固体物理倒格子的原理

倒格子

摘要：倒格子是现在固体物理，半导体物理，器件物理的前沿，用量子场论的非相对论形式描述多体，各种散射过程的精确描述都少不了它。为此为了研究的方便，结晶学家喜欢用正格子，而物理学家喜欢用倒格子，因为它在数学处理上具有优越性。和正格子相比，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。因此倒格子具有很重要的物理意义，及其所组成的倒易点阵，更是研究晶格性质的重要手段。

关键词：倒格子正格子点阵布里渊区

一、倒格子的定义及其相关概念：

（1）倒格子：亦称倒易格子(点阵)，倒格子就是和布拉发矢量（晶格矢量）共轭的另一组矢量基，俗称动量空间，适合于用来描述声子、电子的晶格动量。它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。是现在固体物理，半导体物理，器件物理的前沿，用量子场论的非相对论形式描述多体，各种散射过程的精确描述都少不了它。晶格振动及晶体中电子的运动都是在倒格子空间中的描述。

（2）倒格子的定义：

已知有正格子基矢，定义倒格矢基矢为：

；说明b1垂直于a2和a3所确定的面。

；说明b2垂直于a3和a1所确定的面。

；说明b3垂直于a1和a2所确定的面。

正格子体积：

（3）相关概念：

①倒格点：平移操作所产生的格点叫。

②倒格矢：为。

③倒格子：倒格点的总体叫。

④倒格基矢：一组。

二、倒格子的性质：

（1） 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数关系：

倒格子体积： ，

（2） 正格子与倒格子间的关系：倒格矢与任一个正格矢

的乘

积必等于, 即 = 。

（3） 正格子中一族晶面（321h h h ）和倒格子基失矢正交，即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标。 （4） 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向；倒格矢的大小正比于晶面族（h1h2h3）的面间距的倒数：

d

G π2//=

三、倒格子原胞和布里渊区：

倒格子原胞，作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，这些平面完全

封闭形成的最小的多面体（体积最小）------第一布里渊区。

同理。第一布里渊区以外，封闭的三角形的体积----------------第二布里

渊区。依次可以得到第三布里渊区。

四、正格子和倒格子的比较：

20世纪80年代STM 问世前，人们无法直接观测到正格子空间，只能通过

X 射线衍射、电子衍射、中子衍射得到倒格子空间，再反推出正格子、晶面及晶格常数等

（1）每个晶体结构有两个点阵同它联系：晶体点阵和倒格子点阵，

①正格子点阵：是真实空间的点阵，

②倒格子点阵：是在波矢空间的点阵。

结晶学家喜欢用正格子，而物理学家喜欢用倒格子，因为它在数学处

理上具有优越性。

（2）任何一个晶体结构都有两个格子：

①正格子空间(位置空间)

②倒格子空间(状态空间)。

二者互为倒格子---------傅里叶变换。晶格振动及晶体中电子的运动都是在倒格子空间中的描述。

五、倒格子的物理意义：

（1）倒格子中的一个格点与正格子中的一族晶面相对应。

（2）倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方向；

（3）倒易点阵基矢的大小是该晶面族的晶面间距的倒数的2π倍。

（4）倒格子是边长为 a

2 的正方形格子。 六、倒易点阵：

（1）倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的布拉菲点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、晶胞中的原子数目无关。布里渊区是一个对称性原胞，它保留了相应的布拉菲点阵的点群对称性。因此第一布里渊区里依然可以划分为几个完全等同的区域。对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同样大小的体积，利用平移对称性可以找出第一布里渊区和所有较高的布里渊区之间的全等性。倒空间和波矢空间重合，倒易点阵能有效地分析晶体的衍射、散射等相互作用。倒空间和倒易点阵可以方便地计算晶体学中的晶面间距、面角、晶面法线等几何量。

（2）倒易点阵是晶体学中极为重要的概念，也是衍射理论的基础。

晶体点阵------实空间。由晶体的周期性直接抽象出的点阵(正点阵)； 倒易点阵------倒易空间。由正点阵的傅里叶变换得来的点阵（倒易点阵）。

参考文献：

黄昆、韩汝琦，《固体物理学》，高等教育出版社，1988.10

胡赓祥、蔡珣《材料科学基础》第三版，上海交通大学出版社，2000.11