双曲线经典知识点总结-双曲线知识点总结
双曲线知识点总结
椭 圆一、1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
2．标准方程： 222c a b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即ac 称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），22221()b e a a ==-c 5.三个技巧：(1)用待定系数法求椭圆方程：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．1．椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若△ABF 2的周长为20，离心率为35，则椭圆方程为（ ） A ．221259x y += B ．2212516x y += C ．221925x y += D ．2211625x y += 2．已知椭圆2221(02)4x y b b +=<<与y 轴交于,A B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为（ ） A.1 B.2 C.4 D.83．直线y x =与椭圆2222:1x y C a b+=的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为 A ．152-+ B ．152+ C ．352- D ．124．已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，且120PF PF ⋅=，且121tan 2PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．13D ．53 5．设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，若01160,||||F PQ PF PQ ∠==，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．23C ．233D ．33 6．已知设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为( )A ．33B ．36C ．13D ． 16 7.已知椭圆22221x y a b +=上的点P 到左、右两焦点1F 、2F 的距离之和为22，离心率22e = （I ）求椭圆的方程；（II ）过右焦点2F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆于A ，B 两点，试问：线段2OF 上是否存在一点M ，使得||||MA MB =？请作出并证明。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结一．双曲线的定义及其性质1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。
2. 求轨迹的方法：（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。
3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程标准方程：12222=-by a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系数为负，则焦点在y 轴上)共焦点双曲线的方程： 12222=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12222=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-2222by a x（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;②e=a c =2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c或e=ac =a c22=aR R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=ab 2④若点P （x 0,y 0)在双曲线12222=-by a x 上，则过点P 与双曲线相切的直线方程为12020=-byy a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。
二．双曲线的焦点三角形（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;mn=θcos 122-b ),[2+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2tan 2θb .证明如下：①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)⇒mn=θcos 122-b②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=2tan 2sin 22cos2sin2cos 1sin 2212222θθθθθθb b b ==-三．双曲线的中点弦（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。
双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2点)（1）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1.等轴双曲线：22(0)x yλλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直=±③离心率为y x2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
双曲线经典知识点总结
双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。
在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。
一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。
当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。
2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。
（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。
（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。
（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。
2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。
在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作报告、工作计划、活动方案、规章制度、演讲致辞、合同协议、条据文书、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as work reports, work plans, activity plans, rules and regulations, speeches, contract agreements, documentary evidence, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!双曲线的基本知识点双曲线的基本知识点大全一般的，双曲线(希腊语“Υπερβολία”，字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
双曲线重点难点知识点总结
双曲线重点难点知识点总结双曲线是几何学中的重要概念，是平面解析几何中一类具有独特性质的曲线。
以下是对双曲线重点、难点和知识点的总结：一、重点1.双曲线的定义和标准方程双曲线的定义包括焦点在x轴和y轴上的双曲线，以及等轴双曲线。
需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。
2.双曲线的几何性质双曲线的几何性质包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率等。
需要理解这些性质的含义和计算方法，以及它们在不同类型双曲线中的表现。
3.双曲线的标准方程的推导方法双曲线的标准方程可以通过代入法、点差法、平方差法等方法进行推导。
需要掌握这些方法，并理解它们在不同情况下的适用性。
二、难点1.双曲线标准方程的理解和应用双曲线标准方程的形式相对复杂，需要理解其含义和应用方法。
特别是对于焦点在y轴上的双曲线，标准方程的形式更为复杂，需要注意符号和系数的含义。
2.双曲线的几何性质的灵活运用双曲线的几何性质多样，不同情况下需要运用不同的性质进行求解。
需要具备灵活运用这些性质的能力，特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时。
3.双曲线与直线的交点坐标的求解方法求解双曲线与直线的交点坐标是双曲线学习中的一个难点。
需要掌握代入法、点差法等方法，以及了解它们在不同情况下的适用性。
同时还需要理解直线与双曲线的位置关系对交点数量的影响。
三、知识点总结1.双曲线的定义和标准方程定义包括焦点在x轴、焦点在y轴和等轴双曲线。
需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。
同时还需要了解如何根据标准方程计算双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质。
2.双曲线的几何性质的灵活运用需要了解双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质的计算方法和含义，并能够灵活运用这些性质进行求解。
特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时，需要运用相应的性质进行求解。
3.双曲线标准方程的推导方法需要掌握代入法、点差法、平方差法等方法，并理解它们在不同情况下的适用性。
数学双曲线知识点 总结
数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义1. 定义：双曲线是平面上一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的离心率小于1。
双曲线有两个分支，每个分支有一组渐近线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a·secθ, y = b·tanθ。
其中，a和b分别为双曲线在x 轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
4. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为r^2 = a^2·sec^2θ - b^2·tan^2θ。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。
两条渐近线的夹角等于双曲线的离心率e的反正切值。
第一条渐近线的斜率为b/a，第二条渐近线的斜率为-b/a。
3. 凹凸性：双曲线的两个分支分别为凹曲和凸曲。
4. 渐进性质：当x趋于正无穷时，双曲线的y趋于无穷；当x趋于负无穷时，双曲线的y 趋于无穷。
当y趋于正无穷时，双曲线的x趋于无穷；当y趋于负无穷时，双曲线的x趋于无穷。
5. 双曲线的离心率e的物理意义：离心率e表示焦距和直距的比值，即e=c/a。
其中，c 为焦点之间的距离，a为双曲线在x轴上的焦点坐标。
6. 双曲线的离心率与点到焦点的距离的关系：双曲线上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于一个常数2a。
即|PF1 - PF2| = 2a。
三、双曲函数1. 双曲正弦函数：sinh x = (e^x - e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y>0。
2. 双曲余弦函数：cosh x = (e^x + e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y≥1。
3. 双曲正切函数：tanh x = sinh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))，定义域为x∈R，值域为y∈(-1, 1)。
双曲线相关知识点总结
双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。
具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。
双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。
二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。
2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。
3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。
4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。
5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。
6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。
7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。
三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。
2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。
3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。
4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。
四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。
2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。
3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。
五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结双曲线作为数学中的重要曲线之一，具有广泛的应用领域。
本文将对双曲线的基本概念、性质以及相关公式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用双曲线。
一、双曲线的基本概念和标准方程在数学中，双曲线是由于两个焦点的特殊点之间的距离差等于一常数而定义的曲线。
其标准方程为：(x² / a²) - (y² / b²) = 1 (1)其中，a和b分别为双曲线的半轴长度。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴、y轴以及原点具有对称性。
2. 渐近线：双曲线的渐近线分为两类，即斜渐近线和水平/垂直渐近线。
斜渐近线的斜率为±(b / a)，水平渐近线为y = ±(b / a)，垂直渐近线为x = ±(a / b)。
3. 离心率：双曲线的离心率为e = √(1 + (b² / a²))。
4. 焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线，焦点到双曲线上任意一点的距离差等于双曲线的半焦距。
5. 直径和短轴：双曲线的直径为两个焦点之间的距离，短轴为双曲线的两个半焦距之和。
除了标准双曲线外，双曲线还有一些常见的变形形式，如：1. 椭圆形式：当双曲线的焦点在y轴上，准线在x轴上时，其方程可表示为：(y² / b²) - (x² / a²) = 1 (2)2. 倾斜形式：当双曲线的焦点不在x轴或y轴上时，其方程可表示为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 (3)其中，(h, k)为双曲线中心的坐标。
四、双曲线的重要公式在应用中，我们常常需要根据已知条件求解双曲线的相关参数。
以下是一些重要的计算公式：1. 长轴长度：2a = |焦点之间的距离|2. 短轴长度：2b = |2半焦距之和|3. 离心率：e = √(1 + (b² / a²))4. 焦点坐标：(±ae, 0)5. 垂直渐近线方程：x = ±(a / e)6. 水平渐近线方程：y = ±(b / e)双曲线在数学中具有广泛的应用，尤其在科学、工程和实际问题的建模和分析中发挥着重要作用。
高中数学双曲线知识点归纳
高中数学双曲线知识点归纳1. 双曲线的定义双曲线是数学中的一种曲线形状，定义为平面上满足一定关系式的点的集合。
双曲线由两个分离的曲线支构成，且每个支都是无限延伸的。
双曲线有许多重要的性质和应用。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程可以表示为以下形式：- 横轴双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a>0$且$b>0$。
- 纵轴双曲线方程：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$，其中$a>0$且$b>0$。
3. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点和准线是双曲线的重要概念。
- 焦点：对于横轴双曲线，焦点是位于横轴上的两个点；对于纵轴双曲线，焦点是位于纵轴上的两个点。
焦点具有很多重要的性质，如与双曲线的离心率相关等。
- 准线：对于横轴双曲线，准线是位于横轴上的两个点；对于纵轴双曲线，准线是位于纵轴上的两个点。
准线也与双曲线的离心率有关。
4. 双曲线的性质双曲线具有许多特殊的性质，包括但不限于：- 双曲线是对称的，关于$x$轴和$y$轴都具有对称性。
- 双曲线的离心率为超过1的正实数，离心率越大，曲线形状越扁平。
- 双曲线的渐近线是曲线的两个分支的极限位置，与曲线的形状和方程有关。
5. 双曲线的应用双曲线在数学和其他领域中有广泛的应用。
- 物理学中的抛物线轨迹、光学中的抛物面反射、天体力学中的行星轨道等问题都涉及到双曲线。
- 经济学中的供求曲线、成本曲线等也可以用双曲线进行建模和分析。
以上是对高中数学中双曲线知识点的简要归纳，希望对你有所帮助。
双曲线是数学中一个重要而有趣的概念，深入学习和应用双曲线将能拓宽你的数学视野。
双曲线文科知识点总结
双曲线文科知识点总结一、双曲线的定义双曲线是一个重要的二次曲线，在解析几何中占有特殊的地位。
通常情况下双曲线的定义是：在直角坐标系中，满足方程x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的曲线叫做双曲线。
其中a和b都是正实数。
当a>b时，双曲线的两个支线平行于x轴，当a>b时，双曲线的两个支线平行于y轴。
双曲线还可以由双曲函数通过图像展开得到。
双曲函数sinh(x)和cosh(x)的图像分别对应于双曲线的两个分支。
在文科领域中，双曲函数也有一定的应用，特别是在统计学和经济学中。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
也就是说，如果(x, y)在双曲线上，那么(x, -y)和(-x, y)也在双曲线上。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别平行于x轴和y轴。
这两条渐近线的方程分别为y=b/a*x和y=-b/a*x。
3. 渐近线交点：双曲线的两条支线与渐近线的交点分别为(a, 0)、(-a, 0)、(0, b)和(0, -b)。
4. 整体形状：双曲线的整体形状为两个分离的支线，形成一个对称的曲线图形。
5. 焦点和直径：双曲线的两个支线之间的距离叫做双曲线的直径，而双曲线的两个焦点分别在支线的两侧，且到支线的距离相等。
6. 弦斜率性质：一条通过双曲线的弦的斜率总是大于双曲线的渐近线的斜率，这也是双曲线与其渐近线不同于椭圆和抛物线的一个重要性质。
三、双曲线在文科领域中的应用双曲线在文科领域中有着广泛的应用，特别是在经济学和社会学方面。
双曲线的特性使其能够描述许多经济和社会现象，并且为研究者提供了重要的分析工具。
1. 经济学中的应用在经济学中，双曲线经常被用来描述一些数量的增长或者减少的趋势。
比如，双曲线可以用来描述某种商品的销售量随时间的变化趋势，也可以用来描述某种经济指标随着人口增长的变化趋势。
双曲线的对称性和渐近线性质使得它能够较好地描述这些复杂的经济现象。
2. 社会学中的应用在社会学中，双曲线也有重要的应用价值。
双曲线结论知识点总结
双曲线结论知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一种特殊的曲线，其定义是动点到两个不相交定点的距离的差等于常数的轨迹。
双曲线有两支，分别称为实轴和虚轴，其中实轴是连接两焦点的直线，虚轴是与实轴垂直的直线。
二、双曲线的性质1. 双曲线是一种非闭合曲线，其两支无交点。
2. 双曲线的轴线是连接两焦点的直线，在坐标系中通常与x轴或y轴平行。
3. 双曲线在两支的极限位置有渐近线，实轴和虚轴分别为双曲线的渐近线。
4. 双曲线的焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数，即双曲线的定义。
5. 双曲线具有反射性质，通过焦点发出的光线被双曲线反射后会聚于另一焦点。
三、双曲线的方程双曲线的标准方程有两种形式：横轴上的双曲线和纵轴上的双曲线。
1. 横轴上的双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
2. 纵轴上的双曲线的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别代表横轴和纵轴上的焦点到曲线的距离之和的一半。
四、双曲线的焦点双曲线有两个焦点，分别位于实轴和虚轴上，距离轴线的距离分别为c和-c。
五、双曲线的渐近线双曲线的渐近线是实轴和虚轴，其方程分别为y=±c/b*x和x=±a/c*y。
六、双曲线的参数方程双曲线的参数方程为$x=a\cdot \cosh t, y=b\cdot \sinh t$或$x=a\cdot \sec t, y=b\cdot \tan t$，其中t为参数。
七、双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用，例如在天文学中描述行星轨道的形状、在物理学中描述光线的反射和折射等。
总结一下，双曲线是一种重要的曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
我们从双曲线的定义、性质、方程、焦点、渐近线、参数方程以及应用等方面对双曲线进行了总结，希望对读者有所帮助。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。
- 水平开口：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)- 垂直开口：\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)其中，\(a\) 是实轴半长，\(b\) 是虚轴半长。
3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。
- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。
- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。
- 焦距：两个焦点之间的距离，用 \(2c\) 表示，其中 \(c^2 = a^2+ b^2\)。
- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 \((±a, 0)\)（水平开口）或\((0, ±b)\)（垂直开口）。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。
渐近线的方程为 \(y = ±\frac{b}{a}x\)（水平开口）或 \(x = ±\frac{a}{b}y\)（垂直开口）。
4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。
- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。
- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。
5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。
- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。
- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。
6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。
7. 双曲线的参数- 离心率 \(e\)：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)。
数学双曲线知识点总结
数学双曲线知识点总结1. 双曲线的定义双曲线是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，\(a\) 是实轴的一半长度，\(b\) 是虚轴的一半长度。
2. 焦点和焦距双曲线的两个焦点位于实轴上，其坐标为 \((\pm c, 0)\)，其中\(c\) 是焦距，满足 \(c^2 = a^2 + b^2\)。
3. 实轴和虚轴双曲线有两个主轴：实轴和虚轴。
实轴是连接两个焦点的直线，虚轴垂直于实轴并通过双曲线的中心。
4. 离心率双曲线的离心率 \(e\) 是一个大于1的数，定义为焦距与实轴半长度的比值，即 \(e = c/a\)。
5. 渐近线双曲线有两条渐近线，它们的方程为 \(y = \pm (b/a)x\)。
渐近线是双曲线的对称轴，双曲线永远不会与渐近线相交。
6. 等轴双曲线当 \(a = b\) 时，双曲线变成等轴双曲线，其方程简化为 \(x^2 - y^2 = a^2\)。
7. 双曲线的性质- 双曲线是对称的，关于实轴和虚轴对称。
- 双曲线是开放的，没有封闭的边界。
- 双曲线的两个分支是镜像对称的。
8. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学中的电磁波传播。
- 工程学中的曲线设计。
- 天文学中描述行星轨道。
9. 双曲线的绘制可以通过以下步骤绘制双曲线：- 确定焦点位置。
- 画出实轴和虚轴。
- 确定渐近线的方程。
- 在满足标准方程的点上绘制双曲线的分支。
10. 双曲线的方程变形双曲线的方程可以变形为其他形式，例如：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = k\]其中 \(k\) 是任意实数，表示双曲线的开口大小和方向。
11. 双曲线的参数方程双曲线的参数方程可以表示为：\[x = a \sec(t)\]\[y = b \tan(t)\]其中 \(t\) 是参数。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
（4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。
由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。
所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线，所以离心率。
（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。
注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y 轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为. 知识点六：双曲线图像中线段的几何特征：双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长,焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来.1．如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。
此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
2．双曲线标准方程中的三个量a、b、c的几何意义双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。
3．如何由双曲线标准方程判断焦点位置双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
注意：对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
4．方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程Ax2+By2=C可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；当时，双曲线的焦点在y轴上。
5．求双曲线标准方程的常用方法：①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量。
若两种类型都有可能，则需分类讨论。
6．如何解决与焦点三角形△PF1F2（P为双曲线上的点）有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系.7．如何确定离心率e的取值情况与双曲线形状的关系？：离心率，因为c2=a2+b2，用a、b表示为，当e 越大时，越大，即渐近线夹角（含x轴）越大，故开口越大；反之，e越小，开口越小。
离心率反映了双曲线开口的大小，且e＞1。
8椭圆双曲线根据|MF1|+|MF 2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）标准方程统一为：类型一：双曲线的定义1．已知⊙O1：(x+5)+y=4，⊙O2：(x－5)+y=9（1）若动圆P与⊙1，⊙2均内切，求动圆圆心P点的轨迹；（2）若动圆Q与⊙1，⊙2均外切，求动圆圆心Q点的轨迹。
解析：（1）设⊙P半径为R，∵⊙O1与⊙O2相离，∴|PO1|=R－2，|PO2|=R－3 ∴|PO1|－|PO2|=1，又|O1O2|=10∴由双曲线的定义，P点的轨迹是以O1，O2为焦点，2a=1，2c＝10的双曲线的右支。
（2）设⊙Q半径为r，则|QO1|=r+2，|QO2|=r+3 ∴|QO2|－|QO1|=1，又|O1O2|=10∴由双曲线的定义，Q点的轨迹是以O1，O2为焦点，2a=1，2c＝10的双曲线的左支。
举一反三：【变式1】已知定点F1(－2,0)、F2(2,0)，平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（）A．|PF1|－|PF2|=±3B．|PF1|－|PF2|=±4C．|PF1|－|PF2|=±5 D．|PF1|2－|PF2|2=±4 【答案】A【变式2】已知点F1(0,－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（）A．y=0 B．y=0（x≤－13或x≥13）C．x=0（|y|≥13）D．以上都不对【答案】C【变式3】已知点P(x,y)的坐标满足，则动点P 的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线中的一支 C．两条射线 D．以上都不对答案：B类型二：双曲线的标准方程： 2．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。
解法一：依题意设双曲线方程为－=1由已知得，又双曲线过点，∴∴：故所求双曲线的方程为.解法二：依题意设双曲线方程为，将点代入，解得，所以双曲线方程为.【变式】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在轴，焦距为10，的双曲线的标准方程.【答案】3．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。
解析：由题意得2a=24，2c=26。
∴a=12，c=13，b2=132－122=25。
当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为。
总结升华：求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。
双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系数的正负。
【类型三：双曲线的几何性质4．方程表示双曲线，求实数m的取值范围。
解析：由题意得或或。
∴实数m 的取值范围为。
总结升华：方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号。
【变式1】k＞9是方程表示双曲线的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B 【变式2】求双曲线的焦距。
【答案】8根据下列条件，求双曲线方程。
（1)与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）一渐近线方程为，且双曲线过点。
解析：（1）解法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为由题意，得，解得，（舍去）综上所得，双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是. 故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.总结升华：求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。
若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.总结升华：双曲线的渐近线方程为即；若双曲线的方程为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上），则其渐近线方程为。
总结升华：求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。
若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.8．已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长. 解析：由双曲线的定义有: ，，∴.即∴.故的周长.【变式1】已知双曲线的方程，点A、B在双曲线的右支上，且线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（）A．2a+2m B．4a+2m C．a+m D．2a+4m【B】本文档部分内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！。