第8章 杆系结构的有限元法
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2-杆系结构有限元分析报告
得，正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵 Ν 及其
Ni , N j 也由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
从式(2.4)还可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移
ui ， u j 化为连续函数 u(x) ，数学上讲，就是已知函数在闭区间 两个端点上的值 ui ， u j ，构成一个连续函数 u(x) ，它在端点应 保证等于 ui ，u j ，这样的计算步骤就是内插，形状函数 Ni ， N j 就是实现内插的两个函数，所以 Ni ， N j 又叫内插函数，形状函 数矩阵 Ν 又叫内插函数矩阵，而式 u(x) Ni (x)ui N j (x)u j 又叫
1. 本点为 1，它点为 0； 2. 任意一点总各为 1。
杆单元形状函数 Ni ， N j 如图 3.3 所示。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
当结构变形之后， i，j 结点的位移通常都不为零，这时单
元内位移按式(2.4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求
一个元素都是坐标的函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
分析式(2.4)：当 ui 1 ， u j 0 时，杆单元的位移 u(x) 就 是 Ni ，当 ui 0 ，u j 1时，杆单元的位移分布就是 N j ，所以
形状函数的力学含义是当单元的一个结点位移为单位值，其他 结点的位移为零时，单元内位移的分布规律。可以发现形状函 数的两个重要性质为：
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
空间杆系有限元法也称空间桁架位移法.
3.4.6 杆件内力
引入边界条件后，求解公式，得出各节点的位
移值，由公式和公式可得出ij杆端内力为
{ F}e = [T] [K]e e
T
将公式展开并代入公式整理可得杆件内力表达 式为
EA N [cos(u j ui ) cos (v j vi ) cos (w j wi ) lij
当网架支承在独立柱上时，由于它的弯曲刚度 不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然 看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承， 支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出：
K cx
3Ec I cy H
3
K cy
Ec——支承柱的材料弹性模量； Icy、Icx——分别为支承柱绕截面y、x轴的截面惯 性矩； H——支承悬臂柱长度。
以图26所示的空间桁 架节点 3 为例，说 明总刚矩阵及总刚方 程的建立。该桁架共 有9个单元，5个节点， 单元及节点编号如图 示。相交于节点3的 杆件有⑥⑦⑧⑨。
图3.26 单元及节点编号
变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相 等 ，即： 内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力 之和等于该节点上的外荷载，即： 连于节点3的杆端力与各节点位移关系为：
无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线 和法向都无位移。 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零， 而边界法向为自由。 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两 个水平方向都为自由。 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无 侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对 的角可以是双向可侧移的。 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少 于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度 应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。
杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
杆系结构有限元
有限元位移法是在每一个结点上建立平衡方 程，集合各结点的平衡方程得到一个平衡方 程组 [K]{D}={P}，出现在方程组内的待定未 知数便是求解的结点位移分量。
有限单元法
土木工程学院
P-4
1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
有限单元法
土木工程学院
P-27
1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子 块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的 每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比 子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况， 使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元 定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处 理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力 与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代 入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
有限单元法
土木工程学院
0
0
有限单元法
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1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
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P-27
1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子 块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的 每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比 子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况， 使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元 定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处 理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力 与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代 入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
有限单元法
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0
0
有限元法(杆系)
0 0 0 0
0 u1 F1x − 1 υ1 F1 y = 0 u3 F3 x 1 υ3 F3 y
− sin θ sin θ cos θ sin 2 θ − sin θ cos θ
P
∆l2
θ θ
∆l1
P = ( k cos 2 θ + k + k cos 2 θ )δ
(a) 局部坐标系下的单元刚度矩阵 拉压杆单元
Fi i
l
EA
j Fj
δi
正方向
δj
{F } = [K ] {δ }
e e
e
[K ]
e
EA 1 − 1 = − 1 1 l
(b)结构整体坐标系下的单元刚度矩阵 结构整体坐标系下的单元刚度矩阵
Fix F iy F jx F jy
(e)
Fi cos θ cos θ Fi sin θ sin θ = = F j cos θ 0 F j sin θ 0
0 0 0 0 0 cos θ 0 sin θ
sin 2 θ EA sin θ cos θ = l − sin 2 θ − sin θ cos θ
− sin θ cos θ cos 2 θ sin θ cos θ − cos 2 θ
sin θ cos θ cos 2 θ − sin θ cos θ − cos 2 θ
sin θ cos θ − cos 2 θ − sin θ cos θ 2 cos θ
(e )
{δ } = [T]{δ}
（3）
将（2）和（3）代人（1）： ） ）代人（ ）：
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
局部坐标系中的单元述
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
第八章几何非线性问题的有限元法
第八章几何非线性问题的有限元法引言前而各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假泄物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于2。
在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位這和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。
实际上，上述假设有时是不成立的。
即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确怎位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。
例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。
再如在结构稳左性问题中，当载荷达到一左数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。
在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。
几何非线性问题可以分为以下几种类型：（1）大位移小应变问题。
一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。
例如髙层建筑或髙耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。
（2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。
（3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。
结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。
为了描述结构的变形需要设置一泄的参考系统。
一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位宜，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Lagrange）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。
本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导岀经典的线性屈曲问题的公式：然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式：接着还给岀了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。
《有限元理论与数值方法》第三讲-杆、梁结构有限元分析
杆件结构可分为桁杆和梁两类。 由杆件组成的结构体系称为杆系。由桁杆组成的杆系称为桁架； 由梁组成的杆系称为刚架。若杆系和作用力均位于同一平面内，则称 为平面桁架或平面刚架，否则称为空间桁架或空间刚架。
Finite Element Theory and Numerical Method
一、杆、梁的物理力学模型
拉压杆单元如图3-6所示，已知等直杆件杆长为 l 横截面面积为 A 材料弹性模量为 E 所受轴向分布载荷集度为 p(x) 杆端位移分别为 u1 u2
杆端力分别记为 F1 F2
1、建立位移场
F1, u1 xa
1
a p(x)
2 F2 , u2
x
设局部坐标系下杆中任意点a的坐标为 xa
因为只有两个边界条件 u1
形函数具有如下性质： 1)本端为1，它端为0 2)单元内任意一点总和为1
N1(0) 1
N1(1) 0
N2 (0) 0 N2 (1) 1
N1() N2 () 1
2、应变分析
du dx
dN dx
ue
dN1 dx
B为应变矩阵或者几何矩阵。
dN2 dx
u
e
1 l
1 l
ue
[B1
B2 ]ue Bue
图示所示桁架 l 2m
EA 1.2106 kN
试求1-2杆和1-4杆单元的局部坐标单元 刚度矩阵
1-2杆：抗拉刚度 EA / l 6106 kN/m
F1 10N 3
1
F2 20N 4
2
ke1
EA l
1 1
1
1
6
105
1 1
1
1
kN
/
m
1-4杆：抗拉刚度 EA /( 2l) 4.24264 105 kN/m
Finite Element Theory and Numerical Method
一、杆、梁的物理力学模型
拉压杆单元如图3-6所示，已知等直杆件杆长为 l 横截面面积为 A 材料弹性模量为 E 所受轴向分布载荷集度为 p(x) 杆端位移分别为 u1 u2
杆端力分别记为 F1 F2
1、建立位移场
F1, u1 xa
1
a p(x)
2 F2 , u2
x
设局部坐标系下杆中任意点a的坐标为 xa
因为只有两个边界条件 u1
形函数具有如下性质： 1)本端为1，它端为0 2)单元内任意一点总和为1
N1(0) 1
N1(1) 0
N2 (0) 0 N2 (1) 1
N1() N2 () 1
2、应变分析
du dx
dN dx
ue
dN1 dx
B为应变矩阵或者几何矩阵。
dN2 dx
u
e
1 l
1 l
ue
[B1
B2 ]ue Bue
图示所示桁架 l 2m
EA 1.2106 kN
试求1-2杆和1-4杆单元的局部坐标单元 刚度矩阵
1-2杆：抗拉刚度 EA / l 6106 kN/m
F1 10N 3
1
F2 20N 4
2
ke1
EA l
1 1
1
1
6
105
1 1
1
1
kN
/
m
1-4杆：抗拉刚度 EA /( 2l) 4.24264 105 kN/m
第三讲 杆系有限元-单元分析部分
两类坐标系统的变换矩阵
平面桁架杆单元
cos T 0
sin 0
0 cos
0 sin
两类坐标系统的变换矩阵
空间桁架杆单元
cos T 0
cos 0
cos 0
0 cos
0 cos
0 cos
两类坐标系统的变换矩阵
空间一般杆单元
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
在单元坐标系统中，在平面一般杆单元中，截面位移包括截面转角 和轴、切向线位移；有意义的截面合力也对应包括截面弯矩、截面 轴力和截面剪力 将单元两端结点位置的截面位移合成一个向量，即为单元杆端位移 向量； 将单元两端结点位置的截面合力合成一个向量，即为单元杆端力向 量； 在不同类型的杆单元中，由于结点的自由度不同，杆端位移和杆端 力向量有着不同的表达
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
一般空间杆系结构中， 结点自由度为6。 包括三个平动自由度和 相关于三个主轴的转动 自由度
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
根据位移法的概念： 体系分析时，结点的自由度确定后，则结 点的力向量、位移向量的分量则可以确定 映射到单元的单元力向量和位移向量分量 的性质和数目也就随之确定。
(e)
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
平面桁架杆单元 单元坐标系统下
杆端力向量
FNi FNj ui u j
结构整体坐标系统下
杆端位移向量
Fxi F yi Fxj Fyj
ui v i u j v j
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
桥梁结构分析的杆系有限元法及结构模型的建立2015
结构的离散化
确定了结构的全部 节点，也就确定了 结构的单元划分， 然后对结构进行单 元编号和节点编号， 通常单元编号用①， ②，……表示，节 点编号用1， 2，……表示，如图 所示。
6 67
5
4
3
5
4
1
2
1
2
3
单元杆端力与杆端位移的表示方法
• 平面桁架单元的局部坐标和整体坐标：
y
y
x
3
x2
2
y
1
结构分析的杆系有限元法
• 概述 • 有限单元法的概念及应用 • 结构的离散化 • 单元杆端力与杆端位移 • 逆步变换 • 单元刚度矩阵 • 总刚度矩阵 • 边界条件的后处理法 • 线性代数方程组的数值解法
结构分析的含义
• 结构分析的含义，不仅指在一定的已知条件下对结构的变 形和内力等进行计算，而且包括分析构件刚度变化对内力 变化的影响，对结构的几何组成进行分析，以及选择合理 的结构形式等等。
结构分析的有限元法
• 美国20世纪70年代推出的至今仍然是世界销售量最大的 NASTRAN(NAsa STRuctural Analysis，美国国家航空和 宇宙航行局结构分析程序系统)程序与当时西德推出的 ASKA(Automatic System for Kinematics Analysis，运动 分析的自动程序系统)齐名，同为当时最为著名和广泛应 用的程序，但几十年后的现在，ASKA已无法与 NASTRAN相比。原因是ASKA后来没有大规模的资金投 入，使程序不断得到滚动发展（维护）和组织推广、剌激 程序在竞争中不断改进各种功能。
向量
X
e i
Yi e
F
e
Fi e Fje
有限元分析——杆系系统计算
2
10 N
mm
2
3 14.1 N
5 14.1 N
mm mm
2
2
4
0
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Thank You
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边界条件为：
，根据边界条件去行去列，如上图，
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则去行去列后有：
这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。
二、杆系结构算例
1、阶梯直杆算例 算例一： 求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：
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图1：三连杆结构的受力状况
1）节点编号和单元划分
图2：各单元的节点位移和外力
2）计算各单元的单元刚度方程 单元①的刚度方程为：
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单元②的刚度方程为：
单元③的刚度方程为：
3）组装各单元刚度方程 整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。
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就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即
3 /33
F
F
节点1
单元①
节点2
单元②
节点2
节点3
点2
如图为阶梯直杆的离散
对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图：
根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：
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单元的刚度方程为：
其中 为节点力列阵；
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最简单的瞬变结构
几何不变结构的组成规律
(2) 两刚片规则 两刚片用三根既不完全平行也不交于同一点的链杆相联，所
得结构是几何不变结构。
瞬变结构 两刚片连接规则
常变结构
几何不变结构的组成规律
(3) 三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构
是几何不变结构。
基本三角形结构 三刚片规则示意图
结构的自由度及其计算
平面混合结构的自由度计算 其计算过程比较复杂，主要原因在于必须先进行一些构件的 拆分，拆分完毕之后计算方式与桁架一致。 计算结果有三种可能： a. W＞0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故结构必定是几何可变体系。 b. W=0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。 c. W＜0 表明结构具有多余约束。 注意：结构的自由度W≤0是组成几何不变体系的必要条件， 但不是充分条件。为什么？
桁架和刚架的区别
桁架结构 平面桁架 空间桁架 杆件与杆件间为铰接 铰接点只传递力而不传递转矩 每根杆件均为二力杆 杆件不产生弯曲变形和弯曲应 力 有限元计算采用杆元（杆单元： bar）
桁架和刚架的区别
刚架结构 平面刚架 空间刚架 杆件与杆件间可理解为焊接 连接点可传递力也可传递转 矩 刚架有限元分析采用梁元 （beam） 可当作刚架的常见结构：高 压线塔；客车车身骨架；管 式摩托车车架；自行车车架； 长江大桥
将刚才已经建立的位移函数代入，则应变为
进一步的，应力为
其中，[B] 称为平面刚架梁单元的应变转换矩阵。
平面刚架梁单元的有限元方程
采用虚功原理进行推导： 假设梁单元的i，j 结点发生虚位移为
那么单元内会发生相应的虚应变为：
外力在虚位移上的功与内力在虚应变上的功相等：
上式为局部坐标下的平面刚架梁单元的有限元方程。
结构的分类与基本特征
a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯 一的。 b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形 状）无关。 c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则其它部分的内力为零。 e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余 部分都无内力产生。 f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余 部分的内力不变。 g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内 力不变。
平面刚架梁单元的刚度矩阵
根据习惯，那么单元刚度为
进行积分运算后得到
A：杆的横截面 面积； I：杆的横截面 对主轴的惯性矩
桁架杆单元的刚度矩阵
如果是桁架结构，那么矩阵形式将比较简单 平面桁架杆单元，每个单元自由度未知量只有两个节点位移
空间桁架杆单元，每个单元自由度未知量也只有两个节点位移， 但是由于空间性，所以每个节点位移会表现为3个分量
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。 c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的 位移协调性。
杆系结构单元的位移函数
桁架结构杆单元的位移函数 由于每根杆件均为二力杆，事实上刚才的
=0 =0 由单元结点位移，确定待定系数项
=0
=0
上式不仅是桁架结构中杆单元的位移函数，对于杆系结构中单 元的轴向位移状态，都是采用这个位移函数进行表示的。
几何不变结构的组成规律
结构几何构造分析示例 如果用自由度公式计算： j=6， g=8， z= 4
自由度为零，应是几何不变结构。
结构示意图
刚片Ⅰ和Ⅱ间用杆件DB、FE相联，虚铰位臵 在此二平行杆件延长线的无穷远处；
刚片Ⅰ和Ш间用杆件DA及支座链杆③相联， 虚铰位臵在F点； 刚片Ⅱ和Ш用杆件BA、支座链杆④相联， 虚铰位臵在C点。 三铰可看成位于同一条直线上， 故此结构为几何瞬变结构。
b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设臵为一个单元。 c. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面 近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。
杆系结构的离散
d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个 单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。 e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点 载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其变换为作用在结点 上的等效结点载荷。
平面刚架梁单元的应力应变
在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任 一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和， 其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。 轴向应变为 弯曲应变为
y为梁单元任意截面上任意点至中性 轴(x轴)的距离。 弯曲应变计算示意图
得出平面刚架单元应变
平面刚架梁单元的应力应变
杆系结构的离散及荷载等效
杆系结构有限元中的坐标系
在进行有限元法计算中，由于涉及到对所有单元进行类似运算， 所以这些计算以单元自己的i-j为基准建立的局部坐标系是会 带来很大方便的。 为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立 一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为 整体坐标系、总体坐标系。
几何不变结构的组成规律
(1) 二元体规则 由两根不在同一条直线上的链杆联结一个新结点所组成的结 构称为二元体。二元体规则是指在一个几何不变结构上，由 增加二元体而发展的结构，是一个几何不变结构。铰接三角 形是最简单的几何不变结构。
铰接三角形
几何不变结构的组成规律
瞬变结构 一个结构，当它受载荷作用时会产生微小的位移，但位移一 旦发生后，即转变成一几何不变结构，但结构的内力可能为 无限大值或不定值，这样的结构称为瞬变结构。显然，瞬变 结构在工程结构设计中应尽量避免。
造成几何可变的几种原因
结构的计算简图（力学模型）
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析 是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之 前，必须将其作合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状 态与特点，又便于计算的几何图形。这种被抽象化了的简单的理 想图形称之为结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式: （1）结点： （2）支座： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ； ③ 固定支座 ；④ 定向支座 。
结构的分类与基本特征
按结构在空间的位臵分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构：长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。 ④ 混合结构
按结构的自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。 ②超静定结构——自由度小于零的几何不变结构。
空间结构几何构造分析
规律1 空间中一点与一刚体用三根链杆相连．且三链杆不在同一平 面内，则组成几何不变的结构、且无多余约束。
空间点与基础连接
瞬变结构
空间结构几何构造分析
规律2 一个几何不变结构（或刚体）与基础用六根即不平行也不相 交于同一条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结 构，且无多余约束。
空间刚架梁单元的刚度矩阵
当刚架结构扩展到了空间状态，则每个结点有6个位移分量， 其单元结点位移列向量
空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12×12的。
空间刚架梁单元的刚度矩阵
杆系结构单元刚度矩阵的性质
a. 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与 单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模 量E有关。 b. 单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧 对称位臵上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定 理。 c. 单元刚度矩阵是一个奇异阵。 d. 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理 意义。
第八章 杆系结构的有限单元法
结构几何构造的基本知识
结构几何构造的基本分类
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到 任意载荷作用时其形状和位臵没有发生刚体位移时，称之为几何 不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳 定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构 造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
超静定结构的 特征
结构的对称性及其利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位 移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截 面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。 奇数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
奇数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的自由度及其计算
自由度：指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数 的数目，也就是确定该结构位臵时所需的独立参数的数目。 约束：指减少结构自由度的装臵，即限制结构运动的装臵。 具体包括：a. 支座链杆的约束；b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完全铰。 桁架自由度计算公式 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 则桁架的自由度W 为 平面桁架架结构梁单元的位移函数
轴向位移状态的表达和前面一样，现在 只考虑节点另外的四个位移分量，根据 材料力学，沿梁长各截面的转角为
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数的 多项式：
杆系结构单元的位移函数
刚架结构梁单元的位移函数 将其代回v(x)的表达式进行整理后
于是：
杆系结构的离散
由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单， 一般将杆件或者杆件的一段( 一根杆又分为几个单元 )作为一个 单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。离散要点为：