滑移线理论与特征线法河海大学
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滑移线理论及应用
证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由 曲率半径的定义知：
1/ R / S 和 1/ R / S ΔSβ沿弧S α的变化率为：
d (S ) dS
d (R ) dS
R S
R
S
根据汉盖第一定理有，
d (S dS
)
R S
当曲线四边形单元趋近无限小时
tg
Am AB
沿β2线从点B→点C
pB 2kB pc 2kc
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
PC PA 2k(A C 2B )
PC PA 2k(2D A C ) 由上两式可得
C B D A
同理
pC pB pD pA
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始 位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点 所移动的路程（如dSα）。 1
线的方向。
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代 替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑 移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题 这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
滑移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）； • 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见
图 8-10a）。因为自由表面（设为 x 轴）上的法向应力（ n y 0 ）和切 应力（ k 0 ）。根据式（8-3），可知滑移线性边界点上的k 角和静水压力别
第4章 滑移线场理论
点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量 （如dRβ）等于该点所移动的路程（如dSα）。
11
4.3 塑性区应力边界条件：
自由表面
Principle of Metal Forming
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
接触表面之：
摩擦切应力为零
摩擦切应力为某中间值
Principle of Metal Forming
13
摩擦切应力为最大值
7
由称Saint-Venant塑性流动方程
Principle of Metal Forming
8
4.2 滑移线的性质
4.2.1 H.Hencky方程 也称沿线特性，描述滑移线上各点的平均应力变化规律。
Principle of Metal Forming
由上式知，任一族中任一条滑移线上 两点的平均应力符合下列关系式：
一条滑移线（如β1或β2 ）相交两点的倾角差和静水压力变化量均保
Principle of Metal Forming
持不变。
若单元三个节点角ω、σm知，则第四点知。 推论： 异族截区内，一直皆直。
10
4.2.3 H.Hencky第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动
Principle of Metal Forming
Principle of Metal Forming
14
4.2 常见的滑移线场类型
正交直线 １ ） 直 线 型
Principle of Metal Forming
２ ） 简 单 型
奇点
有心扇形：直线＋圆弧 无心扇形：包络＋渐开
15
３ ） 直 简 组 合 型
Principle of Metal Forming
滑移线理论及应用PPT课件
a b cd const mab mdc const
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
第四章 滑移线理论
3
sin (θ + µ ) ∂ −sin (θ − µ ) ∂
∂=
∂Sα
∂S β
∂x
sin 2µ
− cos (θ + µ ) ∂ + cos (θ − µ ) ∂
∂=
∂Sα
∂Sβ
∂y
sin 2µ
代入一阶拟线性偏 微分方程：
− sin 2µ
∂p ∂Sα
+ 2R
∂θ ∂Sα
+γ
⎡ ⎢sin ⎣
(α
+2µ
y
β
2
α
1 θ
β
1
α
2 x
y
β
2
α 1β
θ
1 α
2 x
(a) Tresca材料
(b) Coulomb 材料
Tresca材料两族滑移线是正交的，与主应力迹线的夹角为π /4。而Coulomb材料的两族滑移线相互夹角为2μ= π/2-φ，与主 应力迹线的夹解为μ，在本章，我们约定：以第一主应力σ1为基 线，顺时针方向与基线成锐角的称为α线，逆时针与基线成锐解 的称为β线。 α线和β线的微分方程式为：
σx −σy τ xy
2
( ( ) ) ( ) 于是有： sin 2α1 =
± σx
σx −σy 2
−σ y
2
2
+τ
2 xy
;cos 2α1
=
±τ xy
σ x −σ y
2
4
+τ
2 xy
( ( ) ) τα
=
σ
x
−σ 2
y
sin
2α
+τ
xy
工程弹塑性力学教学课件第十一章滑移线场理论
y S
0
p
2R
cos
x
sin
y
0
S
S
S
S
p* 2R C p* 2R C
（3）γ＝0和φ＝0代入(3.10)并积分可得:
（沿线） （沿线）
p* p cosx sin y R K (或 C)
S
(p
2R )
0
( p 2R ) 0
S
p 2R C （沿线） p 2R C （沿线）
4.滑移线基本性质
滑移线上的剪应力等于岩土的抗剪强度 两族滑移线间的夹角与屈服准则有关 对所有岩土材料,重力的存在不影响两族滑移线间 的夹角,但对其形状有影响。对c-φ型岩土材料,粘 聚力的存在不影响两族滑移线的形状和夹角。
4.滑移线基本性质…
（1）Henky第一定律：如果由一条滑移线 α1（或β1 ）转到另一条滑移线α2 （或β2）， 则沿任何一条β族 （或α族）的滑移线，α线 （或β线）的方向与x轴的夹角的变化值保持 常量。如图1，得：
RA )( p
A)
sin(
2 )( x p
x A
)
cos(
2 )(
yp
yA)
sin 2( pp pB ) (Rp RB )( p B ) sin( 2)(xp xB ) cos( 2)( yp yB )
yp
yA
tg
(
p
A 2
)( x p
xA )
yp
yB
tg
(
p
B 2
)( x p
自由表面上 n 0, n 0 。周界处处不 与滑移线方向相重合。自由表面附近的 应力场与自由表面的形状有关。如果自 由表面是平面，其影响区域将如图7-2.
(塑性成形力学)4滑移线场理论及应用
(滑移线为速度不连续线) 4. 切向速度不连续量沿速度不连续线是一常数。
存在速度不连续线的速端图：
两条速度不连续线相交于一点附近的速度不连续量的矢量和为零。
4.6滑移线场的绘制
建立变形区内滑移线场通常是一个相当复杂的问题。
在给定的应力边界条件下，作滑移线场的方法： 1. 积分滑移线的微分方程； 2. 图解法； 3. 数值积分法。
相关规定：
1. 使单元体产生顺时针转效果的剪应力方向为α线，反之为β线；（例题）
2. 分别以α线和β线构成一右手坐标系时的横轴和纵轴，则代数值最大的主应力
σ1的作用线在穿过原点条件下是在第Ⅰ和第Ⅲ象限内；（例题）
3. α线各点的切线与所取的x轴的夹角为φ，逆时针转为正，顺时针转为负。
y
右手坐标系： 姆指指向α线正方向 食指指向β线正方向 中指指向自己
不少的塑性加工过程，由于变形区域 沿某一方向(z轴方向)的尺寸较大， 沿该方向的相对变形量很小，可近似 认为是平面变形问题。 如：薄板轧制 矩形件压缩
莫尔圆 （应力圆）
单辉祖，“材料力学教程”， 国防工业出版社，1982
-p
k
4.1.2 基本假设
各向同性的理想刚－塑性材料 变形抗力为常数 忽略热应力和惯性力等
（①＋②）/2 （①－②）/4
① ②
式(4.25) 式(4.26)
式(4.27) 式(4.28)
4.5 滑移线场求解的应力边界条件和步骤
4.5.1 应力边界条件 4.5.2 滑移线求解的一般步骤
4.5.1 应力边界条件
常见边界： 工件与工具接触表面：σ、τ 自由表面
单辉祖，“材料力学教程”，国防工 业出版社，1982，P208
图1.28 理想刚-塑性材料
存在速度不连续线的速端图：
两条速度不连续线相交于一点附近的速度不连续量的矢量和为零。
4.6滑移线场的绘制
建立变形区内滑移线场通常是一个相当复杂的问题。
在给定的应力边界条件下，作滑移线场的方法： 1. 积分滑移线的微分方程； 2. 图解法； 3. 数值积分法。
相关规定：
1. 使单元体产生顺时针转效果的剪应力方向为α线，反之为β线；（例题）
2. 分别以α线和β线构成一右手坐标系时的横轴和纵轴，则代数值最大的主应力
σ1的作用线在穿过原点条件下是在第Ⅰ和第Ⅲ象限内；（例题）
3. α线各点的切线与所取的x轴的夹角为φ，逆时针转为正，顺时针转为负。
y
右手坐标系： 姆指指向α线正方向 食指指向β线正方向 中指指向自己
不少的塑性加工过程，由于变形区域 沿某一方向(z轴方向)的尺寸较大， 沿该方向的相对变形量很小，可近似 认为是平面变形问题。 如：薄板轧制 矩形件压缩
莫尔圆 （应力圆）
单辉祖，“材料力学教程”， 国防工业出版社，1982
-p
k
4.1.2 基本假设
各向同性的理想刚－塑性材料 变形抗力为常数 忽略热应力和惯性力等
（①＋②）/2 （①－②）/4
① ②
式(4.25) 式(4.26)
式(4.27) 式(4.28)
4.5 滑移线场求解的应力边界条件和步骤
4.5.1 应力边界条件 4.5.2 滑移线求解的一般步骤
4.5.1 应力边界条件
常见边界： 工件与工具接触表面：σ、τ 自由表面
单辉祖，“材料力学教程”，国防工 业出版社，1982，P208
图1.28 理想刚-塑性材料
极限分析与滑移线理论
A
Ti
u
* i
dA
V Fiui*dv
v
0
ij
* ij
dv
如果物体内部存在速度间断时， 其虚功率方程可表示为：
ATiui*dA
v Fiui*dv
v
0 ij
* ij
dv
s ( ntg )[vt ]ds
以上几个定理的证明可参考土力学有关 书本，这里从略。根据虚功率方程可以 证明极限分析中两个重要的定理，即上 下限定理。
下限定理证明
上述两式相减得
s (Ti Ti0 )uids
v
( ij
0 ij
)ji
dv
sL
[C
(s
tg (Ti Ti0)u&ids n
)][vt
]dsL
由Drucker公式得到
( ij
0 ij
)ij
≥0
由于C≥ ntg 同时 [C ( ntg )][vt ] ≥0，
θ＋μ θ θ-μ
μμ β族曲线
σ τ
σ1 σΧ σ3
τ
τ σΧ σ
σ3 σ τ
1
图6.2
滑移线与滑移线方程
线和 线的微分方程为
dz tg( )
dx
dz tg( )
dx
α族曲线
θ＋μ θ θ-μ
μμ β族曲线
σ τ
σ1
σΧ
σ3
τ
τ σ3 σ
σΧ σ τ
1
图6.2
上、下限定理
第七章 滑移线理论及应用
滑移线场理论是由M．列维和T．汉基等人所创 立，到20世纪40年代后才逐渐形成比较完整的求解方 法，滑移线场理论包括应力场理论和速度场理论。滑 移线场理论是针对理想刚塑性材料在平面变形的条件 下所建立的，但对于主应力互为异号的平面应力问题 、简单的轴对称问题以及有硬化的材料，也可作推广 应用。
§7. 1 滑移线的概念
K
sin
2
xy K cos 2
对于主应力状态有
4
1
2
m m
K
3 m K
对于理想刚塑性材料，由于 K 为常值，因此
，塑性变形体内各点的应力莫尔圆大小相等，
应力状态的差别只在于平均应力值 m的不同
，即各点应力莫尔圆的圆心在 轴上的位置
最大切应力的方向与第一主应力 的夹角为
与 ox 轴成 夹角；
4
，
作用在最大切应力平面上的正应力大小等于中间主应 力或平均应力 ：
2
m
1 2
(
1
2)
1 2
(
x
y )
由应力状态和应力莫尔圆可知，各应力分量
可以 m 、
用表示
x y
m m
K sin 2
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求 作整个滑移线场的边值问题，即所谓黎曼 （Riemann）问题。就是根据已知两条相交 的滑移线，要求进一步求出一个区域内的 滑移线场。
已知两条滑移线 O' A 和 O' B 要求出区
域 O' ACB 的滑移线场
按给定的转角 等分成若干微小段，得到
相应滑移线网的节点，并分别给与编号，沿
§7. 1 滑移线的概念
K
sin
2
xy K cos 2
对于主应力状态有
4
1
2
m m
K
3 m K
对于理想刚塑性材料，由于 K 为常值，因此
，塑性变形体内各点的应力莫尔圆大小相等，
应力状态的差别只在于平均应力值 m的不同
，即各点应力莫尔圆的圆心在 轴上的位置
最大切应力的方向与第一主应力 的夹角为
与 ox 轴成 夹角；
4
，
作用在最大切应力平面上的正应力大小等于中间主应 力或平均应力 ：
2
m
1 2
(
1
2)
1 2
(
x
y )
由应力状态和应力莫尔圆可知，各应力分量
可以 m 、
用表示
x y
m m
K sin 2
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求 作整个滑移线场的边值问题，即所谓黎曼 （Riemann）问题。就是根据已知两条相交 的滑移线，要求进一步求出一个区域内的 滑移线场。
已知两条滑移线 O' A 和 O' B 要求出区
域 O' ACB 的滑移线场
按给定的转角 等分成若干微小段，得到
相应滑移线网的节点，并分别给与编号，沿
第四节 滑移线的基本理论
一、滑移线的基本概念
一 ）平面应变状态的特点（即 平面塑性应变状态）
1）某一方向的应变为零（εZ=0）； 2）变形平面称为塑性流动平面； 3）任一点P的应力状态及其应力莫尔圆如 图， 且τmax =（σ1－σ3）/2=K。 4）作用在最大切应力平面上的正应力恰 等于中间主应力σ2或平均应力σm ，即 σm=σ2=(σ1+σ3)/2 =(σx+σy)/2 5）应力分量σx ,σy ,和τxy 可以用σm 及K表 示 σx=σm－Ksin2ω σ1= σm+K σy=σm + Ksin2ω σ2= σm τmax=±Kcos2ω σ3= σm－K 式中,ω--最大切应力平面与X轴的夹角
四、应力边界条件
一） 应力边界条件的描述形式 *通常的应力边界条件： 正应力σn，切应力τ； *滑移线场求解所要求的边界条件：切线角ω， 平均应力σm ； 设边界的切线与x轴一致，则有： ω=±[arcos(τ/K)] /2 （5--10）
二） 塑性加工中，常见的边界条件 (5种)
1.自由表面 特点： 自由表面无切向、法向应力，故自由表面必为主平面.
二）跨线特性（汉基第一定理） 同族的两条滑移与另族的一条滑移线相交，则两 交点切线间的夹角Δω与平均应力的变化Δσm 均为 常数。 ΔωAD=ΔωBC=……=Constant Δσm(A,D)=Δσm(B,C)=……= Constant 即: ωD －ωA=ωC －ωB =…… σmD－σmA=σmC－σm B =……
二 ）最大切应力轨迹线——滑移线的形成
1.滑移线连续地分布在整个塑 性变形区，一直伸展到边界。
2.由变形区内每一点出发均可 作出两条正交的滑移线，从 而得到两族相互正交的滑移 线网络，即滑移线场（一族 为α滑移线，另一族为β滑 移线）。 3.两条滑移线的交点称为节点。
第06章 滑移线方法1
6 滑移线法
实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力
m1,2 m2,2 2K (1,2 2,2 )
m1,1 m2,2 2K (1,1 21,2 2,2 )
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。
ma mb 2K (a b )
6 滑移线法
实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力
2b β
D π/4 F E N M G
α
A
p
P
D O π/4 刚 性 区 (第 题 ) 五 图 G M N F E
塑性加工理论及应用
6 滑移线法
实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力
汉基应力方程
m 2K m 2K
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理推论3
单元网络节点上，三个节点已知，可求另一个。
塑性加工理论及应用
6 滑移线法
6.4
塑性区的应力边界
应力边界条件就是当滑移线延至塑性区边界时应满足的受力条件。在塑性加 工中，应力边界条件可有以下四种： （一）不受力的自由表面 分析自由表面上的一点应力状态 时，此时存在两种情况： 1. σ1=2K； σ3=0（见图6-2(a)） 2. σ1=0； σ3=-2K（见图6-2(b)）
塑性加工理论及应用
6 滑移线法
（二）无摩擦的接触表面 与不受力的自由表面情况一样， 4 ，两族滑移线与接 触表面相交成45º 角。按前述区别α族和β族的规则，若垂 直于接触表面的主应力为代数值最小的主应力，则α和β 线如（图6-3）所示。 （三）摩擦剪应力达到最大值K的接触表面 由于τxy=±K 所以cos2ω=±1, 2ω=0和π，或ω=0和π/2 接触表面处的α和β线（如图6-4）所示。 （四）摩擦剪应力为某一中间值的接触表面 （如图6-5)所示。
第10章滑移线理论及应用分析解析
ω=0,dx=dsα,dy=dsβ
m 2k 0 s s m 2k 0 s s
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
当沿 族a（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数 ξ（或η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，ξ （或η）值才改变。
ma mb 2ka b
结论1：同一滑移线平均应力 2k
具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变
化规律。 当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若 滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相 等。
xy
0
xy
2G
2G
xz
yz 1 1 0 z ( y x ); 0 E 2 2G 1 z ( y x ) 得： 2
平均应力为： m
1 1 1 ( x y z ) ( x y ) ( x y ) z 3 3 2
m2,1
1 1 1 1 ( ) (2 2 ) 2,2 (2 1 ) m2,2 (2 2 ) 2,1 4 K 1 2 4K 2 2
→
2,1 1,1 2, 2 1, 2 ＝常数
m m 2,1 m 1,1 m 2, 2 m 1, 2＝常数
结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的 平均应力，其余节点的平均应力即可求得。
汉基第一定理
汉盖第一定理： 同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点 处的切线间夹角∆ω与平均应力变化∆σm均为常 数。
a b c d const ma b mdc const
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另
第30讲 滑移线的基本概念
21:05
9
Lesson 30
3
3
σ3 σ13 τ13 σ1
1
σ13=-p
τ13=k
1
21:05
2
σ 13 =
σ1 + σ 3
2
τ 13 = ±
σ1 − σ 3
2
10
Lesson 30
13.1.1 基本概念与基本假定
基本假定
变形体材料为各向同性、连续、均质的材料； 变形体材料为各向同性、连续、均质的材料； 变形体为理想的刚—塑性材料 塑性材料； 变形体为理想的刚 塑性材料； 不考虑变形温度、 不考虑变形温度、变形程度和变形速度对变形 抗力的影响； 抗力的影响； 变形图示为平面变形。 变形图示为平面变形。
21:05 7
Lesson 30
{ ……… } 下限解
{ ……… } 上限解 精确解
塑性加工解的范围
21:05
8
Lesson 30
13.1 滑移线的基本概念
滑移线理论是一种图解法。 滑移线理论是一种图解法。所谓滑移线这里是 指在平面塑性流动区内， 指在平面塑性流动区内，通过各点其值等于屈 服剪切应力的最大切应力k平面与流动平面的 服剪切应力的最大切应力 平面与流动平面的 交线。 交线。 按该理论可在塑性流动区域内作出滑移线场， 按该理论可在塑性流动区域内作出滑移线场， 并容易求出滑移线上的正应力和切应力， 并容易求出滑移线上的正应力和切应力，从而 可求出流动区域内各点的应力分布， 可求出流动区域内各点的应力分布，特别是工 件与工具接触表面上的应力。 件与工具接触表面上的应力。
21:05 2
Lesson 30
塑性加工问题的解
塑性加工过程的解所包含的内容
【精品】滑移线法
【关键字】精品第二十章滑移线法返回目录本章内容：滑移线法原理及应用。
本章重点：滑移线场的合理建立。
滑移线：塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线特点：滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题，再适当推广满足条件：静力学+运动学（速度场条件）第一节基本概念平面变形的应力状态塑变屈服时为：第二节最大切应力迹线——滑移线变形平面xoy，取点P1及邻近点P2，P3，……P6为P1点最大切应力方向为P2（为P1P2折线）当P1P2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。
一1) 图7-32）3）二滑移线方程Hencky 方程：平面应变应力平衡微分方程为：将屈服准则式代入有未知数：，，但难求。
变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴注意：此坐标系具有当沿α线运动时值不变，即坐标系轴是弯曲的！在点无限近处有：因此变为：积分后得：此式即汉基应力方程（Hencky）第三节滑移线特性一沿线特性沿线：沿线：证：设一条线上有a、b两点沿同一滑移线，平均应力的变化与角度的变化成正比二跨线特性（）证明：先沿线，A→B有沿线B→C有：（a）再沿A→D（β1线）D→C（沿）（b）由于（a）,（b）式相等或上式即汉基第一定理同一族的一条滑移线转到另一条滑移线时，则沿另一族的任意一条滑移线角度的变化和平均应力的变化为常数。
即在滑移线网格中，若已知三个结点的m σ、ω值则第四个结点m σ、ω值可以求出。
推论1：如滑移线场为正交直线，则为均匀应力场推论2：如一族某一段为直线，则被另一族所截的相应区域的皆为直线。
三 应力和曲率间断面的概念 奇点：滑移线场中应力不确定的点 曲率间断面：曲率不连续的面 第四节 应力边界条件一般在边界上 已知正应力n σ切应力τ，需转化为边界处m σ、ωω的确定：由于有：ωτ2cos k xy±=因此有：()k τω121cos -±= m σ的确定：分以下五种：一 自由表面自由表面、法向n σ，切向τ均为0。
第八章 滑移线理论及应用
第八章 滑移线理论及应用教学内容：分析了平面应变问题和滑移线场的关系，介绍了滑移线理论法的基本概念，汉盖应力方程——滑移线的沿线力学方程，滑移线的几何性质，应力边界条件和滑移线场的绘制，以及三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例。
教学重点：滑移线理论法概念，汉盖应力方程——滑移线的沿线力学方程，滑移线的几何性质，应力边界条件和滑移线场的绘制。
教学难点：汉盖应力方程的推导，滑移线的几何性质的理解，应力边界条件的确定，滑移线场绘制的数值计算方法。
教学方法：课堂教学为主，及时提问、收集学生学习情况，布置课后习题。
教学要求：理解滑移线理论的概念、汉盖应力方程的推导、滑移线的几何性质；能够确定应力边界条件；了解滑移线场绘制的数值计算方法。
8. 1 平面应变问题和滑移线场滑移理论法是一种图形绘制与数值计算相结合的方法，即根据平面应变问题滑移线场的性质绘出滑移线场，再根据精确平衡微分方程和精确塑性条件建立汉盖（Hencky ）应力方程，求得理想刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及变形力的一种方法。
8. 2 汉盖（Hencky ）应力方程——滑移线的沿线力学方程 本节讨论，若知道塑性流动平面内的滑移线场，如何确定场内任意点的应力值？ab ab k p ∆Φ±=∆2 对β线取“+”号对α线取“-”号 式中，b a ab p p p -=∆b a ab Φ-Φ=∆Φ上式表明，沿滑移线的静水压力差（ab p ∆）与滑移线上相应的倾角差（ab ∆Φ）成正比。
故式表明了滑移线的沿线性质。
如何绘制出变形区的滑移线场，这就需要进一步了解滑移线的几何性质。
8. 3 滑移线的几何性质一、汉盖第一定理同族的两条滑移线（如1α和2α线）与加族任意一条滑移线（如1β或2β）相交两点的倾角差φ∆和静水压力变化量p ∆均保持不变。
由汉盖第一定理，可知滑移线场有以下几种简单的情况：（1）同族滑移线中有一条为直线的话，则这族滑移线的其他各条滑移线必然全是直线。
滑移线理论
( ) ⎧⎪σmax = σ x + σ y 2 +
⇒⎨
( ) ⎪⎩σmax = σ x + σ y 2 −
( ) σ x −σ y
2
2
+
τ
2 xy
( ) σ x −σ y
2
2
+τ
2 xy
τα0 = 0 ∴ 极值正应力就是主应力
( ) dτα ( ) dα
=0=
σx −σy
cos 2α1 − τxy sin 2α1 = 0 ⇒ tan 2α1 =
第四章 滑移线理论
4.1 基本假设和应力基本方程 4.2 滑移线的概念 4.3 应力方程的特征线解法 4.4 滑移线的性质 4.5 简单滑移线场 4.6 塑性区边界条件 4.7 基本边值问题 4.8 楔体的极限荷载
教师：徐平 下载：ftp://202.197.185.21:2007 TEL:13733189057
∂τ yx + ∂σ y = 0 ∂x ∂y
( ) σ x −σ y
2
+
4τ
2 xy
= 4C2
上述三式就是传统塑性力学(或称金属塑性力学)滑移线场理 论中的应力基本方程。
在以后的分析中，为了区分屈服条件不同的材料，将满足 Mohr-Coulomb屈服条件的材料简称为Coulomb材料。将满足 Tresca屈服条件的材料简称为Tresca材料。不排水条件下饱和土体 的内摩擦角 ϕ = 0 ，属于Tresca材料。而 ϕ ≠ 0 的土体属于 coulomb材料，或称为 c −ϕ 材料。
) ∂x
∂Sα
+ cos
(α
+2µ
) ∂y
∂Sα
第七章_滑移线场理论简介
二、滑移线场的建立
1、塑性区的应力边界条件
常见的应力边界条件有以下四种类型 （1）不受力的自由表面
1 2 K , 3 0 1 0, 3 2 K
x m k sin 2 y m k sin 2 xy k cos 2
一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ3 σ3 K β β
0
σm K σ1 α
σ1 K β σm
K
σm 0 K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
沿同一条滑移线的速度间断值为常数，其方 向随滑移线而改变
dv v d 0
1 1
dv v d 0
2 2
v v
1
2
dv dv
1
2
v v v 常数
1 2
第五节 滑移线场理论在塑性成形中的 应用举例
应用滑移线理论求解塑性成型问题，其 本质就是根据应力边界条件求解滑移线场和 应力状态，并根据速度边界条件求出和滑移 线场相匹配的速度场以进行校核。
σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向
4
σ3方向 σ1方向
K
K
α
σ1 K Kβຫໍສະໝຸດ σ1K判断σ1、σ3方向 判断变化趋势
β
确定滑移线族别
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
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然后求出
边值问题
• 第一种边值问题（柯西问题） • 第二种边值问题（古尔斯问题，黎曼问题）
边值问题
• 第三种边值问题（混合问题） • 第四种边值问题
地基极限承载力
• 边界条件
已知条件有：地基土性参数
；
边荷载
；以及基底荷载之倾角
（由上部结构荷载水平与垂直分量确定）。
目的是：求基底面极限承载力及其分布
第三节 岩土工程数值分析方法类型简介
数值分析
有限分析法 边界单元法 有限单元法
离散单元法
非连续变形单元 法
流形元法 …… 等
遵守微分方程的解
数值积分
特征线法
有限差分法
加权残值法
变分法和Raleigh Ritz 法
Galerkin 法连续变 形单元法
配置法连 续变形单 元法
子域法连 续变形单 元法
最小二乘法连 续变形单元法
滑移线的基本性质
• 沿一条滑移线的积分常数相同，因此：沿一条 滑移线上的 变化与 的变化呈比例， 的变 化（滑移线的曲率变化）愈大相应的 变化也 愈大；如若某段滑移线为直线，则该直线段滑 移线上的 ， 值和应力分量均为常量。
• 两条 族被两条 族滑移线所切割的两滑移线 段转角相等，同理两条 族被两条 族滑移线 所切割的两滑移线段转角也相等（Henky第一定 律）。
（ 方向对边界倾角的2倍）
边界已知值换算推导
点 和点 对应着两种应力状态，即被动状态和主动状态。
在
处，
或
按正弦定律
在 处，
按正弦定律
上式分别合成一个式子，有
Байду номын сангаас
（
）
因为线段长
或 图2.10 主动与被动状态判别
主动与被动状态判别
若边界顺着边界荷载
的运动方向下压使土体单元处于
极限平衡状态，则单元的侧向应力 必小于法向应力
数值分析发展前景广阔，是学者和工程
师们的新舞台。
第四节 学习中应注意的问题
（1）掌握每种方法的数学力学 原理，基本假定和适用范围；
（2）弄清每种方法对岩土体材 料模型及其参数的要求；
学习中应注意的问题
（3）弄清每种方法对岩土体材料 与结构的相互作用模型及其参数 的要求，包括岩石块体之间的关 联和相互作用；
[3] 中国力学学会计算力学委员会主办，第一届全国计算岩土力学研讨 会论文集（M），西南交通大学出版社，1987.11。
[4] 龚晓南主编，土工计算机分析，中国建筑工业出版社（M）， 2000.10。
[5] 廖红建、王铁行，岩土工程数值分析，机械工业出版社（M）， 2006.2。
…………更多
滑移线理论与特征线法
• 若沿某一滑移线移动，在交叉点处的另一族滑 移线的曲率半径的变化（Henky第二定律）。
特征线方程组的差分解法
差分方程组
提高差分解精度
依据问题定性作出较密的滑移线网格；逐点进行一 次差分计算后，再在前一次差分计算结果的基础上 进行逐次迭代计算 ， 以
勇于开始，才能找到成 功的路
分别代替
进行下一次迭代
滑移线概念
应力分量表达（一点应力状态）
当土体达到塑性极限平衡时（达到塑性屈服），土体单元将一对剪破面，
剪破面与大主应力的夹角为
。
设大主应力 与 轴的夹角为 ，则三个应力分量 为
可分别表达
式中 称为平均法向引用应力
应力分量表达（放大图）
滑移线与滑移线方程
线和 线的微分方程为
应力平衡方程的特征线方程
（4）分析岩土体是否存在渗流和 与水的相互作用或其它耦合问题 。
应用时注意几个主要环节
（1）研究分析对象，明确计算目的，选 择数值分析方法，确定建模方案； （2）确定运用的模型及其参数；
勇于开始，才能找到成
（3）确定边界条件与初功的始路 条件；
应用时注意几个主要环节
（4）模拟荷载及荷载的动态变化； （5）确定计算的收敛评判依据； （6）考察各环节简化的合理性，考题，否
称为特征线。特
征线的方程组：
方程组是曲面方程，仍难以求 得解析解，只能沿着曲面方程的 特征线才能求得解答，因此称为 特征线法。
比较滑移线的定义与此处的特 征线方程，可知此处数学上的特 征线就是物理概念上的滑移线。
应力间断线
应力间断线（l线）推导
勇于开始，才能找到成 功的路
应力间断线
应力间断线推导
• 岩土参数反分析法（Back Analysis Method ,BAM）；
• 滑移线理论与特征线方法（Characteristics Line Method ，CLM）。
人们的认识在不断发展深化，同时伴随其 它学科的发展，例如计算方法的多样化与计 算技术的发展，能够求解的岩土工程问题的 范围和难度在不断扩大。 从求解稳定性问题到求解变形和稳定问题， 从土体到岩体， 从连续介质到不连续介质， 从简单到复杂， 从单一问题到综合和耦合问题等。
地基极限承载力
• 滑移线网格与节点
地基极限承载力
• 分析边界条件 • 初绘滑移线网、节点编号 • 计算表格（步骤），或编程 • 分区解答（或输入程序计算信息） • 极限荷载、实际荷载
分析边界条件和
OB为未知边界换算
OA为已知边界，OB为未知边界（基底面）。
分析应力边界的土体单元不难发现，未知 边界基底面OB将顺着p下压，BOD为主动区， 根据前面的分析应取K＝－1，将m＝0，
代入式（2-24），取 ，得
轴与基底勇面于一开致始即，才能找到成
功的路
分析边界条件和
已知的边界OA 换算
分析应力边界的土体单元不难发现，未知 边界OA有外移（隆起）的趋势，AOC为被动 区，因此应取K＝+1，将m＝0，
代入式（2-27） ，得
网格节点编号
地基极限承载力计算格式
AOC区解答
COD区解答
关于力的极限平衡理论
力的极限平衡理论假定土体为理想刚 体，依据于经典静力学中刚体平衡理论 推求极限状态解答，简称为极限平衡法 。该方法最为人们所熟悉，其突出优点 是简单，应用广泛。例如，经典土压力 计算理论，假定滑动面的土坡稳定安全 系数计算，地基极限承载力计算等。
关于极限分析理论
极限分析理论假定土体为弹性－理想塑性 体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流 动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷 载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无 限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对 应的荷载称为极限荷载。极限分析理论就是应 用虚功率方程推导弹性－理想塑性体或刚塑性 体的普遍定理－上限定理（求极限荷载的上限 解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解 极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。
功的路
，这种情况恰与莫尔圆上的
点相一致，就相当于取式（2-24） 中的K＝+1；
按该式计算的 值最大，称被动状态或最大应力状态。
边界已知值换算
由
换算成
或
当差分计算到未知边界后，一般应完成这种换算，以便 于设计使用。换算可采用如下两种方法之一进行。
方法1：利用式，反求
求出
再求
，
方法2：先由莫尔圆上直接求出
滑移线理论与特征线法 河海大学
2020年4月28日星期二
第一节 岩土工程问题的基本特点
• 工程类型的多样性 • 材料性质的复杂性 • 荷载条件的复杂性 • 初始条件与边界条件的
复杂性 • 相互作用问题
土（岩）与结构的相互作用（例）
加筋挡墙
墙（挡土墙、防渗墙）、混凝土面板 坝的面板与土（岩）的相互作用
COD区为主动区与被动区之间的过渡区 ，其中O点是该区 族滑移线的会交点， 也可以将O点看着为 族滑移线缩于一点 。该点是奇点，发生了理论上的应力间断 。
COD区解答
COD区解答
关于滑移线理论
土力学中的滑移线理论是从经典塑性 力学的基础上发展起来的。假定土体为理 想刚塑性体，强度包线为直线且服从正交 流动规则的标准库仑材料。
滑移线理论是基于平面应变状态的土 体内当达到“无限”塑性流动时，塑性区内 的应力和应变速度的偏微分方程是双曲线 这一事实，应用特征线理论求解平面应变 问题极限解的一种方法，称为滑移线法。
勇于开始，才能找到成 功的路
混凝土面板坝 防渗墙与覆盖层
挡土墙
第二节 岩土工程数值分析发展的必然性
为尽可能求得问题的可靠解答，人们的追求 与选择大致有三个梯次，退而择之。 • 建立严格的控制物理方程 －严格精确解 • 基于假定建立较为精确的控制物理方程－近 似理论解 • 必要简化假设的基础上得到的控制物理方程 （微分方程或微分方程组）－寻求数值解
滑移线概念
• 基本假定 • 基本方程
平衡方程为
土体屈服条件为
滑移线
在平面应变问题中，都有两 个正交主应力，将各点主应 力方向连续地连接起来就是 主应力迹线。土体处于屈服
勇于开始，才能找到成
状态时，每一点都存在一对功的路 剪破面，即面和面，将平面 上各点剪破面连续地连接起 来就可以得到两族曲线，称 为滑移线（或滑动线）。滑 移线上一点的切线就是该点 的滑动面方向。
• 特征线方程 －推导 特征线方程组 极限平衡方程改写
这是一个以x，z ， , 为变量的空间曲面方程
是一阶拟线形偏微分方程组。直接求解极其困难。 数学上的一阶拟线形偏微分方程组一般形式为
该式是关于 由系数 ，其中系数 的函数。
为变量， 构成的代数方程组
是
该方程组的系数行列式为
展开行列式，令 其中
河海大学岩土工程研究所 卢廷浩
概述
对于土体，滑移线理论、极限分析理论 与力的极限平衡理论同属极限状态理论的 范畴，都是求土体达到极限状态时解答的 理论方法。这些理论方法都是假定分析对 象服从库仑材料破坏准则，求解时不考虑 材料到达极限状态的过程，即不考虑材料 的具体应力应变关系，从而求得土体达到 极限状态时的解答，但他们各自求解问题 的视角和方法不同。