三角函数的定义 PPT

思考：记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？ [提示] 对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆： “一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全 是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余 弦是正值。
1．已知角
α
终边经过
P
23，12，则
cos
α
等于（
1．任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设 α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，
它与原点 O 的距离是 r(r＝ x2＋y2＞0)。
三角函数 定义
定义域
名称
sin α cos α
y r
x __r__
R
正弦
Rห้องสมุดไป่ตู้
余弦
1．任意角的三角函数
tan α
y
x
sec α csc α cot α
r x
r __y__
由角 α 终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： 1已知角 α 的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦 函数的定义求出相应三角函数值； ②在 α 的终边上任选一点 Px，y，P 到原点的距离为 rr>0，则 sin α＝yr，cos α＝xr。已知 α 的终边求 α 的三角函数时，用这几个公式更 方便。
）
1 A.2
3 B. 2
3 C. 3
D．±21
B [由三角函数定义可知，角 α 的终边与单位圆交点的横坐标为 角 α 的余弦值，故 cos α＝ 23。]
2．若 α 的终边与 y 轴重合，则 α 的六种三角函数中，函数
值不存在的是（ ）
A．sin α 与 cos α
B．tan α 与 cot α
C．tan α 与 sec α
(1)A
(2)－
3 2
1 2
－3
(3)1 或－1
[(1)由 sin α，cos α 的定
义知 x＝－4，y＝3，r＝5 时，满足题意，故选 A．
(2)因为角－π3的终边与单位圆交于点 P12，－ 23，
所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，
tan α＝－ 3。
(3)因为 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|， ①若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限。 sin α＝yr＝45aa＝54，cos α＝xr＝－5a3a＝－35， 所以 2sin α＋cos α＝85－35＝1． ②若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限， sin α＝－4a5a＝－54，cos α＝－ －35aa＝35， 所以 2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1．]
三角函数的定义
学习目标
核心素养
1．通过任意角的三角函数概念 1．理解任意角的正弦、余
的学习，培养学生的数学抽象 弦、正切的定义。（重点）
及直观想象核心素养。 2．会根据三角函数的定义
2．借助角在各象限符号的判 来求三角函数在各象限内
断，提升学生的直观想象及数 的符号。（难点）
学抽象核心素养。
自主预习 探新知
[解] 由点 P 的坐标为12， 23和三角函数定义得 sin θ＝ 23，cos θ＝12， 所以 f(θ)＝ 3sin θ＋cos θ＝ 3× 23＋12＝2。
三角函数符号的判断
【例 2】 判断下列各式的符号。 (1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°； (2)tan 191°－cos 191°； (3)sin 2cos 3tan 4．
x y
__α__α_≠_k_π_＋__π2_，__k∈__Z____ ___α__α_≠__kπ_＋__π2_，__k_∈_Z___ __
__{_α_|α_≠__k_π_，__k_∈__Z__}___ __{_α_|α_≠ __k_π_，__k_∈__Z__}_
正切 正割 余割 余切
2．三角函数在各象限的符号
(3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2cos 3tan 4<0.
[思路探究] 先确定角所在象限，进一步确定各式的符号。
[解] (1)∵2 015°＝5×360°＋215°， 2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角， ∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0. (2)∵191°角是第三象限角， ∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0.
D．cot α 与 csc α
C [由三角函数的定义及其定义域可知，对 tan α 与 sec α 中角 α
的取值范围为αα≠kπ＋π2，k∈Z
，故选 C。]
3．若角 α 的终边上有一点 P(3，4)，则 sin α＋cos α＝________。
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[由三角函数定义知，sin α＝54，cos α＝35，∴sin α＋cos α＝57。]
4．已知 cos θ·tan θ<0，那么角 θ 是________象限角。
第三或第四 [∵cos θ ·tan θ<0，∴cos θ，tan θ 异号。 故由象限角知识可知 θ 在第三或第四象限。]
合作探究 提素养
任意角三角函数的定义及应用
【例 1】 (1)若 sin α＝35，cos α＝－45，则在角 α 终边上的点有（ ）
2当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对 字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论。
1．设函数 f(θ)＝ 3sin θ＋cos θ，其中，角 θ 的顶点与坐标原点 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x，y)，且 0≤θ≤π。 若点 P 的坐标为12， 23，求 f(θ)的值。
A．(－4，3)
B．(3，－4)
C．(4，－3)
D．(－3，4)
(2)若 α＝－π3，则 sin α＝________，cos α＝________，tan α＝
________。
(3)已知角 α 的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，则 2sin α＋cos α＝
________。
[思路探究] (1)由定义确定终边位置，结合函数值求解。 (2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解。 (3)分 α＞0，α＜0 两种情况分别求解。