二次函数中三角形面积最大值综合题

二次函数中三角形面积

最大值综合题

Revised by Petrel at 2021

2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题

28．（2017甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点

()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ． （1）求二次函数24y ax bx =++的表达式；

（2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作

//NM AC ，交AB 于点M ，当AMN ∆面积最大时，求N 点的坐标； （3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与A C 的数量关系． 解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y ax bx =++，

得：4240

64840

a b a b -+=⎧⎨

++=⎩，1分

解得：14a =-，32

b =．

∴该二次函数的表达式为21

344

2

y x x =-++．3分 （2）设点N 的坐标为（n ，0）（-2＜n ＜8），

则2BN n =+，8CN n =-．

∵B （-2，0）,C （8，0）, ∴BC =10.

令0x =，解得：4y =， ∴点A （0，4），OA =4， ∵MN ∥AC ， ∴

810

AM NC n

AB BC -==

．4分 ∵OA =4，BC =10， ∴11

4102022

ABC

S

BC OA =⋅=⨯⨯=．5分

∴2811

(8)(2)(3)510

55

AMN

ABN

n

S

S n n n -=

=-+=--+．6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大．7分 （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点.

∴M 为AB 边中点，∴1

2

OM AB.=8分 ∵2241625AB OB OA =+=+=，

22641645AC OC OA =+=+=，

∴12AB AC,=9分

∴1

4

OM AC =．10分

24（2017海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 和点()5,0B 。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3

35

y x =

+相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ∆与PBM ∆相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。

【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有

=

或

=

两种情况，利用P 点坐标，可

分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．

【解答】解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），

∴，解得，

∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2﹣x+3；

（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，

∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），

∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线C D交于点M、N，

∴M（t，0），N（t，t+3），

∴PN=t+3﹣（t2﹣t+3）=﹣（t﹣）2+

联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），

分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，

则CE=t，DF=7﹣t，

∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PNCE+PNDF=PN=[﹣（t﹣）2+]=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，△PCD的面积有最大值，最大值为；

②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴当△CNQ与△PBM相似时，有=或=两种情况，

∵CQ⊥PM，垂足为Q，

∴Q （t ，3），且C （0，3），N （t ，t +3）， ∴CQ=t ，NQ=t +3﹣3=t ， ∴

=，

∵P （t ，t 2﹣

t +3），M （t ，0），B （5，0），

∴BM=5﹣t ，PM=0﹣（t 2﹣t +3）=﹣t 2+

t ﹣3，

当

=

时，则PM=BM ，即﹣t 2+

t ﹣3=（5﹣t ），解得t=2或t=5（舍

去），此时P （2，）； 当

=

时，则BM=PM ，即5﹣t=（﹣t 2+

t ﹣3），解得t=

或t=5

（舍去），此时P （

，﹣

）；

综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为（2，）或（

，﹣

）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P 点坐标表示出△PCD 的面积是解题的关键，在（2）②中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 24.在平面直角坐标系xoy 中，规定：抛物线()2

y a x h k =-+的伴随直线为

()y a x h k =-+.例如：抛物线()2

213y x =+-的伴随直线为()213y x =+-，即

2 1.y x =-

（1）在上面规定下，抛物线()2

14y x =+-的顶点为.伴随直线为；抛物线

()2

14y x =+-与其伴随直线的交点坐标为和；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线()2

14y m x m =--与其伴随直线相交于点,A B (点A 在点B 的右侧)与x 轴交于点,.C D