(完整版)平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的实际背景及基本概念

向量的物理背景与概念

向量的几何表示

相等向量与共线向量

教学目标

1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)

2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)

3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)

[基础·初探]

教材整理1 向量及其几何表示

阅读教材P 74～P 75例1以上内容，完成下列问题．

1．向量与数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．向量的几何表示

(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．

(2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB

→的长度(或称模)，记作|AB

→|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如AB

→，CD →.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量可以比较大小．( )

(2)坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量．( )

(3)某个角是一个向量．( )

(4)体积、面积和时间都不是向量．( )

解：因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x 轴、y 轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确．

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

教材整理2 向量的有关概念

阅读教材P 75第十八行以下至P 76例2以上内容，完成下列问题.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)单位向量都平行．( )

(2)零向量与任意向量都平行．( )

(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )

(4)|AB →|＝|BA →|.( )

解：(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确．故只有(2)(4)正确．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√

[小组合作型]

向量的有关概念

判断下列命题是否正确，请说明理由：

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；

(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；

(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．

(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．

(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.

(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．

(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．

求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等．

[再练一题]

1．给出下列命题：

①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；

②向量的模一定是正数；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量AB

→与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上．

其中正确命题的序号是________．

解：①错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．

②错误.0的模|0|＝0.

③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．

④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并

不要求两个向量AB

→、CD →必须在同一直线上． 【答案】 ③

向量的表示及应用

某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向

按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．

(1)作出向量AB

→，BC →，CD →； (2)求AD

→的模. 【导学号：00680033】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．可把AD

→放在直角三角形中求得|AD →|. 解：(1)作出向量AB

→，BC →，CD →，如图所示：

(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝

52＋（10）2＝55(米)，所以|AD

→|＝55米． 1．向量的两种表示方法：

(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．

(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示

向量，如AB

→，CD →，EF →等． 2．两种向量表示方法的作用：

(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为