2019高考数学专题题库及解析 数列2

20. （本小题满分16分）

设k 为正整数，若数列{a n }满足a 1＝1，且 (a n ＋1－a n )2＝(n ＋1)k （n ∈N*），称数列{a n }为“k 次方数列”. （1）设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，且数列{a n

n

}为等差数列，求a 4的值；

（2）设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”，且存在正整数m 满足a m ＝15，求m 的最小值； （3）对于任意正整数c ，是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，满足a p ＝c .

20. 对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.

（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ； （2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；

（3）设m =100，常数)1,(2

1∈a .若n an a n n n 2

)

1()1(2

+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，

求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .

20.（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……2分 （2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ， 所以k k b b ≥+1. ……4分 因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，

所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1.

因此，k k a b =. ……6分 （3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ； )14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.

比较大小，可得3424-->k k a a . ……8分

因为121<k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，

从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……12分

因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-

=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---25

1

142

4)(k k k a a

=∑=--25

1

)38()1(k k a =)1(2525

a -. ……16分

19．（本小题满分16分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2－n a ，n ＝1，2，3，…． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足1b ＝1，且1n b +＝n b ＋n a ，求数列{}n b 的通项公式； （3）设n c ＝n (3－n b )，求数列{}n c 的前n 项和为n T ． 19．（1）因为n ＝1时，1a ＋1S ＝1a ＋1a ＝2，所以1a ＝1． 因为n S ＝2－n a ，即n a ＋n S ＝2，所以1n a +＋1n S +＝2．

两式相减：1n a +－n a ＋1n S +－n S ＝0，即1n a +－n a ＋1n a +＝0，故有12n a +＝n a ． 因为n a ≠0，所以

1n n a a +＝1

2

( n ∈*N )． 所以数列{}n a 是首项1a ＝1，公比为12的等比数列，n a ＝1

12n -⎛⎫

⎪

⎝⎭

( n ∈*N )．

（2）因为1n b +＝n b ＋n a ( n ＝1，2，3，…)，所以1n b +－n b ＝1

12n -⎛⎫

⎪

⎝⎭

．从而有

21b b -＝1，32b b -＝12，43b b -＝212⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，1n n b b --＝2

12n -⎛⎫

⎪

⎝⎭

( n ＝2，3，…)．

将这n －1个等式相加，得

n b －1b ＝1＋12＋212⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋2

12n -⎛⎫

⎪⎝⎭＝1

112112n -⎛⎫

- ⎪⎝⎭

-＝2－1

122n -⎛⎫

⎪

⎝⎭

．

又因为1b ＝1，所以n b ＝3－1

122n -⎛⎫

⎪

⎝⎭

( n ＝1，2，3，…)．

（3）因为n c ＝n (3－n b )＝1

122n n -⎛⎫

⎪

⎝⎭

，

所以n T ＝02

2

1

11111223(1)22222n n n n --⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫+++

+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎢⎥⎣⎦

． ① 12n T ＝123

1

11111223(1)22222n n

n n -⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

⎢⎥⎣⎦

． ② ①－②，得1

2n T ＝021

111122222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+++

+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎢⎥⎣

⎦

－122n

n ⎛⎫

⎪⎝⎭．

故n T ＝1124112

n

⎛⎫

- ⎪⎝⎭-－142n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－82n －142n

n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－1(84)2n n +( n ＝1，2，3，…)．

19．（本小题满分16分）

若有穷数列12,,,(n a a a n ⋅⋅⋅是正整数），满足1211,,,n n n a a a a a a -==⋅⋅⋅=即1i n i a a -+=（i 是正整数，且

1i n ≤≤）就称该数列为“对称数列”.

（Ⅰ）已知数列{}n b 是项数为7的“对称数列”，且1234,,,b b b b 成等差数列，235,7b b ==，试写出{}n b 的

每一项；

（Ⅱ）已知数列{}n c 是项数为100的“对称数列”，且5152100,,,c c c ⋅⋅⋅构成首项为2，公差为3的等差数列，求数列{}n c 的前n 项和为(1,2,3,,100)n S n =⋅⋅⋅；