8流体力学-第八章 气体一维定常流动

M数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小， 速度的变化不会引起气体温度的显著变化 ，对不可压流体来 说，不仅可以认为密度是常值而且温度T也是常值。
流动参数增加为四个：p、ρ、T、和u，
已经有了三个基本方程，它们是：状态方程、连续方程和理想 流的动量方程（即欧拉方程）。
2021/3/31
19
规
律
26
总结
临界流速达到当地声速cf ,cr kpcr / cr
喷管 dcf>0
Ma<1 dA<0 渐缩
Ma=1 dA=0 临界截面
Ma>1 dA>0 渐扩
Ma<1→Ma>1 dA<0→dA>0 缩放（拉伐尔）
dc f d cf
Ma<1
dc f d cf
dc f d cf
dc f d cf
(c)
在的垂直平面的下游半空间(成为扰动
B
2 3
区)内传播，永远不可能传播到上游半
4
空间(成为寂静区)。
u+c0=2c0 →
3c
2021/3/31
22
2
4
二、亚、超声速流场中小扰动的传播特性
气流A超马声赫锥速流动 Ma>1
vc
vc
由的图扰可动o 见波，不2由 仅c 于 不3c能u>向c0上，游相传对播气，流反传而播被
2）对于气体等可压流，流速的变化取决于截面和密度的综合 变化。超音速时比体积的增加要大于流速的增大，因此，只 有增大通流面积才能保证通过一定不变的质量流量。
一、声速和马赫数
小扰动在弹性介质中的传播速度为声速，气体经历小扰动而压 缩及恢复过程并无能量损耗，作定熵过程处理，对理想气体：
c0
p
s
马赫数更高时，则要用等熵流方程计算。
2021/3/31
17
Examples of high speed flow
Ma=0.85
Ma=2.35
Ma=4
Ma=25
2021/3/31
18
马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即
u2
u2
动能 内能
2 cV T
2 k(k 1) Ma2 1p 2
k 1
sin u 1
c0 Ma
马赫角从90°[这时相当于扰动源以声速u=c0流动的情况，如图(c) 所示] 开始，随着马赫数的增大而逐渐减小。由于圆锥顶就是扰动 源，所以当物体以超声速运动时，它所引起的扰动不能传到物体的 前面。马赫锥外面的气体不受扰动的影响，微弱扰动波的影响仅在 马赫锥内部，即微弱扰动波不能向马赫锥外传播。这就说明了，为 什么以超声速飞行的弹丸在附着于它头部的波未到达观察者的耳朵 以前听不到声音的原故(P155[例8-3])。
快速的压强变化导致流场中产生压力波和/或膨胀波，影响气体 的流动。压力波和膨胀波在气流中的传播、反射、干扰等现象 多数都很复杂，并在一些情况下对流动产生不利影响。
密度发生较大变化的气体流动属于空气动力学范畴，例如透平 机械中的高速气体流动、飞机和火箭高速运动引起的空气流动、 爆炸引起的空气运动等。
能量转换的主要部件是一组喷管和一圈动叶，由它们组 合而成的工作单元，称为汽轮机的一个“级”。
2021/3/31
29
2021/3/31
30
第三节 一维定常定熵流动气体动力学函数
一、滞止参数 连续性方程 能量方程
d dv dA 0 vA
h1
1 2
u12
h2
1 2
u22
h
1 u2 2
由热力学公式
静止气体中的传播是无界的。c
A 马赫锥
2021/3/31
20
二、亚、超声速流场中小扰动的传播特性 ←u-c0
气流亚声速流动
vc
Ma<12c 3c 4c
u+c0 →
4c 3c 2c
由于扰o动源本身以u运动，故微
o
弱扰动波在各个方向上传播的绝
对速度不再是当地声速c0，而是 (b)
这两个速度的矢量和。这样，球
o
气流带向扰动源的下游，所有扰动波面
是(c自) 扰动源点出发的圆锥面的一系列内(d)
2
切球面B ，23这个圆锥面就是马赫锥。马赫
3 4
锥内是扰4动区，锥外是寂静区。
A
马赫锥
3c 4c
B
2021/3/31
23
马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角， 称为马赫角，用θ表示。由图(d)可以容易地看出，马赫角θ 与马 赫数 Ma 之间的关系为
面扰动波在顺流和逆流方向上的
传播就不对称了。
2
4
但是由于u<c0，所以微弱扰动波仍能逆流传播，相对气流传播的扰
马赫动中锥波的面损是失一，串 随不 着同 时心 间的 的球延面续波，。扰如动果仍不可考以虑传微遍弱整扰 个动 流波 场在 。传 也播 就过 是程 说马，赫A锥
微弱扰动波在亚声速气流中的传播v也是c无界的。
2021/3/31
4
引言
基本方程
连续性方程 动量方程 能量方程
状态方程
可压缩流体
超声速流动
扩张管加速 壅塞 激波
应用
2021/3/31
物体绕流
喷管流
摩擦管和热交换管
5
第一节 一维定常流动方程
热力学基础知识
由稳定流动特点 qm1 qm2 qm uA const
d dA du 0 Au
7
二、动量方程（欧拉方程）
对于一维定常流动，由一般形式的动量积分方程
CS u(u n)dA F
得：
F qm(u2 u1)
而定常流动欧拉方程中忽略质量力项，可写出方程式如下微分 动量：
dp udu 0
2021/3/31
8
三、状态方程
由理想气体状态方程：
p RT
得微分形式：
dp d dT pT
14
标准状态（常压、288K）下，声速为340m/s（1224km/h），即使高 速公路上汽车行使的速度为122km/h，则它相对于空气运动的马赫数 Ma=0.1，此时按不可压流动计算得到的流动参数的相对误差不过1％， 对工程上来说足够精确。
因此，通常按照Ma对气体流动的研究进行如下分类：
1. 不可压流动。Ma<0.3，必要时应作压缩性修正。 2. 亚声速流动。0.3≤Ma ≤0.7，需要考虑压缩性。 3. 跨声速流动。0.7≤Ma ≤1.3，需要考虑压缩性、激波 4. 超声速流动。1.3≤Ma ≤5，需要考虑压缩性、激波 5. 高超声速流动。Ma>5，连续介质模型通常不再适用
2
(a)
按完全气体关系式p=RρT，c R，T M=V/c，(a)式可改写为压强相对
变化形式
p0 p
1
1 2
p
V
2
1 2
V2 RT
1 2
V c2
2
12
Ma2
(b)
从等熵流伯努利方程（C5.3.8）式及等熵流状态参数关系式（C5.1.19） 式可推导得（参见C5.3.3节）
p0 p
(1
21Ma2)-1
( n )
n 0 p 定值
定压过程
n 1 pv 定值
定温过程
nk n
pvk 定值 v 定值
p1 nv 定值
定熵过程 定容过程
v 定值
2021/3/31
11
第二节 亚、超声速流动的基本性质
1）对于不可压流体（dρ= 0），如液体等，流体速度的改变 取决于截面的改变，截面积A与流速u成反比；
二、亚、超声速流场中小扰动的传播特性
气体静止不动 Ma=0
v0
2c 3c 4c
o
(a)
在静止流场中，扰动源产生的微弱扰动波以声速c向四周传播，形成
以扰动源所在位置为中心的同心球面波，微弱扰动波在4s末的传播
情况如图 (a)所示。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的损失，随
着时间的延续，扰动必将传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在
气体密度
截面面积 气流速度
上式称为稳定流动的连续性方程。它描述了流道内流体的
流速、密度和截面积之间的关系，表明：流道的截面面积增加
率，等于比体积增加率与流速增加率之差。
普遍适用于稳定流动过程(适用于任何工质，可逆or不可逆)。
2021/3/31
6
日常生活经验是的水的流通截面积增大，流速就降低，与连续性方程有点不同？
kpv
kRgT
2021/3/31
12
马赫数
Ma u c0
马赫数反映气体流动时压缩性影响的大小，是研究气体流动
特性的一个重要的数值。不同状态下，流速相同的流体未必表现
出相同的流动特性，但马赫数相等的流体的流动性质相同。
根据气流速度与当地声速之间的大小关系（即Ma数与1的大 小关系），把流动分为如下三种：
流体力学
第八章 气体一维定常流动
卢志民
2021/3/31
1
第八章 气体一维定常流动
1. 一维定常流动方程 2. 亚、超声速流动的基本性质 3. 一维定常定熵流动气体动力学函数 4. 激波和膨胀波 5. 气体在喷管和等截面管内的加速流动
2021/3/31
2
与液体相比，气体的显著特点是更具有压缩性：气体在高速流 动时，除压强外密度也随流速的增大而减小、随流速的减小而 增大，常归类为可压缩流体流动。
dc f d cf
Ma>1
Ma<1
Ma＝1
Ma>1
dA<0 渐缩
2021/3/31
dA>0 渐扩
dA<0 dA=0 dA>0 缩放
27
工程举例1:引射式引射器压示意图 缩器——引 射 器
喷管 混合室
高压工作流体
p1
p2
扩压管
p2
被引射流体
2021/3/31
28
工程举例2:汽轮机的基本作功单元
亚声速 （Ma<1） 声速 （Ma=1）
超声速 （Ma>1）
2021/3/31
13
根据当地音速的概念，在高空飞行可达到高超音速的飞 机在海平面上达不到相同的马赫数？
是的，大气层的温度随高度下降，所以高空大气的当地声 速比海平面的小，故而同样的飞行速度在海平面上的马赫 数低于高空的马赫数！
2021/3/31
3. Ma＝1时，dA＝0，表明声速只发生在最小通流截面上，在Ma≈1时，
A的微小变化就有可能引起流速的巨大变化，因此，最小通流截面附近
的面积变化要缓慢，否则易导致流动的不稳定。
2021/3/31
25
p，u，c0， v
C
c 2021/3/31
喷
沿 流 动 方 向 的 变
管 内 工 质 各 参 数
化
(c)
2021/3/31
16
[例C5.3.2] 流动压缩性对伯努利方程的影响
按二项式公式展开
p0 p
1
-1(
-1 2
Ma2
)
1 2!
1(
-1-1)(
21Ma2)2
1
2
Ma2(1
1 4
Ma2
2- 24
Ma4
)
(d)
写成压强相对变化形式
p0 p
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
Ma2(1
1 4
Ma2
2-
24
Ma4
(e)
讨论：按(b)式和(e)式画的（p0/p-1）～Ma曲线如图CE5.3.2所示。 两者的差异由（e）括号中的关于Ma的幂级数决定，当Ma很 小 时 两 者 差 异 很 小 。 如 Ma=0.3 时 两 者 相 差 2.25℅ ， 说 明 将 Ma≤0.3的流动按不可压缩流体（Ma=0）处理是合理的。当
3c
2c
2021/3/31
o
21
3c
4c
二、亚、超声速流场中小扰动的传播特性
气流以声速流动
A 马赫锥
Ma=1
v c←u-c0=0
由图可见，由于u=c0，顺流方向上球 面波以2c0传播，逆流方向上速度为零，
o
2c
形成扰动源相切的一系列球面。随着时
间的延续，球面扰动波不断向外扩大， 但无论它怎样扩大，也只能在扰动源所
连续性方程的微分式表明，管道的截面积增加率，等于比体积增加率 与流速增加率之差。这与日常经验并不矛盾，对于不可压缩流体（例 如水、机油等），因而当流速增大时，管截面收缩；当流速减小时， 则要求流道截面扩张。而对于气体和蒸汽，喷管截面的变化规律不仅 取决于流速的变化，而且还与工质的密度变化有关。
2021/3/31
2021/3/31
15
[例C5.3.2] 流动压缩性对伯努利方程的影响
已知: 设完全气体从滞止状态开始流动。
求: 分别按不可压缩流体伯努利方程和等熵流动方程计算压强与马赫数 的关系式，并作比较。
解： 含滞止状态参数的不可压缩流体伯努利方程按例B4.3.1中(b)式可 写为（忽略重力）
p0
p
1 2
V
对于实际气体，需考虑压缩性
p ZRT
2021/3/31
9
四、稳定流动能量方程式
根据稳定流动能量方程式
q h 1 u2 gz w 2
其微元过程可写为：
流道的位置改变不大
dq dh udu gdz dw
绝热流动
无机械功流动
2021/3/31
10
五、过程方程
多变过程 特例
pvn 定值
2021/3/31
24
三、通流面积对气体流动的影响
d dA du 0 Au
dp udu 0
c02
dp
d
u2 Ma 2
dA (Ma2 1) du
A
u
d Ma2 du
u
1. Ma<1即亚音速流动，dA与du异号，表明通流面积减小即流速增大、 压强减小、密度减小；
2. Ma>1即超音速流动，dA与du同号，表明通流面积减小即流速减小、 压强增大、密度增大；通流面积增大即流速增大、压强减小、密度减小； 因为气体作超声速流动并加速时密度的减小大于流速的增大，因此，只 有增大通流面积才能保证通过一定不变的质量流量。