高考圆锥曲线专题-直线和圆锥曲线常考题型

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。 外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。

（2019年全国一卷理科）19．（12分）

已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3

2

的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．

（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；

（2）若3AP PB =，求|AB |．

19．解：设直线()()11223

:,,,,2

l y x t A x y B x y =

+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．

由232

3y x t y x

⎧

=+⎪⎨⎪=⎩，可得22

912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．

从而12(1)592t --

=，得7

8

t =-． 所以l 的方程为37

28

y x =

-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．

由232

3y x t y x

⎧

=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．

代入C 的方程得121

3,3

x x ==

．

故||AB =

． （2019年全国二卷理科）21．（12分）

已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12

.记M 的轨迹

为曲线C .

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连

结QE 并延长交C 于点G .

（i ）证明：PQG △是直角三角形；

（ii ）求PQG △面积的最大值.

21．解：（1）由题设得1

222

y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +

=≠，所以C 为中心

在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．

由22142

y kx

x y =⎧⎪

⎨+

=⎪⎩

得x =．

记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．

于是直线QG 的斜率为

2k ，方程为()2

k

y x u =-． 由22

(),2142

k y x u x y ⎧

=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①

设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得32

2G uk y k

=+． 从而直线PG 的斜率为3

222

12(32)2uk uk k u k k

u k

-+=-+-+．

所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．

（ii ）由（i

）得||2PQ =

2

2||2PG k =+，

所以△PQG 的面积2

222

1

8()

18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k

++===++++‖．

设t =k +

1

k

，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2

812t

S t =

+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值

为

169

． 因此，△PQG 面积的最大值为

169

． （2019年全国三卷理科）21．已知曲线C ：y =2

2

x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C

的两条切线，切点分别为A ，B .

（1）证明：直线AB 过定点：

（2）若以E (0，5

2

)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.

21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-

⎪⎝⎭

，则2112x y =.

由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故1111

2y x x t

+

=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -

设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=.

所以直线AB 过定点1

(0,)2

.

（2）由（1）得直线AB 的方程为1

2

y tx =+

. 由2

122

y tx x y ⎧

=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,

121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，

()

()2

222121212||11421AB t x x t x x x x t =+-=+⨯

+-=+.

设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则2122

21,1

d t d t =+=

+.

因此，四边形ADBE 的面积()()22121

||312

S AB d d t t =

+=++. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭.

由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.

当t =0时，S =3；当1t =±时，42S =. 因此，四边形ADBE 的面积为3或42.

（2018年全国三卷理科）20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段

的中点为

．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，

并求该数列的公差．