0.00
-3800.00
图9-5
FQ 图
-3800.00
-3700.00
FN 图
MBA= 3 2EI /L θB=6i θB
MCF= 3 2EI /L θC= 6i θC
Z2
2i
4i
2 2i
k21
M
A
0
斜杆
2i M1
3 2i / l
k 22 (12 6 2 )i / l
2
k12
6i / l
Z2=1
k22
M2
k12
A
k22
12i / l 2
F1P 0
F2 P P
F1P
6i / l
A
Z1 0.013Pl / i Z 2 0.05Pl 2 / i
X
0
K F 0
解方程求独立结点位移 迭加作内力图 用平衡条件进行校核
解方程求多余未知力 迭加作内力图 用变形条件进行校核 不能解静定结构
可以解静定结构
§7.9 联合法与混合法
1.联合法
P
EI=C
=
P/2
P/2
+
P/2
P/2
力法:6个未知量 P/2 位移法:6个未知量 部分力法,部分位移法:4个未知量 P/2
4、求解基本未知量： θB = qL2 /102i θC = - qL2 /136i
7、画出内力图和位移图（ q=6800、L=1、EI=1）
-500.00 -400.00 -300.00 -400.00 -200.00 400.00 3300.00 0.00 -400.00 -400.00 0.00 300.00 300.00 300.00 300.00
位移法例题
r21=- 24i/l 2
0
6i/l 6i/l
r12= -24i/l 2
r12
Z2=1
-12i/l 2 -12i/l 2 12i/l 2
-12i/l 2 -12i/l 2 r22=48i/l 2 12i/l 2
r22
6i/l
M 2图
FP
说明：水平杆的M图没画，并不是其M=0，而 是EI无穷大的杆能平衡任何弯矩。
R1P FP
R1P=-FP
0 0 0 0 0
FP
R2P FP MP图
R2P=-FP
0
作用在结点上的外力相当于 支座，故杆件无弯矩。 解得
3FP l 2 Z1 = 24i FP l 2 Z2 = 12i
FPl /4 FPl /4 FPl / 2
FPl / 2
M图
(4) 利用叠加法作出弯矩图
例4:用位移法计算图示结构 ,并作弯矩图.EI= 常数. 4:
l
A l
D
（同济大学，2004年考研题）
Z1 = 1
B 4i A 4i 2i l
C 2i l D
Z2 = 1
6i/l
2i/l
B
C
4i/l
M1 图
A
6i/l
D
l
M2 图
l
Z1 = −ql / ( 84i )
2
Z 2 = ql / ( 3i )
3
M 图（× ql ）
2
例2： 位移法求解图示结构。
P
P /2
l A EA = B
Z1
l
l
P
l
注意： M 1图和 M P图的正确作图
例3：用位移法作图示结构的 M 图。EI=常数.
(整理)位移法习题.
位移法一、判断题1.位移法与力法的主要区别是，位移法以结点位移为基本未知量，而力法则以多余未知为基本未知量。
（）2. 位移法的基本未知量包括结点转角和独立结点线位移，其中结点转角数等于结构中所有刚结点的数目。
（）3.位移法中杆端弯矩正负号的规定与作弯矩图时的规定相同。
（）4.利用结点或横梁的平衡条件建立的平衡方程式称作位移法的基本方程。
（）5.独立结点线位移的数目，对于多层刚架（无侧向约束）等于刚架的层数，对于复杂刚架等于为使铰化结点后体系成为几何不变体系所需增加的链杆数目。
（）6.位移法的基本未知量是结构的多余约束力。
（）7.杆端弯矩与结点转角、在垂直杆轴线方向的相对线位移及固端弯矩之间的关系式，称为转角位移方程。
（）8.位移法的基本未知量是结构的多余约束力（）。
9.用位移法计算图1所示结构时，其基本未知量有3个（）。
图 110.位移法只能用来解超静定结构。
（）二、选择题1.试确定下面结构的位移法基本未知量的个数：（）A．θ=1，Δ=1B．θ=2，Δ=2C．θ=2，Δ=1D．θ=1，Δ=2三、填空题1.力法和位移法是解超静定结构的两种基本方法。
它们的主要区别在于力法是以____________为基本未知量，而位移法则以____________作为基本未知量。
2.位移法基本未知量包括____________和____________。
结点转角未知量的数目等于该结构的____________。
独立结点线位移的数目，对于多层刚架等于刚架的____________ ，对于复杂刚架等于为使铰化结点后体系成为几何不变体所需增加的____________。
3.杆端弯矩与____________及 ____________间的关系式称为转角位移方程。
4.结构的刚结点被固定后，各杆在荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力称为____________和____________。
5.图2所示刚架用力法计算时的基本未知量为____________，用位移法计算时的基本未知量为____________，为了使计算简化应选用____________。
结构力学课后答案第8章矩阵位移法
习 题8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。
8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。
8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。
(a)解：（a ）用后处理法计算 （1）结构标识（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T44332211 θνθνθνθν=∆[]Ty M F M F M F M F F 4y43y32y211 =θ（3）计算单元刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2222322211211462661261226466126122EI 21 l l -l l l -l -l l -l l l l - l k k k k k ①①①①①⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222233332232223 33 6 3632336 362EI 21 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ②②②②②lll⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222234443343323 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ③③③③③（4）总刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=222222222234443343333322322222112112 3300003 6 3 6 000 03403003601236000 0 3632600 363186120000 26460 0 0 06126122EI 0 0 00 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 l l -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -l l -l l l l - -l -- l l -l l l l - l k k k k k k k k k k k k k ③③③③②②②②①①①①θ （5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件[][]00004311 θ θ θν=将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。
《结构力学习题》(含答案解析)
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
a a9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
ql15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。
结构力学习题课位移法
结构力学习题课_位移法2 结构力学学习题课是结构力学课程中的重要一环，通过解答学习题可以加深对结构力学理论的理解和运用。
下面是一道关于位移法的结构力学学习题，附带答案。
题目：某悬臂梁长度为L，截面形状和尺寸均匀，悬臂梁上荷载为均匀分布荷载q。
悬臂梁的截面矩阵为I，杨氏模量为E。
求悬臂梁的挠度。
解答：根据结构力学的位移法，可以通过悬臂梁的截面矩阵和荷载来求解悬臂梁的挠度。
首先，我们需要建立悬臂梁的坐标系。
假设悬臂梁的起点为原点O，x轴沿着悬臂梁的长度方向，y轴垂直于悬臂梁平面的方向。
悬臂梁上的任意一点P的坐标可以表示为(x, y)。
在求解悬臂梁的挠度时，我们可以假设悬臂梁的挠度函数为w(x)。
根据位移法的基本原理，悬臂梁上任意一点P的位移可以表示为：δ = w(x) - y 其中，δ为悬臂梁上任意一点P的位移。
根据悬臂梁的受力平衡条件，可以得到位移函数w(x)满足的微分方程：EIw''(x) = -q(x)其中，w''(x)为w(x)的二阶导数，q(x)为单位长度的荷载。
由于荷载为均匀分布荷载，可以将q(x)表示为： q(x) = q将微分方程代入位移函数的定义中，可以得到： EIw''(x) = -q对该微分方程进行两次积分，可以得到悬臂梁的挠度函数： w(x) = C1x + C2 其中，C1和C2为积分常数。
接下来，我们需要根据边界条件来确定C1和C2的值。
根据悬臂梁的边界条件，可以得到： w(0) = 0 w'(0) = 0将边界条件代入挠度函数中，可以得到： w(0) = C2 = 0 w'(0) = C1 = 0 因此，挠度函数可以表示为： w(x) = 0悬臂梁的挠度为0，即悬臂梁不会发生挠曲变形。
结论：根据位移法，我们求解出悬臂梁的挠度为0。
这是由于悬臂梁受到的荷载为均匀分布荷载，并且截面形状和尺寸均匀，没有产生挠曲变形的情况。
位移法解题步骤例题1(精)
位移法解题步骤例题1用位移法作例题1图(a)所示刚架的弯矩图。
解：⑴确定基本未知量数目，作出位移法基本体系图。
此结构只有一个刚结点C ，因此只有一个角位移1Z ；C 、D 结点有一个独立线位移2Z 。
基本体系如例题1图(b)所示。
⑵列位移法基本方程。
⎭⎬⎫=++=++0022221211212111P P R Z r Z r R Z r Z r⑶求系数和自由项。
根据载常数和形常数作1M 、2M 、P M 图，如例题1图(c)、(d)、(f)所示。
由1M 图及公式可得i i i r 104611=+=由2M 图及公式可得i r r 5.12112-==查形常数表可得12=Z 时各杆的移动端剪力为431612122i i l i F QCA ===16332ili F QDB == 取CD 杆为隔离体图如例题1图（e ）所示。
由公式可得 16151634322ii i F F r QDB QCA =+=+= 查载常数表可得基本结构单独在荷载作用时各杆的剪切移动端剪力为0=FQCA F )(154108383kN ql F F QDB-=⨯⨯-=-= 取CD 杆为隔离体如例题1图(g)所示。
由公式可得)(15)15(02kN F F R FQDB F QCA P -=-+=+=由P M 图可知 01=P R例题1图⑷解算方程组。
将系数和自由项代入位移法基本方程中，得⎪⎭⎪⎬⎫=-+-=+-01516155.1005.1102121iZ iZ iZ iZ 解方程，得i Z 15.31=iZ 212= ⑸根据叠加法作弯矩图。
计算杆端弯矩。
)(2.25215.115.32m kN i i i i M AC ⋅-=⨯-⨯= )(9.18215.115.34m kN ii i i M CA ⋅-=⨯-⨯=)(9.1815.36m kN ii M CD ⋅=⨯= )(8.35202175.0m kN ii M BD ⋅-=-⨯-= 作M 图如例题1图(h)所示。
位移法习题
三、用位移法计算图示连续梁，并绘出弯矩图。
各杆EI 相同且为常数。
（10分）解：（1）选取基本结构如下图所示，Δ1为基本未知量。
（2）写出位移法方程如下：k 11Δ1+ F 1P = 0（3）计算系数k 11及自由项F 1P 令EIi =12，则 i AB =3i ， i BC =2ik 11 = 12i+2i =14i 1P 40F =3kN •m （4）求解位移法基本未知量将系数及自由项代入位移法方程，得：1P 11140F 203k 14i 21i∆=-=-=-（5）作M 图基本结1M6i M P图4040四、用位移法计算图示刚架，并绘制弯矩图。
（10分）解： （1）选取基本结构如下图所示，Δ1、Δ2为基本未知量。
（2）写出位移法方程如下： k 11Δ1+ k 12Δ2+ F 1P = 0 k 21Δ1+ k 22Δ2+ F 2P = 0 （3）计算系数及自由项 令EIi =4，则 i AB = i BC =2i ， i BE = i CF = i ， i CD =4 i 作1M 图、2M 图和M P 图如下：D基本结构D1M 图k 11 = 8i+4i+8i =20ik 21 =4i k 21 = k 12 =4ik 22 = 8i+4i=12iF 1P =40 kN •m F 2P =-30 kN •m （4）求解位移法基本未知量将系数及自由项代入位移法方程，得： 20i Δ1+ 4i Δ2+40= 0 4i Δ1 +12i Δ2-30= 0 解得： 17528i ∆=- 29528i∆= （5）作M 图D2DP {DM图五、用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图。
（10分）解： （1）对称结构受对称荷载作用，可简化为如下结构： 选取基本结构如图所示，Δ1为基本未知量。
（2）写出位移法方程如下：k 11Δ1+ F 1P = 0（3）计算系数k 11及自由项F 1P 令EIi =L，则 i AD = i DE =i 作1M 图和M P 图如下：E1M基本结构k 11 = 4i+4i =8i21P qL F =12（4）求解位移法基本未知量将系数及自由项代入位移法方程，得：221P 111qL F qL 12k 8i 96i∆=-=-=- （5）作M 图由对称性，得原结构的M 图如下：EPE5qL 48M 图22qL25qL 48M 图22qL 22qL 48六、用位移法计算图示刚架(利用对称性)，并绘出弯矩图。
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8-2、清华8-2c 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
题8-2c (a )方法一：列位移法典型方程解：（1）D 处定向支座与AD 段不平行，视为固定端。
AB 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来，DA 杆D 端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
结构只有一个转角位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：11110P k z R ⋅+=（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。
（4）利用结点的力矩平的平衡求系数：1110;k i = 1P R P l =-⋅（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。
110P l z i⋅=（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：11P M M M z =+⋅30.3()1040.4()20.2()101030.3()10ACAD D AAEP l M i Pl i P l P l M i PlMi Pli iP l Mi Pl i⋅=+⋅=⋅⋅=+⋅==+⋅=⋅=+⋅=左拉上拉下拉右拉方法二：转角位移法(c)A CM AA B(d)(b)(e)Q A BF Q A解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个角位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。
C1111,,3,3,4,2 FAB AB A AE AD D AM Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=⋅=⋅=⋅=⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：111100343010A B A C A D A EP l M M M M M P l i z i z i z zi =→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
C1111,,330.3,330.3,1010440.4,220.21010FAB ABA AEAD D AM Pl M PlPl PlM i z i Pl M i z i Pli iPl PlM i z i Pl M i z i Pli i=-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯=讨论；本题将D处的滑动支座改为与杆轴线平行。
(b)(e)(d)M AA BA C(c)Q A BF Q A解：（1）确定结构的基本未知量。
有一个线位移z1，如图所示（b）。
（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定。
C1111,,3,3,,F ABABA AEADD AMPl MPl Mi z Mi z Mi z Mi z =-=-=⋅=⋅=⋅=-⋅（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z 1：1111003307A BA CA DA EP l MMMMMPl i z i z i z z i=→+++=→-+⋅+⋅+⋅=→=∑（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。
C1111,,3333,33,777711,7777F ABABA AEADD A M Pl MPl Pl Pl M i z i Pl Mi z i Pl i iPl Pl Mi z i Pl M i z i Plii=-=-=⋅=⨯==⋅=⨯==⋅=⨯==-⋅=-⨯=-类8-2 d 、试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。
4q =20k N /mq =20k N /m解：1)基本结构如图(b)，有两个位移法未知量。
2)列典型方程：111122*********P P k z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨⋅+⋅+=⎩ 3)画基本结构在下述情况的弯矩图：荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让刚臂2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数： (c)：1225;0P P R R =-⋅=kN m ；(d)：11125;2k i k i ==(e)：21222;11k i k i ==5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。
12275505151z z ii-==6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z Mz MMM P⋅+⋅+=27550150217()()515127550150411.1()()515150003 2.9()()512755015248.1()()515127550154234.6()()5151ABBABCBDD BD EM i kN m i i M i kN m iiM i kN m i M i i kN m ii M i i kN m iiM -=-+⋅+⋅=-⋅-=++⋅+⋅=⋅-=++⋅=-⋅-=-+⋅+⋅=-⋅-=++⋅+⋅=⋅左拉左拉上拉左拉左拉275 5.4()()51275 5.4()()51EDi kN m iMi kN m i=⋅=⋅=-⋅=-⋅下拉下拉3、清华5-3a 试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。
4i清华 题5-3（a ）解：（1）DE 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。
结构有两个位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：1111221211222200P P k z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨⋅+⋅+=⎩(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让附加连杆2发生正的单位线位移的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
(4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：1230;0P P R R =-⋅=kN m ； 1122122121567;;i i k i k k k ll====-(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。
1215060;2323l Z Z ii==(6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z Mz MMM P⋅+⋅+=15066002 2.61()()23231506600410.43()()232315030310.43()()2320()()360007.83()()23ACC A CD D CD EBDi l Mi kN m i l ii l M i kN m il iM i kN m iM kN m M i l MkN m l i=+⋅-⋅=-⋅=+⋅-⋅=⋅=-+⋅=-⋅=⋅=-=+-⋅=-⋅左拉左拉上拉上拉左拉 8-3c 、试用位移法典型方程计算图示刚架，并做弯矩图，EI =常量。
解：（1）外伸段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。
结构有两个位移法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：1111221211222200P P k z k z R k z k z R ⋅+⋅+=⎧⎨⋅+⋅+=⎩BA（d ）（e ）（b ）lV （c ）P（a ）(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让附加连杆2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
(4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：12353104()30;1026.875248P P c R R ⨯⨯=⋅=-⨯--=-⋅：kN m kN m ；1111k i =（d ） 22122122624()1.875;344i i e k i k k i =+===-(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。
11111221122112222122 2.097011330003 1.87526.875017.688P P Z k z k z R i z i z ik z k z R i z i z Z i ⎧=⎪⋅+⋅+=⋅-⋅+=⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨⋅+⋅+=-⋅+⋅-=⎩⎩⎪=⎪⎩(6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z Mz MMM P⋅+⋅+=2.097617.68817.5044.03()()42.09717.688303036.29()()ABC B i MkN m i iM i kN m ii=-+⨯-⨯=-⋅=+⨯-⋅=⋅左拉上拉2.0971217.6880836.29()()42.0971217.6880444.68()()4C D D Ci M i kN m i i i Mi kN m ii=+⨯-⨯=-⋅=+⨯-⨯=-⋅右拉左拉讨论：试用力法典型方程计算图示刚架，并做弯矩图，EI =常量。
图15-15（a ）（d ）x（e ）（b ）（c ）解：（1）外伸段段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。
结构有两个力法基本未知量。
基本结构如图(b)。
（2）建立典型方程：1111221211222200P P z z z z δδδδ⋅+⋅+∆=⎧⎨⋅+⋅+∆=⎩（3)画基本结构在下述情况的弯矩图：画荷载单独作用下的PM 图、两单位力分别单独的单位弯矩1M 图和2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。
4）图乘求系数： 12112215412111254570(204)6323311111330(408)(12541)22211482331181412033P P EI EI EI EIEI EI EI EIEIEIEIEIδδ⨯⨯⨯⨯∆=--⨯⨯⨯+=∆=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=+=；5)将系数，自由项代入典型方程得x 1、x 2。
12111122112112222212825700044.03233022033036.2903P P x x x x x EI EI EIx x x x x EIEI EI δδδδ⎧⋅+⋅+=⎪⋅+⋅+∆==-⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨⋅+⋅+∆==-⎩⎩⎪⋅+⋅+=⎪⎩ 6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：1212P M M M x M x =+⋅+⋅ 5()()00(44.032)1(36.29)36.29()()00(44.032)1(36.29)36.29()()1251(44.032)1(36.29)44.68()()AB BAC B CD D CM kN m MkN m M kN m M kN m MkN m =+⨯-+⨯-=-⋅=⋅=+⨯--⨯-=⋅=+⨯-+⨯-=-⋅=--⨯--⨯-=-⋅左拉左拉上拉右拉左拉8-4c 、试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。
(a )l(c )(b )(e )(f )(各值均要乘Pl )4(d )解：（1）结构有两个位移法基本未知量。