一次函数应用题求解策略(含答案)

中考中的一次函数应用题求解策略

1 试题概述

一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。

一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：⑴学生对数形结合的认识和理解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查。⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。

一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。⑷一次函数多种变量及其最值问题。

2 试题例析

2.1方案设计问题

⑴物资调运

例1.为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。

（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？

（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；

（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：

为即使将这批赈灾物资运往D 、E 两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

解析：本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并结合表格将数量关系进行整理，解决起来并不难。

⑴直接用一元一次方程求解。运往D 县的数量比运往E 县的数量的2倍少20吨，设运往E 县m 吨，则运往D 县（2m -20）吨，则m +（2m -20）=280，m =100，2m -20=180。（亦可用二元一次方程组求解）

⑵由⑴中结论，并结合题设条件，由A 地运往D 的赈灾物资为x 吨，可将相应数量关系列表如下：

表格说明：①A 、B 、C 、D 、E 各地后括号中的数字为调运量或需求量；

②表格中含x 的式子或数字，表示对应地点调运数量；

③表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。

确定调运方案，需看问题中的限制条件：①B 地运往D 县的赈灾物资数量小于A 地运往D 县的赈灾物资数量的2倍。②B 地运往E 县的赈灾物资数量不超过25吨。故：

解得 ∴40＜x ≤45 ∵x 为整数 ∴x 的取值为41，42，43，44，45 则这批救灾物资的运送方案有五种。

方案一：A 县救灾物资运往D 县41吨，运往E 县59吨；

B 县救灾物资运往D 县79吨，运往E 县21吨。 （其余方案略）

⑶设运送这批赈灾物资的总费用为y，由⑵中表格可知：

y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+200×60+210×20 =-10x+60800

∵y随x增大而减小，且40＜x≤45，x为整数，

∴当x=41时，y有最大值。

该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是：y=-10×41+60800=60390（元）

求解物资调运问题的一般策略：

⑴用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；

⑵根据表格中量的关系写函数式；

⑶依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；

⑷根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。

物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。

⑵方案比较

例2.（在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）。现有两种购买方案：

方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元；（总费用=广告赞助费+门票费）

方案二：购买方式如图2所示。

解答下列问题：

⑴方案一中，y与x的函数关系式为；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为，当x＞100时，y与x的函数关系式为。

⑵如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。

⑶甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？

解析：这是一个两种方案的比较问题。方案比较通常与不等式联系紧密。比较优惠条件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区间。

⑴中方案一的函数关系式，直接依题意写出：y1=60x+10000（x≥0）；方案二的函数关系由图象给出，用待定系数法求解。当0≤x≤100时，图象为过原点的线段，函数式为正比例函数，可求得y2=100x（0≤x≤100）；当x＞100时，图象为不过原点的射线，函数式为一次函数，过（100，10000），（150，14000），可求得y2=80x+2000（x＞100）。

⑵购买门票超过100张，比较那种方案最省，了先使y1=y2，求出此时x的值。然后利用不等式确定方案。

当y1=y2时，60x+10000=80x+2000，解得x=400，即购买400张门票，两种方案费用相同。

当y1＞y2时，解得x＜400，则当100＜x＜400时，选择方案二，总费用最省；

当y1＜y2时，解得x＞400，则当x＞400时，选择方案一，总费用最省。

⑶分两种情况讨论：（用方程求解）

①甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＜100）张，则乙买700-m张。

100m+60（700-m）+10000=58000 解得m=150（不合题意，舍去）

②甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＞100）张，则乙买700-m张

80m+2000+60（700-m）+10000=58000 解得m=200，700-m=500

求解方案比较问题的一般策略：

⑴在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。

⑵方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。

⑶方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。

方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。

2.2分段函数问题

⑴分段价格

例3.（2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以