8流体力学-第八章 气体一维定常流动
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气体的一维定常流动复习-文档资料
连续性方程 一维定常流的连续 性方程式
A C
取对数后微分得
d dv dA 0 v A
能量方程
由热力学,单位质量气体的焓可以表示为：
c c p p pp p h c T p R c c 1 p V
对于气体的一维定常绝热流动，质量力 可以忽略，所以有
第六章 气体的一维定常流动
本章的任务是讨论完全气体一维定常流动， 另外还讨论一维定常等截面摩擦管流和等截面 换热管流。
第一节 气体一维流动的基本概念
一、气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S
p p ( V ,T )
E E ( V ,T )
熵
SS ( V ,T )
上述方程为热状态方程，或简称为状态方程。
p2
2
T2
c dv
p1
1
T1
活塞以微小的速度dv向右 运动,产生一道微弱压缩波, 流动是非定常的
选用与微弱扰动波一起运动的相 对坐标系作为参考坐标系,流动转 化成定常的了
由连续方程
d c d A v cA 0 1 1
(1)
1 1
dv 略去二阶微量 cd 1
c
p
完全气体状态方程
RT
v2 RT h 0 -1 2
等熵指数。
第四节 气流的三种状态和速度系数
气体在运动过程中有速度为零和以声速运动的 状态，为了计算分析问题起见，还假定一种热力 学温度为零的极限状态。 在这三种状态下，可推导出一些极具应用价值 的公式；本节建立气体在三种状态下的有关计算 公式，并介绍与此相关的速度系数。
当Ma=1时， 90°，达到马赫锥的极限位 置，即图（c）中AOB公切面，所以也称它为 马赫锥。当Ma＜1时，微弱扰动波的传播已无 界，不存在马赫锥。
A C
取对数后微分得
d dv dA 0 v A
能量方程
由热力学,单位质量气体的焓可以表示为：
c c p p pp p h c T p R c c 1 p V
对于气体的一维定常绝热流动，质量力 可以忽略，所以有
第六章 气体的一维定常流动
本章的任务是讨论完全气体一维定常流动， 另外还讨论一维定常等截面摩擦管流和等截面 换热管流。
第一节 气体一维流动的基本概念
一、气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S
p p ( V ,T )
E E ( V ,T )
熵
SS ( V ,T )
上述方程为热状态方程，或简称为状态方程。
p2
2
T2
c dv
p1
1
T1
活塞以微小的速度dv向右 运动,产生一道微弱压缩波, 流动是非定常的
选用与微弱扰动波一起运动的相 对坐标系作为参考坐标系,流动转 化成定常的了
由连续方程
d c d A v cA 0 1 1
(1)
1 1
dv 略去二阶微量 cd 1
c
p
完全气体状态方程
RT
v2 RT h 0 -1 2
等熵指数。
第四节 气流的三种状态和速度系数
气体在运动过程中有速度为零和以声速运动的 状态，为了计算分析问题起见，还假定一种热力 学温度为零的极限状态。 在这三种状态下，可推导出一些极具应用价值 的公式；本节建立气体在三种状态下的有关计算 公式，并介绍与此相关的速度系数。
当Ma=1时， 90°，达到马赫锥的极限位 置，即图（c）中AOB公切面，所以也称它为 马赫锥。当Ma＜1时，微弱扰动波的传播已无 界，不存在马赫锥。
一维气体流动
§6.2 微弱扰动在空间的传播
马赫锥
• 倘若气流是非直匀的超声速流，即流线是弯曲的， 流动参数也是不均匀的，则当一个微弱扰动波发 生之后，它不仅随气流沿着弯曲的路线向下游移 动，而且它相对于气流的传播速度也随当地的声 速而异。
§6.2 微弱扰动在空间的传播
马赫锥
• 如果微弱扰动源以亚声速、声速或超声速在静止 的气体中运动，则微弱扰动波相对干扰动源的传 播，同样会出现图9－1所示的情况。
在某瞬时t，激波推进至2-2截面，又经t时间，推 进至1-1截面，两截面间距离为x。 选取1-1、2-2二截面和他们之间的管壁为控制面。 对其应用积分形式的基本方程。
§6.4.2 激波前后气流参数的变化
• 连续性方程：
2 1 Aδx
• 动量方程：
δt
2
Av g 0
正激波：波面与气流方向相垂直的平面激波。
激波
斜激波：波面与气流方向不垂直的平面激波。
曲激波：波形是弯曲的。
§6.4.1 激波的定义、分类和形成
四、正激波的形成（0 t1）
§6.4.1 激波的定义、分类和形成
四、正激波的形成
后面的微弱压缩波总比它前面的微弱压缩波传播得快
§6.4.1 激波的定义、分类和形成
2 Aδxvg
δt
2 Av p1 p2 A
2 g
§6.4.2 激波前后气流参数的变化
联立求解得：
2 p2 p1 vs 1 1 2
1 2
c1 2 1 2 1
p2 1 p1 2 1 1
§6.3.1
1 2 h v h0 2
气体动力学基础
21
（1）滞止焓h0
h —— 静焓； h0 —— 总焓
（2）滞止温度T0 据h0 = cpT0，而cp= 常数，故
h0 T0 cp
1 2 h0 h v 常数 2
为常数
2
v —— 动温 T0 —— 称为总温；T —— 静温； 2c p 运动物体表面温度升高，即使无摩擦也会升高。
22
（3）滞止音速c0
vmax
2 2h0 kRT0 k 1
T=0
c kRT
c＝0
实际上不可能达到极限参数，但可作为 参考值
24
3 临界状态和临界参数
v c 气流速度由小变到大和当地 音速由大（滞止温度时当地 音速最大）变到小的过程中， 气流速度恰好等于当地音速 时的参数称为临界参数，有 Ma＝1。该状态称为临界状 极限 crit 滞止 态。以下标crit表示。
k
——称为绝热指数（比热容比），对于双 原子分子，如空气，k=1.4 cv R = cp－cv ——称为气体常数。 对于空气，R=287 J/kg.K R kR cV cp 4 k 1 k 1
cp
二熵
定义： dS
q
q
T 为微小过程单位质量气体吸收的热量。
理想气体状态方程：
对于任意s轴上的一微元ds —— 任一方向
dvs 1 p fs dt s
dvs vs vs ds vs vs vs dt t s dt t s
对于一维定常流动，有
p d p s d s
vs dvs s ds
vs 0 t
14
dvs 1 p fs dt s
27
第三节 激波
弱扰动的传播速度——音速 强扰动的传播速度——大于音速 一 激波的概念和类型 1 激波：超音速气流在流过障碍物或受到突然压 缩时出现的特殊的物理现象，是一种强烈的压缩 波，又称冲击波。 注：亚音速气流不会出现激波。激波以比音速大 得多的速度传播。 激波的厚度：与气体分子的平均自由程是同一数 量级，约为10－4～10－5mm
（1）滞止焓h0
h —— 静焓； h0 —— 总焓
（2）滞止温度T0 据h0 = cpT0，而cp= 常数，故
h0 T0 cp
1 2 h0 h v 常数 2
为常数
2
v —— 动温 T0 —— 称为总温；T —— 静温； 2c p 运动物体表面温度升高，即使无摩擦也会升高。
22
（3）滞止音速c0
vmax
2 2h0 kRT0 k 1
T=0
c kRT
c＝0
实际上不可能达到极限参数，但可作为 参考值
24
3 临界状态和临界参数
v c 气流速度由小变到大和当地 音速由大（滞止温度时当地 音速最大）变到小的过程中， 气流速度恰好等于当地音速 时的参数称为临界参数，有 Ma＝1。该状态称为临界状 极限 crit 滞止 态。以下标crit表示。
k
——称为绝热指数（比热容比），对于双 原子分子，如空气，k=1.4 cv R = cp－cv ——称为气体常数。 对于空气，R=287 J/kg.K R kR cV cp 4 k 1 k 1
cp
二熵
定义： dS
q
q
T 为微小过程单位质量气体吸收的热量。
理想气体状态方程：
对于任意s轴上的一微元ds —— 任一方向
dvs 1 p fs dt s
dvs vs vs ds vs vs vs dt t s dt t s
对于一维定常流动，有
p d p s d s
vs dvs s ds
vs 0 t
14
dvs 1 p fs dt s
27
第三节 激波
弱扰动的传播速度——音速 强扰动的传播速度——大于音速 一 激波的概念和类型 1 激波：超音速气流在流过障碍物或受到突然压 缩时出现的特殊的物理现象，是一种强烈的压缩 波，又称冲击波。 注：亚音速气流不会出现激波。激波以比音速大 得多的速度传播。 激波的厚度：与气体分子的平均自由程是同一数 量级，约为10－4～10－5mm
流体力学——定常流动
P0
A
h
B
图6 小孔流速
例2：流量计（汾丘里管）原理
H
v1 主管 细管
v2
图7流量计原理
如图7所示，它是一段中间细，两头粗的管子， 水平安装在待测管道中，求体积流量Q。
V1 、V2 分别表示粗部S1 、细部S2 处的流速，P1 、 P2分别表示粗部S1 、细部S2 处的压强 V2 > V1 ，P1> P2，P1 — P2 =ρgH 根据连续性原理，有V1 S1= V2S2
S2 S2’ S1 S1’
v2
v1
h2
h1
图5 推导伯努利方程
由于理想流体不可压缩有：Δm1=Δm2=Δm Δt时间内动能变化： ΔEk=1/2Δm V22 —1/2Δm V12 Δt时间内外力作功 S1处，压力f1=P1 S1 ，正功W1= f1V1Δt S2处，压力f2=P2 S2 ，负功W2= - f2V2Δt 重力作负功：W3= -Δm g(h2—h1) 总功W= P1S1V1Δt-P2S2V2Δt-Δmg(h2-h1) 根据连续性原理，V1S1=V2S2=Δm/ρΔt 综合上式有，W=(P1 -P2)Δm/ρ-Δmg(h2—h1)
（4）式就是伯努利方程。
伯努利方程的物理意义：
P：单位体积流体通过细流管截面时，压力所作的功。 又称流体单位体积的压力能。 1/2ρV2：流体单位体积所具有的动能。 ρgh：流体单位体积所具有的势能。
物理意义：对于细流管中定常流动的理想流体， 单位体积的压力能、动能、势能三者之和保持 不变。
伯努利方程的应用 例1：小孔流速的计算。 如图6.6所示，大桶侧壁 有一小孔，桶内盛满了 水，求水从小孔流出的 速度。 AB两点之间为一条流线 P0+ρv2/2 = P0+ρgh V = （2gh）1/2
流体力学 8一维圆管流动
例8.4-汪165
一直径为d的水平直管从水箱引水，已知：管径d=0.1m，
管长L=50m，H=4m，进口局部水头损失系数1=0.5，阀 门局部水头损失系数2=2.5，在相距为10m的1-1断面及22断面间设有一水银压差计，其液面差h=4cm，试求通过
水管的流量Q。
[解] 以管轴水平面为基准
面，1-1和2-2断面之间，
（3）已知管长、地形及输送某种液体的流量，要求设计最 经济的管径——已知Q，L，p，求d。
管道直径可根据推荐的管内流速v来计算，见表8.4。
5.1 短管
z1
p1
v12 2g
z2
p2
v22 2g
h
孔板流量计
2V22
2g
z2 hf
h
• 圆管层流运动中， 2
• 圆管湍流运动中， 1.05 ~ 1.10
• 在工程实际计算中，由于动能本身占比例较小， 一般常取 1
p1
V12 2g
z1
p2
V22 2g
z2
hf
h
损失水头
第二节. 沿程水头损失 （frictional head loss）
（1）湍流光滑区
4000 Re 26.98(d / )8/7
7
d
Re
8
26.98
（2）湍流平方阻力区
Re 4160 (d / 2)0.85
1
d 2 Re 0.85 4160
第三节. 局部水头损失 （local head loss）
由于管道横截面或流线方向的突然改变，加速或减速，流 动脱离管壁或其它界面等情况引起的水头损失，称为局部 水头损失。
V12 2g
p1
z1
工程流体力学第八章
G 2V2 A2
k p2 k 1 V2 2 RT0 [1 ( ) ] k 1 p0
P1,T1 V1=0
k
环境压强,P3 2 2
s
p3 p* (3) 超临界 p0 p0
p2=p*≠p3,Ma2=1, G=Gmax,气体在喷嘴出口未完全膨胀 壅塞现象 ：对于一给定的收缩喷嘴，当环境压力p3下
一、声速与马赫数 1 声速
声速（a）是小扰动压力波在静止介质中的传播速
度,反映了介质本身可压缩性的大小。
dF dV B p1=p+dp V1=dv 1=+d dV
dF dV A
p,,V=0
A
B
若活塞间流体不可压：扰动 瞬时传递到B,声速a→∞
若活塞间流体可压：
dF A p1,1 V=dV p, V=0 B 扰动后 扰动前 x
降到临界压力时，它的流量就达到最大。继续减小p3不
再影响喷嘴内的流动，流量也不改变。
例8－1： 大容器内的空气通过收缩喷嘴流入绝对压强为 50kpa的环境中，已知容器内的温度是1500C，喷嘴出口 直径为2cm，在喷嘴出口气流速度达到声速，容器罐内 的压强至少为多少？并计算相应的质量流量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP3 2 2
3 Ma=1. (扰动源以音速向左运动）
马赫线
扰动不可 到达区/寂 静区
t=0
(
c ) Ma=1
扰动中心
即：扰动源运动马赫数为1时，扰动不能传播到扰动源 的前方，在其左侧形成一个寂静区。
当扰动源静止，来流以音速自左向右运动：
马赫线 V=a t=0
扰动不可到达 区/寂静区
p1=p+dp 1=+d V1=dv
k p2 k 1 V2 2 RT0 [1 ( ) ] k 1 p0
P1,T1 V1=0
k
环境压强,P3 2 2
s
p3 p* (3) 超临界 p0 p0
p2=p*≠p3,Ma2=1, G=Gmax,气体在喷嘴出口未完全膨胀 壅塞现象 ：对于一给定的收缩喷嘴，当环境压力p3下
一、声速与马赫数 1 声速
声速（a）是小扰动压力波在静止介质中的传播速
度,反映了介质本身可压缩性的大小。
dF dV B p1=p+dp V1=dv 1=+d dV
dF dV A
p,,V=0
A
B
若活塞间流体不可压：扰动 瞬时传递到B,声速a→∞
若活塞间流体可压：
dF A p1,1 V=dV p, V=0 B 扰动后 扰动前 x
降到临界压力时，它的流量就达到最大。继续减小p3不
再影响喷嘴内的流动，流量也不改变。
例8－1： 大容器内的空气通过收缩喷嘴流入绝对压强为 50kpa的环境中，已知容器内的温度是1500C，喷嘴出口 直径为2cm，在喷嘴出口气流速度达到声速，容器罐内 的压强至少为多少？并计算相应的质量流量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP3 2 2
3 Ma=1. (扰动源以音速向左运动）
马赫线
扰动不可 到达区/寂 静区
t=0
(
c ) Ma=1
扰动中心
即：扰动源运动马赫数为1时，扰动不能传播到扰动源 的前方，在其左侧形成一个寂静区。
当扰动源静止，来流以音速自左向右运动：
马赫线 V=a t=0
扰动不可到达 区/寂静区
p1=p+dp 1=+d V1=dv
8.可压缩流体定常流
v Ma c
流动状态划分
Ma < 1 Ma > 1 Ma ~ 1 Ma > 5 亚声速流动 超声速流动 跨声速流动 高超声速流动
第十三章 可压缩流体定常流动
第二节 微弱扰动在气体中的传播
(a)气体静止不动
(b)气流亚声速流动
(c)气流以声速流动
(d)气流超声速流动
第十三章 可压缩流体定常流动
第三节 气体一维定常流动的基本方程
二、动量方程
取图示控制体，应用定常流动量方程(3-29)式，略去二阶微 量，可得
无摩擦流
dp vdv 0
有摩擦流
dF dp vdv 0 A
第十三章 可压缩流体定常流动
第三节 气体一维定常流动的基本方程
三、能量方程
对于理想气体，焓的表达式可以写成 h c pT 这个方程称为量热状态方程。 理想气体有如下比热关系 R R cp cV 1 1
p RT
理想气体的气体常数
第十三章 可压缩流体定常流动
第一节 气体一维流动的基本概念
二、气体的比热容
定义：单位质量物质温度升高1K或1℃时所吸收的热量。 气体吸热时，其压强和体积（密度）都会变化，所以为了得 到唯一的比热容，必须规定吸热过程的性质； 要求气体吸热时其体积保持不变，可得到定容比热容cV； 要求气体吸热时其压强保持不变，可得到定压比热容cp； 定压比热容与定容比热容之比称为比热比，即 cp cV 对于完全气体，比热比就是等熵指数。
由声速公式，又有
第十三章 可压缩流体定常流动
第四节 气体流动的三种状态和速度系数
显然，与临界状态对应的马赫数 Ma=1 ，代入滞止参数与静 参数的关系，可得其他临界参数
气体的一维定常流动
1 1
1 2 1 M* 0 1
1 1
0 1 2 1 Ma 2
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
第六章 气体的一维定常流动
第五节 气流参数与通道截面 之间的关系
变截面一维定常等熵流动模型
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
v h h0 2
c v h0 1 2
2 2
2
v h0 1 2 v RT h0 1 2
p
2
2
cp p cp p p h R cp cV 1
§6-3 气体一维定常流动的基本方程
第六章 气体的一维定常流动
第四节 气体流动的三种状态 和速度系数
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
速度系数
速度系数的优点在于： 临界声速是常数，故速度系数与流动速度成 线性正比关系； 速度存在极限速度，故速度系数的极限是有 限值。
vmax 1 M *max ccr 1
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
滞止状态
气流速度减到零时的状态称为滞止状态，对应 的流动参数称为滞止参数或总参数。 能量方程可以写为
1 v2 v2 T T T0 R 2 2cp
c
1 2 1 M* 0 1
1 1
0 1 2 1 Ma 2
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
第六章 气体的一维定常流动
第五节 气流参数与通道截面 之间的关系
变截面一维定常等熵流动模型
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
v h h0 2
c v h0 1 2
2 2
2
v h0 1 2 v RT h0 1 2
p
2
2
cp p cp p p h R cp cV 1
§6-3 气体一维定常流动的基本方程
第六章 气体的一维定常流动
第四节 气体流动的三种状态 和速度系数
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
速度系数
速度系数的优点在于： 临界声速是常数，故速度系数与流动速度成 线性正比关系； 速度存在极限速度，故速度系数的极限是有 限值。
vmax 1 M *max ccr 1
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
滞止状态
气流速度减到零时的状态称为滞止状态，对应 的流动参数称为滞止参数或总参数。 能量方程可以写为
1 v2 v2 T T T0 R 2 2cp
c
《气体动力学》课件-一维定常流的基本方程
gAdz Adp Ffric AVdV 曲线流管微段
gz dp p V 2 2
无粘性曲线流管
气体动力学基础_1
10
2.3应知的流体力学定义、定律方程
能量方程
m dq m pdv m du
（闭口系统＝）体系，无流动
• •
•
QW s m
g
z2 z1
h（2稳定h流1动的开V口22系2统V＝12）有 限控制体，定常流动
International Civil Aeronautical Organization 确定为ISA
气体动力学基础_1
5
2.1 应知的流体力学基本概念
描述流体运动的两种方法及基本概念
研究流体运动方法
拉格朗日法（体系） 积分法 欧拉法（控制体） 微发法
体系指某些确定物质的集合；通过边界与体系外物质（环境）分开。 边界上可有动量和能量的交换，但无质量交换。边界随流体运动。
气体动力学基础_1
21
例2-1 吸气式喷气发动机的推力公式
[解]：控制体受各力在x方向的合力为
R pa A0 pa Ae Ae pe Ae R Ae pe pa
x方向的动量变化率为
m V bg e mV
由动量方程得
R
Ae
pe
pa
m bg
Ve
mV
则发动机对控制体内气流的作用力 ：
2.4 国际标准大气
因大气密度ρ是变量且与p、T 有关，我们可用静平衡微分方
程把压强随高度下降的规律推导出来。
某个高度上的大气压强可以看作是面积 为1米2的一根上端无界的空气柱的重量 压下来所造成的 ，在如图坐标系中考虑 某高度上的单位质量空气微元，其受到 的彻体力分量为：
第八章 气体的一维流动
c 1.4 287T 20.1 T m s
二、马赫数 1、马赫数的定义：气体流动速度 v 与其本身(该 介质中) 的声速 c 之比。 记为：Ma = v / c 马赫数反映了气体的可压缩性程度，是气体 可压缩性效应的一个重要度量。
气体动力学依据马赫数对可压缩气体流动进行分类: Ma 1 即 v c， 为亚声速流动； Ma 1 即 v c， 为(跨)声速流动(兼有亚 声速区和超声速区)； Ma >1 即 v > c， 为超声速流动。
采用拉瓦尔喷管可获得超声速气流。拉瓦尔喷 管由收缩管段、喉部、及扩张管段组成。
§8−2 声速和马赫数（两个重要参数） 压缩性的大小常常以声速判断，压缩性效应 的度量又往往用马赫数。
一、声速 声速 —— 微小扰动在气体（介质）中的传 播速度。以字母 c 表示。 1、微小扰动波的传播过程 微小扰动波的传播方向与流体质点的运动 方向是一致的，但 c >> dv。
v=0
v c， Ma 1 (亚声速)
v = c Ma = 1 （跨声速）
v>c
Ma > 1（超声速）
（4）扰动源以大于声速的速度运动， 即：v > c Ma > 1（超声速）。 扰动源将永远走在所产生的扰动之前。 马赫锥 —— 扰动波面形成的一个空间圆面。 马赫角 —— 马赫锥半顶角。 sin = c / v = 1 / Ma 在不可压缩流体中，由于声速接近无穷大， 扰动将立刻传至各处，扰动源永远不会到达扰动 波的前方。在可压缩流体中，当Ma≪1时，扰动 的传播特征与不可压缩流体相近，因此，对于低 速流体，可以按不可压缩流体来处理。
§8−1 一元气流的基本方程和流动特性 一、理想气体一元定常流动的基本方程
《气体动力学》课件-一维定常管流 (2)
Ma>1 增大 增大 增大 减少 减少
单纯的摩擦不能使亚声气流变为超声，也不能使超声
气体动力学基础_1
气流变为亚声 15
4.7 摩擦管流——积分解
➢思路：先求 Ma=Ma (fdx)的解，然后求解其他参数
➢ 在管内任取两个截面1、2，之间距离 为L ，求解1和2截面气流参数关系
dMa2 Ma 2
kMa2[1 (k 1) 2
p
V
T h
p dp
V dV d
T dT h dh
能量方程
c
pdT
d
V2 (
2
)
0
连续方程
V const
气体动力学基础_1
dT T
k 1 Ma2 2
dV 2 V2
0
d 1 dV 2
2
V2
0
10
4.7 摩擦管流
动量方程
Adp wdsw m dV
A D2 dSw Ddx 4
p
2(1 Ma2 )
4f D
d
kMa 2
dx
2(1 Ma2 ) 4 f D
dT k(k 1)Ma4 dx T 2(1 Ma2 ) 4 f D
dV V
kMa 2 2(1 Ma2 ) 4 f
dx D
dMa 2 Ma 2
kMa2[1 (k 1) 2
1 Ma2
Ma2 ] 4f
dx D
气体动力学基础_1
25
4.8 换热管流
等截面换热管流基本物理模型
q
T* p
V
dx
T * dT * p dp d
V dV
➢ 假定加热前后气体成分不变、比热比不变、质量不变 ➢ 加热视作单纯的 T* 改变
最新流体力学第八章气体的一元流动课件.doc
第8 章气体的一元流动一、学习的目的和任务1．掌握可压缩气体的伯努利方程2．理解声速和马赫数这两个概念3．掌握一元气体的流动特性，能分析流速、流通面积、压强和马赫数等参数的相互关系4．掌握气体在两种不同的热力管道（等温过程和绝热过程）的流动特性。
二、重点、难点1．重点：声速、马赫数、可压气体的伯努利方程、等温管道流动、绝热管道流动2．难点：声速的导出、管道流动参数的计算由于气体的可压缩性很大，尤其是在高速流动的过程中，不但压强会变化，密度也会显著地变化。
这和前面研究液体的章节中，视密度为常数有很大的不同。
气体动力学研究又称可压缩流体动力学，研究可压缩性流体的运动规律及其应用。
其在航天航空中有广泛的应用，随着研究技术的日益成熟，气体动力学在其它领域也有相应的应用。
本章将简要介绍气体的一元流动。
8.1 气体的伯努利方程在气体流动速度不太快的情况下，其压力变化不大，则气体各点的密度变化也不大，因此可把其密度视为常数，即把气体看成是不可压缩流体。
这和第四章研究理想不可压缩流体相似，所以理想流体伯努利方程完全适用，即2 2p u p u1 12 2z z1 2 2 2g g g g(8.1-1)上式中p1, p2——流体气体两点的压强；u 1,u2——流动气体两点的平均流速在气体动力学中，常以g 乘以上式（8.1-1）后气体伯努利方程的各项表示称压强的形式，即1892 2u u1 2p gz p gz (8.1-2) 1 1 2 2 2 2由于气体的密度一般都很小，在大多数情况下g z 和gz2 很相近，故上式(8.1-2)就1可以表示为2 2u u1 2p p (8.1-3)1 2 2 2前面已经提到，气体压缩性很大，在流动速度较快时，气体各点压强和密度都有很大的变化，式(8.1-3) 就不能适用了。
必须综合考虑热力学等知识，重新导出可压缩流体的伯努利方程, 推导如下。
如图8-1 所示，设一维稳定流动的气体，在上面任取一段微小长度ds ，两边气流断面1、2 的断面面积、流速、压强、密度和温度分别为 A 、u、p、、T ；A dA 、u du 、p dp 、 d 、T dT 。
定常一维可压缩气流
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8.2 定常一维可压缩气流的基本方程组
• 对式（8-8）积分，得 • 该式说明，定常一维可压缩气流单位时间流过任一截面的质量都相等。 • 2. 运动方程 • 动量方程的一般形式为
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8.2 定常一维可压缩气流的基本方程组
• 定常流动情况下，式中左端第一项为零，对于气流而言，质量力可以
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8.3 定常一维等熵流动
• 8.3.1 方程组
• 连续方程反映流动过程中质量守恒的普遍规律以及流动须满足的连续 性条件，它与流动的热力学过程无关。因此，定常一维等熵流动的连 续方程仍为式（8−10）。因在绝热流动条件下，qH=0，故能量方程 式（8−13）变为
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8.3 定常一维等熵流动
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8.2 定常一维可压缩气流的基本方程组
• 对于管道中的定常可压缩气流，如果管道中心线的曲率不大，横截面 的形状和面积沿中心线无急剧变化，则可认为界面上各点的流动参数 相等，或者可用截面上的平均流动参数代替截面上各点的流动参数， 即流动可按一维流动来处理，这样既反映了问题的本质，同时又使研 究大大简化了。
• 4. 状态方程 • 如果气体与液化或离解、电离状态不是很接近，也就是说，气体的压
强和温度不是太高或太低，气体分子间的吸引力及分子自身的体积效 应可以忽略不计，则可以把气体近似看作完全气体（热力学中称为理 想气体，因为“理想”这一术语已用于无黏性流体，故在此称为完全 气体）。完全气体的状态方程为
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• 对上式积分得 • 该式不但适用于等熵流动，同样也适用于绝热但非等熵过程的流动。 • 可逆过程流动意味着不存在气体微团之间的内摩擦以及气流与管壁之
8.2 定常一维可压缩气流的基本方程组
• 对式（8-8）积分，得 • 该式说明，定常一维可压缩气流单位时间流过任一截面的质量都相等。 • 2. 运动方程 • 动量方程的一般形式为
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8.2 定常一维可压缩气流的基本方程组
• 定常流动情况下，式中左端第一项为零，对于气流而言，质量力可以
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8.3 定常一维等熵流动
• 8.3.1 方程组
• 连续方程反映流动过程中质量守恒的普遍规律以及流动须满足的连续 性条件，它与流动的热力学过程无关。因此，定常一维等熵流动的连 续方程仍为式（8−10）。因在绝热流动条件下，qH=0，故能量方程 式（8−13）变为
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8.3 定常一维等熵流动
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8.2 定常一维可压缩气流的基本方程组
• 对于管道中的定常可压缩气流，如果管道中心线的曲率不大，横截面 的形状和面积沿中心线无急剧变化，则可认为界面上各点的流动参数 相等，或者可用截面上的平均流动参数代替截面上各点的流动参数， 即流动可按一维流动来处理，这样既反映了问题的本质，同时又使研 究大大简化了。
• 4. 状态方程 • 如果气体与液化或离解、电离状态不是很接近，也就是说，气体的压
强和温度不是太高或太低，气体分子间的吸引力及分子自身的体积效 应可以忽略不计，则可以把气体近似看作完全气体（热力学中称为理 想气体，因为“理想”这一术语已用于无黏性流体，故在此称为完全 气体）。完全气体的状态方程为
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• 对上式积分得 • 该式不但适用于等熵流动，同样也适用于绝热但非等熵过程的流动。 • 可逆过程流动意味着不存在气体微团之间的内摩擦以及气流与管壁之
气体的一维定常流动
c
vmax c0 c v 1 2 2 1
2
2
2
2
c0
vmax v
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
临界状态
流体等熵膨胀时，当 v=c 时， Ma=1 ，该状态称 为临界状态。
2 1 ccr c0 vmax 1 1 2RT0 ccr RTcr 1
基本假设： 完全气体一维定常流动； 截面积变化是影响流动变化的唯一因素； 忽略摩擦、传热、质量力等因素； 流动是等熵流动。
微弱扰动的传播
若气体静止，而扰动源以亚声速、声速、超声 速运动，则扰动波的传播规律仍是类似的。 微弱扰动在亚声速流动中可以传遍全流场，而 在超声速流中只能向下游传播，并被限制在马 赫锥之内，这是两者的最重要区别。
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
第六章 气体的一维定常流动
第三节 气体一维定常流动 的基本方程
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
速度系数
马赫数与速度系数的关系
2 2 M* 1 Ma 2 1 2 1 M* 1
M* < 1 M* = 1 M* > 1
1 1
亚声速流动 声速流动 超声速流动
M*
1
M*
2
1
1
2
2
Ma 2 Ma
2
1
气体一维定常流动的基本方程
第七章
第一节 第二节 第三节
气体一维高速流动
微弱扰动波的传播 气体一维定常等熵流动 气体一维定常等熵变截面管流 正激波
第四节
前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体， 即使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况 下，可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压 缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在 该气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。 例如空气的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的 声速343m/s要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。 所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近 似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。 当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过 声速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化， 以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。 气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中 应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基 本的知识。
图7-1 微弱扰动波的一维传播
显然，这是不定常流动。为了得到定常流动，可以 设想观察者随波面mn一起以速度c向右运动。气体相对 于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由c降为 c-dv，而压强由p升高到p+dp，密度和温度由 、T 增 加到 d 、T dT 。如图7-1(b)所示，取包围压缩波的 控制面，根据连续性条件，在 d t 时间内流入和流出该 控制面的气体质量应该相等，即
2．亚声速流场(V<c)
在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s 末的传播情况如图7-2(b)所示。由于扰动源本身以 速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对 速度不再是当地声速c，而是这两个速度的矢量 和。这样，球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播 就不对称了。但是由于V<c，所以微弱扰动波仍能 逆流传播，相对气流传播的扰动波面是一串不同心 的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的 损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流 场。也就是说，微弱扰动波在亚声速气流中的传播 也是无界的。
第一节 第二节 第三节
气体一维高速流动
微弱扰动波的传播 气体一维定常等熵流动 气体一维定常等熵变截面管流 正激波
第四节
前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体， 即使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况 下，可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压 缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在 该气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。 例如空气的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的 声速343m/s要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。 所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近 似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。 当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过 声速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化， 以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。 气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中 应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基 本的知识。
图7-1 微弱扰动波的一维传播
显然，这是不定常流动。为了得到定常流动，可以 设想观察者随波面mn一起以速度c向右运动。气体相对 于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由c降为 c-dv，而压强由p升高到p+dp，密度和温度由 、T 增 加到 d 、T dT 。如图7-1(b)所示，取包围压缩波的 控制面，根据连续性条件，在 d t 时间内流入和流出该 控制面的气体质量应该相等，即
2．亚声速流场(V<c)
在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s 末的传播情况如图7-2(b)所示。由于扰动源本身以 速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对 速度不再是当地声速c，而是这两个速度的矢量 和。这样，球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播 就不对称了。但是由于V<c，所以微弱扰动波仍能 逆流传播，相对气流传播的扰动波面是一串不同心 的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的 损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流 场。也就是说，微弱扰动波在亚声速气流中的传播 也是无界的。
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M数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小， 速度的变化不会引起气体温度的显著变化 ，对不可压流体来 说，不仅可以认为密度是常值而且温度T也是常值。
流动参数增加为四个：p、ρ、T、和u，
已经有了三个基本方程，它们是：状态方程、连续方程和理想 流的动量方程（即欧拉方程）。
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规
律
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总结
临界流速达到当地声速cf ,cr kpcr / cr
喷管 dcf>0
Ma<1 dA<0 渐缩
Ma=1 dA=0 临界截面
Ma>1 dA>0 渐扩
Ma<1→Ma>1 dA<0→dA>0 缩放（拉伐尔）
dc f d cf
Ma<1
dc f d cf
dc f d cf
dc f d cf
(c)
在的垂直平面的下游半空间(成为扰动
B
2 3
区)内传播，永远不可能传播到上游半
4
空间(成为寂静区)。
u+c0=2c0 →
3c
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22
2
4
二、亚、超声速流场中小扰动的传播特性
气流A超马声赫锥速流动 Ma>1
vc
vc
由的图扰可动o 见波，不2由 仅c 于 不3c能u>向c0上，游相传对播气，流反传而播被
2）对于气体等可压流，流速的变化取决于截面和密度的综合 变化。超音速时比体积的增加要大于流速的增大，因此，只 有增大通流面积才能保证通过一定不变的质量流量。
一、声速和马赫数
小扰动在弹性介质中的传播速度为声速，气体经历小扰动而压 缩及恢复过程并无能量损耗，作定熵过程处理，对理想气体：
c0
p
s
马赫数更高时，则要用等熵流方程计算。
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Examples of high speed flow
Ma=0.85
Ma=2.35
Ma=4
Ma=25
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马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即
u2
u2
动能 内能
2 cV T
2 k(k 1) Ma2 1p 2
k 1
sin u 1
c0 Ma
马赫角从90°[这时相当于扰动源以声速u=c0流动的情况，如图(c) 所示] 开始，随着马赫数的增大而逐渐减小。由于圆锥顶就是扰动 源，所以当物体以超声速运动时，它所引起的扰动不能传到物体的 前面。马赫锥外面的气体不受扰动的影响，微弱扰动波的影响仅在 马赫锥内部，即微弱扰动波不能向马赫锥外传播。这就说明了，为 什么以超声速飞行的弹丸在附着于它头部的波未到达观察者的耳朵 以前听不到声音的原故(P155[例8-3])。
快速的压强变化导致流场中产生压力波和/或膨胀波，影响气体 的流动。压力波和膨胀波在气流中的传播、反射、干扰等现象 多数都很复杂，并在一些情况下对流动产生不利影响。
密度发生较大变化的气体流动属于空气动力学范畴，例如透平 机械中的高速气体流动、飞机和火箭高速运动引起的空气流动、 爆炸引起的空气运动等。
能量转换的主要部件是一组喷管和一圈动叶，由它们组 合而成的工作单元，称为汽轮机的一个“级”。
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30
第三节 一维定常定熵流动气体动力学函数
一、滞止参数 连续性方程 能量方程
d dv dA 0 vA
h1
1 2
u12
h2
1 2
u22
h
1 u2 2
由热力学公式
静止气体中的传播是无界的。c
A 马赫锥
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20
二、亚、超声速流场中小扰动的传播特性 ←u-c0
气流亚声速流动
vc
Ma<12c 3c 4c
u+c0 →
4c 3c 2c
由于扰o动源本身以u运动，故微
o
弱扰动波在各个方向上传播的绝
对速度不再是当地声速c0，而是 (b)
这两个速度的矢量和。这样，球
o
气流带向扰动源的下游，所有扰动波面
是(c自) 扰动源点出发的圆锥面的一系列内(d)
2
切球面B ，23这个圆锥面就是马赫锥。马赫
3 4
锥内是扰4动区，锥外是寂静区。
A
马赫锥
3c 4c
B
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23
马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角， 称为马赫角，用θ表示。由图(d)可以容易地看出，马赫角θ 与马 赫数 Ma 之间的关系为
面扰动波在顺流和逆流方向上的
传播就不对称了。
2
4
但是由于u<c0，所以微弱扰动波仍能逆流传播，相对气流传播的扰
马赫动中锥波的面损是失一，串 随不 着同 时心 间的 的球延面续波，。扰如动果仍不可考以虑传微遍弱整扰 个动 流波 场在 。传 也播 就过 是程 说马，赫A锥
微弱扰动波在亚声速气流中的传播v也是c无界的。
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4
引言
基本方程
连续性方程 动量方程 能量方程
状态方程
可压缩流体
超声速流动
扩张管加速 壅塞 激波
应用
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物体绕流
喷管流
摩擦管和热交换管
5
第一节 一维定常流动方程
热力学基础知识
由稳定流动特点 qm1 qm2 qm uA const
d dA du 0 Au
7
二、动量方程（欧拉方程）
对于一维定常流动，由一般形式的动量积分方程
CS u(u n)dA F
得：
F qm(u2 u1)
而定常流动欧拉方程中忽略质量力项，可写出方程式如下微分 动量：
dp udu 0
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8
三、状态方程
由理想气体状态方程：
p RT
得微分形式：
dp d dT pT
14
标准状态（常压、288K）下，声速为340m/s（1224km/h），即使高 速公路上汽车行使的速度为122km/h，则它相对于空气运动的马赫数 Ma=0.1，此时按不可压流动计算得到的流动参数的相对误差不过1％， 对工程上来说足够精确。
因此，通常按照Ma对气体流动的研究进行如下分类：
1. 不可压流动。Ma<0.3，必要时应作压缩性修正。 2. 亚声速流动。0.3≤Ma ≤0.7，需要考虑压缩性。 3. 跨声速流动。0.7≤Ma ≤1.3，需要考虑压缩性、激波 4. 超声速流动。1.3≤Ma ≤5，需要考虑压缩性、激波 5. 高超声速流动。Ma>5，连续介质模型通常不再适用
2
(a)
按完全气体关系式p=RρT，c R，T M=V/c，(a)式可改写为压强相对
变化形式
p0 p
1
1 2
p
V
2
1 2
V2 RT
1 2
V c2
2
12
Ma2
(b)
从等熵流伯努利方程（C5.3.8）式及等熵流状态参数关系式（C5.1.19） 式可推导得（参见C5.3.3节）
p0 p
(1
21Ma2)-1
( n )
n 0 p 定值
定压过程
n 1 pv 定值
定温过程
nk n
pvk 定值 v 定值
p1 nv 定值
定熵过程 定容过程
v 定值
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11
第二节 亚、超声速流动的基本性质
1）对于不可压流体（dρ= 0），如液体等，流体速度的改变 取决于截面的改变，截面积A与流速u成反比；
二、亚、超声速流场中小扰动的传播特性
气体静止不动 Ma=0
v0
2c 3c 4c
o
(a)
在静止流场中，扰动源产生的微弱扰动波以声速c向四周传播，形成
以扰动源所在位置为中心的同心球面波，微弱扰动波在4s末的传播
情况如图 (a)所示。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随
着时间的延续，扰动必将传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在
气体密度
截面面积 气流速度
上式称为稳定流动的连续性方程。它描述了流道内流体的
流速、密度和截面积之间的关系，表明：流道的截面面积增加
率，等于比体积增加率与流速增加率之差。
普遍适用于稳定流动过程(适用于任何工质，可逆or不可逆)。
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6
日常生活经验是的水的流通截面积增大，流速就降低，与连续性方程有点不同？
kpv
kRgT
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12
马赫数
Ma u c0
马赫数反映气体流动时压缩性影响的大小，是研究气体流动
特性的一个重要的数值。不同状态下，流速相同的流体未必表现
出相同的流动特性，但马赫数相等的流体的流动性质相同。
根据气流速度与当地声速之间的大小关系（即Ma数与1的大 小关系），把流动分为如下三种：
流体力学
第八章 气体一维定常流动
卢志民
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1
第八章 气体一维定常流动
1. 一维定常流动方程 2. 亚、超声速流动的基本性质 3. 一维定常定熵流动气体动力学函数 4. 激波和膨胀波 5. 气体在喷管和等截面管内的加速流动
2021/3/31
2
与液体相比，气体的显著特点是更具有压缩性：气体在高速流 动时，除压强外密度也随流速的增大而减小、随流速的减小而 增大，常归类为可压缩流体流动。
dc f d cf
Ma>1
Ma<1
Ma＝1
Ma>1
dA<0 渐缩
2021/3/31
dA>0 渐扩