湖南大学2012年数值分析考试试卷

湖南大学研究生

课程考试命题专用纸

考试科目： 数值分析 （A 卷） 专业年级： 12级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟

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注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、(10分) 证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足

,0

(), 0k

k k i n i

j x l

x x k n ==≤≤∑.

二、(20分) 设.

1．写出求解方程 3()515f x x x =+- 的Newton 迭代的计算格式.

2. 证明方程 0)(=x f 在区间[1,2]上有根，并选择使Newton 迭代收敛的初始值. 3． 用Newton 迭代求方程 0)(=x f 在区间 [1,2] 上的根（精确到小数点后面六位）。

三、(10分) 求函数14)(3+=x x f 在区间]1,1[-上关于权函数()1p x =的形如2ax b +的最佳平

方逼近二次多项式，即求 a ，b ， 使 1221

(())d ax b f x x -+-ò

达到最小。

四、(10分) 利用三角分解解线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+--=++-=+-.

52,4222,

12321

321321x x x x x x x x x

五、(10分) 对于线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+=+-=+-,

33,84,65,123214324

31421x x x x x x x x x x x x 导出使Gauss-Seidel 迭代法收敛的迭代格

式，要求写出迭代格式并说明收敛理由。

六、（10分）试根据数表

构造一个3次Hermite(埃尔米特)插值多项式3().H x 七、（10分）求最小二乘拟合直线拟合如下数据.

八、(10分) 用变步长求积公式计算积分⎰31

d 1

x x

，要求事后误差不超过310-.

九、(10分) 试确定系数123,,,A A A 使得求积公式

11231

12()(1)33f x dx A f A f A f -⎛⎫⎛⎫

≈-+-

+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎰

的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数。