2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练

2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练

[A 级 基础达标]

1．[xx·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2

－y 24＝1

B.x 24－y 2

＝1 C ．y 2－x 2

4＝1

D.y 2

4

－x 2

＝1 答案 D

解析 由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 2

4－x 2

＝0，

即y ＝±2x .

2．[xx·湖北模拟]若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离

心率为( )

A.

73 B.54 C.43 D.53

答案 D

解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43

，

又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2

＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53

.故选D.

3．[xx·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2

－y 2

3＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x

轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )

A.13

B.12

C.23

D.32 答案 D

解析 因为F 是双曲线C ：x 2

－y 2

3＝1的右焦点，所以F (2,0)．

因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P

3＝1，解得y P ＝±3，

所以P (2，±3)，|PF |＝3.

又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝3

2

.故选D.

4．[xx·广东模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5

4

，且其右焦点为F 2(5,0)，则

双曲线C 的方程为( )

A.x 24－y 2

3

＝1

B.x 29－y 2

16

＝1

C.x 216－y 2

9＝1 D.x 23－y 2

4

＝1 答案 C

解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(5,0)，所以c ＝5.因为离心率e ＝c a ＝5

4

，所以a ＝4.

又a 2

＋b 2

＝c 2

，所以b 2

＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 2

9

＝1.

5．P 为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率

的取值范围是( )

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．(3，＋∞)

D ．[3，＋∞)

答案 B

解析 如图，由题意可知⎩⎪⎨

⎪⎧

4a ＋2a >2c ，

a

∴1

当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ， ∴e ＝3. 综合e ∈(1,3]．

6．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的

直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π

6

，则双曲线的渐近线方程为________．

答案 y ＝±2x

解析 根据已知可得，|PF 1|＝2b

2

a 且|PF 2|＝

b 2a ，故2b 2a －b 2

a ＝2a ，所以

b 2a 2＝2，b

a

＝2，双

曲线的渐近线方程为y ＝±2x .

7．[xx·海口调研]已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为

双曲线左支上的任意一点，且|PF 2|＝2|PF 1|，若△PF 1F 2为等腰三角形，则双曲线的离心率为

________．

答案 2

解析 ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2|PF 1|，∴|PF 2|＝4a ，|PF 1|＝2a ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，∴|PF 2|＝|F 1F 2|，即4a ＝2c ，∴c a

＝2.

8．[xx·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所

在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.

答案 2

解析 由OA ，OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2

－y 2

＝a 2

.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2

＝2a 2

可得a ＝2.

9．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，

焦点到渐近线的距离为 3.

(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝3

3

x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →

＝tOD →

，求t 的值及点D 的坐标．

解 (1)由题意知a ＝23，

又∵一条渐近线为y ＝b a

x ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |

b 2＋a 2

＝ 3.

∴b 2

＝3，∴双曲线的方程为

x 2

12

－y 2

3

＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.

将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 2

12－y 2

3＝1得x 2

－163x ＋84＝0，

则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝

3

3

(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧

x 0y 0＝433，x 2

12－y 20

3＝1，

∴⎩⎨

⎧

x 0＝43，y 0＝3，

∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．

10．[xx·广西模拟]已知双曲线方程2x 2

－y 2

＝2. (1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；