三角形中的边角关系知识点
第三讲 直角三角形的边角关系讲义
第三讲 直角三角形的边角关系知识点一 正切，正弦及余弦的定义1、正切的定义的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
C B A有什么发现？请加以证明。
3、三角函数的定义（重点）能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
同步练习：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？知识点二 30°，45°，60°角的三角函数值例 求下列各式的值。
（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。
同步练习：1、 求下列各式的值。
（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。
(3) 6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45°(4)022)30tan 45(sin )60cos (160sin 260sin 60tan 245tan o o o o o oo-+-++----2、 已知a 为锐角，且tana=5，求aa aa sin cos 2cos 3sin +-的值。
直角三角形的边角关系知识点
直角三角形的边角关系知识点一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他两边平方的和。
即a^2+b^2=c^2，其中c表示直角边，a和b分别表示斜边。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意两边的比例等于它们所对的角的正弦值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正弦定理可以表示为sinA=a/c，sinB=b/c。
三、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去它们的两倍乘以它们夹角的余弦。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角边所对的边为c，则余弦定理可以表示为cosA=b/c，cosB=a/c。
四、正切定理正切定理是指在任意三角形中，两条边的比例等于它们所对的角的正切值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正切定理可以表示为tanA=a/b，tanB=b/a。
五、边角关系1.直角三角形中，一个角是90度，另外两个角的和是90度。
2.直角三角形中，直角边所对的角是90度，而另外两边所对的角是锐角。
3.直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值彼此互为倒数。
4.直角三角形中，两个锐角的余弦值等于彼此的正弦值。
5.直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。
六、特殊三角形1.在直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，该直角三角形为等腰直角三角形。
2.在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且为45度。
3.在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根的两倍。
以上是直角三角形的边角关系的主要知识点。
通过对直角三角形的边长和角度关系的了解，我们可以应用这些关系来解决与直角三角形相关的问题。
同时，直角三角形也是三角学中一个重要的基础概念，为后续学习提供了坚实的基础。
直角三角形的边角关系
编号⒀九年级数学下册《直角三角形的边角关系》复习一班级姓名知识点回顾:1．直角三角形中的边角关系：（如图，在ABC中，∠C为直角）(1)三边之间的关系：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：2．一些特殊角的三角函数值：3．锐角α的三角函数值的符号及变化规律。
(1)锐角α的三角函数值都是正值；(2)若0＜α＜90° 则sinα，tanα随α的增大而，cosα随α的增大而 . 4．常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.(2)坡度、坡角：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，h即i＝lh坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i＝l典型例题：1、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化2、如图：P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（900 - α）＝_____________.3、计算：tan60°·sin60°－cos30°·tan45°=_____________.4、已知0°＜α＜45° 则sin α，cos α的大小关系为( )A 、sin α＞cos αB 、sin α＜cos αC 、sin α≥cos αD 、sin α≤cos α． 5、已知在Rt △ABC 中∠C＝90° 且tanA ＝31，则cosB 的值为( ) A 、1013 B 、310 C 、1010 D 10103 6、直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝10，∠B＝90°，∠C＝30°则AB ＝( )A 、53B 、5C 、25D 2357、一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边长之和为1＋， 则这个三角形的面积为( )A. 1B.23C. D.43 8、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=34． （1）求点D 到BC 边的距离； （2）求点B 到CD 边的距离．9、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。
边角关系知识点总结
边角关系知识点总结1. 任意三角形的边角关系：（1）在任意三角形中，三个内角的和等于180°，即A + B + C = 180°。
（2）三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和。
也就是说，三角形的一个内角加上其对边的外角等于180°。
（3）在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
即AB + BC > AC、AC + BC > AB、AB + AC > BC。
2. 直角三角形的边角关系：（1）直角三角形的三个内角中，一个为90°，一个为锐角，一个为钝角。
（2）直角三角形的斜边是其它两条边的平方和的平方根。
即c² = a² + b²。
（3）直角三角形的两个锐角互余，即一个角的余角是另一个角。
3. 等腰三角形的边角关系：（1）等腰三角形的底边相等，顶角相等。
（2）等腰三角形的底角相等，顶角相等。
（3）等腰三角形的底边上的高相等。
4. 等边三角形的边角关系：（1）等边三角形三个内角相等，每个角都是60°。
（2）等边三角形的三条边相等。
（3）等边三角形的高、中线、角平分线、垂径都是同一条线段。
5. 直角三角形、等腰三角形和等边三角形的区别：（1）直角三角形有一个角是90°，等腰三角形和等边三角形没有。
（2）等腰三角形有两条边相等，直角三角形和等边三角形没有。
（3）等边三角形的三条边都相等，直角三角形和等腰三角形没有。
6. 三角形的角平分线：（1）三角形的角平分线是指从三角形的一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段。
（2）三角形的三个角都各有一条角平分线。
（3）角平分线和对边的比例关系：AB/BD = AC/CD。
7. 外接角和内切角：（1）外接角：指与三角形的外角相对应的一个角，外接角等于两个不相邻内角的和。
（2）内切角：指与三角形的内角相对应的一个角，内切角等于两个不相邻外角的和。
8. 三角形的全等条件：（1）两个三角形的三边全相等，则这两个三角形全等。
直角三角形的边角关系(精简版)
直角三角形的边角关系知识点1：锐角三角函数一、知识点讲解： 1．锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2．特殊角是指0°，30°，45°，60°，90°的角． 3．特殊角的三角函数值．4．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA 5．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ×cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==④sin cos 12sin cos a a a a +=+ ⑤222tan cot (tan cot )2a a a a +=+- 二、经典例题讲解： 类型一、关于特殊的函数值 例题1、计算：()()013222sin 60-︒-+-+⋅（结果保留根号．．．．．．）中考典练1： 024cos 458(3)(1)π-+++-分值6分中考典练2：2(tan 301)____-= 中考典练3：13tan 60|2|22-+-+例题2、 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ） A 、 3 33. .22B C -D ．0 例题3、等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ） A 、12 32. .22B C D ．l 例4、点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ） 1111.(3,); .(3,); .(3,) .(3,)2222A B C D ----例5、在锐角△ABC 中，如果2sinC=sin90°，则∠C=__。
三角形中的边角关系
三角形中的边角关系知识点梳理一、 边1、根本概念〔三角形、边、 顶点的定义；三角形的符号表示〕2、按边对三角形的分类：≠⎧⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形☆3、三边关系：〔1〕任意两边之和大于第三边 〔2〕任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角1、根本概念〔内角、外角〕2、按角对三角形的分类：⎧⎧⎪⎨⎩⎨⎪⎩锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形3、三角形的内角和〔1〕三角形三个内角和等于180°； 〔2)直角三角形的两个锐角互余； 〔3〕一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角。
三、线1、中线(1) 定义 〔2〕 重心 〔3〕中线是线段 〔4〕 表示方法 2、高线〔1〕定义 〔2〕垂心 (3〕高是线段，垂线是直线 〔4〕表示方法 〔5〕钝角三角形高的画法 3、角平分线〔1〕定义 (2)外心 〔3〕画法 〔4〕表示方法 四、方法技能归纳法在规律探索中的应用。
根底练习第1题-〔1〕 第1题-〔2〕 第1题-〔2〕1、〔1〕以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有 ；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________.〔2〕图〔1〕中三角形的个数是____________;★图〔2〕中三角形的个数是____________。
2、三角形按角分类可以分为〔 〕A ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B ．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；C ．直角三角形、等边直角三角形；D ．以上答案都不正确3、一个等腰三角形的两边长分别是4和9，那么它的周长是___________________________4、假设三角形的三边长分别为3,4，x -1，那么x 的取值范围是_________________________5、有3cm,6cm,8cm,9cm 长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，那么最多能组成_____个三角形6、,,a b c 是ABC 的三条边，且()()0a b c a b ++-=，那么ABC 是__________三角形7、以下说法正确的选项是_____________________〔1〕等边三角形是等腰三角形； 〔2〕三角形的两边之差大于第三边；〔3〕有两边相等的三角形一定是等腰三角形； 〔4〕一个钝角三角形一定不是等腰三角形。
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。
在直角三角形中，三条边之间有着重要的关系，可以用数学公式来表示。
1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形中最基本的关系公式，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a²+b²=c²，其中a和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边。
2. 正弦定理：正弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。
3. 余弦定理：余弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。
即a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。
这些公式的应用可以帮助我们解决直角三角形的各种问题，如求解三角形的边长、角度大小等等。
三角形的边角关系.
三角形的三边关系1．三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角简称角;④相邻两边的公共端点是三角形的顶点，⑤三角形ABC 用符号表示为△ ABC ，⑥三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C的小写字母 c 表示，AC 可用b表示，BC 可用 a 表示.1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接2:三角形是一个封闭的图形；3:△ ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义例例 1 图中三角形的个数是( )A．8 B．9 C．10 D．112．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.1：三边关系的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形; 若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和例1 ：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( )A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10例2：下列各组条件中，不能组成三角形的是( )A. a+1、a+2、a+3 (a>3)B. 3cm、8cm、10 cmC. 三条线段之比为1:2:3D. 3a、5a、2a+1 (a>1)例3．△ ABC的三边长分别为4、9、x,⑴ 求x 的取值范围；⑵ 求△ ABC 周长的取值范围；⑶ 当x 为偶数时，求x ；⑷ 当△ ABC 的周长为偶数时，求x ；⑸ 若△ ABC 为等腰三角形，求x ．课堂练习1．已知长度为2cm,3cm,4cm,5cm 的四条线段，能组成多少个不等边三角形？2．已知等腰三角形的周长是14 cm ，底边与腰的比为 3 : 2 ，求各边的长.3．在ABC中，AB 9,BC 2，并且AC 为奇数，那么ABC的周长是多少？4．如图， D 是ABC内任意一点，BD 延长线与AC 交于 E 点，连结DC.求证：AB AC BD DC .3．三角形的高、中线、角平分线(1 ) 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。
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2017—2018学年寒假辅导第1讲直角萨娇新的边角关系一、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA 122232cosA 322212tanA 331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,∠A=30°，则c=,b=.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=ac，cosA＝sinB=bc，tanA＝ab.(4)相等的角①商的关系:tanA= ;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(5)互余的两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB, cosA=sinB.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．二、 专题讲座专题一：锐角三角函数的概念注意：1.sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有 ，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2.取值范围 <sinA< ； < cosA< ； tanA> 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______， 斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝__ ___，cos A ＝___ ___，tan A ＝____ __， sin B ＝___ ___，cos B ＝_____ _，tan B ＝___ ___．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．类型一：直角三角形求值例4．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．例5.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值类型二. 利用角度转化求值：例6．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2． 求：sinB 、cosB 、tanB ．例7.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．A D ECBF例7图 例8图 例9图 例13图例8.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2． 例9.如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45类型三. 化斜三角形为直角三角形例10.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例11．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ；(3)求tan B ．例12．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．类型四：利用网格构造直角三角形例13如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为（ ）A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ） A ．35 B. 45 C. 34 D. 433. 如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316；求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABC5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）6．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．7. 在△ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm ，AC=4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 28．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.9．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为（ ） A.41 B. 31 C.21D. 110．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2CB A ABO专题二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 （2）︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2（3）3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°(4)30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ (5) tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α （5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是（ ） A. 0°< ∠A < 30° B. 30°< ∠A ＜60° C. 60°< ∠A < 90° D. 30°< ∠A < 90° 2. 已知∠A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°<∠ A < 60°B. 30°<∠ A < 60°C. 60°< ∠A < 90°D. 30°<∠ A < 90°例4. （三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．对应练习：1.计算：10123tan 45(2 1.41)3-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭2.计算：1201314.330sin 21）（）（-++---π3.计算：212322cos602°. 4计算：(2014－5)0－(cos60°)-2＋38－3tan30°；5.计算：6.计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．7.已知α是锐角，且sin(α+15°)=32． 计算10184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求： (1)∠BAD ； (2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．9. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．11.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB专题三：解直角三角形的应用例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）例1图例2图A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m例3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。
三角形的边角之间的关系
（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部. ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。
）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形相关定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．勾股定理在Rt三角形ABC中，A≤90度，则AB·AB+AC·AC=BC·BC梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
三角形中的边角关系内容和内容解析
三角形中的边角关系内容和内容解析三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条线段组成，其中每两条线段相交于一个顶点。
在三角形中，边角关系是研究其边长和角度之间的关系。
了解三角形中的边角关系对于解决各种几何问题非常重要。
在三角形中，边角关系有很多重要的定理和性质。
首先，我们来讨论三角形的边长关系。
根据三角形的定义，任意两边之和必须大于第三边。
这就是著名的三角不等式定理。
例如，如果一个三角形的三条边的长度分别是a、b、c，那么满足条件a+b>c、a+c>b和b+c>a。
这个定理的应用非常广泛，在解决三角形问题时经常会用到。
另一个与边长相关的重要性质是三角形的周长。
三角形的周长是三个边长的和，即周长=a+b+c。
周长是三角形的一个重要度量，它描述了三角形的大小。
接下来我们来探讨三角形的角度关系。
首先，我们来讨论三角形的内角和外角关系。
在任意三角形中，三个内角的和等于180度。
这是三角形内角和定理。
例如，如果一个三角形的三个内角分别是A、B、C，那么有A+B+C=180度。
这个定理可以用于求解三角形的未知角度。
另一个与角度相关的重要性质是三角形的外角和内角关系。
在三角形的每个内角上都有一个对应的外角。
这两个角的大小之和等于180度。
例如，如果一个三角形的一个内角是A，那么它所对应的外角的大小是180度减去A的度数。
这个定理可以帮助我们求解三角形的未知角度。
除了边长和角度关系，三角形还有其他重要的边角关系。
例如，根据三角形的形状，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
等边三角形的三条边都相等，三个内角都是60度。
等腰三角形的两条边相等，两个内角也相等。
一般三角形的三条边和三个内角都没有特殊的关系。
根据三角形的角度大小，我们还可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个内角都小于90度，直角三角形的一个内角是90度，钝角三角形的一个内角大于90度。
三角形中的边角关系是研究其边长和角度之间的关系。
三角形的边角关系公式
三角形的边角关系公式
（1）三角形三内角和等于180°,这个定理的证明方法有很多种,(即辅助线的做法,)体现了几何中的一题多解的思维方法,这也是几何与众不同都地方.（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边.
（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线,中线,高,中位线.
（注①：等腰三角形中,顶角平分线,中线,高三线互相重叠
①：三角形的中位线是两边中点的连线,它平行于第三边且等于第三边的一半)（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.
（8）三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍.
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2.
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角.
注意:①三角形的内心、重心都在三角形的内部
.①钝角三角形垂心、垂心在三角形外部.（三条高的延长线交于一点,在三角形的外部）
①直角三角形垂心、垂心在三角形的边上.（直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边中点.）
①锐角三角形垂心、垂心在三角形内部.。
直角三角形边角关系总复习
1第一章 直角三角形的边角关系1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定， =A sin , A cos = , A tan = .2.特殊角的三角函数值2.锐角三角函数的关系互余两角的三角函数关系(A 为锐角):cos sin =A ,sin cos =A . 3.锐角三角函数的性质当角度在0°～90°之间变化时：正弦值随角度的增大(或减小)而 (或 )； 余弦值随角度的增大(或减小)而 (或 )； 正切值随角度的增大(或减小)而 (或 )； 4.解直角三角形的定义在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是c b a ,,。
①三边之间的关系： ；②锐角之间的关系： 。
③边角之间的关系：=A sin ,=A cos ,=A tan , =B sin ,=B cos ,=B tan , ④面积公式：ch ab S ABC 2121==△(h 为斜边上的高). 6.解直角三角形应用题中常见的概念①坡角：坡面与水平的夹角叫做坡角，用字母α表示。
坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫 做坡度，用字母i 表示，则αtan ==lhi 。
如图②仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。
如图方法1：利用锐角三角函数的概念求三角函数值例1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值( )A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.不变 方法2：利用锐角三角函数的概念进行计算的方法 例2.在△ABC 中，∠C=90°，54sin =A ，则B tan =( ) 视线视线2A.34B.43C.53D.54方法3：利用特殊角三角函数值进行计算的方法例3.01-)20082009(2-60sin30cos4--+︒︒）（= 。
三角形中的边角关系
三角形基础知识说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，h c分别为a，b，c边上的高S△ABC表示面积。
1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．4．三角形的“线”与“心”：（1）高线、垂心．（2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．（3）中垂线、外接圆、外心．（4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理．（5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理．（6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．5．三角形的分类：（1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。
（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
6．等腰三角形的判定与性质、四线合一7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）8．三角形元素之间的关系：（1）角与角的关系：①内角和定理、②外角定理③角的性质：范围、关系．④最大角、最小角．⑤锐角三角形中任两角的和（2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”）（3）边与角的关系：（“三胞胎”）①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等，反之也真．②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于该三角形外接圆的直径．③余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍．④射影定理：在一个三角形中，任何两边在第三边上的射影之和都等于第三边．（4）直角三角形的性质：①勾股定理②两个锐角的关系③锐角的三角函数（边与角的联系）．④含30º角的直角三角形的性质⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．9．解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形．10．三角形面积公式：（1）ABC S ∆111222a b c ah bh ch === 111sin sin sin 222ab C ac B bc A === 2sin sin 2sin a B C A =CB A c BC A b sin 2sin sin sin 2sin sin 22== 22sin sin sin R A B C = (sin sin sin )Rr A B C =++4abc R =pr =． （2）若1122(),()AB x ,y AC x ,y ==，则ABC S ∆1212||x x y y =-．（3）若,AB AC ==c b ，则ABC S ∆=．1．正弦定理：(2sin sin sin R Cc B b A a ===R 为△ABC 外接圆半径）。
第七讲：Rt△的边角关系
第七讲 直角三角形的边角关系一、知识点快速归纳理解：考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ， 即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30°45°60° 90° sinα21 22 23 1cos α 123 22 21 0tan α 0 33 13不存在cot α 不存在 3133 04、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系： sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系： 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系： tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系： tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：ba B ab Bc a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin二、知识点练习题方式方法及技巧渗透1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ．（53332+）m B ．（3532+）m C ． 533m D ．4m 2．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）13．已知在ABC △中，90C ∠=o，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是（ ）A ．202n <<B ．102n << C ．303n << D ．302n << 4．如图，小正方形的边长都为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．如图，已知一商场自动扶梯的长z 为10米，该自动扶梯到达的高度h 为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于( )6．如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．aB ．a 54C ．a 22D ． a 23 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝ （ ） A ．43 B ．34 C ．35 D ．458．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．33aNM CDAB（第6题）BA ED C30°第1题第2题CA第4题图第5题图9．计算2sin 45°的结果等于（ ）A ．2B ．1C ．22 D ．21 10．在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A 的值是( )A ．12B ．2C ．5D ．5 11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（ ） A ．53 B. 54 C. 43D. 5512．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝（ ） A ．43 B ．34 C ．35 D ．4513．在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt οο中，则BC 的长为 （ ）（A ）ο35sin 7（B ）ο35cos 7（C ）ο35cos 7 （D ）．ο35tan 714．如上右第9题图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD 54cos =∠DCA ，BC=10，则AB 的值是（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．315．如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米 (C) m ·cos α米 (D) αtan m米16．如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则A ∠tan 的值是 （ ）A ．56 B ．65 C ．3102 D ．1010317．sin30︒的值等于 （ ） （A ）12（B ）2 （C ）3 （D ）118．已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43B ．45C ．54D ．3419．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点20 m 的点A 处，测得楼顶B 点的仰角∠OAB A BC m α(第15题图)D BC E ＝65°，则这幢大楼的高度为 （ ） （结果保留3个有效数字）． （A ）42.8 m（B ）42.80 m （C ）42.9 m （D ）42.90 m20．如图，在正方形ABCD 中，O 是CD 边上一点，以O 为圆心，OD 为半径的半圆恰好与以B 为圆心，BC 为半径的扇形的弧外切，则∠OBC 的正弦值为 ．21．如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．22．已知：如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，∠A=600 ，AD=5cm ，DC=6cm ，AB=10cm 。
直角三角形的边角关系
）cosAcosB tanA ; tanB ;sin sin <>>A B 直角三角形的边角关系一、知识点回顾1、锐角A 的三角函数（1）、∠A 的正弦：在Rt △ABC 中，sinA= （2）、∠A 的余弦：在Rt △ABC 中，cosA=（3）、∠A 的正切：在Rt △ABC 中，tanA=【注】①当0°<α<90°时，0<sin α<1 ；0<cos α<1②当0°<α<45°时，0<tan α<1；当45°<α<90°时，tan α>12、锐角三角函数的性质（1）1、1A cos A sin 22=+ （2）、AAA cos sin tan = （3）、在Rt △ABC 中，sinA=cosB ，cosA=sinB（4）、对于锐角A 的每一个确定的值，其三个三角函数值也是唯一确定的。
（5）、锐角∠A 的正弦、正切值随∠A 的增大而增大；∠A 的余弦值随∠A 的增大而减小。
（如果B ∠>A ∠，那么 （6）、45°是αsin 和αcos 的值的分界点，①当0°<α<45°，αsin <αcos ；②当 45°<α<90°，αsin >αcos ；③当α=45°时，αsin =αcos ） （7）、在Rt △ABC 中，tanA>sinA （tanA=b a ，sinA=ca，而b<c ） 3、直角三角形的边角关系（1）角的关系：两锐角互余（︒=∠+∠90B A )（2）边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理，222c b a =+）（3）边与角的关系：sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=ba， （4）直角三角形的相关性质①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(如图：AB 21CD =)②30°角所对的直角边等于斜边的一半（如图，∠A=30°，AB 21BC =)4、特殊角的三角函数值三角函数0° 30° 45° 60° 90° αsinαcostan α5、解直角三角形的应用（1）、仰角、俯角从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．（2）、坡度、坡角坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即lhi =． （坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．）坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有lhi =＝tan α．（显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．） （3）、方位角“上北下南，左西右东”.叙述方位角时，以南北为主，东西为辅.6、直角三角形可解的条件和解法（1）已知c 和∠A ，求a 和b. a= ，b=（2）已知a 和∠A ，求c 和b. b= , c= （3）已知b 和∠A ，求a 和c. a= ，c= （4）已知a 和b ，求c 和∠A. c= ，∠A=（5）在如图所示的“大套小”的图形中，Rt △ADC 和Rt △BDC 有一条公共边CD ，求CD 的长. 设CD=x ，则DABC┌ αmβαββαtan tan tan mtan -⋅在Rt △ACD 中， AC=αtan x；在Rt △BCD 中，BC=βtan x ；因为AB=AC-BC ，所以，可建立关于x 的方程:αtan x-βtan x =m （方程思想） 解得x= 即求出了CD 的长.二、专题训练。
三角形的边角关系定理
三角形的边角关系定理三角形是我们初中数学中最基础的几何形状之一，而边角关系是研究三角形的重要内容之一。
在本文中，我们将介绍三角形的边角关系定理，深入讨论它们的定义、性质以及应用。
一、角的概念在介绍三角形的边角关系定理之前，我们首先来回顾一下角的概念。
角是由两条射线共同确定的形状，可以用一个顶点来表示。
在三角形中，我们通常用大写字母来表示角，例如∠ABC表示由线段AB和线段BC所确定的角。
二、1. 内角和定理在任意一个三角形ABC中，三个内角的和等于180度。
即∠A +∠B + ∠C = 180度。
2. 外角和定理在任意一个三角形ABC中，三个外角的和等于360度。
即∠D +∠E + ∠F = 360度，其中∠D、∠E、∠F为三角形的外角。
3. 三角形内角与外角的关系三角形的内角和外角满足以下关系：∠A + ∠D = 180度，∠B +∠E = 180度，∠C + ∠F = 180度。
4. 三角形的三边关系在任意一个三角形ABC中，三个边与对应的内角之间存在以下关系：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C = 2R，其中a、b、c为三角形的三边长度，∠A、∠B、∠C为对应的内角度数，R为三角形外接圆半径。
三、边角关系定理的证明边角关系定理的证明涉及到数学的推导和证明方法，具体的证明过程超出了本文的范围。
在此我们只给出部分边角关系定理的证明思路，供读者参考。
1. 内角和定理的证明思路：可以利用平行线的性质，将三角形的内角分别与同一直线上的一个外角相互对应，然后利用角的性质和等式关系进行推导，最终得出∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 外角和定理的证明思路：同样可以利用平行线的性质，将三角形的一条边的外角与另外两条边的内角相对应，然后利用角的性质和等式关系进行推导，最终得出∠D + ∠E + ∠F = 360度。
四、边角关系定理的应用边角关系定理在解决三角形相关问题时起着重要的作用。
三角形中的边角关系知识点
三角形中的边角关系知识点三角形是几何学中最基本的图形之一，在三角形中，边角关系是非常重要的知识点。
边角关系指的是三角形中各边与各角之间的关系，包括角的和、角的差、角的内外切关系、角的内分线和外分线等。
下面将详细介绍三角形中的边角关系知识点。
一、角的和和差关系在任意三角形中，三个内角的和等于180度。
也就是说，对于三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°。
当已知三个角中的两个角度时，可以通过角的和的关系求出第三个角的度数。
例如，已知∠A=45°，∠B=60°，通过角的和关系可以求得：∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°除了角的和的关系，还有角的差的关系。
例如，对于任意三角形ABC，有∠A-∠B=∠C。
二、角的内外切关系一个角的内切关系是指这个角的内心位于这个角的顶点的射线上。
在三角形中，任意两个内切角的和为180度。
例如，对于三角形ABC，角A、角B和角C的内切角均为30°。
根据角的内切关系，可以得到：∠A+∠B+∠C=180°30°+30°+∠C=180°∠C=180°-30°-30°=120°角的外切关系与内切关系类似，不同之处在于内切角的内心位于角的内部，而外切角的外心位于角的外部。
同样地，任意两个外切角的和为180度。
三、角的内分线和外分线角的内分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。
角的外分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的补角的射线。
在三角形中，一个角的内分线和外分线有重要的性质：它们与对边相交于三角形的内心和外心。
内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。
四、边与边的关系在三角形中，边与边之间也有一些重要的关系。
1.边的和大于第三边对于任意三角形ABC，边AC和边BC的和大于边AB。
专题1.6直角三角形的边角关系十大考点(老师版)
专题1.6直角三角形的边角关系十大考点【目标导航】【知识梳理】1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边除以斜边=a c（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边除以斜边=b c．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=a b．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．3.解直角三角形：（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：222a b c +=③边、角之间的关系：sinA==a c ，cosA =b c ，tanA =ab，（a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边）．4.解直角三角形的应用：（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．5.坡度、坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1：m 的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i 与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．6.俯角、仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．【典例剖析】【考点1】锐角三角函数的定义【例1】（2020•河池）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（）A ．512B ．125C ．513D ．1213【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解析】如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB=52+122=13，∴sinB=AC AB=1213．故选：D．【变式1.1】（2022秋•钢城区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，BC＝8，则AC等于（）A．6B．16C．12D．4【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tanA=BC AC=2，∴AC=12BC=12×8＝4．故选：D．【变式1.2】（2022秋•奉贤区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是（）A．tanA=23B．cotA=23C．sinA=23D．cosA=23【分析】先利用勾股定理计算出AB＝213，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义求出∠A的四个三角函数值，从而可对各选项进行判断．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，∴AB=42+62=213，∴tanA=BC AC=64=32，cotA=AC BC=46=23，sinA=BC AB=6213=31313，cosA=AC AB=4213=21313．故选：B．【变式1.3】（2022•沈阳模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，∠ADC＝30°，则tan∠CAB的值为（）A．3B．1C．32D．33【分析】根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝30°，进而求出∠CAB，再根据特殊锐角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝∠ADC＝30°，∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，∴tan∠CAB＝tan60°=3，故选：A．【考点2】特殊角的三角函数值【例2】（2018•西湖区校级二模）在△ABC中，若|sinA−22|32−cosB|2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．105°B．90°C．75°D．120°【分析】直接利用绝对值性质以及特殊角的三角函数值分别得出∠A＝45°，∠B＝30°，进而得出答案．【解析】∵|sinA−22|+|32−cosB|2＝0，∴sinA=22，32=cosB，∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C的度数是：180°﹣45°﹣30°＝105°．故选：A．【变式2.1】（2022秋•巨野县期中）∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°【分析】直接利用特殊角的三角函数值，进而得出答案．【解答】解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，∴cosβ=12，∴∠β＝60°．故选：B．【变式2.2】（2022秋•浦东新区校级期中）已知α为锐角，且sinα=513，那么α的正切值为（）A．512B．125C．513D．1213【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则利用正弦的定义得到sinA＝sinα=BC AB=513，于是可设BC ＝5x，AB＝13x，利用勾股定理计算出AC＝12x，然后根据正切的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵sinA＝sinα=BC AB=513，∴设BC＝5x，AB＝13x，∴AC=AB2−BC2=(13x)2−(5x)2=12x，∴tanA=BC AC=5x12x=512，即α的正切值为512．故选：A．【变式2.3】（2021秋•梁平区期末）式子2cos30°﹣tan45°−(1−tan60°)2的值是（）A．0B．23C．2D．﹣2【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而结合二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝2321﹣（3−1）=3−1−3+1＝0．故选：A．【考点3】锐角三角函数的增减性【例3】锐角α满足sinα22，且tanα＜3，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数关系的增减性，得出答案．【解析】∵sinα22，且tanα＜3，∴45°＜α＜60°．故选：B．【变式3.1】（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，再得出选项即可．【解答】解：tan30°=33，tan45°＝1，tan60°=3，∵tanA＝3，∴3＜3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．【变式3.2】（2022秋•莱芜区期中）已知sina32，那么锐角a的取值范围是（）A．60°＜a＜90°B．0°＜a＜60°C．45°＜a＜90°D．0°＜a＜30°【分析】根据特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性进行判断即可．【解答】解：∵sin60°=32，sinα32，一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大，∴α＞60°，∵α为锐角，∴60°＜α＜90°，故选：A．【变式3.3】（2021秋•新邵县期末）下列说法中正确的是（）A．sin45°+cos45°＝1B．若α为锐角，则sinα＝cos（90°﹣α）C．对于锐角β，必有tanβ2=tanβ2D．若α为锐角，则sinα＞cosα【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可．【解答】解：A．sin45°+cos45°=22+22=2，故A不符合题意；B．若α为锐角，则sinα＝cos（90°﹣α），故B符合题意；C．对于锐角β，当β＝60°时，tanβ2=tan30°=33，tanβ2=tan60°2=32，此时tanβ2≠tanβ2，故C不符合题意；D．若α为锐角，当α＝45°时，sinα＝cosα=22，故D不符合题意；故选：B．【考点4】同角三角函数【例4】（2018秋•市中区校级期中）已知α为锐角，且tanα=13，则sinα＝（）A．23B．105C．31010D．1010【分析】根据tanα=13，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sinα的值．【解析】设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则sinα=a c，tanα=a b，a2+b2＝c2，∵tanα=13知，∴可设a＝x，则b＝3x，∴c=a2+b2=10x．∴sinα=a c=x10x=1010，故选：D．【变式4.1】（2022春•巴东县期中）x为锐角，sinx=23，则cosx的值为（）A．79B．73C．7D．23【分析】根据同角三角函数的平方关系：sin2x+cos2x＝1解答即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝1，sinx=23，∴cosx=1−sin2x=1−29=73．故选：B．【变式4.2】（2022•内黄县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，则tanA＝（）A．53B．43C．45D．34【分析】根据题意设BC＝4a，AB＝5a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，∴sinA=BC AB=45，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC=AB2−BC2=(5a)2−(4a)2=3a，∴tanA=BC AC=4a3a=43，故选：B．【变式4.3】（2020秋•黄浦区期末）对于锐角α，下列等式中成立的是（）A．sinα＝cosα•tanαB．cosα＝tanα•cotαC．tanα＝cotα•sinαD．cotα＝sinα•cosα【分析】根据锐角三角函数的定义，分别验证每个选项的正误即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A＝α，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，有sinα=a c，cosα=b c，tanα=a b，cotα=b a，于是：A．cosα•tanα=b c•a b=a c=sinα，因此选项A符合题意；B．tanα•cotα=a b•b a=1≠cosα，因此选项B不符合题意；C．cotα•sinα=b a•a c=b c=cosα，因此选项C不符合题意；D．sinα•cosα=a c•b c=ab c2≠cotα，因此选项D不符合题意；故选：A．【考点5】锐角三角函数的新定义问题【例5】（2020秋•闵行区期中）我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形，例如：在四边形PQMN 中，如果∠P＝∠Q＝100°，∠M＝60°，那么四边形PQMN是三等角四边形．请阅读以上定义，完成下列探究：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，cosB=13，如果点D在边AB上，AD＝6，点E在边AC上，四边形DBCE是三等角四边形，那么线段CE的长是．【分析】如图，过点A作AJ⊥BC于J，连接CD，解直角三角形求出BK，CKAK，再利用相似三角形的性质求出DH，AH，想办法求出EH，即可解决问题．【解析】如图，过点A作AJ⊥BC于J，连接CD，过点C作CK⊥AB于K，过点D作DH⊥AC于H．∵AB＝AC＝9，AJ⊥BC，∴BJ＝JC，∵cosB=BJ AB=13，∴BJ＝JC＝3，∵CK⊥AB，∴cosB=BK BC=13，∴BK＝2，CK=BC2−BK2=62−22=42，∵∠DAH＝∠CAK，∠AHD＝∠AKC＝90°，∴△AHD∽△AKC，∴AD AC=AH AK DH CK，∴69=AH7=DH42，∴AH=143，DH=823，∵四边形DBCE是三等角四边形，∴∠DEH＝∠B，∴cos∠DEH＝cos∠B=1EH，设EH＝m，DE＝3m，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴（3m）2＝m2+（823）2，∴m=43或−43（舍弃），∴EH=43，∴AE＝AH﹣EH=143−43=103，∴CE＝AC﹣AE＝9−103=173．故答案为：173．【变式5.1】（2021秋•冷水滩区月考）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ（其中：1﹣tanαtanβ≠0）例如：sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30℃os60°+cos30°sim60°=12×12+32×32=1．利用上述公式计算下列三角函数：①sin105°=6+24②sin15°=6−24③cos90°＝0，④sin15°+tan105°＝2﹣2364．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据上述公式把一般角转化为特殊角的和或者差，然后进行计算即可．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin45°cos60°+cos45°sin60°=22122232=6+24，故①正确；②sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°=322212×22=6−24，故②正确；③cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°=22×2222×22=0，故③正确；④tan105°＝tan（60°+45°）=tan45°+tan60°1−tan45°tan60°=1+31−3=−2−3，sin15°+tan105°=6−24（﹣2−3）＝﹣2−36424，故④错误；所以正确的个数为：3个，故选：C．【变式5.2】（2020•广元）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：（1）sin（﹣30°）=−12；（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．【解答】解：（1）sin(−30°)=−sin30°=−12，故此结论正确；（2）cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此结论正确；（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故此结论正确；（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°=2232+22×12=6424=6+24，故此结论错误．所以正确的结论有3个，故选：C．【变式5.3】（2019•巴州区校级自主招生）规定：对任意角x，y，都有sin2x+cos2x＝1，sin（﹣x）＝﹣sinx，cos （﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，现给出下列等式：①sin(−60°)=−32；②cos15°=6−24；③cos2x＝1﹣2sin2x；④cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；⑤cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(x−y)]，其中，等式成立的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据所提供的材料解题即可．【解答】解：①﹣sin60°=sin(−60°)=−32，故正确；②cos15°＝cos（60°﹣45°）＝cos60°cos（﹣45°）﹣sin60°sin（﹣45°）＝cos60°cos45°+sin60°sin45°=122232×22=2+64，即cos15°=6−24是错误的；③cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x＝1﹣sin2x﹣sin2x＝1﹣2sin2x，故正确；④cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故正确；⑤cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(x−y)]，故正确．综上所述，其中，等式成立的个数为4个．故选：C．【考点6】三角函数与网格问题【例6】（2018秋•乐山期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA ＝45．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据余弦为邻边比斜边，可得答案．【解析】如图，由勾股定理，得AC=AD2+CD2=42+32=5．cosA=AD AC=45，故答案为：45．【变式6.1】（2021•商河县校级模拟）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝12．【分析】根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，利用网格计算即可．【解答】解：tan∠ABC=24=12，故答案为：12．【变式6.2】（2021•甘谷县一模）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为13．【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图：作BD⊥AC于D，BD=2，AD＝32，tanA=BD AD=232=13，故答案为：13．【变式6.3】（2020•铁东区四模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为1．【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．【解答】解：如图所示，连接BC，则AB＝BC=12+32=10，AC=22+42=25，∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故答案为：1．【考点7】解直角三角形【例7】（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．（1）求sinB的值；（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=AD AB计算即可；（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得BE AB=EF AD=BF BD=23，求出EF、DF，再利用勾股定理解决问题．【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，∴BD＝DC=12BC＝9，∴AB=AD2+BD262+92=313，∴sinB=AD AB=6313=21313；（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴BE=EF=BF=2，∴EF=23AD=23×6＝4，BF=23BD=23×9＝6，∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，在Rt△DEF中，DE=EF2+DF2=42+32=5．【变式7.1】（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA=43．；求：（1）S△ABC（2）∠B的余弦值．【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义设CD＝4k，则AD ＝3k，从而利用勾股定理求出AC＝5k，进而可得k＝3，然后可得AD＝9，CD＝12，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tanA=CD AD=43，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC=AD2+CD2=(3k)2+(4k)2=5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，=12AB•CD∴S△ABC=12×15×12＝90，＝90；∴S△ABC（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC=CD2+BD2=122+62=65，∴cosB=BD CB=665=55，∴∠B的余弦值为55．【变式7.2】（2022秋•浦东新区期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan ∠B=23，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正切值．【分析】（1）解直角三角形求出CD＝4，再利用勾股定理求出AC即可；（2）过点E作EH⊥AB于点H．求出AH，EH，可得结论．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴tanB=CD DB=23，∵BD＝6，∴CD＝4，∴AC=CD2+AD2=42+22=25；（2）过点E作EH⊥AB于点H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∵EC＝EB，∴DH＝BH＝3，∴EH=12CD＝2，∴AH＝AD+DH＝2+3＝5，∴tan∠EAB=EH AH=25．【变式7.3】（2022秋•虎丘区校级期中）（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．【分析】（1）由∠A与∠B互余即可求出∠B，由直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半可求b，由锐角的正切定义可求a；（2）由锐角的正弦定义，勾股定理可求AD长．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b=12c＝43，∵tanA=a b，∴a＝btanA，∴a＝43×3=12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sinA=BC AB，∴AB=BC sinA=10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．【考点8】锐角三角函数的应用：方向角问题【例8】（2020•启东市三模）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．【分析】（1）由由题意即可得出答案；（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝302，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．【解析】（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝302，过B作BE⊥AC于E，如图所示：∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝302，∴AE＝BE=22AB＝30，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB=BE CE，∴CE=BE tan60°=303=103，∴AC＝AE+CE＝30+103，∴A，C两港之间的距离为（30+103）km．【变式8.1】（2022•锦州二模）某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：2≈1.414，3=1.732）【分析】根据三角形内角和得到∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，求得∠ABC＝∠ACB，根据等腰三角形的性质得到AC＝AB＝10海里，根据平行线的性质得到∠ACF＝30°，求得∠ACD＝60．平角的性质得到∠DAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，即可求得∠DAE＝45°，解直角三角形求得CE＝5海里，AE＝DE＝53海里，即可求得CD＝5+53≈13.66（海里），进一步求得轮船航行的速度．【解答】解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE=12AC＝5海里，AE=32AC＝53海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝53海里，∴CD＝5+53≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷12=27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，【变式8.2】（2022秋•垦利区期中）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．【分析】过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．【解答】解：由题意得：∠DOC＝45°，∠BOD＝15°，OB＝80km，∴∠BOC＝30°，OB＝80km，如图，作BG⊥OC于G，∴BG=12OB＝40km，∵40＜50，∴会受到影响，如图：BE＝BF＝50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，∵BG＝40km，∴EG=BE∴EF＝2EG＝60km，∵风速为40km/h，∴60÷40＝1.5（小时），∴影响时间约为1.5小时．【变式8.3】（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C在北偏东45°方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东30°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）（1）求BC的距离；（结果保留整数）（2）渔船在B处改变航行线路，沿北偏东75°方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿DC方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在小岛C加油后，再沿南偏东75°方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达E处？请说明理由．【分析】（1）作CF⊥AB于点F，CD⊥BE于点D，设BF＝x，则BC＝2x，CF=3x，根据AF＝CF，得60+x=3x，求出x的值即可求出答案；（2）根据特殊直角三角形求出CD，CE，即可求出从D到E用的时间，和6小时相比较即可．【解答】解：如图，作CF⊥AB于点F，CD⊥BE于点D，（1）由已知得AB＝60海里，∠CAF＝45°，∠BCF＝30°，设BF＝x，则BC＝2x，CF=3x，∵AF＝CF，∴60+x=3x，∴x=603−1=30（3+1），∴BC＝60（3+1）≈142（海里），∴BC的距离为142海里；（2）由已知得∠CBD＝∠BCD＝45°，∴CD=22BC＝30（6+2），∵∠ECF＝75°，∴∠CED＝180°﹣45°﹣30°﹣75°＝30°，∴CE＝2CD＝60（6+2），∴从D到E用的时间为CD+CE60=90(6+2)60≈5.8＜6，∴渔船能在下午5点之前到达E处．【考点9】锐角三角函数的应用：坡度坡角问题【例9】（2019秋•滨海县期末）速滑运动受到许多年轻人的喜爱．如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为5米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：3．（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；（2）原坡面底部BG的正前方10米处（EB＝10）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：3≈1.73）【分析】（1）过点C作CH⊥BG，垂足为H，根据坡度的概念求出∠CAH，根据直角三角形的性质求出AC；（2）根据坡度的概念求出BH，根据正切的定义求出AH，得到AB，结合图形求出EB，计算得到答案．【解析】（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，∵新坡面AC的坡度为1：3，∴tan∠CAH=13=33，∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°，∴AC＝2CH＝10米；（2）新的设计方案不能通过．理由如下：∵坡面BC的坡度为1：1，∴BH＝CH＝5，∵tan∠CAH=33，∴AH=3CH＝53，∴AB＝53−5，∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（53−5）＝15﹣53≈6.35＜7，∴新的设计方案不能通过．【变式9.1】（2022秋•高新区校级期中）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．（1）求OA的长；（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？【分析】（1）设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，利用勾股定理得到AO′＝4x，则4x＝40，解方程可得到AO′＝50cm，O′C＝30cm，所以AO为50cm；（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，先计算出∠BOH＝30°，利用30的正弦得到BH＝25cm，再计算CB′＝80cm，然后计算B′C′﹣BH即可．【解答】解：（1）∵AO'：O'C＝5：3，∴设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，∵O'C⊥OA，∴∠ACO′＝90°，∵AO′=(5x)2−(3x)2=4x，∴4x＝40，解得x＝10，∴AO′＝50cm，O′C＝30cm，∴AO＝AO′＝50cm；答：OA的长为50cm；（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，∴∠AOB＝150°，∴∠BOH＝30°，∵BH=12OB＝25cm，∵CB′＝O′B′+CO′＝50+30＝80（cm）∴B′C′﹣BH＝80﹣25＝55（cm），∴显示屏的顶部B′比原来升高了55cm．【变式9.2】（2022秋•高新区期中）如图，水坝的横截面是梯形ABCD（DC∥AB），迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积．（结果保留根号）【分析】（1）作DF⊥AB于点F，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；（2）作D′G⊥A′B于点G，求出CD′、A′B，再根据梯形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）作DF⊥AB，垂足为F，∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四边形DFEC为矩形，∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，在Rt△CEB中，tanα=CE EB，∴BE=CE tan30°=53，∴AB＝AF+FE+EB＝（172+53）米；（2）如图，作D′G⊥A′B于G，在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，∴梯形D′A′AD的面积=12×（0.5+1.5）×5＝5，答：横截面增加的面积为5平方米．【变式9.3】（2022秋•长春期中）如图是某地铁站自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角（∠BAC）为30.5°，自动扶梯AB的长为17米．（1）求乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC．（结果精确到0.1米）（2）如果一层楼的高度为2.8米，问这个扶梯升高的高度BC相当于几层楼高？（结果保留整数）【参考数据：sin30.5°＝0.51，cos30.5°＝0.86，tan30.5°＝0.59】【分析】（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长即可；（2）直接利用（1）中所求，即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB•sin∠BAC＝17×0.51≈8.7（米），答：乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC约为8.7米；（2）由题意可得：8.7÷2.8≈3（层），答：这个扶梯升高的高度BC相当于3层楼高．【考点10】锐角三角函数的应用：俯角仰角问题【例10】（2020•大庆）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB 的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．【分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，在Rt△AME中，根据正弦函数求得AE，在Rt△AEC中，根据正弦函数求得AC．【解析】∵AB⊥BD，∠HAM＝45°，∴∠BAM＝∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BAM，∴AB＝BM＝20（米），∴在Rt△ABM中，AM＝202（米），作AE⊥MC于E，∵∠KCM＝75°，∠ACK＝30°，∴∠ACM＝45°，∠ACK＝∠CAH＝30°，∵∠HAM＝45°，∴∠CAM＝75°，∴∠AMC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴在Rt△AME中，AM＝202（米），∵sin∠AME=AE AM，∴AE＝sin60°•202=32202=106（米），在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝106（米），∴sin∠ACE=AE AC，∴AC=AE sin45°=10622=203≈35（米），答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．【变式10.1】（2021秋•临泉县期末）如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC的高度．（参考数据：3≈1.732）【分析】过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，得BF＝DH，在Rt△ADH中求出DH，再解直角三角形求出EF、CF的长，即可解决问题．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°=∴CF =3EF ＝503=86.6（米），∴BC ＝BF+CF ＝136.6（米）．答：建筑物BC 的高度约为136.6米．【变式10.2】（2022秋•蓬莱区期中）如图中是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，从O 、A 两处观测P 处，仰角分别为α、β，且tan α=12，tan β=32，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，若水面上升1m ，水面宽为多少？【分析】过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，设PH ＝3xm ，则OH ＝6xm ，AH ＝2xm ，由OA ＝4m ，可求出x 值，进而可得出点P 的坐标；根据点O 、P 、A 的坐标利用待定系数法，可求出抛物线的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征可求出y ＝1时x 的值，两值做差即可得出结论．【解答】解：过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示．设PH ＝3xm ，则OH ＝6xm ，AH ＝2xm ，∴OA ＝OH+HA ＝6x+2x ＝4，解得：x =12，∴OH ＝6x ＝3，PH ＝3x =32，∴点P 的坐标为（3，32）．设拱桥所在抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx+c ，将点O （0，0）、B （4，0）、P （3，32）代入y ＝ax 2+bx+c ，c =016a +4b +c =09a +3b +c =32，解得：a =−12b =2c =0，∴拱桥所在抛物线的解析式为y =−12x 2+2x ．当y =−12x 2+2x ＝1时，x ＝2±2，∴2+2−（2−2）＝22（m ）．答：水面上升1m ，水面宽22m ．【变式10.3】（2022秋•莱阳市期中）如图，某物业楼上竖立一块广告牌，高CD＝3m，小亮和小伟要测量广告牌底部D到水平地面AH的距离，小亮在水平地面A处安置测倾器，测得广告牌底部D的仰角为22°，小伟在水平地面B处安置测倾器，测得广告牌顶部C的仰角为45°，两人合作量得测倾器的高度AE＝BF＝1.2m，测点A和测点B之间的距离AB＝9m，请根据以上信息，求广告牌底部D到水平地面AH的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【分析】延长EF交CH于点G，则FG⊥CH，得矩形AEFB，矩形BFGH，矩形AEGH，EF＝AB＝9m，AE ＝BF＝GH＝1.2m，在Rt△FDG中，∠EGD＝90°，∠DEG＝22°，FG＝EF+FG＝（9+FG）m，利用锐角三角函数即可解决问题．【解答】解：延长EF交CH于点G，则FG⊥CH，得矩形AEFB，矩形BFGH，矩形AEGH，∴EF＝AB＝9m，AE＝BF＝GH＝1.2m，∵∠CFG＝45°，∴∠FCG＝45°，∴FG＝CG，∴GD＝CG﹣CD＝（CG﹣3）m，在Rt△FDG中，∠EGD＝90°，∠DEG＝22°，EG＝EF+FG＝（9+FG）m，∵DG＝EG•tan22°，∴CG﹣3≈（9+CG）×0.40，∴CG＝11m，∴DG＝CG﹣3＝8（m），∴DH＝DG+GH＝8+1.2＝9.2（m）．答：广告牌底部D到水平地面AH的距离为9.2m．。
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第十四章三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类：
2、按角分类：
不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。
3三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高
（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
四、命题
1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。
2、命题分类
真命题：正确的命题
命题假命题：错误的命题
3、互逆命题
4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例。
原命题：如果p，那么q；
逆命题：如果q，那么p。
（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。
）。