完整word版,浙江大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷
2016-2017学年高等数学期末试卷A及参考答案-精品文档

华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2016~2017学年第2学期 考试科目:高等数学B Ⅱ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.设两点(3,1,1)A ,(2,0,1)B ,则与AB 方向相同的单位向量=e .2.设函数2(,)(f x y y x =+-,则(1,1)y f = .3.已知{}22(,)4D x y x y =+≤,则2d d Dx y =⎰⎰ .4.幂级数1(1)2nnn x n +∞=-⋅∑的收敛区间为 . 5.若2xy Ce=为微分方程()0yp x y '+=的通解,则()p x = .二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.直线11211x y z -+==-与平面1x y z -+=的位置关系是( ) A .平行; B .垂直;C .夹角为4π; D .夹角为4π-.2.设z =,则 z zxy x y∂∂+=∂∂ ( ) A .0; B .12; C; D. 3.设22{(,)|,0}D x y xy x y =+≤≥,则二重积分(,)Df x y dxdy =⎰⎰( )A.100(,)dy f x y dx ⎰⎰; B.100(,)dy f x y dx ⎰⎰; C .1100(,)dx f x y dy ⎰⎰; D.100(,)dx f x y dy ⎰⎰.4.下列级数收敛的是 ( )A.n +∞=; B.1n +∞=; C.n +∞=; D.1n +∞=5.差分方程122t t ty y t +-=⋅的特解形式为 ( )A .2t t y A =⋅;B .2t t y At =⋅;C .()2t t y At B =+⋅;D .()2t t y t At B =+⋅.三、计算题(本大题共6小题,每小题8分,共48分)1. 求过点(2,1,0)且与直线520350x y z y z +--=⎧⎨--=⎩垂直的平面方程.2. 设函数yz x =(0,1x x >≠),求2zx y∂∂∂.3. 求函数arctanxz xy y=+在点(0,1)处的全微分.4.试将函数2()12xf x x x=+-展开成x 的幂级数,并指出其收敛区间.5.计算二重积分22Dx I dxdy y =⎰⎰,其中D 是由直线,2y x x ==及1xy =所围成的闭区域.6.求微分方程30xy y '''+=满足初始条件(1)1,(1)2y y '==-的特解.四、解答题(本大题共3小题,第1题 10分,第2、3题各6分,共 22 分) 1.设某工厂生产A 和B 两种产品,产量分别为x 和y (单位:千件), 利润函数为22(,)2336590L x y x xy y x y =---++(单位:万元),问如何安排生产才能使总利润最大?最大利润是多少?2.设0S 为初始存款,年利率为(01)r r <<,t 年末金额累积到t S (1,2,t =).若以复利累积,试求t S 满足的差分方程,并解此差分方程.3.若0,1n a n ≥≥,级数21n n a +∞=∑收敛,试讨论级数1nn a n+∞=∑的敛散性。
高数下期末考试试卷及答案

⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A)注意:1、本试卷共 3 页;2、考试时间110 分钟;3、姓名、学号必须写在指定地方7.设级数a a 0 (n )为交错级数,,则(). nnn 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中,正确的命题是().(A)若级数 a 发散,则级数n2a 也发散n名姓⋯⋯⋯⋯⋯题号一二三四总分得分(B)若级数(C)若级数nn112a发散,则级数n2a收敛,则级数nnn11a也发散na 也收敛nn 1 n 1⋯⋯.阅卷人得分一、单项选择题(8 个小题,每小题 2 分,共16 分)将每题的正确答案的(D)若级数|a n |收敛,则级数n 1n 12a 也收敛n号学⋯⋯⋯代号A B C D、、或填入下表中.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 阅卷人得分⋯线答案二、填空题(7 个小题,每小题 2分,共14 分) .号序封密1.已知a与b都是非零向量,且满足a b a b,则必有().(A) a b0(B) a b0(C) a b0 (D) a b03x 4y 2z 61. 直线x 3y z a 0与z 轴相交,则常数 a为.号班学教12 2lim( xy )sinx 0y 0过2.极限( ).y2.设( , ) ln( ),f x y x x则f2 2D : x y 2x ,二重积分(x y)d= .(1,0)___________.y2 2x y超(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在3.函数 f (x, y) x y 在(3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.要3.下列函数中,df f 的是( ).(A)f ( x, y) xy (B)f (x, y) x y c0,c0为实数不4.设纸卷试题答2 2 x y(C)f (x, y) x y (D)f ( x, y) e4.函数 f (x, y) xy (3 x y) ,原点(0,0) 是f (x, y) 的( ).(A)驻点与极值点(B)驻点,非极值点5.设f x 是连续函数,D2 2{( x, y ,z) | 0 z 9 xy } ,2 2f (x y )dv在柱面坐标系下学大峡三⋯⋯.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(C)极值点,非驻点(D)非驻点,非极值点5 .设平面区域x y2 2D : (x 1) (y1) 2 ,若I1d ,4Dx yI d ,24Dx yI3 d ,则有().34D(A)I I I (B)I1 I 2 I3 (C)I 2 I1 I3 (D)I 3I1 I 21 2 32 y2x2 26.设椭圆L :1的周长为l ,则(3x 4y )ds ().4 3L(A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l的三次积分为.6. 幂级数n 1n( 1)1nxn!的收敛域是.1 , xf ( x)7. 将函数 21 x , 0 x以2 为周期延拓后,其傅里叶级数在点x 处收敛于.2017 年《高等数学Ⅰ(二)》课程期末考试试卷 A 共3 页第1页⋯阅卷人得分4.设是由曲面z xy, y x, x 1及z 0 所围成的空间闭区域,求2 3d d dI xy z x y z .名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x1.设u xf (x, )y解:三、综合解答题一( 5 个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤),其中 f 有连续的一阶偏导数,求ux,uy.解:.⋯号学⋯⋯⋯线封z z xy 在点(2,1,0) 处的切平面方程及法线方程.2.求曲面 e 3解:号序密过5.求幂级数nx n 1 的和函数S(x) ,并求级数n 1 nn 的和.n1 2解:超号班学要教不纸卷试题答3. 交换积分次序,并计算二次积分解:sin ydxdyxy.学大峡三⋯⋯.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ(二)》课程期末考试试卷 A 共3 页第2页阅卷人得分四、综合解答题二( 5 个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字⋯⋯⋯⋯⋯⋯说明、证明过程或演算步骤)1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.解4.计算xdS,为平面x y z 1在第一卦限部分.解:名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯号学⋯⋯⋯线2.计算积分L2 2( )dx y s,其中L 为圆周2 2x y ax ( a0).号序封密解:蝌,5.利用高斯公式计算对坐标的曲面积分dxdy + dydz + dzdxS2 2 2其中为圆锥面z x y z 0 z 1介于平面及之间的部分的下侧.解:过超号班学要教不纸卷试题答3.利用格林公式,计算曲线积分I (x y )dx (x 2xy)dy ,其中L 是由抛物线y x2 和2 2Lx y2 所围成的区域D的正向边界曲线.学大峡三⋯⋯.⋯y2y x2 x y⋯D⋯⋯O x⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ(二)》课程期末考试试卷 A 共3 页第 3 页2017 学年春季学期(B )若级数2a 发散,则级数na 也发散;n《高等数学Ⅰ(二) 》期末考试试卷(A)答案及评分标准(C )若级数n n 1 12 a 收敛,则级数 nn n 11a 也收敛;n(D )若级数|a n |收敛,则级数2a 也收敛.nn 1n 1一、单项选择题( 8 个小题,每小题 2 分,共 16 分)题号1 2 3 4 5 6 7 8答案D A B B A D C D二、填空题 (7 个小题,每小题 2 分,共 14 分) .3x 4y 2z 6 0 x 3y z a 01. 直线与 z 轴相交,则常数 a 为 3 。
《高等数学》 2016-2017学年第一学期期末试卷A卷

河海大学2016—2017学年第一学期 《高等数学》 期末试卷(A )一、选择题(每小题3分,共15分) 1.设函数xxx f g x x f -+=-=-11))((,1)2(,则)3(g 等于( A )。
A .3- B .2- C .0 D .1 2.设x x x x y ++-=,则y 是x 的( A )阶无穷小。
A .81B .41C .21D .13.点0=x 是函数xe xf 111)(+=的( C )。
A .振荡间断点 B .可去间断点 C .跳跃间断点 D .无穷间断点 4.下列条件中,( C )是函数)(x f 在0x 处有导数的充分必要条件。
A .hh x f h x f h 2)()(lim000--+→存在 B .)(lim 0x f x x '→存在C .)(x f 在0x 处可微D .)(x f 在0x 处连续 5.设)(u f 可微,则)(sin x f y =的微分=dy ( B )。
A .dx x f )(sin 'B .xdx x f cos )(sin 'C .()x d x f sin )(sin 'D .xdx x f sin )(sin '二、填空题(每小题3分,共15分): 1. 函数[]x x y -=的最小正周期是1。
2.设)0(003cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤+=a x x a x a x x xx f ,当=a 49时, 0=x 是)(x f的连续点。
3.⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim )(2nx nx x f n 的间断点是=x ,且是第二类间断点。
4.设12)(-=x e x f ,则()=)0(2008f 120082-e 。
5.设方程0arctan =+-y y x 确定的函数)(x y y =,求=dxdy221y y +。
三、(6分)叙述∞=→)(lim 0x f x 的定义,并用定义证明定义∞=+→xx x 12lim0。
浙江大学大二数学专业《高等数学下》考试A卷及答案

《高等数学》(下)考试卷A适用专业: 考试日期: 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 试卷总分:100分一. 填空题:(共6小题,每空2分,共14分)1.设z=22x xy y ++,则x z ∂∂= ; yz∂∂= . 2.改变积分顺序240(,)dy f x y dx ⎰⎰= .3.函数 z=2x 2+y 2在点P(1,1)处的梯度为__________4.级数∑∞=11n n的敛散性为 .5.设平面曲线L 为下半圆周y=-21x -,则曲线积分⎰+Lds y x )(22=__________6.曲线x=41t 4,y=31t 3,z=21t 2在相应点t=1处的切线方程为_______________二.单项选择. (共8小题,每小题3分,共24分)1.设D 为圆域:x 2+y 2≤1,Ddxdy ⎰⎰=A.则A =( ) .(A) π (B) 4π (C) 2π (D) 3π. 2.lim 0n n u →∞≠是级数1n n u ∞=∑发散的( )(A).充分条件 (B). 必要条件 (C).充要条件 (D).无关条件 3.积分()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )(A) .P Q y x ∂∂=∂∂ (B). P Q y x∂∂=-∂∂ (C). P Q x y ∂∂=∂∂ (D). P Q y y ∂∂=∂∂ 4.设3z x y =,则dz =( ).(A)dx dy + (B)233x ydx x dy + (C) 3x dx ydy + (D) 23x ydx ydy +5.曲线积分⎰++-c yx xdyydx 22的值为( ),其中C 取圆周221x y +=的正向. (A )、π (B)、-2π (C)、 2π (D)、-π 6.已知2)()(y x ydydx ay x +++为某一函数的全微分,则a=( ) (A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 17.设∑为锥面z=22y x +介于z=0与z=1之间的部分,1∑是∑在第一卦限的部分,则⎰⎰∑++ds xz yz xy )(=( )(A)0 (B)4⎰⎰∑1xyds (C) 4⎰⎰∑1zyds (D) 4⎰⎰∑1xzds8.f x (x 0,y 0) 与f y (x 0,y 0)均存在是函数f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续的( )条件 (A) 充分 (B)必要 (C)充要 (D)无关三.(8分)设z=x 3y 2-3xy 3-xy+1,求22x z ∂∂ ,22yz∂∂。
完整word版,浙江大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷

复旦大学高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =r ,(4,1,10)b =-r,c b a λ=-r r r ,且a c ⊥r r ,则λ= 。
3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。
4.设yz u x =,则du = 。
5.级数11(1)np n n∞=-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是( )A .2x y Ce =B .22x y Ce =C .22y y e Cx =D .2y e Cxy = 2.求极限(,)(0,0)lim x y →= ( )A .14 B .12- C .14- D .123.直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上C .直线L 垂直于平面πD .直线L 与平面π斜交4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤,则Dσ= ( )A .33()2b a π- B .332()3b a π- C .334()3b a π- D .333()2b a π-5.下列级数收敛的是 ( )A .11(1)(4)n n n ∞=++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1121n n ∞=-∑ D.1n ∞=三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特解。
2. 计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰,其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
浙大期末高等数学试卷

考试时间:120分钟满分:100分一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列函数中,在区间(0,+∞)上连续且可导的是()。
A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = x^32. 设f(x) = 3x^2 - 2x + 1,则f'(x) = ()。
A. 6x - 2B. 6xC. 6x + 2D. 63. 下列各数中,不属于等差数列的是()。
A. 1, 4, 7, 10, ...B. 2, 5, 8, 11, ...C. 3, 6, 9, 12, ...D. 1, 3, 6, 10, ...4. 设f(x) = x^3 - 3x + 2,则f(x)的极值点为()。
A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 25. 下列积分中,结果为π的是()。
A. ∫0^π x^2 dxB. ∫0^π sin x dxC. ∫0^π cos x dxD. ∫0^π x dx二、填空题(每题5分,共25分)6. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x=1处的导数为2,则f'(1) =________。
7. 数列{an}的通项公式为an = 2n - 1,则数列的前10项和S10 = ________。
8. 设函数f(x) = x^2 + 3x + 2,则f(-2) = ________。
9. 设f(x) = e^x,则f'(x) = ________。
10. 设f(x) = ln(x),则f'(x) = ________。
三、解答题(共55分)11. (10分)求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的导数f'(x)。
12. (15分)已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2,求证:数列{an}是等差数列。
13. (20分)设函数f(x) = x^3 - 3x + 2,求f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题共5小题,每小题4分,总计20分)1、设函数,则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ,其中,为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面,外侧.5、幂级数的收敛域为。
二、选择题(将选项填在括号内)(本大题共5小题,每小题4分,总计20分)1、函数在(1,1)点沿方向的方向导数为( )。
(A) 0 (B) 1 (C) 最小 (D)最大2、函数在处( ).(A)不连续,但偏导数存在 (B)不连续,且偏导数不存在(C)连续,但偏导数不存在 (D)连续,且偏导数存在3、计算=( ),其中为(按逆时针方向绕行).(A)0 (B)(C) (D)4、设连续,且,其中D由所围成,则( )。
(A)(B) (C) (D)5、设级数收敛,其和为,则级数收敛于( )。
(A)(B)(C)(D)三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定,计算,。
2、计算,其中,为曲线,.3、求幂级数的和函数.三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分,总计24分)1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积.2、计算,其中平面区域.3、计算,其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分,总计12分)1、计算其中为上从点到点.2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题,每小题4分,共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题(将选项填在括号内)(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)1、解:方程两端同时对分别求偏导数,有,………………6分解得:.…………………………………………8分2、解:作图(略)。
原式=………………………2分.………………………8分3、解:经计算,该级数的收敛域为。
XX大学2016—2017学年度第二学期考试试卷A卷高数1-2(A)

XX 大学2016—2017学年度第二学期考试试卷A 卷高等数学1—2注意事项:1. 请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。
2 .请仔细阅读各种题目的回答要求,在规定的位置填写答案。
3. 不要在试卷上乱写乱画,不要在装订线内填写无关的内容。
4. 满分100分,考试时间120分钟专业 学号 姓名_________________一.填空题(共24分,每小题3分)1.设函数x y z =,则__________________________=dz .2.方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=,则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=,t y cos 1-=,2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________. 4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________. 5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序,得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ,则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题(共12分,每小题3分)1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ,则λ=( ).(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的( ). (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向,则下列曲线积分不等于零的是( ).(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是( ).(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题:(共59分)1.(7分)求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. (7分)设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中()v u f ,具有二阶连续偏导数,求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3.(7分)计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2,其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4.(7分)将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数,并写出可展区间5.(7分)计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰,其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. (8分) 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7. (8分)计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段. 8.(8分)利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四.(5分)设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明:级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.高等数学1--2 参考答案与评分标准一、填空题(共24分,每小题3分) 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yz x e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题(共12分,每小题3分) 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题(共64分) 1. (7分)解: 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ,⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=,2=xy f ,2-=yy f 4 分 在(0,0)处, 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC , ∴(0,0)为非极值点. 5 分在(2,2)处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.(7分) 解:2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. (7分) 解:⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. (7分) 解:10(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n n x n 6分1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.(7分)解::1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=⎰5分()13202xx x dx =-+6分=7分6.(8分)解 (1)先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ,21=r ,12=rx x e c e c Y 221+= 3 分(2)求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根,故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(,则b ax x Q +='2)(,a x Q 2)(=''将)(x Q ',)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a , 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a , x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.(8分) 解:⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. (8分) 解:由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.(5分)解:对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理,有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-= 3分 又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。
大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案

大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A )一、选择题:(每小题2分,共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的( );A.充分条件;B.必要条件;C.充分必要条件;D.既非充分又非必要条件.2.下列级数发散的是( );A .;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C .222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑!,则该级数( );A.是发散级数;B.是绝对收敛级数;C.是条件收敛级数;D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛,其他x 值时数发散。
4. 双曲抛物面22x y z p p-=.(p >0,q >0)与xOy 平面的交线是( );A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。
A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0,0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题:(每小题3分,共30分 )1.222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ;2.曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3.设(,)ln()2yf x y x x=+,则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x +y =1,x -y =1及x = 0所围,则Dyd σ⎰⎰= ;5. 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7.1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ;8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可); 9.设y z x dz ==,则;10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。
2016-2017(下)《高等数学AⅡ》期末试卷-E卷答案 (2) (1)

下学期期末考试试卷答案课程名称:《高等数学A Ⅱ》 (试卷编号:E )一、填空题(本大题共9小题10空,每空2 分,共 20分)1.2-2. 221,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭3.2154. (){}22,12x y xy ≤+< 5. 36. 23,137. xy xye xye +(或“()1xy xy e +”) 8.3 9. 收敛二、单项选择题(选择正确答案的字母填入括号,本大题共6小题,每小题3 分,共18 分)三、判断题(选择正确答案的字母填入括号,正确的打“√”,错误的打“×”。
本大题共5小题,每小题2分,共10分)四、计算题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)1.解:因为22sin y zxe y x x∂=-∂,22cos y z x e y x y ∂=+∂, ――――――――2分所以(),02zx ππ∂=∂,()2,0z y ππ∂=∂, ――――――――2分 于是,所求全微分22dz dx dy ππ=+ ――――――――2分 2.解:dz z du z dv fdx u dx v dx x∂∂∂=++∂∂∂ ――――――――2分 11x v u e x=⋅+⋅+ ――――――――2分()111x x x e x=++++ ――――――――2分3.解:积分区域(){}2,1D x y xy x =≤≤≤≤所以210x Dxyd dx σ=⎰⎰⎰ ――――――――2分25122x x dx dx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰ ――――――――2分1360161212x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ――――――――2分4.解:积分区域(){}2,,01,1,11x y z z xy x Ω=≤≤≤≤-≤≤所以21111xxzdxdydz dx dy xzdz -Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ――――――――2分2121112xxz dx dy -=⎰⎰ 21112x xdx dy -=⎰⎰ ――――――――2分 21112x xy dx -⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 21122x x dx -⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 1231=46x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭ 13=- ――――――――2分5.解:由11limlim 1n n n na n a n ρ+→∞→∞+===,得级数的收敛半径 1R =, ――――――――3分在1x =-处,幂级数成为()()111231n nn n n ∞=-=-+-++-+∑L L ,由()lim 10nn n →∞-≠知该级数发散;在1x =处,幂级数成为1n n ∞=∑,由lim 0n n →∞=∞≠知该级数发散。
(完整word版)大专生高等数学考试期末考试

(A卷)
命题人叶茂莹
题
号
一
二
三
四
总分
阅卷
教师
得
分
………………………………………………………………………………………………………………
得
分
一、填空题(每题3分,共15分)
1、函数 的定义域为_______
2、函数 =_______
3、函数 在点 处可导,且 , ______
4、隐函数 ,导数 _______
5、经过曲线y=x3-sinx+1上的一点(0,1)处的切线方程________
得
分
二、选择题(每题4分,共20分)
1、下列函数为偶函数的是( )
A、 B、 C、 D、
2、 ( )
A、1B、-1C、1/2D、-1/2
3、设 使 存在的最高阶数 为( )
A、 B、 C、 D、
4、函数 的渐近线是( )
2、讨论函数f(x)= 的凹凸性和拐点.
3、 ,
求
4、求函数 在区间 的最大值和最小值
5、证明:当 时,有 成立。
A、 B、 C、 D、
5、设曲线 与 在点(1,0)处相切,其中 为常数,则( )
A、题(每题5分,共30分)
1、求下列函数的极限
(1)
(2)
(3)
2、求下列函数的导数或微分
(1) ,求
(2) ,求
(3) ,求
得
分
四、解答题(每题7分,共35分)
1、设函数 ,当 为何值时, 是 的间断点?
浙江大学大二数学专业高等数学(下)考试A卷及答案

《高等数学》(下)考试试卷(A)适用专业: 考试日期: 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 试卷总分:100分一.填空题:(共5小题,每小题3分,共15分)1.设(,)z f u v =可微2(,)z f xy x =,则z x ∂=∂ ,z y∂=∂ . 2.微分方程220y y y '''-+=的通解为 . 3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰= .4.函数u=xyz 在点(1,1,1)处最大的方向导数是 .5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ,那么n a = ,n b = .二.单项选择. (共7小题,每小题2分,共14分)1.下列说法正确的是( );(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在,则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微,则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在,则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限,,则偏导数一定不存在. 2.级数1(1)nn ∞=-∑ ( ); (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)无法确定收敛性. 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( );(A)x Q y P ∂∂=∂∂ , (B) xQ y P ∂∂-=∂∂, (C) y Q x P ∂∂=∂∂ , (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4. 设),(y x f z =可微,则曲面)32,(y x xy f z +=的一个法向量是( );(A)12{,,1}f f - , (B) 1212{2,3,1}yf f xf f ++-, (C) {,2,1}yf f ''-, (D) 1212{2,3,1}yf f xf f ++5.设Ω是由锥面22y x z +=与平面2z =围成,则3dxdydz Ω⎰⎰⎰=( );(A) 83π , (B) 3π , (C) 4π, (D)8π.6.若∑是上半球面z =面积的曲面积分∑⎰⎰=( );(A) 0 , (B) 2π , (C) 4π, (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=,(0)2y =的解为( ). (A) 2x ce , (B) 2x e , (C) 22x e , (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题,每小题8分,共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩,求,u v x x ∂∂∂∂.2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.4.求I=⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz ,其中∑是上半球面z =.5.求(sin )(cos )x x LI e y ky dx e y k dy =-+-⎰,其中L 是由点)0,(a 到点(0,0)的上半圆周022=-+ax y x (y ≥0).四.(8分)验证方程2223(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=是全微分方程,求其通解.五.(11分)求幂级数210121n n x n ∞+=+∑的收敛半径,收敛区域与和函数()s x .并且求201(21)3nn n ∞=+∑的和.六.(12分)在第一卦限内作球面2221x y z ++=的切平面,使切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小,并且求切点坐标.《高等数学》(下)考试试卷(A)答案适用专业: 考试日期: 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 试卷总分:100分一.填空题:(共5小题,每小题3分,共15分)1.设2(,)z f xy x =,则z x ∂=∂122yf xf + ,zy∂=∂1xf .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为12(cos sin )x y e C x C x =+ .3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰=1/2211/011/21(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰.4.函数u=xyz 在点(1,1,1)5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ , 那么n a =1()cos f x nxdx πππ+-⎰,n b =1()sin f x nxdx πππ+-⎰ .二.单项选择. (共7小题,每小题2分,共14分)1.下列说法正确的是( B );(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在,则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微,则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在,则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限,,则偏导数一定不存在. 2.设曲线L 为正方形 1x y += 的边界,则Ldsx y+⎰=( D ); (A) 0(B)3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是(A ).(A)x Q y P ∂∂=∂∂ , (B) xQ y P ∂∂-=∂∂, (C) y Q x P ∂∂=∂∂ , (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4.曲面2224x y z ++=在点(1,1的一个法向量是( B ).(A){1,1,1}- ,(B) {1,(C){1,1,, (D) {1,1--5.函数22(,)44f x y x y x y =---的极大值为( C ).(A) (2,2)8f =- , (B) (0,0)0f = , (C) (2,2)8f -=,(D)不存在. 6. 若∑是上半球面z =面积的曲面积分∑⎰⎰=(A ).(A)0 , (B) 2π , (C) 4π, (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=,(0)2y =的解为(C ). (A) 2x ce , (B) 2x e , (C) 22x e , (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题,每小题8分,共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩,求,u v x x ∂∂∂∂.解22u xu yvx x y ∂+=-∂+,…….. 4分 ……22u yu xv x x y ∂-=∂+……. 8分 2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.解 ⎰⎰++=Ddxdy y x S 22441 ………… 4分=)11717(64120202-=+⎰⎰ππθrdr r d ……….. 8分3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.解 222()L x y z ds ++⎰=dt a t t a t a 1)cos sin (2202222+++⎰π…… 4分222)a ππ+…………8分4.求I=dydz dxdz ∑,其中∑是上半球面z =.解 因为2221x y z ++=,则I xdydz ydxdz zdxdy ∑=++⎰⎰由高斯公式得I=⎰⎰∑+∑++1zdxdy ydzdx xdydz - ⎰⎰∑++1zdxdy ydxdz xdydz ……4分=dxdydz ⎰⎰⎰Ω3-0………… 6分=2π-0=2π………… 8分5.求(sin )(cos )x x LI e y ky dx e y k dy =-+-⎰,其中L 是由点)0,(a 到点(0,0)的上半圆周022=-+ax y x (y ≥0).解k y Px Q =∂∂-∂∂,由格林公式 1(sin )(cos )x x L L I e y ky dx e y k dy +=-+-⎰1(sin )(cos )x x L e y ky dx e y k dy --+-⎰=⎰⎰-Dkdxdy 0=28a kπ……… 8分四.(8分)设函数()y f x =满足全微分方程2(())(())0xy yf x dx f x x dy -++=,求()f x . 解 因为是全微分方程,则()()2P Qx f x f x x y x∂∂'=-==+∂∂,………. 4分 于是()(),f x f x x '+=-或y y x '+=-则 1x y x Ce =++,即 ()1x f x x Ce =++………..8分五.(12分)求幂级数210(1)21n n n x n ∞+=-+∑的收敛半径,收敛区域与和函数()s x .并且求(1)(21)3nnn n ∞=-+∑的和. 解 R=1lim+∞→n nn a a =1 ……3 分. 因为1-=x ,1=x ,21(1)21n n n x n ∞+=-+∑发散,所以收敛区域为(1,1)-.…..5分 (21)0(1)arctan 21n n n x x n ∞+=-=+∑=()s x …………………8分令x =,(21)0(1)(2n n n n ∞+=-+∑=6π=…(1)(21)3n nn n ∞=-=+∑…..12分 六.(10分)求均匀半球体0z ≤≤.解 设 质心坐标为(,,)x y z , 球体密度为ρ ,则x = 0y =… ..2分因为 32,,3zdvz dv a dvρρρπρΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2/22401cos sin 4azdv d d r r d a ππρρθϕθθθρπΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰………..8分 于是,38z a =则质心坐标为3(0,0,)8π………..10分。
《高等数学》2016-2017学年第一学期期末试卷C卷

浙江大学2016级高等数学期终考试试卷(C )学院__________ 班级__________ 学号__________姓名__________ 考试教室__________一、填空题:(每题4分,共12分)只填答案1.举出符合各题要求的一例,并将其填入空格内。
(1)在0x =点不连续,但当0x →时极限存在的函数有____________;(2)属“00”或“∞∞”未定型,且其极限存在,但极限不能用洛必达法则求得的极限有____________;(3)原函数不存在,但其原函数不能用初等函数表示的函数有____________; (4)有界,但不可积的函数有____________;2.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,2),且在该点的曲率圆方程是:22151()()222x y -+-=.则a =____________,b =____________,c =____________,曲线在(1,2)处的曲率k =____________.3. 设21()cos xf x t dt =⎰.(1)()d f x dx =____________;(2)1()lim 1x f x x →-=____________; (3)1()f x dx ⎰=____________;二、选择题:(每题3分,共12分)在每题的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确那项的字母填入括号中1.设()()f x f x =-,且在(0,)+∞内二阶可导,又'()0f x >,''()0f x <,则()f x 在(,0)-∞内的单调性和图形的凹向是( ).A.单调增,向下凹B.单调减,向下凹C.单调增,向上凹D.单调减,向上凹2.函数()y f x =在点0x 的以下结论正确的是( ) A.若'()0f x =,则0()f x 必是一极值;B.若''()0f x =,则点00(,())x f x 必是曲线()y f x =的拐点;C.若极限001lim [()()]n n f x f x n→∞+-存在(n 为正整数),则()f x 在0x 点可导,且有0001lim [()()]'()n n f x f x f x n→∞+-=; D.若()f x 在0x 处可微,则()f x 在0x 的某领域内有界。
2016-2017(下)《高等数学AⅡ》期末试卷-A卷 (1)

第 1 页 (共 3 页)下学期期末考试试卷课程名称:《高等数学A Ⅱ》 (试卷编号: A )(本卷满分100分,考试时间120分钟)考试方式:考试考查闭卷开卷仅理论部分其他)学院: 专业:班级: 学号: 姓名: 任课教师:考试地点: 考试时间: 月 日 时 分一、填空题(本大题共10小题10空,每空2 分,共 20分)1.极限(,)limx y →= .2.经过两点(1,2,0)A -、(4,1,3)B -的直线方程为 .3.求两直线113:141x y z l -+==-和22:221x y zl +==--的夹角θ= . 4.球心在点(1,3,2)-且通过坐标原点的球面方程为 . 5.求直线234112x y z ---==与平面260x y z ++-=的交点坐标 . 6.设(,)f x y =,则(1,1)xy f = .7.设2sin 2z x y =,则全微分dz = . 8.计算二次积分2ln 1yx dy e dx =⎰⎰.9.若级数11p n n ∞=∑收敛,则P 的范围是 . 10.把函数2xe 展开成x 的幂级数,则2xe = .二、单项选择题(选择正确答案的字母填入括号,本大题共6小题,每小题3 分,共18 分)1.已知级数21sin n n n α∞=∑,则此级数( ). A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 不能确定2.过点(2,0,3)-且与直线27010x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程为( ).A. 2370x y z +++=B. 2350x y z +-+=C. 2350x y z -+-=D. 2370x y z --+= 3.设函数22324z x y y =-+-,则(0,2)是( ).A. 极大值点B. 极小值点C.不是极值点D. 无法确定 4.设22(,)xy z f x y e =+,则zx∂=∂( ). A. 122xy xf xe f ''+ B. 122xy xf ye f ''+ C. 122xy yf xe f ''+ D. 122xy yf ye f ''+5.求曲线221()44z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点4,7)处的切线与x 轴正向之间的夹角( ). A. 30oB. 45oC. 90oD. 60o6.设25DI xy d σ=⎰⎰,其中区域{}(,)01,11D x y x y =≤≤-≤≤,则I =( ).A. 1-B. 0C. 1D. 2请考生注意:答题时不要超过“装订线”,否则后果自负。
2016-2017高数二、二期末试题答案

课程名称:高等数学(二、二)(期末试卷)答案要求:1.答案一律写在答题纸上,写在其它位置无效 2.答题纸单独收,与试卷和草稿纸分开。
一、填空题(每空3分,共15分) 1.微分方程()460yxy y ''-+=的通解中含任意常数的个数为 4 个.2. 以函数2y x Cx =+为通解的一阶微分方程为2xy x y'=+.3. 若级数1n n u ∞=∑的部分和为21n ns n =+,则级数1n n u ∞=∑的和s = 2 .4. 为使级数()11np n n∞=-∑条件收敛,则常数p 的取值范围为01p <≤.5. 设幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-,则幂级数()111n n n na x ∞-=-∑的收敛区间为()2,4-.二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设,,xxx e e-是某二阶线性非齐次微分方程的三个特解,则该微分方程的通解为( D ).(A) 12xy C x C e =+; (B) 123x x y C x C e C e -=++;(C) ()12x x y C x C e e -=+-; (D) ()()12x x y C e x C e x x -=-+-+. 2.将微分方程()21yy y '''-=降为一阶微分方程时,做变量代换y p '=,则( C ).(A) y p '''=; (B) dp y ydy ''=; (C) dp y p dy ''=; (D) dp y x dx''=. 3.微分方程23y y x '''-=的特解形式为( B ).(其中,,a b c 为常数)(A)*2y ax bx c =++; (B) ()*2y x ax bx c =++;(C) ()*y x ax b =+; (D) ()*22y x ax bx c =++. 4.若级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为( A ).(A) ()11n n n u u ∞+=+∑ (B )()11nn n u n ∞=-∑ (C )21n n u ∞=∑ (D )()2121n n n u u ∞-=-∑5. 级数()1113n n n -∞=-∑的和s =( A ).(A)14 ; (B) 13 ; (C) 12; (D) 1 . 三、判断下列常数项级数是否收敛?若收敛,是条件收敛还是绝对收敛(每小题7分,共21分) 1.13n n n ∞=∑ ; 解:由正项级数的比值判别法11131lim lim 133n n n n n nu n u n ++→∞→∞+=⋅=<,所以该级数收敛,又因是正项级数,收敛的正项级数绝对收敛。
2016-2017(下)《高等数学AⅡ》期末试卷-E卷 (1)

第 1 页 (共 3 页)下学期期末考试试卷课程名称:《高等数学A Ⅱ》 (试卷编号:E )(本卷满分100分,考试时间120分钟)考试方式:考试考查闭卷开卷仅理论部分其他 )学院: 专业:班级: 学号: 姓名: 任课教师:考试地点: 考试时间: 月 日 时 分一、填空题(本大题共9小题10空,每空2 分,共 20分)1.已知()(),1,0,1a b ==r r2,1,-4,则a b ⋅=r r 。
2.与()2,2,1a =-r共线的单位向量e =r。
3.直线+162212x y z --==-与直线123043x y z -+-==的夹角余弦为。
4. ()22ln 2zx y=+--的定义域是 。
5.()(,)(0,3)sin limx y xy x→= 。
6.若()ln 1z xy =+,则()1,2zx ∂=∂ ,()1,2z y ∂=∂ 。
7.若xyz e =,则2zx y∂=∂∂ 。
8.若平面区域D 的面积为3,则二重积分Dd σ=⎰⎰ 。
9. 级数211n n ∞=∑的敛散性是 。
二、单项选择题(选择正确答案的字母填入括号,本大题共6小题,每小题3 分,共18 分)1. 已知,23a i j b i j k =-=+-r r r r r r r3,则a b ⨯=r r ( )。
A. 5 B. 2 C. 95i j k -+r r r 3 D. 95i j k ++r r r32.向量()1,2,a m =-r与向量()4,1,2b =r 垂直,则m =( )。
A.1- B. 0 C. 1 D.23.设23(,,)2f x y z xy y z xyz =+-,则()2,1,1yz f -=( )。
A.0 B. 4 C. 8 D. 13- 4. 函数x y x y x y x f 933),(2233-+++= 在点()1,0处( )。
A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定 5.设()22DI xy dxdy =+⎰⎰, 其中D 是由曲线222x y a +=所围成的平面区域 ()0a >,则I =( )。
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复旦大学高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =r ,(4,1,10)b =-r,c b a λ=-r r r ,且a c ⊥r r ,则λ= 。
3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。
4.设yz u x =,则du = 。
5.级数11(1)np n n∞=-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是( )A .2x y Ce =B .22x y Ce =C .22y y e Cx =D .2y e Cxy = 2.求极限(,)(0,0)lim x y →= ( )A .14 B .12- C .14- D .123.直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上C .直线L 垂直于平面πD .直线L 与平面π斜交4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤,则Dσ= ( )A .33()2b a π- B .332()3b a π- C .334()3b a π- D .333()2b a π-5.下列级数收敛的是 ( )A .11(1)(4)n n n ∞=++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1121n n ∞=-∑ D.1n ∞=三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特解。
2. 计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰,其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
3.设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数,求z z x y∂∂+∂∂。
4.求曲线积分()()Lx y dx x y dy ++-⎰,其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥,逆时针方向。
5.计算Dy ⎰⎰,其中D是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
6.判断级数1(1)1n n n n ∞=-+∑的敛散性,并指出是条件收敛还是绝对收敛。
7.将函数1(1)(2)x x --展开成x 的幂级数,并求其成立的区间。
四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)1.抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。
2. 求幂级数1(1)(1)!n nn nx n ∞=-+∑的和函数。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数,且(0)1f =,(0)0g =,L 为平面上任意简单光滑闭曲线,取逆时针方向,L 围成的平面区域为D ,已知[()()]()LDxydx yf x g x dy yg x d σ++=⎰⎰⎰Ñ,求()f x 和()g x 。
参考答案一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.2{(,)|210}x y y x -+> 2.33.920y z --= 4.1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5.01p <≤ 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.C 2.C 3.C 4.B 5.A三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特解。
解:先求'0y y +=的通解,得1x y C e -=………………2分采用常数变易法,设()x y h x e -=,得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分得21()2x h x e C =+………………5分故通解为12x x y e Ce -=+………………6分将初始条件0x =,2y =带入得32C =,故特解为1322x x y e e -=+…………7分2. 计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰,其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
解:设cos ,sin x r y r θθ==………………1分则10,12sin cos r πθθθ≤≤≤≤+………………3分所以1212220sin cos cos sin Dx y r r dxdy d rdr x y r πθθθθθ+++=+⎰⎰⎰⎰………………5分 20(sin cos 1)d πθθθ=+-⎰………………6分42π-=………………7分3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数,求z zx y∂∂+∂∂。
解:设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分12cos(23),44cos(23),36cos(23)x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分2cos(23)14cos(23)4,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ∂+--∂+-+=-==-=∂++-∂++-……6分 所以1z z x y∂∂+=∂∂………………7分4. 求曲线积分()()Lx y dx x y dy ++-⎰,其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥,逆时针方向。
解:圆的参数方程为:cos ,sin (0)2x a t y a t t π==≤≤……………1分220()()(cos sin (cos sin )cos )sin Lx y dx x y dy a t a t da a t a t da t t ππ++-=+-+⎰⎰⎰……3分220(cos 2sin 2)at t dt π=-⎰………………4分220[sin 2cos 2]2a t t π=+………………6分 2a =-………………7分(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)5.计算Dy ⎰⎰,其中D是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
解:{(,)|1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分111Dy dx y -=⎰⎰⎰………………2分31262112[(1)63x y -=-⨯+-⎰………………4分1311(||1)9x dx -=--⎰………………5分1302(1)9x dx =--⎰………………6分16=………………7分6.判断级数1(1)1n n n n ∞=-+∑的敛散性,并指出是条件收敛还是绝对收敛。
解:(1)11n n n n n -=++1分)n →∞:………………3分 所以级数发散。
………………4分 又(1)1(1)(111n n n n n -=--++5分1n n +=………………6分显然,交错级数1n n ∞=1nn ∞=都收敛,所以原级数收敛。
因此是条件收敛。
………………7分7. 将函数1(1)(2)x x --展开成x 的幂级数,并求其成立的区间。
解:111(1)(2)12x x x x=-----………………2分而1,||11n n x x x ∞==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222x xx x =+++<-L ………………4分 所以22111[1()](1)(2)222x xx x x x =+++-+++--L L ………………5分101(1)2nn n x ∞+==-∑………………6分 成立范围||1x <………………7分四、 解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解:设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ,P 点满足抛物面和平面方程。
原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++,………………1分 构造拉格朗日函数22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分2222022020010x yzF x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=⎧⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪=+-=⎪=++-=⎪⎩………………4分解得1(12x =-………………5分得两个驻点为121111(2(22222P P =---=---- …………………6分………………7分2. 求幂级数1(1)(1)!n nn nx n ∞=-+∑的和函数。
解:因为0!n xn x e n ∞==∑,所以0(1)!n n xn x e n ∞-=-=∑,………………1分00(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n nn n nx n x S x n n ∞∞==--+-==++∑∑………………2分00(1)(1)!(1)!n n n nn n x x n n ∞∞==--=-+∑∑………………3分(1)!n nx n x e n ∞-=-=∑………………4分 110010010(1)(1)!11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x x x n x n x x x x n x e x x n x xn x n ∞+++∞∞==∞∞=∞-===--=-++⎡⎤--=-=--⎢⎥⎣⎦=-=+--=-∑∑∑∑∑∑ (0)x ≠…………5分所以1()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠故1()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠……6分当0x =时,()0S x =。
………7分另解:当0x ≠时,11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!n n n n x n n n n n n x x n x n x n x n d x +∞∞∞===⎡⎤---==⎢⎥++-⎣⎦⎰∑∑∑ 1111001(1)1(1)(1)!(1)!n n n x n n n x x n x n x x dx x dx -∞∞==-⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪==-⎨⎬⎢⎥⎢⎥--⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰∑∑ 001(1)!n x n n x n x x dx ∞=-=-∑⎰0011xx x xx dx e xd e x x --=-=⎰⎰()11x x e e x x--=+- 11x x e e x x --=+-当0x =时,()0S x =。