多项式

第二章 多项式

§2.1一元多项式的定义和运算

1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：

!

)

)...(1()1(!

)

1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n

n

---=+---+--+

-

§2.2 多项式的整除性

1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x

3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且

()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g

4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式

()()

()()

()(),121211

n

k

n k n

k x x x x x x f ++++++=-++

这里k 和n 都是非负整数．证明：

()()()

.11|1

n k 1+++++-x x f x x k

7．证明：1-d x 整除1-n x 必要且只要d 整除.n §2.3 多项式的最大公因式

1. 计算以下各组多项式的最大公因式：

( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f

(ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=

2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f == 证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与

()x g 的一个最大公因式．

3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且

0≠-bc ad

证明：

()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++

4． 证明：

（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式； （ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。

5． 设()()22,242234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f 都是有理数域Q 上的多项式。求()()][,x Q x v x u ∈使得

()()()()()()).,(x g x f x v x g x u x f =+

6． 设.1),(=g f 令n 是任意正整数，证明：.1),(=n g f 由此进一步证明，对于任意正整数n m ,，都有.1),(=n m g f

7． 设.1),(=g f 证明：

.1),(),(),(=+=+=+g f fg g f g g f f

8． 证明：对于任意正整数n 都有).,(),(n n n g f g f =

9． 证明：若是()x f 与()x g 互素，并且()x f 与()x g 的次数都大于0，那么定理3.3.2里的()x u 与()x v 可以如此选取，使得()x u 的次数低于()x g 的次数，()x v 的次数低于()x f 的次数，并且这样的()x u 与()x v 是唯一的。

10． 决定k ，使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2+++的最大公因式是一次的。

11． 证明：如果()(),1),(=x g x f 那么对于任意正整数m ，

()()()1,=m

m

x g x f

12． 设()()x g x f ,是数域F 上的多项式。()x f 与()x g 的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式()x m ：

()a ()()x m x f 且()()x m x g ；

()b 如果)(x h ∈F[x]且()()()()x h x g x h x f ,，那么()().x h x m

()i 证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的

差别外，是唯一的。

()ii 设 ()()x g x f ,都是最高次项系数是1的多项式，令()()[]x g x f ,表示()x f 和

()x g 的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明 ()()()()()()()[]x g x f x g x f x g x f ,,=

13． 设()()(),1x f x f x g n 并且()()().1,,2,1,1,-==n i x f x g i 证明：()().x f x g n 14． 设()()()].[,,21x F x f x f x f n ∈ 证明：

()i ()()()()()()()()()()()().11,,,,,,,,12121-≤≤=+n k x f x f x f x f x f x f x f x f n k k n ()ii ()()()x f x f x f n ,,21 互素的充要条件是存在多项式()()()]

[,,21x F x u x u x u n ∈ 使得

()()()()()()12211=++x u x f x u x f x u x f n n

15． 设()()].[,,1x F x f x f n ∈ 令

()()()()(){}.1],[11n i x F x g x g x f x g x f I i n n ≤≤∈+=

比照定理1.4.2，证明：()()x f x f n ,,1 有最大公因式．[提示：如果()()x f x f n ,1不全为零，取()x d 是I 中次数最低的一个多项式，则()x d 就是()()x f x f n ,,1 的一个最大公因式．] §2.4 多项式的分解

1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：

()i ;132+x ().12223+--x x x ii

2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式14+x 为不可约因式的乘积.

3. 证明：()(),2

2

x f x g 当且仅当()().x f x g

4. ()i 求 ()1222345-++--=x x x x x x f 在][x Q 内的典型分解式；

()ii 求()61416161022345-+-+-=x x x x x x f 在][x R 内的典型分解式

5.证明：数域F 上一个次数大于零的多项式()x f 是][x F 中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意()],[x F x g ∈或者()()()1,=x g x f 或者存在一个正整数m 使得()().m

x g x f

6．设()x p 是][x F 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意

()()],[,x F x g x f ∈只要()()()x g x f x p 就有()()x f x p 或()(),x g x p 那么()x p 不可约. §2.5 重因式

1. 证明下列关于多项式的导数的公式：

()i ()()()()();x g x f x g x f '+'='+ ()ii ()()()()()()().x g x f x g x f x g x f '+'='

2. 设()x p 是()x f 的导数()x f '的1-k 重因式.证明：

()i ()x p 未必是()x f 的k 重因式；

()ii ()x p 是()x f 的k 重因式的充分且必要条件是()().x f x p

3. 证明有理系数多项式

()!

!212n x x x x f n

+++=

没有重因式.

4. b a ,应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

()i ;33b ax x ++

()ii

.44b ax x ++

5. 证明：数域F 上的一个n 次多项式()x f 能被它的导数整除的充分且必要条件是

()()n

b x a x f -=，

这里的b a ,是F 中的数

§2.6 多项式函数 多项式的根

1．设1532)(345+--=x x x x f ,求)2(),3(-f f .

2．数环R 的一个数c 说是][)(x R x f ∈的一个k 重根,如果)(x f 可以被k

c x )(-整除,但不能被1)(+-k c x 整除.判断5是不是多项式

5057422243)(235+++-=x x x x x f

的根.如果是的话,是几重根?

3．设d x c x b x a x x x +-+-+-=-+-)2()2()2(5322323 求.,,,d c b a [提示:应用综合除法．]

4．将下列多项式)(x f 表成a x -的多项式.

)(i 1,)(5==a x x f ;

)(ii 2,32)(24-=+-=a x x x f .

5．求一个次数小于4的多项式)(x f ,使

2)5(,0)4(,1)3(,3)2(==-==f f f f

6．求一个2次多项式,使它在ππ

,2

,

0=x 处与函数x sin 有相同的值.

7．令)(),(x g x f 是两个多项式,并且)()(33x xg x f +可以被12++x x 整除. 证明

.0)1()1(==g f

8．令c 是一个复数,并且是][x Q 中一个非零多项式的根,令

}0)(|][)({=∈=c f x Q x f J

证明:)(i 在J 中存在唯一的最高次项系数是1的多项式)(x p ,使得J 中每一多项式

)(x f 都可以写成)()(x q x p 的形式,这里][)(x Q x q ∈. )(ii )(x p 在][x Q 中不可约.

如果32+=c ,求上述的)(x p [提示:取)(x p 是J 中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]

9．设][x C 中多项式0)(≠x f 且)(|)(n x f x f ,n 是一个大于1的整数. 证明:)(x f 的根只能是零或单位根.

[提示:如果c 是)(x f 的根,那么 ,,,3

2

n n n c c c 都是)(x f 的根.] §2.7 复数和实数域上多项式

1．设n 次多项式n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 的根是n ααα,,,21 .求

)(i 以n ca ca ca ,,,21 为根的多项式,这里c 是一个数;

)(ii 以

n

ααα1

,

,1

,

1

2

1 (假定n ααα,,,21 都不等于零)为根的多项式.

2．设)(x f 是一个多项式,用)(x f 表示把)(x f 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:

)(i 若是g )(x |f )(x ,那么)(|)(x f x g ;

)(ii 若是)(x d 是)(x f 和)(x f 的一个最大公因式,并且)(x d 的最高次项系数是1,那

么)(x d 是一个实系数多项式).

3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4．在复数和实数域上,分解2-n x 为不可约因式的乘积. 5．证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. §2.8 有理数域上多项式

1．证明以下多项式在有理数域上不可约:

)(i 108234-+-x x x ; )(ii ;66182245+++x x x )(iii 32234-+-x x x ;

)(iv 136++x x .

2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是t p p p ,,,21 是t 个不相同的素数而n 是一个大于1的整数,那么n t p p p 21是一个无理数.

3．设)(x f 是一个整系数多项式.证明:若是)0(f 和)1(f 都是奇数,那么)(x f 不能有整数根.

4．求以下多项式的有理根:

)(i 1415623-+-x x x ; )(ii 157424---x x x ;

)(iii 32

1

2252345--+-

-x x x x x .

§2.9多元多项式

1．写出一个数域F 上三元三次多项式的一般形式. 2．设),,(1n x x f 是一个r 次齐次多项式.t 是任意数.证明

),,(),,(11n r n x x f t tx tx f =.

3．设),,(1n x x f 是数域F 上一个n 元齐次多项式,证明:如果

),,(),,(),,(111n n n x x h x x g x x f =,则h g ,也是n 元齐次多项式.

4．把多项式xyz z y x 3333-++写成两个多项式的乘积.

5．设F 是一个数域.],,[,1n x x F g f ∈是F 上n 元多项式.如果存在

],,[1n x x F h ∈使得gh f =,那么就说g 是f 的一个因式.或者说g 整除f .

)(i 证明,每一多项式f 都可以被零次多项式c 和cf 整除,0,≠∈c F c .

)(ii ],[1n x x F f ∈说是不可约的,如果除了)(i 中那两种类型的因式外,f 没有其

它的因式.证明,在],[y x F 里,多项式y x y x y x -+2,,,都不可约.

)(iii 举一反例证明,当2≥n 时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.

)(iv ],,[,1n x x F g f ∈说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零

的公共因式.证明],[,y x F y x ∈是互素的多项式.能否找到],[),(),,(y x F y x v y x u ∈使得1),(),(=+y x yv y x xu ? §2.10 对称多项式

1．写出某一数环R 上三元三次对称多项式的一般形式.

2．令],,,[21n x x x R 是数环R 上n 元多项式环,S 是由一切n 元对称多项式所组成的],,[1n x x R 的子集.证明:存在],,[1n x x R 到S 的一个双射.[提示：利用对

称多项式的基本定理，建立],,[1n x x R 到S 的一个双射]

3．把下列n 元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：

)

(i ∑2

31x

x ；)

(ii ∑4

x

；)

(iii ∑3

2221x x x

．

4．证明：如果一个三次多项式c bx ax x +++23的一个根的平方等于其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系：

2324)22(2)2(c ab a b a a +-=-

5．设n ααα,,,21 是某一数域Ｆ上多项式

n n n n a x a x a x ++++--111

在复数域内的全部根．证明：n αα,,2 的每一个对称多项式都可以表成Ｆ上关于1α的多项式．［提示：只需证明n αα,,2 的初等对称多项式可以表成Ｆ上关于1α的多项式即可．］