间接平差

b1t xˆt d1 2 b2t xˆt d
2
L1 Vn bn1xˆ i bn2 xˆt bmt xˆt d n
（1）
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§4-1 间接平差原理
L1
L
L2
Ln
V1
V
V2 Vn
Xˆ1
Xˆ
Xˆ
2
Xˆ
n
b11
B
b21
b12
b22
b1t b2t
bn1 bnt bnt
d1
d
d2
dn
（2）
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§4-1 间接平差原理
则平方值方程的矩阵形式为:
L V BXˆ d （3）
令 式中
Xˆ X 0 xˆ
l L BX 0 d （4）
n,1
为X参0 数的近似值，于是得误差方程为:
V Bxˆ l （5）
的，故平差值 不Lˆ因方L法不V 同而异。
单位权方差 的 02估值 ，计ˆ 02算式是
除以其自由度，即：
V T PV
ˆ
2 0
V T PV
r
V T PV
nt
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§4-1 间接平差原理
三、精度评定
1、单位权中误差的计算
中误差为 ˆ 0
V T PV nt
计算VTPV，可将误差方程代入后计算，即
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§4-1 间接平差原理
按最小二乘原理，上式的 必xˆ须满足 V T PV min
的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函
数自由极值的方法，得：
V T PV 2V T P V V T PB 0 （6）
xˆ
xˆ
转置后得 BT PV 0
（7）
以上所得式中的待求量是n个V和 ，xˆ 而方程个数
随机模型为:
D
n1
2 0
Q
nn
P2 1 0 nn
函数模型表达了估值与观测值改正数V之间的函数关系， 我们通常称为误差方程式。
由于误差方程个数n待求量X和V前总数为n+t，因此
具有无穷多组解，但可按最小二乘原理，在平差准则 V T PV 下 m求in得其解。下面导出间接平差的计算公式。
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xˆ
N
W 1
bb
xˆ BT PB 1 BT Pl
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§4-1 间接平差原理
将求出的 xˆ代入误差方程，即可求得改正数V，从而
平差结果为:
Lˆ L V
法方程式的纯量形为
N11xˆ1 N12 xˆ2 N1t xˆt W1 0
N 21xˆ1 N 22 xˆ2
N 2t xˆt
也是n+t个，有的基础方程。
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§4-1 间接平差原理
解此基础方程，一般是将（5）式代入（7）式，以便先消V，得
BT PBxˆ BT Pl 0
（8）
令： 上式可简写成
Nbb
t ,t
BT PB,W t ,1
BT Pl
Nbb xˆ W 0
式中系数阵满秩，上式称为间接平差的法方程。解之，得
Error Theory and Fundation of Surveying Adjustment
主讲：喻铮铮 单位：许昌学院城市与环境学院
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第一章 绪论
第二章 误差理论基础
内
第三章 平差数学模型与最小二乘原理
容
第四章 间接平差
第五章 条件平差
提
第六章 附有参数的条件平差
要
第七章 附有约束条件的间接平差 第八章 参数加权平差和分组平差
V T PV Bxˆ lT PV xˆT BT PV lT PV ,
顾及式BTPV=0
V T PV lT PBxˆ l lT Pl lT PBxˆ
考虑 l T PB，得BT Pl
V T PV l T Pl BT Plxˆ
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l T Pl W T xˆ
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§4-1 间接平差原理 2、协因数阵
在间接平差中，基本向量为 Ll, Xˆ xˆ。,V已和知Lˆ QLL=Q。
由于
l L F X 0 L L0 , L0 F X 0 是由近似值计
算的函数值，故 对于讨论精F度X将0 不产生影响。此外，
按定义知
，故
Xˆ ，X因0此下xˆ,面在Q与Xˆ有Xˆ 关Q的xˆxˆ协因
数阵中，均将
观测量分别表达成这个t个参数的函数，建立
函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的 方法解出参数的最或然值，从而求得各观测量 的平差值，并评定精度。
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§4-1 间接平差原理
第三章已简述了间接平差法建立函数模型和随机模型 的方法，即其函数模型为: V B xˆ l
n1 nn1 n1
W2
0
Nt1xˆ1 Nt2 xˆ2 Ntt xˆt Wt 0
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§4-1 间接平差原理
二、间接平差求平差值的计算步骤
1．根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；
2．将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函 数，若函数非数性要将其线性化，列出误差方程;
3．由误差方程系数B和自由项l组成法方程，法方程个数 等于参数的个数t；
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§4-1 间接平差原理
一、间接平差的基础方程及解
设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵，必要观
测数为t，选定t个数立量为参数X，其估量为X=X n xˆ,
观测值L与改正数V之和L=L+V，称为观测平差值。按具 体平差问题，列出n个差值方程为：
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L1 L2
V1 b11xˆ i b12 xˆ2 V2 b21xˆ i b22 xˆ
4．解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；
5．由误差方程计算V，求出观测量平差值。
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§4-1 间接平差原理
三、精度评定
1、单位权中误差的计算
间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它们
是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两法的平差结果
总是相同的，这是因为在满足 V T PV条件m下inV是唯一确定
第九章 参数的区间估计与假设检验
第十章 平差实例
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第4章 间接平差
§4.1 间接平差原理 §4.2 平差结果的统计性质 §4.3 公式汇编和示例 §4.4 误差椭圆 §4.5 模型误差与法方程系数矩阵的性质 §4.6 法方程的制约性
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§4-1 间接平差原理
间接平差是通过选定t个独立参数，将每个
xˆ写成Xˆ
下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量间的互协
因数阵。
设 Z T LT Xˆ，TV则T LZ~T的协因数阵为