轴对称最值问题(讲义)(含答案)

轴对称最值问题（讲义）

➢课前预习

1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地

方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？

街道

居民区B 居民区A

➢知识点睛

1.轴对称最值问题基本结构分析

（1）求和最小：

①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段和（周长）最

小．

②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，

________________，利用两点之间线段最短进行处理．

例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．

B

A

l

（2）求差最大：

①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段差最大．

②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，

__________________，利用三角形两边之差小于第三边进行处理．

例题：在直线l上找一点P，使得在直线两侧的点A，B到点P的距离之差AP BP

最大．

A

B

l

2. 解决几何最值问题的理论依据：

①___________________________________（已知两个定点）

②___________________________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________________________（已知两边长固定或其和、差固定）

➢ 精讲精练

1. 某平原上有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向

这两个村庄供水，某同学用直线l （虚线）表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）

A ．M

l

B ．

M

Q P

l

C ．

l

D

．

l

2. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一

点R ，使△PQR 的周长最小．

P

E

D

C B A

第2题图 第3题图

3. 如图所示，正方形ABCD 的边长是5，在正方形内作等边

△ABE ，P 为对角线AC 上的一动点，则PD +PE 的最小值为__________． 4. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动

点，E 是AC 边的中点．当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．

F

E

D

C B A

M F

E

D C B A

第4题图 第5题图

5. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平

分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．

6. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，P 是CD 边上的一动点，要使

PA +PB 的值最小，则点P 应满足的条件是（ ） A ．PB =PA B ．PC =PD C ．∠APB =90°

D ．∠BPC =∠APD

7. 如图，已知点P 为∠O 内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长

最小的是（ ）

D

C B

A

A．

P

O B

A

B．

P

O B

A

C．

P

O B

A

D．P2

P1

P

O B

A

8.已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边

AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．

9.如图，M为∠AOB内一定点，E，F分别是射线OA，OB上一点，当△MEF周长

最小时，若∠OME=40°，则∠AOB的度数为__________．

B

O

10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点

M，N．当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为__________．

A B

C

D M

N

D

C

B

A

11. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动

点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．

12. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ，若

M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

M

N

D

C

B

A

B

C

D A

M

N

第12题图 第13题图

13. 如图，正方形ABCD 的边AB =8．在线段AC ，AB 上各有一动点M ，N ，则BM +MN 的最小值是__________．

14. 如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，已知AB =5，点P 在直线MN 上运动，则

|PA -PB |的最大值为_________．