从均匀膨胀宇宙模型推导证明红移-距离关系式

从均匀膨胀宇宙模型推导证明出的红移－距离关系式

（河北邯郸 薛世康 2012-7-2 ， 2012-12-16修改）

１．首先，由熟知的罗伯逊—沃尔克（Robertson －Walker ）度规：

｝｛2222222

2

22sin 1)(φθθd r d r kr dr t R dt ds ++--= 推导出重要关系式：｛ １＋ｚ＝10λλ＝)

()(10t R t R ｝ 其中：r ，θ，φ为共动坐标；

r 为径向共动坐标，它不随时间变化（宇宙膨胀）而变化，是无量纲量。

t 为宇宙时（cosmic time ），它是在共动坐标系中静止的观察者所测到的原时。

k 是一常数，适当选取r 的单位，可使k 取＋１，０，－１，分别对应于闭合的宇宙（k ＝＋１），平坦的宇宙（k ＝０）和开放的宇宙（k ＝－１）。

)t (R 随时间变化，称为宇宙尺度因子,具有长度的量纲。

对于θ，φ 固定，r ＝０和r ＝1r 的两点间的固有距离为，

⎰-=1

021)()(r p kr dr t R t d =1

01sinh )()(sin )(11111-===⎪⎩⎪⎨⎧--k k k r t R r t R r t R )1.1( 此处所讨论的情形为球坐标，可将上述的一般关系进一步简化如下。

２．从球坐标转换为一维直线情形，以使问题得以简化：

考虑一列沿-ｒ方向朝我们而来的光波包，其频率为1ν，在宇宙时1t 和1t ＋1t ∆时刻从一个遥远的星系（共动坐标r ＝1r 处）发出，在0t 和0t ＋0t ∆时刻被我们（r ＝０）接收到。 由于光子的运动方向为零测地线，2

ds ＝０，又由于只沿径向运动，θd ＝０，φd ＝０，所以有 22

2

221)(0kr dr t R dt ds --== 即 ⎰⎰-=101021)(r

t t kr dr t R dt ， （１．２）

以及 ⎰⎰-=∆+∆+10011021)(r

t t t t kr dr t R dt ， （１．３） 两式相减，就得到一个极其有用的关系式：

10t t ∆∆＝)

()(10t R t R （１．４） 这即是时间膨胀现象的宇宙学表达式。

我们所接收到的光波的频率0ν同发射时刻的频率1ν的关系为

)

()(010110t R t R t t =∆∆=νν （１．５）， ３．天文学中常用红移ｚ来表示波长（或频率）的变化： 110110-=-=

λλλλλz ， （１．６）， 其中1λ为光波在发射时刻的波长 、0λ为我们接收时刻的波长。因此我们有

１＋ｚ＝10λλ＝)

()(10t R t R （１．７）， 式（１．７）为宇宙学中最重要的关系式之一，该式揭示了宇宙学红移的本质，即宇宙学红移ｚ加１等于宇宙的尺度因子的今天值)(0t R 与过去值)(1t R （光波信号发生时）之比。

可以看到，R(t)的具体取值并不太重要，真正重要的是R(t)的比值。甚至在有些专著中为方便起见，常将今天的尺度因子)(0t R 取为１。

由此式可知，若宇宙是不断膨胀的，则)(0t R ＞)(1t R ，即ｚ＞０，我们观测到的遥远天体的光谱线都将发生红移。反之，若宇宙不断收缩，)(0t R ＜)(1t R ，即ｚ＜０，观测到的遥远天体的光谱线将发生蓝移。天文观测表明，除了一些近处的星系外，几乎所有的河外星系的谱线都发生了红移。

４．宇宙尺度因子R(t)反映了宇宙介质整体在膨胀的进程。

由上述的关系式 １＋ｚ＝10λλ＝)

()(10t R t R （１．７） 以及下图所示关系，即可推导出宇宙学中非常重要的红移－距离关系式。

（１）．红移－距离关系式的推导过程

在如下所示图中

B A O R R

)(10-━━━━━━━━━━━━━━━━━１Ｒ

━━

OB 为观察者所在星系Ｂ到视界Ｏ之间的尺度)(0t R

其中：

B 点 为观察者所在星系， A 点 为观察到的目标星系， O 点 为可观测宇宙的视界。 ━━OB 为观察者所在星系Ｂ到视界Ｏ之间的尺度)(0t R ；

━━OA 为被观察星系A 到视界O 之间之间的尺度)(1t R ；

━━AB 为观察者所在的星系Ｂ到被观察目标星系A 之间的尺度（跟距离有关系）

［)(0t R －)(1t R ］。

在以下的推导证明中，（)(0t R ＝)(0t R ，)(1t R ＝)(1t R ，以与图中的符号一致，问题本质不变）

由关系式（１．７） １＋ｚ＝10λλ＝)

()(10t R t R ，可以得到： )(0t R ＝)(1t R （１＋Z ）, 则)(1t R ＝)(0t R （

z

+11）， 从而有如下： )(0t R －)(1t R ＝)(0t R －)(0t R （z +11）＝)(0t R （１－z

+11）＝)(0t R （z z +-+111）＝)(0t R （z

z +1）， 即)(0t R －)(1t R ＝)(0t R （z z +1）； 设ｒ为我们与被观察星系之间的距离，则有：

ｒ＝)(0t R －)(1t R ＝)(0t R （

z z +1）， 即得到距离 ｒ＝)(0t R （z

z +1）。 （２）．)(0t R 取值的确定及讨论

根据现代宇宙学的研究成果，我们已能确定可观测宇宙的视界的大小。目前已经知道)(0t R 的表达式为，)(0t R ＝

H C ，其中Ｃ为真空中的光速，0H 为哈勃常数，其取值目前已测定的比较准确。