高三文科数学解析几何专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料

——《解析几何》专题

1．已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.

(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程； (2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

2．如图,设1F 、2F 分别为椭圆

C ：22

221x y a b

+= (0a b >>)的左、右焦点. (Ⅰ)设椭圆C 上的点3

(1,)2

A 到F 1、F 2两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和离心率；

(Ⅱ)设点K 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程．

3．已知圆C: x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的 直线L,使以L 被圆C 截得弦AB 为直径的圆 经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在，说 明理由

4．已知圆C ：224x y +=.

（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B

两点，若||AB =l 的方程;

（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，

求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

5．如图，已知圆A 的半径是2，圆外一定点N 与圆A 上的点的最短距离为6，过动点P 作A 的切线PM （M 为切点），连结PN 使得PM ：

，试建立适当

的坐标系，求动点P 的轨迹

6．已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）．

（Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．

7．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费用最低．

8．曲线03622=+-++y x y x 上两点P 、Q 满足：①关于直线04=+-y kx 对称；②OQ OP ⊥.求直线PQ 的方程.

9

情况下的两类药片怎样搭配价格最低？

参考答案

1．解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：

MF MN =，

即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由 抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线，

∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=．

（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，

由2

(1)

4x k y y x

=-⎧⎨

=⎩得2440y ky k -+=

△2

16160k =->，11k k <->或．

设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =．

由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=， 即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，

222

4(1)40

k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去）， 又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=

2．解：(Ⅰ)24a =，

221914a b

+=. 2

4a =，2

3b =.

椭圆的方程为22

143

x y +=， 因为2

2

2

1c a b =-=. 所以离心率12

e =

. (Ⅱ)设1KF 的中点为(,)M x y ，则点(21,2)K x y +.

又点K 在椭圆上，则1KF 中点的轨迹方程为

22

(21)(2)143

x y ++=.

3．解:设直线L 的斜率为１，且L 的方程为y=x+b,则22

2440y x b

x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩

消元得方程 ２x 2+（2b+2）x+b 2+4b-4=0，设此方程两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝－（b+1），y 1+y 2= x 1+x 2+2b=b-1， 则ＡＢ中点为11,2

2b b +-⎛⎫-

⎪⎝⎭，又弦长

为12x -＝

，由题意可列式

x =

22

1122b b +-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

＝

2

⎪⎝⎭

解得b=1或b=-9，经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程为y=x+1．

4．解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，

l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()

3,1-，其距离为32，满足题意

②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1

|2|12++-=

k k ，3

4

k =

， 故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,

则N 点坐标是()0,0y ∵OQ OM ON =+，

∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，

2

0y

y =

又∵420

20

=+y x ，∴44

2

2

=+y x 由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，

∴Q 点的轨迹方程是

22

1(0)164

y x y +=≠，

轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点．

5．解：以AN 所在直线为x 轴，AN 的中垂

线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示， 则A(-4,0),N(4,0),设P （x ，y ）

由|PM|：，|PM|2=|PA|2 –|MA|2

得：