洛必达法则失效的种种情况及处理方法
洛必达法则的一些应用
1 引言18世纪数学本身的发展，以及这个世纪后期数学研究活动的扩张和数学教育的改革都为19世纪数学的发展准备了条件．微积分学的深人发展，才有了后面的洛比达法则，而且在英国和欧洲大陆是循着不同的路线进行的．在欧洲大陆，新分析正在莱布尼茨的继承者们的推动下蓬勃发展起来．伯努利家族的数学家们首先继承并推广莱布尼茨的学说. 雅各布·伯努利运用莱布尼茨引用的符号，并称之为积分，莱布尼茨采用他的建议，并列使用微分学与积分学两个术语．雅各布·伯努利的弟弟约. 翰·伯努利在莱布尼茨的协助之下发展和完善了微积分学. 他借助于常量和变量，用解析表达式来定义函数，这比在此之前对函数的几何解释有明显的进步. 他在求“0/0”型不定式的值时，发现了现称为洛必达法则的方法，即用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限. 约翰·伯努利的学生、法国数学家洛必达的《无限小分析》(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范着作，他在书中规范了这一种算法即洛必达法则，之后洛必达法则的也得到了广泛应用，这对传播微分学起到很大的作用.从极限概念的产生到现在已经经历了两千五百多年的发展，漫漫的历史长河，人类在寻求真理和科学的过程中不断探索和总结，对于数学的探索给了人类科学发展以强大的动力．我们应当对任何知识都认真的学习、研究及做出总结．不仅踏寻前人的路迹，同时也要从中开创新的空间．极限是数学分析的基石，是微积分学的基础．不定式极限是一种常见和重要的极限类型，其求法多种多样，变化无穷．本文先介绍了洛必达法则的定义，然后对洛必达法则使用条件及其常见误区进行了详细分析，阐述了该法则适用于解决函数极限的类型并举例说明其应用，总结了洛必达法则的各种形式及使用范围，并介绍了洛必达法则的基本应用，以及在使用洛必达法则解题时应注意的问题．文章还将法则的适用范围推广至求数列极限，然后分析法则的使用过程中容易出现的错误；最后通过具体实例说明了可以将法则和其他求极限方法结合起来使用，使我们对法则有了更深入的理解，进而提高了应用洛必达法则解决问题的能力．2 洛必达法则及使用条件在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母同时趋向于零或无穷大的情况，由于这时无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难，事实上，这时极限可能存在，也可能不存在，当极限存在时，极限的值也会有各种各样的可能，如当a x →（或∞→x ）时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限)()(lim )(x g x f x ax →∞→可能存在也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为00型和∞∞型. 未定式极限除了以上两种外，还有∞⋅0型、∞-∞型、0∞型、∞1型、00型等五种，后面几种都可以转换成前面两种类型来进行计算，因此掌握00型和∞∞型极限的计算方法是前提．2.1 洛必达法则0型定理2.1 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零；（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 这就是说，当)(')('limx g x f ax →存在时，)()(lim x g x f a x →也存在且等于)(')('lim x g x f a x →；当)(')('lim x g x f a x →为无穷大时，)()(limx g x f ax →也是无穷大，这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证明 因为)()(x g x f 当a x →时的极限与)(a f 及)(a g 无关，所以可以假定0)()(==a g a f ，于是由条件（1）、（2）知道，)(x f 及)(x g 在点a 的某一邻域内是连续的，设x 是这一邻域内的一点，那么在以x 及a 为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有)(')(')()()()()()(ξξg f a g x g a f x f x g x f =--= （ξ在x 与a 之间）.令a x →，并对上式两端求极限，注意到a x →时a →ξ，再根据条件（3）便得要证明的结论.如果)(')('x g x f 当a x →时仍属于00型，且这时)('x f ，)('x g 都能满足定理中)(x f ，)(x g 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，从而确定)()(limx g x f ax →，即 )('')(''lim )(')('lim )()(limx g x f x g x f x g x f a x a x ax →→→==. 且可以依次类推.定理2.2 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零；（2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.2 洛必达法则∞∞型 定理2.3 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞；（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 定理2.4 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞； （2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.3 其他类型未定式除了上述的00型和∞∞型未定式外，还有∞-∞∞⋅∞∞,0,,0,100等类型的未定式．这几种类型的未定式，都可转化为00型或∞∞型的未定式，即可利用洛必达法则进行求解．如下图所示：具体步骤如下：(1)∞⋅0型未定式可将乘积化为除的形式，即当0x x →或∞时，若0)(→x f ,∞→)(x g ，则()()()()x g x f x g x f x x x x 1limlim 0→→=⋅或()()()()x f x g x g x f x x x x 1lim lim 00→→=⋅， 这样，∞⋅0型未定式就变为00型或∞∞型未定式. (2)∞-∞型未定式可通过通分计算，即当0x x →或∞时，若∞→)(x f ,∞→)(x g ，则()()()()()()11()lim lim11x x x x f x g x f x g x f x g x →→---=⋅， 这样，∞-∞型未定式就变为型未定式. (3)00，1∞，0∞型未定式可先化为以e 为底的指数函数的极限, 再利用指数函数的连续性, 转为直接求指数的极限,而指数的极限形式为“∞⋅0”型, 再转化为“00” 型或“∞∞”型计算.当0x x →或∞时，若0)(→x f (或1)(→x f ，或∞→)(x f )，0)(→x g （或∞→)(x g ）. 则()()ln ()lim ()lim g x g x f x x x x x f x e →→=或000lim ()ln ()()()ln ()lim ()lim x x g x f x g x g x f x x x x x f x e e →→→==，这样就可利用洛必达法则进行求解. 2.4 洛必达法则求极限的条件 从定理知道, 无论是“00”型还是“∞∞”型,都必须具备一个重要条件, 即在自变量的同一变化过程中，)(')('lim)(x g x f x ax →∞→存在（或为∞）时，才有)()(lim )(x g x f x a x →∞→存在（或为∞），且)(')('lim )()(lim )()(x g x f x g x f x x a x a x →∞→∞→→=，0型∞∞型 ∞-∞型 ∞⋅0型00,1,0∞∞型但是此条件却不便先验证后使用，所以连续多次使用法则时，每次都必须验证它是否为“0”型或“∞∞”型，其使用程序如下： )()(lim)(x g x f x a x →∞→（“00”），)(')('lim )(x g x f x a x →∞→（“00”），...，)()(lim )1()1()(x g x f n n a x x --→→∞（“00”），若)()(lim )()()(x g x f n n a x x →∞→存在（或为∞），那么才有式子)()(lim )()(lim ...)(')('lim )()(lim )()()1()1()()()()(x g x f x g x f x g x f x g x f n n a x n n a x a x a x x x x x →∞→∞→∞→∞→--→→→====成 立。
洛必达法则的内容及运用注意事项
洛必达法则的内容及运用注意事项
1、分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；
2、分子分母在限定的区域内是否分
别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，
直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，
再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
注意事项
1、谋音速就是高等数学中最重要的内容之一，也就是高等数学的基础部分，因此熟
练掌握谋音速的方法对努力学习高等数学具备关键的意义。
洛比达法则用作谋分子分母同
趋向零的分式音速。
2、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
3、洛必达法则厚边未定式音速的有效率工具，但是如果仅用洛必达法则，往往排序
可以十分繁杂，因此一定必须与其他方法结合，比如说及时将非零音速的乘积因子分离出
来以精简排序、乘积因子用等价量替代等等。
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求
这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
洛必达法则应用条件
洛必达法则应用条件
洛必达法则是一个数学原理，用于判断极限存在与否。
在应用洛必达法则时，需要满足以下条件：
1. 极限形式为“0/0”或“∞/∞”：洛必达法则只适用于这两种形式的极限。
如果极限形式不是这两种情况，无法使用该法则。
2. 函数可导：洛必达法则要求函数在极限点附近是可导的。
如果函数在这个区间内不可导，无法使用该法则。
3. 适用于函数的极限点：洛必达法则只适用于函数在某个特定点的极限。
如果需要计算函数在无穷远点的极限，不能使用该法则。
4. 对于一元函数，考虑自变量趋近于某个点的情况：洛必达法则适用于一元函数的极限计算。
当自变量趋近于某个点时，可使用该法则判断极限存在与否。
5. 满足洛必达法则的条件：为使用洛必达法则，我们需要对函数的分子和分母分别求导，并检查导函数的极限是否存在。
如果导函数的极限存在，并且极限值不为零，则可以使用洛必达法则计算原函数的极限值。
总结起来，洛必达法则的应用条件包括极限形式为“0/0”或“∞/∞”，函数可导，考虑特定点附近的情况，对函数的分子和分母分别求导且导函数的极限存在且不为零。
使用洛必达法则可以解决一些复杂的极限问题，但在应用时需要谨慎判断条件是否满足，并注意计算的准确性。
洛必达法则5种常见错误
洛必达法则使用中的5种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞−∞∞∞（其中后面3种可以通过A e A ln =进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。
17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule）。
虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。
在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。
本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。
以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。
█失误一不预处理例1错误：−∞=−⋅⋅=′⋅′=+++→→→1(1lim )(lim lim 2101010x e e x xe x x x x x x 正确：+∞=′′⋅==+++→→→)1()1(lim 1lim lim 101010x x e x e xe x x x x xx █失误二急躁蛮干例：错解21126lim 2126lim 42633lim 34223lim 112212331==−=−−−=+−−+−→→→→x x x x x x x x x x x x x x 正确解：532126lim 42633lim 34223lim 12212331=−=−−−=+−−+−→→→x x x x x x x x x x x x x 例2：错解122sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos lim 000==−++=++=−=→→→x x x x x e x x x x e x x x e x x x x x x 正确解：∞=++=−=→→xx x x e x x x e x x x x cos sin sin lim sin cos lim 00更好的解法：∞=+=−=−=→→→x x e x x e x x x e x x x x x x 2sin lim cos lim sin cos lim 0200经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算例3402220220)cos (sin sin lim cos sin sin lim )1(2sin 21cos 1lim2x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x −=⋅−=−−−→→→＝313sin lim cos sin lim 2030==−→→x x x x x x x x x █失误三对离散点列求导例4求n n n+∞→lim 错解：属于0∞型，先进行变形1lim lim lim 011lim ln lim ln 11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→e e e e n n nn n n n n n n n n n n 错误原因：n n n f =)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。
洛必达法则失效的种种情况及处理方法
《高数解题的四种思维定势》1．在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
2．在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
3．在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
4．对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
《线性代数解题的八种思维定势》1．题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。
2．若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3．若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
4．若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。
5．若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6．若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
7．若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。
8．若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
关于可积和原函数存在如下三种情况可积，是充分条件1。
闭区间上的连续函数是可积的2。
只有有限个第一类间断点的函数是可积的，也就是分段连续函数是可积的3。
单调有界函数必定可积不满足以上三条的也可能是可积的，上面的是充分条件另外，关于原函数是否存在在某个区间上有第一类的函数，则在这个区间上一定不存在原函数在某个区间上有第二类间断点的函数，则在这个区间上有可能有原函数，也可能没有最后，可积和是否有原函数，说的不是一个事情，这个要记住了可积大概的理解，就是图形和x轴围成的面积是存在的，不是无穷大的原函数，就是有这样一个函数，可以表达块面积显然，面积存在的时候，是不一定有这样一个函数的关于合同，相似，等价的关系1、两个矩阵合同，并不需要他俩一定是对称矩阵！2、俩个实对称矩阵合同的充要条件是它俩必然具有相同得正负惯性指数；3、不是实对称的俩矩阵合同，根本无从讨论它俩的什么正负惯性指数——因为二次型的矩阵一定是实对称矩阵，也只有实对称矩阵对应的二次型才有所谓正负惯性指数这一概念！呵呵^_^4、两个矩阵合同，一定推出它俩等价；两个矩阵相似，也一定推出它俩等价；两矩阵相似与两矩阵合同谁也不比谁更强！5、如果两矩阵有相同的秩，且为同型矩阵，那么两矩阵等价6、两个实对称矩阵相似，可推出两个矩阵合同，但合同不能推出相似关于偏导，可微1。
罗必达法则求极限的应用及误区
罗必达法则求极限的应用及误区通过例题展示了罗必达法则求极限的重要应用，并说明了罗必达法则在使用过程中与其他方法的配合及多种方法的灵活运用。
同时指出了罗必达法则的不足之处——会失效，及罗必达法则失效时的方法选择问题。
标签：罗必达法则;应用;不足G4在求00型与∞∞型未定式的极限中，罗必达法则可谓立下了汗马功劳。
它不仅简化了求未定式极限的方法，也使得很多复杂的未定式极限问题得解。
但对于某些问题看似可以用罗必达法则解答的，最后却走入了死胡同里。
说明罗必达法则在解决未定式极限的问题上不是万能的，也有不足之处。
本文将通过相关例题带大家领略罗必达法则的奇妙之处，并寻找解决其不足之处的方法。
1 罗必达法则的应用学过高等数学的人都知道，罗必达法则是用导数的方法来求未定式极限的非常重要的定理。
它是针对00型和∞∞型未定式的求解方法。
下面举例说明罗必达法则的使用方法。
例1 求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1（00型未定式，使用罗必达法则求解）解：原式=limx→13x2-33x2-2x-1（还是00型未定式，继续使用罗必达法则）=limx→16x6x-2（代入求极限）=32说明：罗必达法则可以在求极限的过程中反复使用。
例2 求limx→0+lncotxlnx （∞∞型未定式，使用罗必达法则求解）解：limx→0+lncotxlnx=limx→0+1cotx·（-1sin2x）1x （整理）=-limx→0+xsinxcosx=-limx→0+xsinx·limx→0+1cosx （分离出特殊极限）=-1例3 求limx→0+3x-3sin3x（1-cosx）ln（1+2x）解：当x→0时，1-cosx～12x2，ln（1-2x）～2x，故limx→03x-sin3x（1-cosx）ln（1+2x）（先利用等价无穷小量代换将函数简化）=limx→03x-sin3xx3（再用罗比达法则解答）=limx→03-3cos3x3x2（再次使用罗比达法则）=limx→03sin3x2x=92说明：在使用罗必达法则的过程中，可以通过化简并灵活运用各种求极限的方法简化运算。
使用洛必达法则应注意的问题
卜 号ｓ ｅ ｃ
：ｌ ｉ ｍ — ｓ ｅ ｃ — ｘ
—
前提 ， 分子分母分别求导， 得到 ｌ ｉ ｍ 在， 可以使用洛必达法则的结论 。
的极限存
ｓ ｅｃ ‘ｔ ａｎ
坪 ｔ ａ ｎ ｘ
ｌ
正解 ： 原式 ｌ ｉ ｍ＿ ｃ ｏ ｓ ｘ ＝ｌ ｉ ｍ＿ １ ：１
号 一 Ｓ Ｉ Ｉ Ｌ ￣
２ ０ １ ４年第 １ Ｏ期 第３ Ｏ卷 （ 总３ ５ ８期 ）
吉林省教育学院学报
Ｊ ＯＵ Ｒ ＮＡ Ｌ ＯＦ Ｅ ＤＵＣ Ａ ＴＩ ＯＮＡ Ｌ Ｉ ＮＳ Ｔ Ｉ ＴＵ Ｔ Ｅ ＯＦＪ Ｅ Ｌ ［ Ｎ Ｐ ＲＯＶ Ｉ Ｎ ＣＥ
Ｎｏ ．１ ０， ２ ０１ ４ Ｖ０ Ｌ ３ Ｏ Ｔｏ ｔ ａ ｌ Ｎｏ ． ３ ５ ８
二、 正确 理 解 洛 必 达法 则 使 用 的几 个 主 要前 提
和 结论
要 【 ａｌ
错解 ： 原式 ＝ｌ ｉ ｍ— ｓ ｅ ｃ — ｘ ￣ ｔ ａ ｎ ｘ ＝ｌ ｉ ｍ— ｔ ａ ｒ — ｔ ｘ
畸 ｓ ｅ ｃ
：
１ ． 求极限函数为 型， 满足洛必达法则使用的
ｌ ｉ ｍ—
定理 ： 设在某一极 限过程 中， 函数 ）， ｇ （ ｘ ） 满 足条 件 ：
（ １ ） ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ）＝０ ， ｌ ｉ ｍ ｇ （ ｘ ）＝０ 或ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ）＝∞ ， ｌ ｉ ｍ ｇ （ ｘ ）＝∞ ：
错解 ： 原式 ：ｌ ｉ ｍ Ｌ
，
极 限不存在
ｎＳ
２ ． 求 极 限函数 为 型 ， 不满 足 洛必达 法则 使 用
ｘ互 ２ 眦
收稿 日期 ： ２ ０ ｌ ４ —０ ５ —０ ３ 作 者简介 ： 尹 丽（ １ ９ ８ ｌ 一） ， 女， 辽宁庄 河人 ， 大连 海洋大学 理学 院， 讲师 ， 硕士 。研究方 向： 高等数学教育与计算数学 。 ｌ ５ｌ
求极限过程中洛必达法则的使用技巧
求极限过程中洛必达法则的使用技巧文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考。
关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式。
极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远。
理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等。
下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨。
一、若干重要的极限等式1. , 推广的形式为：2.，推广的形式为：，推广的形式为：3.其中可以是一个代数式。
由上述极限还可以导出下面一些重要极限式：，同样它们也有类似的推广的形式。
二、洛必达法则的两个标准形态1.型不定式定理1.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
2.型不定式定理2.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
三、求极限举例求例1.解：本题极限形式是型不定式，直接使用洛必达法则计算，则计算非常复杂，若先对表达式进行恒等变形，并结合拉格朗日中值定理，再适当使用洛必达法则计算就容易多了。
+（其中介于与之间，当时有）+=例2.求解：分母为无穷小因子的乘积，可以用相应的等价无穷小量替换有通过以上两个例题可以发现在求不定式极限时，不要一上手就立即使用洛必达法则，首先需要对所求极限表达式进行观察、分析与变形，然后再进行具体计算。
洛必达法则使用过程中要注意以下几点：1.只有或型不定式才能直接使用洛必达法则；2. 洛必达法则可连续使用，但每次使用该法则时必须检查表达式是否为或型；3.使用洛必达法则之前可以对表达式中的无穷小因子用较简便的等价无穷小替换，每用一次洛必达法则后，都要对表达式进行整理化简，如可以将其中乘积因子中的非零极限先行求出，使表达式得到化简或瘦身等，简化后续计算；4.当用洛必达法则求不出极限时，不能做出该表达式进行不存在的结论，只能说用洛必达法则求此极限失效，此时需采用其他方法求此极限。
高数二 3.3洛必达法则
步骤: 00
0 ln 0
1
取对数 ln1
0 .
0
0 ln
例9 解
求 lim x x . x0
( 00 )
ln x lim x0 1
原式
lim e x ln x
x0 1
lim x ln x
e x0
e
x
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
1
例10 求 lim x1x .
( 1 )
思考题解答
不一定．
例 f ( x) x sin x, g( x) x
显然
lim
x
f ( x) g( x)
lim 1
x
cos 1
x
极限不存在．
但
lim
x
f (x) g( x)
3 2x
1
lim 6x x1 6 x 2
3. 2
arctan x
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
例4 求 lim ln sin ax .
()
x0 ln sin bx
解
原式
lim a cos ax sin bx x0 bcos bx sin ax
x
x
三、小结
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
思考题
设lim f ( x)是不定型极限，如果 f ( x) 的极
洛必达法则的适用条件
洛必达法则的适用条件洛必达法则是微积分中一个十分重要的定理，它说明了理论和实际计算中关于极限的一些性质。
这个定理的核心思想是，如果一个函数逐渐趋近于某个极限，同时另一个函数也逐渐趋近于同一个极限，那么两个函数的比值也会趋近于1。
但是，这个定理并不是所有情况下都适用，需要满足一些条件。
本文将介绍这些条件，以便正确应用洛必达法则。
一、被除函数与除以函数都趋近于0或无穷大洛必达法则要求被除函数和除以函数都趋近于0或无穷大，这是在计算极限的时候，通常都会满足的条件。
例如，当我们要计算 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$的时候，我们会发现被除函数和除以函数都趋近于0。
因此，按照洛必达法则，我们可以将这个极限转化为 $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}$。
这个极限的值是1，因为随着$x$逐渐趋近于0，$\cos x$也逐渐趋近于1，所以两个函数的比值也逐渐趋近于1。
二、函数在极限点附近连续另一个需要满足的条件是，在极限点附近，两个函数必须都是连续的。
这个条件的违反会导致洛必达法则失效。
例如，当我们要计算 $\lim_{x \to 0}\frac{x^2-1}{x-1}$的时候，我们不能直接使用洛必达法则。
因为当$x$逐渐趋近于1时，被除函数和除以函数都趋近于0，但是如果我们直接对两个函数求导，会发现它们在$x=1$处都不存在导数。
这是因为$x=1$是被除函数的一个间断点，也就是说，被除函数在$x=1$处不连续，因此洛必达法则并不适用。
三、洛必达法则只适用于无穷小和无穷大最后一个需要注意的是，洛必达法则只适用于无穷小和无穷大。
因此，我们不能使用洛必达法则来计算有限极限。
例如，当我们要计算 $\lim_{x \to 1}\frac{x^3-1}{x-1}$的时候，我们不能使用洛必达法则。
因为虽然当$x$逐渐趋近于1时，被除函数和除以函数都趋近于0，但是它们的比值并不是在趋近于1，而是在趋近于3。
《微积分一》洛必达法则
说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效
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定理41(洛必达法则I) 如果函数f(x)及g(x)满足 (1)当xa时 f(x)0 g(x)0 (2)在点a的某去心邻域内可导 且g(x)0 f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) f (x) f ( x) lim A (或) 则必有 lim xa g ( x) xa g( x) 简要证明 令 f(a)g(a)0 于是 f(x) 及 g(x) 在点 a 的某邻域 内连续 在该邻域内应用柯西中值定理 有
0
?
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定理41(洛必达法则I) (L’Hospital，1661-1704，法国数学家) 设函数f(x)与g(x)满足条件
(1) lim f ( x) lim g ( x) 0
x a x a
(2)在点 a 的某去心邻域内可导 且 g(x)0 f ( x) A (或) (3) lim xa g( x) 则必有 lim
xx lim 2 x 0 x
1
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ln x (n0) 例 9 求 lim 例11. x x n
1 1 0 解 lim lnnx lim x lim x x x nx n1 x nx n
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四、洛必达法则失效的情况
洛必达法则失效的种种情况及处理方法
洛必达法则失效的种种情况及处理方法洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则)()(lim)()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件： （1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(l i m =→x g a x （或∞）；（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；（3）Ax g x f a x =''→)()(lim （或∞）。
其中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。
所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为xx g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。
此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。
【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使ππ)1(+<≤n x n ，也就是说总存在正整数n ，使r n x +=π，其中π<≤r 0。
这样+∞→x 就等价于∞→n ，所以⎰⎰+∞→+∞→+=r n n xx x x r n x x x ππ00d sin 1lim d sin 1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰+∞→r n n n n x x x x r n ππππd sin d sin 1lim 0 ππππ22lim d sin d sin 1lim 00=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∞→∞→⎰⎰r n R n t t x x n r n n r n ， 这里前面一项注意到了函数x sin 的周期为π，而后面一项作了令t n x +=π的换元处理。
罗必塔法则
四、法则失败的情况 五、小结
f ( x) 为未定型 思考题 设 lim g( x ) f ( x ) 极 限, 若 lim 不存在 ,是 否 g( x ) f ( x) lim 也不存在 ,举 例 说 明 . g( x )
2.4、三点注意事项
三、其它未定式的极限
3.1、分类及求解关键 3.2、具体类型转化方式
例 9⑴ 求 解
原式 lim e
x 0
x 0
x 0
lim x x .( 00 )
x ln x
e
x 0
1 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x lim lim 3 x 2 cos x sin x x sin 2 x 2 2 6 cos 6 x lim 3. x 2 cos 2 x
微积分四②
2
2
2
13/24
2.4、三点注意事项
⑴ 使用罗必塔法则必须验证条件，不是 未 定式不 能用罗必塔法则； ⑵罗必塔法则可以连续应用，必须步步化简（尽可 能地化简）、步步验证求未定式的极限. ⑶罗必塔法则是求未定式的一种有效方法，但与其 它求极限方法结合使用，效果更好。
⑵定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则。
微积分四②
8/24
⑶定理1的证明 f ( x) 证 ( x a )的 极 限 与f (a )及g(a )无 关, g( x ) f ( x ), x a F ( x ), x a , 所以定义辅助函数 f1 ( x ) 0, x a,F1 ( x ) 0, x a 0 , 在U (a, )内任取一点 x, 在以a 与 x 为端点的区间上
关于利用洛必达法则求极限的几点探讨
高校理科研究
关于利用洛必达法则求极限的几点探讨
渤海船舶职业学院 王 悦
［摘 要］《高等数学》是大学中的基础课程，极限是学生一开始就要接触的最基本的知识。其中有一类未定式的极限不能用“商的极 限等于极限的商”这一法则，而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单，使用起来也方便，但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就可 能出错。对于初学者来讲，若盲目使用此法则，会导致错误。本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨，并举例说明。 ［关键词］洛必达法则 极限未定式 等价无穷小代换
成ｌｉｍ
ｘ
ｘ ，此极限式的极限不存在（振荡），故洛必达法则
ｘ→０
ｃｏｓｘ
失效。但原极限是存在的，可用如下方法求得：
ｘ２ｓｉｎ １
ｌｉｍ ｘｓｉｎ １
ｌｉｍ
ｘ ＝ｌｉｍ （ ｘ ·ｘｓｉｎ １ ）＝ ｘ→０ ｘ ＝ ０ ＝０
ｘ→０ ｓｉｎｘ ｘ→０ ｓｉｎｘ
ｘ ｌｉｍ ｓｉｎｘ １
ｘ→０ ｘ
三、未定式的其它类型： 0.∞，∞-∞，0°，∞°，1∞ 型的求解
参考文献 ［１］《高等数学》第五版上册［Ｍ］．高等教育出版社，２００７．２ 第 ５ 版 １３３－１３７ 页 ［２］刘书田等编《． 微积分学习辅导与解题方法》［Ｍ］．高等教育出版 社，２００５ ［３］华东师范大学《． 数学分析》［Ｍ］．人民教育出版社，１９８０
，∞∞
型可直接利用洛必达法则定理求解；
未定式的其它类型： ０．∞，∞－∞，０°，∞°，１∞ 型
⑴对于
０．∞
型，可将乘积化为除的形式，即化为
０ ０
或
∞ ∞
型的未Leabharlann 定式来计算。⑵对于
∞－
∞
型，
高等数学：洛必达(L’Hospital)法则
洛必达（L ’Hospital ）法则在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限，在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法。
本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则，它能帮助我们解决许多迄今无法计算的极限问题。
定理 设函数)(x f 和)(x g（1）在0x 的某去心邻域（或M x >||，0>M ）内可导且0)(≠'x g ； （2）当0x x →（或∞→x ）时，)(x f 和)(x g 都趋于零（或都是无穷大）； （3）)()(lim )(0x g x f x x x ''∞→→存在（或为无穷大）， 则)()(lim)()(lim)()(00x g x f x g x f xx x x x x ''=∞→→∞→→ 这就是说，当)()(lim)(0x g x f x x x ''∞→→存在时，)()(lim )(0x g x f x x x ∞→→也存在且等于)()(lim )(0x g x f x x x ''∞→→；当)()(lim)(0x g x f x x x ''∞→→为无穷大时，)()(lim)(0x g x f x x x ∞→→也是无穷大。
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达法则。
下面以0x x →时的未定式0为例来证明此定理。
*证明：因为极限)()(lim)(0x g x f x x x ∞→→存在与否与)(0x f 及)(0x g 无关，故可假定0)()(00==x g x f ，于是由条件（1）、（2）知，)(x f 和)(x g 在0x 的某邻域内是连续的。
设x 是这邻域内的一点，则在以x 及0x 为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有)()()()()()()()(00ξξ''=--=g f x g x g x f x f x g x f 即 )()()()(ξξ''=g f x g x f （ξ在x 与0x 之间） 上式两端取0x x →的极限，并注意到0x x →时，0x →ξ，可得)()(lim )()(lim )()(lim000ξξξξξ''=''=→→→g f g f x g x f x x x x x 因为)()(limx g x f x x ''→存在（或为无穷大），所以)()(lim )()(lim 00x g x f g f x x x ''=''→→ξξξ，即)()(lim )()(lim00x g x f x g x f x x x x ''=→→ 定理得证。
避免使用洛必达法则解题的两类策略
避免使用洛必达法则解题的两类策略在数学和科学中，洛必达法则是一种解决极限问题的常用方法。
它通过求导数来简化问题，使得计算更加容易。
然而，在一些情况下，使用洛必达法则可能会导致错误的结果或增加解题的复杂性。
因此，我会讨论两类策略，以避免在解题过程中使用洛必达法则。
首先，洛必达法则只适用于一些特定类型的极限问题。
如果问题不能满足一些条件，洛必达法则就不能应用。
例如，当极限问题中的分子和分母同时趋向于无穷大或无穷小时，洛必达法则才能够有效。
但是，如果问题的分子和分母趋向于一些常数，而不是无穷大或无穷小，那么洛必达法则就不能使用。
在这种情况下，我们需要使用其他方法来求解极限问题，如展开成泰勒级数，使用积分，或应用其他适当的数学技巧。
其次，洛必达法则在一些情况下可能产生误导性的结果。
当我们使用洛必达法则时，我们实际上是在对分子和分母分别求导数，并观察它们的极限。
然而，这种方法可能会忽略其他因素的影响，从而得出不准确的结果。
例如，当分子和分母的导数在一些点处同时趋近于零时，极限的结果可能是无穷大或无穷小，但实际上极限可能不存在。
在这种情况下，我们需要使用其他方法来验证极限的存在性，如应用柯西收敛原理或利用极限定义进行严格证明。
为了避免使用洛必达法则产生错误的结果，我们可以采用以下两类策略：第一，理解洛必达法则的原理和前提条件。
了解洛必达法则适用的条件，使我们能够判断何时可以使用它，何时需要使用其他方法。
我们应该知道分子和分母都趋于无穷大或无穷小的情况下才能使用洛必达法则。
此外，我们还应该了解洛必达法则的局限性，即不能用于证明极限的存在性。
通过掌握这些基本知识，我们可以更好地评估何时使用洛必达法则，并在必要时采用其他解题方法。
第二，运用其他数学技巧和方法来解决极限问题。
不依赖洛必达法则可以更好地培养我们的数学思维和解决问题的能力。
学习和掌握其他数学技巧，如泰勒展开、积分和级数等，能够帮助我们更全面地理解问题并找到更准确的解决方法。
导数极限知识总结
导数极限知识总结——仅作了解切忌深究一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器）洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
在导数问题的3）问中通常会出现形似f(x)g(x)的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。
引入：试求lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1试求 xx xx x sin sin lim+-∞→显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是00式，一个则是∞∞，无法求导，这时就需要用到高端大气上档次的洛必达法则了。
1.使用条件定理1 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。
简而言之，当满足00或 ∞∞的不定式时，A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000PS ：一次求导不行仍未不定式，则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解例一．lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1 = lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x−2=2例二．1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x (此为错解)事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim =+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x （正解），这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。
2洛必达法则
2
2
2
例7 求
tan x lim x π 2 tan 3 x
型
sin x tan x cos x lim 解: lim x π x π 2 sin 3 x 2 tan 3 x cos 3 x sin x cos 3x lim lim π x 2 sin 3 x x π 2 cos x
sin 2 x lim 0 x0 3 x
3x lim 2 x0 sin x
4x lim 2 4 x x 1
x lim 2 0 x x 1
0 0
x2 1 lim x x
型）或两个
由于两个无穷小量之比的极限（
无穷大量之比的极限（ 型），有的存在，有的不
型
例7 解:
lim 2 3 x π cos x 2
tan x 求 lim 型 x π 2 tan 3 x 1 2 tan x cos x lim lim x π x 3 2 tan 3 x 2 2 cos 3x 1 cos 3x 0
π 2
0
型
sin 6 x 0 1 2cos3x(3sin 3 x) 型 lim lim π x 2 sin 2 x 0 3 x π 2cos x( sin x) 2
2． (uv) uv uv
u u v uv 3. (v 0) 2 v v
三、复合函数的求导法则：
复合函数的导数等于复合函数对中间变 量的导数与中间变量对自变量的导数之积．
2.5 洛必达法则
0 0
sin x 1 lim x 0 3 x 3
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洛必达法则失效的种种情况及处理方法
今天我在看XX 书时，看到这样一道题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim ，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于
使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则
)()(lim )()(lim
x g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件： （1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）；
（2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；
（3）A x g x f a x =''→)()(lim
（或∞）。
其中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。
所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷
大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。
此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。
【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使ππ)1(+<≤n x n ，也就是说总存在正整数n ，使r n x +=π，其中π<≤r 0。
这样+∞→x 就等价于∞→n ，所以
⎰⎰+∞→+∞→+=r n n x x x x r n x x x ππ00d sin 1lim d sin 1lim
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰+∞→r n n n n x x x x r n ππππd sin d sin 1lim 0 ππππ22lim d sin d sin 1lim 00=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∞→∞→⎰⎰r n R n t t x x n r n n r n ， 这里前面一项注意到了函数x sin 的周期为π，而后面一项作了令t n x +=π的换元处理。
最后注意到积分值R 的有界性（20<≤R ）。
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。
【问题2】求极限（1）x x x 3
31lim
+∞→；（2）x x x x x --+∞→+-e e e e lim 。
【分析与解】（1）这是∞∞
型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到
x x x x x x x x x 333232331lim )1(lim 1lim +=+=+∞→∞→∞
→，
可知洛必达法则失效，处理的方法是
111lim 1lim 1lim 333333
3=+=+=+∞→∞→∞→x x x x x x x x 。
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
x x x
x x x x x x x x x x x x --+∞→--+∞→--+∞→+-=-+=+-e e e e lim e e e e lim e e e e lim ，
可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘x -e ，得到
1e 1e 1lim e e e e lim 22=-+=+---+∞→--+∞→x x
x x x x x x 。
【问题3】求极限100102
e lim x x x -→。
【分析与解】这是00
型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件
10210?1001
0200e lim e lim 2
2x x x x x x -→-→=
完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。
正确有效的方法是作换元，令
21x t =
，这样就有 0e lim e lim 50
1001
02==+∞→-→t t x x t x 。
还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例在本博客“2008考研数学辅导系列之24（4月14日博文《泰勒公式的应用》）”一文中的
【例1】求极限)3(211ln 3)76(sin 6lim 2202x x x x x x x e x x +--+---→问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达
法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了．。