湖南大学2012年数值分析考试试卷
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模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
2012年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N=A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N. 2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为yA.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加D.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为 【答案】D【解析】由回归方程为y y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()y bx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 6. 函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A ． [ -2 ,2] C.[-1,1 ] , ] 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)1sin cos sin )226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈-，()f x ∴值域为].【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.7. 在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =.C.【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅，解得BC =. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角. 8．已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m变化时，ba的最小值为 A．B. C. D. 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m m mmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()b a ∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得.10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.11.如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______.【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，从而求得圆的半径. (二)必做题（12~16题）12.已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，10z ==.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，利用z =求得.13.(6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 【答案】-160 【解析】()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3所示的程序框图，输入1x =-,n =3,则输出的数S = . 【答案】4-【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. （1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0），则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 . 【答案】（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，2）时cos36πωω=∴=； （2）由图知222T AC ππωω===，122ABCS AC πω=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC与x 轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABCSP Sππ===. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω， （2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得. 16.设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置. （1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；（2）当N=2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,,16), 113571524616P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16), x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．分钟的概率. （注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得X 的分布为X 的数学期望为 33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且. 由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以 333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概率为980. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．分钟的概率. 18.（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ； （Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC =，90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以于是PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为 解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP 分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-由(4,0,),PB h =-故解得5h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为111633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=. 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积. 19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的各项均为正数，记A （n ）=a 1+a 2+……+a n ，B （n ）=a 2+a 3+……+a n +1，C （n ）=a 3+a 4+……+a n +2，n =1,2，……（1） 若a 1=1，a 2=5，且对任意n ∈N ﹡，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成等差数列，求数列{ a n }的通项公式. （2） 证明：数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意N n *∈，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成公比为q 的等比数列. 【解析】解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=- （Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. （２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列， 则()(),()()B n qA n C n qB n ==，于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即 由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， 综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证. 20.（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】 解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到212()(),T x T x k=于是（1）当2k =时，12()(),T x T x = 此时 {}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭， 由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得 4009x =.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而.故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =.（2）当2k >时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时{}1375(),()max (),()50T x x T x T x xϕ==-易知()T x 为增函数，则 1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭.由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011.（3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知， 当2000750100x x=-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为2509，大于25011. 综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =. （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆 2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y y k k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④ 同理可得 0234220(4).y k y y k +⋅=⑤ 于是由②，④，⑤三式得 22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.22.（本小题满分13分）已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0.（1） 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠， 故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a '==得 当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a>时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则 令()1t F t e t =--，则()1t F t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而21()21()10a x x e a x x ---->，12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.。
2012研究生试题数值分析数值分析
七、（本题满分 10 分）试推导下列求积公式
∫b f (x)dx ≈ (b − a) f ( a + b)
a
2
的截断误差的表达式，并判断其代数精度。
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2 3 3、设 A = 1 1 ，则 Cond∞ ( A) = ______. 4、已知 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 2,-5,6，则矩阵 A 的谱半径是___________. 5、已知 f (x) = x − sin x −1 ，则牛顿法的迭代公式是_______________
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四 、（ 本 题 满 分 10 分 ） 求 函 数 f (x) = sin π x 在 区 间 [0 ， 1] 上 的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 ϕ(x) = a + bx2 。
第 3）试用数值积分法建立常微分方程初值问题：
dy dx
x3 +
=1 x3 =
3
取初始向量 x(0) = [0,0,0]T 迭代求解，求到 x(2) 。
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三、（本题满分 10 分）已知数据表:
x -1 0 1 2 3 y2 1 3 4 5
通过构造点集 {−1, 0,1, 2,3} 上的正交多项式求一个二次多项式以最小二乘法拟
合上述数据。
10、将向量 s = (−2,1, 0)T 变为与 e1 = (1, 0, 0)T 同向的变换 u = Hs 中的 Householder 矩阵
H = ______。
二、（本题满分 10 分）用 Gauss-Seidel 迭代法求解方程组
x1
+
2x2
−
2x3
湖南大学2012年数值分析考试试卷
湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷） 专业年级： 12级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一、(10分) 证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足,0(), 0kk k i n ij x lx x k n ==≤≤∑.二、(20分) 设.1．写出求解方程 3()515f x x x =+- 的Newton 迭代的计算格式.2. 证明方程 0)(=x f 在区间[1,2]上有根，并选择使Newton 迭代收敛的初始值. 3． 用Newton 迭代求方程 0)(=x f 在区间 [1,2] 上的根（精确到小数点后面六位）。
三、(10分) 求函数14)(3+=x x f 在区间]1,1[-上关于权函数()1p x =的形如2ax b +的最佳平方逼近二次多项式，即求 a ，b ， 使 1221(())d ax b f x x -+-ò达到最小。
四、(10分) 利用三角分解解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=+-.52,4222,12321321321x x x x x x x x x五、(10分) 对于线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+=+-=+-,33,84,65,12321432431421x x x x x x x x x x x x 导出使Gauss-Seidel 迭代法收敛的迭代格式，要求写出迭代格式并说明收敛理由。
六、（10分）试根据数表构造一个3次Hermite(埃尔米特)插值多项式3().H x 七、（10分）求最小二乘拟合直线拟合如下数据.八、(10分) 用变步长求积公式计算积分⎰31d 1x x，要求事后误差不超过310-.九、(10分) 试确定系数123,,,A A A 使得求积公式1123112()(1)33f x dx A f A f A f -⎛⎫⎛⎫≈-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数。
2012年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷-推荐下载
C. 若 tanα≠1，则 α≠
4
D. 若 tanα≠1，则 α=
4
【答案】C
【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若 p ，则 q ”，所以
tanα=1”的逆否命题是 “若 tanα≠1，则 α≠ ”.
4
【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则 M∩N=
A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B
【解析】 N 0,1 M={-1,0,1} M∩N={0,1}.
【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.
先求出 N 0,1,再利用交集定义得出 M∩N.
2.命题“若 α= ，则 tanα=1”的逆否命题是
4
A.若 α≠ ，则 tanα≠1
4
B. 若 α= ，则 tanα≠1
（2,1）在 C
x2 y2
D. - =1
20 80
的渐近线上，则 C 的方程为
a
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基
本运算能力，是近年来常考题型.
6. 函数 f（x）=sinx-cos(x+ )的值域为
6
A． [ -2 ,2] B.[- 3 , 3 ]
数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中
2012年春季学期(本科生)数值分析课程考试试卷(A卷)答案及评分标准
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2012年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1.设T x )3,4,2(-=,则 2x 29= (1分) ∞x4= (1分).2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确（2分）.3.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ(2分).4. 设()1537++=x x x f ，则差商0]2,,2,2,2[821= f （2分）.5. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分) .6.矩阵范数),2,1(||||∞=p A p 与谱半径)(A ρ有一个不等式关系，表现为p A A ||||)(≤ρ（2分）.7.将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231264A 进行LU 分解(即Doolittle 分解),则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1301L (2分);⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5064U (2分).二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x 解： +-+=221)1142(),(x x y x Q 221)353(--x x+-++221)62(x x 221)72(-+x x要使总残差达到最小，必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021x Q x Q⇒⎩⎨⎧-=-=-48463513182121x x x x⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9111327383021x x 或⎩⎨⎧≈≈24.104.321x x （10分）三、（10分）给定函数表84.087.090.092.094.096.097.098.099.011/sin 19.08.07.06.05.04.03.02.01.00x x x 利用所有数据，用复合辛普森（Simpson ）公式计算dxx xI ⎰=10sin 的近似值. 解: 用复合辛甫生Simpson 公式,小区间数5=n , 步长2.0)00.1(51=-⨯=h)90.094.097.099.0(21[62.05+++⨯+=≈S I]84.0)87.092.096.098.01(4++++++ 9453.0= （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号四、（12分）设nn ij Ra A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i =≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵, 试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组：⎩⎨⎧=+=+635310121022121x x x x 解: 由T LDL A =可得b Ax =的方程为b x LDL T=,令y x DL T =,则b Ly =.计算步骤： (1) 将A 直接分解TLDL A =，求出 D L , (2) 求解方程b Ly =(3) 求解方程y D x L T 1-= （4分）⎢⎣⎡102 ⎥⎦⎤5310⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10121l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10121l 比较矩阵两边的元素,可得: ,521=l ,21=d .32=d由b Ly =可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1501⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6312 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒31221y y 由y D x L T1-=得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=16 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒1112x x （12分）五、(12分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为 ()x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=1101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=. （8分） ())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()1)0(max 2110--≤≤≤x x x 令 ),1()(-=x x x h 由0)(='x h ，求得一个驻点得211=x于是 =≤≤|)(|max 10x h x 41)}1(),(),0({max 110=≤≤h x h h x 所以有())()(11x L x y x R -=)(max 2110x h x ≤≤≤81= （12分）六、(10分) 在区间[0,2]上利用压缩映像原理验证迭代格式1012.k x k +==，，，的敛散性. 解：(1) 记x x +=2)(ϕ，则xx +='221)(ϕ.当]2,0[∈x 时,];2,0[]2,2[)]2(),0([)(⊂=∈ϕϕϕx (5分) (2) .1221)0(|)(|<='≤'ϕϕx 因此,对]2,0[0∈∀x ,迭代格式1012.k x k +==，，， 产生的序列∞=0}{k k x 收敛. (10分)线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（12分）已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比(Jacobi)迭代法公式； （2）证明当4>a 时，雅可比(Jacobi)迭代法收敛； （3）取5=a ,T x)101,51,101()0(=，求出)2(x . 解：（1）对.,3,2,1 =i 从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1n x x a x x x a x x x a x n n n n n n n n n （5分） （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛. （10分）（3）取5=a ，Tx )101,51,101()0(= 由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x . 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x . （12分）八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤++='0)0(10,122y x y x y , (1) 写出用Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式. 解: （1）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的Euler 公式为；9,,1,0),1(1.0),(0221==++⨯+=+=+y n y x y y x hf y y n n n n n n n （5分）（2）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的改进Euler 公式为：)2(21.0)1(1.002121221221=⎪⎩⎪⎨⎧+++++=++⨯+=++++y y x y x y y y x y y n n n n n n n n n n （10分）九、（8分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.解: 答案略.。
2012年高考数学(文科)试卷湖南卷(含答案)最完美最高清word版
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1} D ．{0}2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i3．命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若π4α≠，则tan α≠1 B ．若π4α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则π4α≠ D ．若tan α≠1，则π4α=4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为 0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 6．已知双曲线C ：22221x y ab-=的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( ) A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020xy-= D ．2212080xy-=7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c c a b>；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32B ．332C ．362+ D ．3394+9．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且π2x ≠时，(x －π2)f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 10．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________. 11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29～63℃，精确度要求±1℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．(二)必做题(12～16题)12．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．13．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差()()()2222121[]n s x xxxx xn=-+-++-…，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝4.5，则输出的数i ＝________.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP AC ⋅=________.16．对于n ∈N *，将n 表示为n ＝a k ³2k ＋a k －1³2k －1＋…＋a 1³21＋a 0³20，当i ＝k 时，a i ＝1，当0≤i ≤k －1时，a i 为0或1.定义b n 如下：在n 的上述表示中，当a 0，a 1，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n ＝1；否则b n ＝0.(1)b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝________；(2)记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m ＋1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1))确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(注：将频率视为概率)18．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(x∈R，ω＞0，π2＜＜)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－π12)－f(x＋π12)的单调递增区间．19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．(1)用d表示a1，a2，并写出a n＋1与a n的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．21．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．22．已知函数f(x)＝e x－ax1，其中a＞0.(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．1． B 由N ＝{x |x 2＝x }，知x ＝0或x ＝1. 又∵M ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0,1}．2．A z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ，∴1i z =--. 3． C 命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则π4α≠”．4． D 若为D 项，则主视图如图所示，故不可能是D 项．5． D D 项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重约为：0.85³170－85.71＝ 58．79(kg)．故D 项不正确． 6． A 由2c ＝10，得c ＝5， ∵点P (2,1)在直线b y x a=上，∴21b a=.又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5.故C 的方程为221205xy-=.7． D ①()c cc b a a bab--=，∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴()0c b a ab->.即0c c a b->.故①正确．②考察函数y ＝x c(c ＜0)，可知为单调减函数． 又∵a ＞b ＞1，∴a c ＜b c .故②正确．③∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴log b (a －c )＞0，log a (b －c )＞0， ∴log ()lg ()lg log ()lg lg ()b a ac a c a b c b b c --=--.∵lg ()1lg ()a cbc ->-，lg 1lg a b>，∴lg ()lg 1lg lg ()a c ab bc ->-，故③正确．8． B 在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2=AB 2+BC 2－2AB ²BC cos B ，即7=AB 2+4－2³2³AB ³12.整理得AB 2－2AB －3=0. 解得AB =－1(舍去)或AB =3.故BC 边上的高AD =AB ²sin B =3³sin60°=332.9． B 由x ∈(0，π)且π2x ≠时，(x －π2)f ′(x )＞0可知：当x ∈(0，π2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(π2，π)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．又∵x ∈[0，π]时，f (x )∈(0,1)，且f (x )是最小正周期为2π的偶函数，可画出f (x )的草图为：对于y ＝f (x )－sin x 的零点，可在同一坐标系中再作出y ＝sin x 的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.10．答案：22解析：把曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐标方程，得2x ＋y ＝1； 把曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝a 2. ∵C 1与C 2的一个交点在极轴上， ∴2x ＋y ＝1与x 轴交点(22，0)在C 2上，即(22)2＋0＝a 2.又∵a ＞0，∴22a =.11．答案：7解析：由分数法计算可知最少实数次数为7. 12．答案：{x |2≤x ≤3}解析：∵x 2－5x ＋6≤0，∴(x －2)(x －3)≤0.∴2≤x ≤3. 13．答案：6.8 解析：∵89101315115x ++++==，∴222222(811)(911)(1011)(1311)(1511)6.85s -+-+-+-+-==.14．答案：4解析：i ＝1时，x ＝4.5－1＝3.5； i ＝1＋1＝2时，x ＝3.5－1＝2.5；i ＝2＋1＝3时，x ＝2.5－1＝1.5； i ＝3＋1＝4时，x ＝1.5－1＝0.5； 0．5＜1，输出i ＝4. 15．答案：18解析：∵过C 作BD 的平行线，延长AP 交该平行线于点Q ， 则AQ ＝2AP ＝6.故||||cos ,||||3618AP AC AP AC AP AC AP AQ ⋅=⋅=⋅=⨯=.16．答案：(1)3 (2)2解析：(1)由题意知2＝1³2，b 2＝1；4＝1³22，b 4＝1；6＝1³22＋1³2，b 6＝0；8＝1³23，b 8＝1， 所以b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝3.(2)①若n 为偶数，且b n ＝0，则n ＝a k ³2k ＋a k －1³2k －1＋…＋a 1³21＋a 0³20中a 0＝0，且a k ，a k －1，…a 1中有偶数个1，n ＋1＝a k ³2k ＋a k －1³2k －1＋…＋a 1³21＋1³20，b n ＋1＝1 n ＋2＝a m ′ ³2m ＋a m －1′³2m －1＋…＋a 1′ ³21＋0³20， 若b n ＋2＝0，此时c m ＝1；若b n ＋2＝1，则n ＋3＝a m ′³2m ＋a m －1′³2m －1＋…＋a 1′ ³21＋1³20， 则b n ＋3＝0，此时c m ＝2.②若n 为奇数，n ＝a k ³2k ＋…＋1³20，且b n ＝0，则n ＋1＝a m ′ ³2m ＋…＋a 1′ ³21＋0³20， 若b n ＋1＝0，此时c m ＝0.若b n ＋1＝1，则n ＋2＝a m ′³2m ＋…＋a 1′ ³21＋1³20，b n ＋2＝0. 此时，c m ＝1.综上所述，c m 的最大值为2.(注：也可列举连续的几项，作出猜测)17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得1153()10020P A ==，2303()10010P A ==，3251()1004P A ==.因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝33172010410++=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.18．解：(1)由题设图象知，周期11π5π2()π1212T =-=，所以2π2T ω==，因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2³5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π5π4π663ϕ<+<，从而5π6＋φ＝π，即π6ϕ=.又点(0,1)在函数图象上， 所以πsin16A =，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)ππππ()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x =-+-++＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝132sin22(sin2cos2)22x x x -+＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，得π5πππ1212k x k -≤≤+，k ∈Z ，所以函数g (x )的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ， 所以PA ⊥BD ．又AC ⊥BD ，P A ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC 平面PAC ，所以BD ⊥PC ．(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面PAC ， 所以∠DPO 是直线PD 和平面PAC 所成的角， 从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面PAC ，PO 平面PAC 知，BD ⊥PO . 在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD ．因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为12AD＋12BC＝12³(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面积S＝12³(4＋2)³3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，2222O D AD==，所以PD＝2OD ＝42，224PA PD AD=-=. 故四棱锥P－ABCD的体积为V＝13³S³PA＝13³9³4＝12.20．解：(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4 500－52d.a n＋1＝a n(1＋50%)－d＝32a n－d.(2)由(1)得a n＝32a n－1－d＝32(32a n－2－d)－d＝(32)2a n－2－32d－d＝…＝(32)n－1a1－d[1＋32＋(32)2＋…＋(32)n－2]．整理得a n＝(32)n－1(3 000－d)－2d[(32)n－1－1]＝(32)n－1(3 000－3d)＋2d.由题意，a m＝4 000，即(32)m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.解得1 3[()2]10001000(32) 2332()12mm mm mmd+-⨯-==--，故该企业每年上缴资金d的值为11000(32)32m mm m+--时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．21．解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2，故圆C的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E的方程为22221x ya b+=(a＞b＞0)，其焦距为2c.由题设知c＝2，12cea==，所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.故椭圆E的方程为2211612x y+=.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2.则l1，l2的方程分别为l1：y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2(x－x0)，且1212k k=.由l1与圆C：(x－2)2＋y2＝2相切得101021|2|21k y k xk+-=+，即[(2－x0)2－2]k12＋2(2－x0)y0k1＋y02－2＝0.同理可得[(2－x0)2－2]k22＋2(2－x0)y0k2＋y02－2＝0.从而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y02－2＝0的两个实根．于是2(2)20,0,x⎧--≠⎨∆>⎩①且212221(2)22yk kx-==--.由2200221,161221(2)22x yyx⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得5x02－8x0－36＝0，解得x0＝－2或185x=.由x0＝－2得y0＝±3；由185x=得575y=±，它们均满足①式，故点P的坐标为(－2,3)，故(－2，－3)，或1857(,)55，或1857(,)55-．22．解：(1)f′(x)＝e x－a.令f′(x)＝0得x＝ln a.当x＜ln a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故当x＝ln a时，f(x)取最小值f(ln a)＝a－a ln a，于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－a ln a≥1.①令g(t)＝t－t ln t，则g′(t)＝－ln t.当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立．综上所述，a的取值集合为{1}．(2)由题意知，21212121()()eex x f x f x k a x x x x --==---.令φ(x )＝f ′(x )－k ＝e x－2121eex x x x --，则φ(x 1)＝121ex x x --[e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1]，φ(x 2)＝221ex x x -[e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1]，令F (t )＝e t－t －1，则F ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减； 当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增．故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1＞0，e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1＞0. 又121e0x x x >-，221e0x x x >-，所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0. 因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x 0∈(x 1，x 2)，使φ(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝k 成立．。
湖南大学2012高等数学2期末考试试题
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试求出 ( x0 , y0 );（2）现欲利用此山开展攀岩活动，为此需要在山脚处找一坡度最陡的位置作为攀 岩的起点，即在上述等高线上找一点 M , 使得上述增长率最大，试确定该起点的位置.
14. 如图，设力场 F yi xj ( x y z )k ，(1)求一质点由 A 沿圆柱螺线 L1 到 B 时，力 F 所做的功，
球面的交线在 xOy 坐标面上的投影.
3. 设曲面 是由 yOz 平面上的双曲线 z 2 4 y 2 2 绕 z 轴旋转而成， 曲面上一点 M 处的切平面
与平面 x y z 0 平行，写出曲面 和切平面 的方程.
4. 设函数 z xf ( xy
2z y z z 和 . ) ，其中 f 二阶可微，求 , x x y x y 2z z 2 z 和 . , x x 2 x y
第 13，14 题每题 9 分，第 15 题 10 分，共 16 分.
13. 设有一座山的方程为 z 75 x 2 y 2 xy , M ( x0 , y0 ) 是山脚 z 0 （即等高线 x 2 y 2 xy 75
上） 的点. （1） 问 z 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿什么方向的增长率最大， 若记此增长量的最大值为 ( x0 , y0 ),
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2011 级高等数学 A(2)期末考试试卷
第 1~12 题每题 6 分，共 72 分. 1．设 u 轴与三坐标轴正向构成相等的锐角，求空间向量 a (4, 3, 2) 在 u 轴上的投影.
2.
x 0, 一平面 过球面 x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 的球心，并垂直于直线 l : ，求该平面与该 y z 0
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
2012数值分析试题及答案
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
所以，迭代矩阵为 M D 1 (D A) .
当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，由于
n
| aij |
(M ) M max | j1 | 1，所以，迭代格式收敛.
1in
2aii
三、（12 分）说明方程 x cosx 0 有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使
42 ，则 A 的 Doolittle 分解式是( A 13
10 10
2 －2
)，Crout
… …
○
分解式是（
A 13
－02
1 0
12
）.
… … …
3.解线性方程组
xx11
4x2 9x2
2 1
的
Jacobi
迭代矩阵的谱半径
（B)
(
2/3
).
… 封
4.迭代格式 xk1 xk3 3xk2 3xk , k 0,1,2,... 求根 1是( 3 )阶收敛的.
… …
5.设 f (x) sin x ，用以 xi i, i 0,1,2 为节点的二次插值多项式近似 sin1.5 的值，
aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
数值分析题库
一． 单项选择题（每小题2分，共10分）1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 51021-⨯，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21)，则1-A 的主特征值是（ ）A11λ B nλ1 C1λ或n λ D 11λ或nλ13． 设有迭代公式→→+→+=fxB x k k )()1(。
若||B|| > 1，则该迭代公式（ ）A 必收敛B 必发散C 可能收敛也可能发散4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）A 解函数B 近似解函数C 解函数值D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法C 雅可比迭代法D 高斯—塞德尔迭代法二． 填空题（每小题4分，共20分）1． 设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+02132432132132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为⎪⎩⎪⎨⎧2． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111112101A ，则=∞A3． 设1)0(,2'2=+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y4． 设1)(+=ax x f ,2)(x x g =。
若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a =5． 设T x )1,2,2(--=→，若有平面旋转阵P ，使P →x 的第3个分量为0，则P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 三． 计算题（每小题10分，共50分）1． 求27的近似值。
若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？2． 设42)(x x x f -=,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。
3． 设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。
数值分析试题与答案
试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
湖南大学2011级2012年高数A1答案
x d x d x d ( 2 t x ) f ( t ) dt 2 tf ( t ) dt [ x f (t )dt] dx 0 dx 0 dx 0
x x 0 0
（4 分）
2xf ( x) f (t )dt xf ( x) xf ( x) f (t )dt
（3 分）
3 x 1 ln( x 2 2x 5) arctan C 2 2
6、解： 作换元 x
（5 分）
1 ， 有 u
2
（1 分）
3 1 2
dx x 1 x1 3Fra biblioteku 1 u
2
1
du 1 u |1 2
2
1 3
2 3 3
(2 分)
(4 分)
(5 分) （1 分） （3 分）
a (H h)]2 dh ， H
（6 分）
a (H h)]2 hdh H
H 0
g[ (H h)]2 hdh
a H
1 ga2 H 2 12
（7 分）
代入数据得 W=3210×9.81×(230)2× (146)2/12=2959062766470J≈2.96× 1012 J
（8 分）
1
2
1 1 2n 1 ) 1 1 1（7 分） ，知 2 n 2 2 (k 1) (n 1) n1 n (n 1)
11、解：方程变形为 y
1
y cos 2x ，于是该方程为一阶线性方程; （2 分） x
1
1 1 1 C dx dx 求解得 y e x ( cos 2x e x dx C) ( x cos 2xdx C) sin 2x cos 2x x 2 4x x
2012年湖南高考（理科）数学试卷及解答
2012年高考（湖南）数学试卷（理科类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}1,0,1{-=M ，}{2x x x N £=，则=N MA ．}0{B ．}1,0{C ．}1,1{-D ．}1,0,1{- 2．命题“若4pa =，则1tan =a ”的逆否命题是”的逆否命题是A ．若4p a ¹，则1tan ¹aB ．若4p a =，则1tan ¹aC ．若1tan ¹a ，则4pa ¹ D ．若1tan ¹a ，则4pa =3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是A B C D 4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据),(i i y x ),,2,1(n i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ，则下列结论中不正确．．．的是A ．y 与x 具有正的线性相关关系具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心),(y xC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加85.0kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为79.58kg 5．已知双曲线1:2222=-by a xC 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为的方程为A ．152022=-yxB ．120522=-yxC ．1208022=-yxD ．1802022=-yx6．函数)6cos(sin )(p+-=x x x f 的值域为的值域为A ．]2,2[-B ．]3,3[-C ．]1,1[-D ．]23,23[-7．在ABC D 中，2=AB ，3=AC ，1=×BC AB ，则=BCA ．3 B ．7 C ．22 D ．238．已知两条直线my l =:1和)0(128:2>+=m m y l ，1l 与函数xy 2log =的图像从左至右相交于点B A ,，2l 与函数xy 2log=的图像从左至右相交于点D C ,．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为b a ,．当m 变化时，b a的最小值为的最小值为A ．162B ．82C ．348D ．344二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9． 在直角坐标系xOy 中，已知曲线îíì-=+=t y t x C 21,1:1（t 为参数）与曲线îíì==qq cos 3,sin :2y a x C （q 为参数，0>a ）有一个公共点在x 轴上，则=a ． 10．不等式01212>--+x x 的解集为的解集为 ．11．如图2，过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点．若1=PA ，2=AB ，3=PO ，则⊙O 的半径等于的半径等于 ．（二）必做题（12～16题）12．已知复数2)3(i z +=（i 为虚数单位)，则=z ．13．6)12(xx -的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）（用数字作答）14．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1=-=n x ，则输出的数=S ．15．函数)sin()(j w +=x x f 的导函数)(x f y ¢=的部分图象如图4所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，C A ,为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．为图象的最低点．（1）若6pj =，点P 的坐标为)233,0(，则=w ；（2）若在曲线段 A B C 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC D 内的概率为内的概率为 ．16．设*2(,)n N n N n =γ2，将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置，得到排列012N P x x x = ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -= ，将此操作称为C 变换．将1P 分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n ££-时，将i P 分成2i段，每段2i N个数，并对每段作C 变换，得到1i P +．例如，当8N =时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置．个位置． （1）当16N =时，7x 位于2P 中的第中的第 个位置；个位置； （2）当2()nN n =³8时，173x 位于4P 中的第中的第 个位置．个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．的相关数据，如下表所示．一次购物量一次购物量 1至4件5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上件及以上顾客数（人） x30 25 y10 结算时间（分钟/人）1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．％．（Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）（注：将频率视为概率）18．（本小题满分12分）分）如图5，在四棱锥P A B C D -中，P A ^平面A B C D ，4A B =，3BC =，5AD =，90D A B A B C Ð=Ð=°，E 是CD 的中点．的中点．（Ⅰ）证明：C D ^平面P A E ；（Ⅱ）若直线P B 与平面P A E 所成的角和P B 与平面A B C D 所成的角相等，求四棱锥P A B C D -的体积．的体积．19．（本小题满分12分）分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++ ，231()n B n a a a+=+++ ，342()n C n a a a+=+++ ，1,2,.n =（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意*n N Î，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）证明：数列{}na 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意*n N Î，三个数(),(),()A nB nC n 组成公比为q 的等比数列. 20．（本小题满分13分）分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）．（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．间最短时具体的人数分组方案．21．（本小题满分13分）分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ¹±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，的两条切线，分别与曲线分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值. 22．（本小题满分13分）分）已知函数()a xf x e x =-，其中0a ¹. （Ⅰ）若对一切x R Î，()1f x ³恒成立，求a 的取值集合. （Ⅱ）在函数()f x 的图像上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线A B 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x Î，使()f x k ¢>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由. 2012年高考（湖南）数学试卷（理科类）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B 【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} \M ∩N={0,1}. 【点评】本题考查了【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N. 2.【答案】C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p Ø，则q Ø”，所以，所以 “若α=4p，则tan α=1”的逆否命题是题是 “若tan α≠1，则α≠4p”. 【点评】本题考查了【点评】本题考查了“若“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力 3.【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.【答案】D 【解析】【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()y bx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 5.【答案】A 【解析】设双曲线C ：22x a-22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==. 又 C 的渐近线为b y x a=±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b a\=，即2a b =. 又222c a b =+，25,5a b \==，\C 的方程为220x -25y =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 6.【答案】B 【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6p)31sin cos sin 3sin()226x x x x p=-+=-，[]sin()1,16x p-Î- ，()f x \值域为[-3,3]. 【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x w j +的形式，利用[]sin()1,1x w j +Î-，求得()f x 的值域. 7.【答案】A 【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1A B B C B B C B p -=´´-=. 1cos 2B B C\=-.又由余弦定理知222cos 2A B B C A C B A B B C+-=×，解得3B C =. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,A B B C的夹角为B Ð的外角. 8．【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，图像如下图，由2log x = m ，得122,2mmx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==. 依照题意得8218218218212222,22,22m m m mmm mm b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==. 8141114312122222m m m m +=++-³-=++，m in ()82ba \=. ABC【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得. 二 、填空题：、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）9. 【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t =+ìí=-î直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y q q=ìí=î直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -，由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得. 10.【答案】14x x ìü>íýîþ【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ì-<-ïïï=--££íï>ïïî得()f x 0>的解集为14x x ìü>íýîþ. 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. 11.【答案】6【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知，由割线定理知,1(12)(3-)(3), 6.P A P B P C P D r r r ×=×´+=+\=即x821y m =+2log y x=y m=1OABC D【点评】本题考查【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知P A P B P C P D ×=×，从而求得圆的半径. (二)必做题（12~16题）题） 12【答案】10 【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，228610z =+=. 【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +Î形式，利用形式，利用22z a b =+求得. 13.【答案】-160 【解析】( 2x -1x)6的展开式项公式是6631661C (2)()C 2(1)r rr r rr rr T x xx---+=-=-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-. 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.【答案】4-【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-. 【点评】本题考查算法流程图，本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，要明白循环结构中的内容，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一般解法是逐步执行，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错. 15.【答案】（1）3；（2）4p【解析】（1）()y f x ¢=cos()x w w j =+，当6pj =，点P 的坐标为（0，332）时）时33cos ,362pw w =\=；（2）由图知222TA C pp w w ===，122A B C S A C pw =×= ，设,A B 的横坐标分别为,a b . ABPOC D()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x abw j w j¢===+-+=ò,（因为假设原函数wa +j 为2p则jwa +为p ），由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224A B C S P S pp === . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求w ， （2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得. 16.【答案】（1）6；（2）43211n -´+【解析】（1）当N=16时, 012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) , 113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) , 2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,9,13,3,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -´+个位置. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）分）【解析】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 153303251(1),(1.5),(2),10020100101004p X p X p X =========201101(2.5),(3).100510010p X p X ====== X 的分布为的分布为X 1 1.5 2 2.5 3 P 320310 1415 110X 的数学期望为的数学期望为33111()11.522.531.920104510E X =´+´+´+´+´=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，(1,2)iX i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则算时间，则121212()(11)(11.5)(1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且. 由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)(1.5)(1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==´=+=´=+=´=( 333333920202010102080=´+´+´=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知％知251010055%,35,y x y ++=´+=从而解得,x y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. 18.（本小题满分12分）分） 【解析】【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC =，90 5.ABC AC Ð== ,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.C D A E ^,,PA ABCD C D ABCD ^Ì 平面平面所以.P A C D ^而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG C D AE AD F G PF //分别与相交于连接由（Ⅰ）CD ⊥平面P AE 知，ＢＧ⊥平面P AE.于是B P F Ð为直线ＰＢ与平面P AE 所成的角，且B G A E ^. 由PA ABCD ^平面知，P B A Ð为直线P B 与平面A B C D 所成的角. 4,2,,AB AG BG AF ==^由题意，知,PBA BPF Ð=Ð因为sin ,sin ,P A B F P B A B P F P BP BÐ=Ð=所以.P A B F =由90//,//,D A B A B C A D B C B G C D Ð=Ð=知，又所以四边形B C D G 是平行四边形，故3.G D B C ==于是 2.A G =在R t ΔB A G 中，4,2,,AB AG BG AF ==^所以所以222168525,.525A BB G A B A G B F B G=+====于是85.5P A B F ==又梯形A B C D 的面积为1(53)416,S =´+´=所以四棱锥P A B C D -的体积为的体积为1185128516.33515V S P A =´´=´´=解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,P A h =则相关的各点坐标为：则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h （Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).C D A E A P h =-==因为因为8800,0,C D A E C D A P ×=-++=×=所以,.C D AE C D AP ^^而,A P A E 是平面P A E 内的两条相交直线，所以.C D PAE ^平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,C D A P 分别是P A E 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与P A E 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以所成的角相等，所以 cos ,cos ,.C D P B P A P BC D P B P A P B C D P B P A P B ××<>=<>=×× ,即由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),C D A P h =-=-由(4,0,),P B h =- 故222160000.162516hh h h -++++=×+×+解得855h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =´+´=，所以四棱锥P A B C D -的体积为的体积为118512851633515V S P A =´´=´´=. 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算第一问只要证明第一问只要证明P A C D ^即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S P A =´´算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积. 19.（本小题满分12分）分） 【解析】【解析】解（１）对任意N n *Î,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以是等差数列，所以 ()()()B n A nC n Bn-=- 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-´=- （Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *Î，有，有1.n n q aa -=由0na >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是均大于０，于是12)2311212(......(),()......n n nnq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. （２）充分性：若对于任意N n *Î，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，的等比数列， 则()(),()B n q A n C n q B n==，于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即 212.n n a qa a a ++-=-由1n =有(1)(1),B qA =即21a q a =，从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a aq a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，的等比数列， 综上所述，综上所述，数列数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：的等比数列的充分必要条件是：对任意对任意n ∈N ﹡，﹡，三个数三个数(),(),()A nB nC n组成公比为q 的等比数列. 【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证20.（本小题满分13分）[来#源:中教%&*网~] 【解析】【解析】 解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有由题设有12323000100020001500(),(),(),6200(1)T x T x T x x xk x k x ´====-+期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数. （Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为其定义域为2000,.1x x x N k *ìü<<Îíý+îþ易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到注意到212()(),T x T x k=于是于是（1）当2k =时，12()(),T x T x = 此时此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x xx ìü==íý-îþ， 由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003xx=-时()f x 取得最小值，解得取得最小值，解得4009x =.由于由于134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113fTfTff<<====<而. 故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =. （2）当2k >时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ³，此时{}1375(),()m ax (),()50T x x T x T x xj ==-易知()T x 为增函数，则为增函数，则{}13()max (),()f x T x T x = {}1max (),()T x T x ³1000375()max ,50x xx j ìü==íý-îþ. 由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550xx =-时()x j 取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T j j<<==>==>而 此时完成订单任务的最短时间大于25011. （3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()m ax (),()m ax ,.100f x T x T x x x ìü==íý-îþ由函数23(),()T x T x 的单调性知，的单调性知， 当2000750100xx=-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似（1）的讨论.此时此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011. 综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想. 21.（本小题满分13分）[www.z%zstep.co*~&m^] 【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得，由已知得222(5)3x x y +=-+-，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以，所以22(5)5x y x -+=+. 化简得曲线1C 的方程为220y x =. 解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =. （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ¹±，则过P 且与圆且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是于是0254 3.1k y kk ++=+整理得整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故是方程①的两个实根，故001218.724y y k k +=-=- ②②由101240,20,k x y y k y x -++=ìí=î得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +×=④④同理可得同理可得0234220(4).y k y y k +×= ⑤⑤于是由②，④，⑤三式得于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k éù+++ëû=22001212400166400y y k k k k éù-+ëû=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，第二问设出切线方程，第二问设出切线方程，把直线与曲线方程把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想. 22.（本小题满分13分）分）【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1axe x =-<，这与题设矛盾，又0a ¹，故0a >. 而()1,axf x ae ¢=-令11()0,ln.f x x a a ¢==得当11lnx a a<时，()0,()f x f x ¢<单调递减；当11ln x a a>时，()0,()f x f x ¢>单调递增，故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a =-于是对一切,()1x R f x γ恒成立，当且仅当恒成立，当且仅当111l n 1a a a-³.① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t ¢=-当01t <<时，()0,()g t g t ¢>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t ¢<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()()1.a xa x f x f x ee k x x x x --==---令2121()(),a x a x a xeex f x k aex x j -¢=-=--则121()12121()()1,a x a xa x x e x e a x x x x j -éù=----ëû-212()21221()()1.a x a xa x x e x e a x x x x j -éù=---ëû-令()1t F t e t =--，则()1t F t e ¢=-. 当0t <时，()0,()F t F t ¢<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t ¢>单调递增. 故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.te t --> 从而21()21()10a x xea x x ---->，12()12()10,a x x ea x x ---->又1210,a x ex x >-2210,a x ex x >-所以1()0,x j <2()0.x j > 因为函数()y x j =在区间[]12,x x上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在),(21xx c Î，使0)(=c j，2()0,()axx a e x j j ¢=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln()a xa xeec aa x x -=-.故当且仅当212211(ln,)()a xa xeex x a a x x -Î-时，时， 0()f x k ¢>. 综上所述，存在012(,)x x x Î使0()f x k ¢>成立.且0x 的取值范围为的取值范围为212211(ln,)()a xa xeex a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(l n )l n .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x) ³1恒成立转化为m in ()1f x ³，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 。
2012湖南大学数学竞赛(数学专业组)试题及解答
湖南大学2012年数学竞赛试卷（数学专业类）及参考答案2-1-1-1-1-1-1111.1|+|>0 (2)-(1)==+>0+()>0+()>0()+00={,,-0-0T T T T T s Ts A B A B A B A I A P A P P A B P I P BP P I P BP P BP I B b b B T T BT D diag b b ⇔⇔⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设实对称，实反对称，证明：（）正定证：只要对的情形证明即可。
事实上，由于正定，则存在可逆使得。
显然反对称。
对于。
由于反对称，则存在正交阵使得12=1120,...,0}11+=++{,,1,...,1}(1+)>0-1-1(2)--+ss T i i s T T T b b I B T I D T I D diag b b b B B B A B A B B A B B ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==∏则。
由于反对称，则。
则。
其中是正定的，是半正定的。
则它们的和是正定的。
032012012s+1s+111222.=ker (1)dim =dim +dim (2)dim +dim 2dim ,,...,,,...,,,,...,,,...,dim =++...+s s t t W n V W W W W W V V V W W W W k k k σσσσσσεεεεεεεεσεσεσααεε⋂≥∀∈设是维线性空间的子空间。
为其上的线性变换。
令。
求证：证明：设为一组基。
则他们可以扩充为的一组基下面我们来证明为的一组基。
对，有()()+1s+11122+1s+1+1s+1s+1+1s+1+1s+1+1s+1012++...+=++...+++...+=+...+,,...,+...+=+...+=0+...+ker ,s s s t ts s s t t s t t t s t t s t t s t t k k k k k k k k k l l l l l l W W εεεσασεεεεεσεσεσασεσεσεσεσεεεεσεε∈∈∈则则可由表出。
湖南大学研究生工程数学历年试卷与答案
XX 大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷<可用计算器> 考试时间： 120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题〔包括填空题、选择题必须答在专用答卷纸上,否则无效。
一． 填空题〔每小题5分,共30分1. 用355113作为圆周率 3.14159265π=的近似值时,有位有效数字。
2. 2()(5),x x x ϕα=+- 要使迭代法1()k k x x ϕ+=局部收敛到*x = 则α的取值范围是 .3. 若12,21A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则谱条件数1222()Cond A A A -=⋅= . 4. 设01,,,n x x x 为1n +个互异的插值节点,()()(0,1,,)()j i j i i jx x l x i n x x ≠-==-∏为拉格朗日插值基函数,则1(0)nn i ii l x+==∑ .5.6. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度,则 1x = , 1A =二． < 11分> 给定方程32()360.f x x x =+-=(1) 证明该方程在区间(1,2)内存在唯一实根*;x(2) 用牛顿迭代法求出*x 的近似值,取初值0 1.5,x = 要求5110.k k x x -+-< 三．< 10分> 用高斯列主元素消去法解线性方程组四．<10分> 给定线性方程组写出求解该方程组的雅可比迭代格式,并分析雅可比迭代法的收敛性。
五．<13分>构造Hermite <六．<10分> 求常数,αβ使积分()1220xex xdx αβ--⎰ 取最小值。
七．<16分> 用龙贝格方法求积分 的近似值,要求误差不超过310.-工程数学试题参考答案一． <1> 7 ; <2> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,51; <3> 3 ; <4> n nx x x 10)1(- ; <5> x 4.19.0+ ; <6> .43,3211==A x二． 解. <1> 因为,)])2,1[(063)(,014)2(,02)1(,]2,1[)(2∈∀>+='>=<-=∈x x x x f f f C x f 所以由零点定理和单调性知原方程在)2,1(内存在唯一实根.*x <4分><2> 牛顿迭代格式为.,2,1,0,6363263632232231=+++=+-+-=+k x x x x x x x x x x kk k k k k k k k k <7分> 取初值,5.10=x 计算结果如下：5*43410, 1.195823.x x x x --<≈=<11分>三．解. 12320241911281128241912320--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ <2分> 24195703225490422⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦<4分>24195490422570322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦<5分> 24195490422351750088⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦<7分>等价的上三角形方程组为123233249,5494,2235175.88x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪=-⎪⎩回代得 3215,3, 1.x x x =-==<10分> 四. 解. 雅可比迭代格式为 雅可比迭代矩阵11022101,11022J B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦<5分> 其特征方程 11||0,22J E B λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭J B 的特征值 12,310,.2λλ==± <8分> 因为谱半径()11,2J B ρ=< 所以雅可比迭代法收敛。
数值分析试题(A)参考答案2012.6
湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷）参考答案 专业年级： 11级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一、简答题(20分)1、避免误差危害的主要原则有哪些？答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减），会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量避免。
（2分）（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重扩大误差，应该尽量避免。
（3分）（3）几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。
（4分）（4）采用稳定的算法。
（5分）2．求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？答：（1） 若出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。
（3分）（2）当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。
（4分）（3）当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。
（5分）3．求解非线性方程的Newton 迭代法的收敛性如何？答：（1） Newton 迭代法是局部收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。
（2分）（2）用Newton 迭代法求方程0)(=x f 的单根时，其收敛至少是平方收敛，若求重根，则只有线性收敛。
（5分）4．Newton-Cotes 积分公式的稳定性怎么样？答：（1）Newton-Cotes 积分公式当7≤n 时，Cotes 系数都为小于1的正数，因此是稳定的。
（3分）（2）当8>n 时，出现了绝对值大于1的Cotes 系数， 因此是不稳定。
（5分）二、(10分) 证明函数)(x f 关于点k x x x ,...,,10的k 阶差商],...,,[10k x x x f 可以写成对应函数值k y y y ,...,,10的线性组合，即∑==k j jjk x w y x x x f 010)('],...,,[ 其中节点))...()(()(10k x x x x x x x w ---=。
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湖南大学研究生
课程考试命题专用纸
考试科目： 数值分析 （A 卷） 专业年级： 12级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟
………………………………………………………………………………………………………………………
注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一、(10分) 证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足
,0
(), 0k
k k i n i
j x l
x x k n ==≤≤∑.
二、(20分) 设.
1．写出求解方程 3()515f x x x =+- 的Newton 迭代的计算格式.
2. 证明方程 0)(=x f 在区间[1,2]上有根，并选择使Newton 迭代收敛的初始值. 3． 用Newton 迭代求方程 0)(=x f 在区间 [1,2] 上的根（精确到小数点后面六位）。
三、(10分) 求函数14)(3+=x x f 在区间]1,1[-上关于权函数()1p x =的形如2ax b +的最佳平
方逼近二次多项式，即求 a ，b ， 使 1221
(())d ax b f x x -+-ò
达到最小。
四、(10分) 利用三角分解解线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=++-=+-.
52,4222,
12321
321321x x x x x x x x x
五、(10分) 对于线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+=+-=+-,
33,84,65,123214324
31421x x x x x x x x x x x x 导出使Gauss-Seidel 迭代法收敛的迭代格
式，要求写出迭代格式并说明收敛理由。
六、（10分）试根据数表
构造一个3次Hermite(埃尔米特)插值多项式3().H x 七、（10分）求最小二乘拟合直线拟合如下数据.
八、(10分) 用变步长求积公式计算积分⎰31
d 1
x x
，要求事后误差不超过310-.
九、(10分) 试确定系数123,,,A A A 使得求积公式
11231
12()(1)33f x dx A f A f A f -⎛⎫⎛⎫
≈-+-
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰
的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数。