多项式

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一般多项式的形式

一般多项式的形式多项式是数学中的一个重要概念，它在代数学、微积分、数论等领域中都有广泛的应用。

多项式的一般形式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是实数或复数，称为多项式的系数，n 是多项式的次数，x 是变量。

多项式的次数是指最高次项的次数。

多项式的次数对于多项式的性质和解的求解有很大的影响。

下面将介绍一些与多项式相关的重要概念和性质。

1. 零点和因式定理多项式 P(x) 的零点是使得 P(x) = 0 的 x 值。

零点可以用来确定多项式的因式。

例如，如果 x = a 是多项式 P(x) 的一个零点，那么 (x - a) 就是 P(x) 的一个因式。

2. 多项式的乘法多项式的乘法是指将两个多项式相乘的运算。

多项式的乘法可以通过分配律和结合律来进行。

例如，将多项式 P(x) 乘以多项式 Q(x)，可以将 P(x) 的每一项与 Q(x) 的每一项相乘，然后将结果相加。

3. 多项式的除法多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式的运算。

多项式的除法可以通过长除法来进行。

长除法的步骤是：首先将除式的最高次项与被除式的最高次项相除，得到商的最高次项；然后将商的最高次项与除式相乘，并减去得到的结果与被除式相减，得到一个新的多项式；接着将新的多项式再次除以除式，重复上述步骤，直到无法再进行除法为止。

4. 多项式的根和重数多项式的根是使得多项式等于零的x 值。

一个多项式可以有重根，即多个不同的x 值对应于相同的根。

重根的个数称为多项式的重数。

多项式的重数可以通过求导来确定，对多项式进行求导后，多项式的重数等于导数为零的次数。

5. 多项式的插值多项式的插值是指通过已知的数据点来确定一个多项式，使得该多项式经过这些数据点。

插值多项式可以用来近似一个函数，并在给定的数据点上计算函数的值。

多项式的概念及例子

多项式的概念及例子多项式是数学中的一个概念，它是由几个单项式的和组成的表达式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

例如，我们可以将表达式3a^2 + 4b - 5c 看作一个多项式，其中每一项（3a^2、4b 和5c）都是一个单项式。

值得注意的是，多项式中的每一项都必须包括它前面的符号，并且多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。

例如，表达式3a + 4b - 5c 可以被视为一个二次三项式，因为它包含三项（3a、4b 和5c），并且每一项的次数都是1或2。

对于多项式的次数，它是根据多项式中次数最高项的次数来确定的。

例如，多项式3a^2 + 4b - 5c 的次数是2，因为它包含的最高次项是3a^2，其次数为2。

除了上述概念外，多项式还可以与单项式相乘。

在这种情况下，我们可以用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如，如果我们有一个多项式3a^2 + 4b - 5c 和一个单项式x，我们可以将x 与每一项相乘，得到(3a^2)x + (4b)x - (5c)x。

综上所述，多项式是由几个单项式的和组成的数学表达式，它包括项数、次数等概念，并且可以与单项式相乘。

除了基本的数学概念，多项式在各种科学和工程领域中也有广泛的应用。

例如，在物理学中，多项式可以用来描述和解决各种复杂的问题，如量子力学、热力学和流体动力学。

在化学中，多项式可以用来描述化学反应的平衡和反应速率。

在经济学中，多项式可以用来建立和分析复杂的经济模型。

此外，多项式也是计算机科学中的一个重要工具。

例如，在人工智能领域中，多项式可以用来表示和分类数据，以及进行机器学习和模式识别。

在计算机图形学中，多项式可以用来描述和生成复杂的几何形状和曲面。

因此，多项式不仅在数学中有重要的地位，而且在科学、工程和计算机科学等领域中也有广泛的应用。

理解和掌握多项式的概念和技巧对于深入学习和应用这些领域的知识是非常重要的。

多项式知识点

多项式知识点在数学的广袤天地中，多项式是一个重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着代数运算和方程求解等多个领域。

首先，咱们来聊聊什么是多项式。

简单来说，多项式就是由几个单项式相加或相减组成的式子。

那什么是单项式呢？比如 3x 、 5 、－2y²，这些只有一个项的式子就是单项式。

而多项式就是把这些单项式用加、减号连起来，像 3x ＋ 5 、 2x² 3x ＋ 1 等等。

多项式中的每一项都有它自己的系数和次数。

系数就是前面的数字，比如在 3x 中， 3 就是系数；次数呢，是指变量的指数之和。

在单项式5x²中，次数就是 2 。

多项式是按照其中变量的次数从高到低排列的。

比如说，多项式4x³ 2x²＋ 5x 1 ，这就是一个按照降幂排列的多项式。

多项式的加法和减法相对来说比较简单，就是把同类项的系数相加或相减就行。

同类项呢，就是变量部分完全相同的项，像 3x 和 5x 就是同类项。

再来说说多项式的乘法。

这个稍微有点复杂，但也不难理解。

比如说（2x ＋ 3)（x 1) ，我们就用第一个括号里的每一项去乘第二个括号里的每一项，然后把得到的结果相加，最后就能得到 2x²＋ x 3 。

多项式的除法呢，常用的方法是长除法。

这就像是我们做整数除法一样，一步一步地算。

多项式的因式分解也是一个重要的知识点。

因式分解就是把一个多项式变成几个整式乘积的形式。

常见的方法有提公因式法，比如 3x ＋6 ，我们可以提出公因式 3 ，得到 3(x ＋ 2) ；还有公式法，像平方差公式 a² b²＝（a ＋ b)（a b) ，完全平方公式（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²等等。

在实际应用中，多项式也有很多用处。

比如在物理学中，描述物体的运动规律可能会用到多项式；在工程学中，计算各种数据和设计模型时也常常会碰到多项式。

多项式的概念及运算

结果：$= x^4 + 6x^3 + 4x^2 - 8x - 4$
多项式的除法运算
定义：多项式除以除数与被除数的每一项分别相除，得到商和余数
注意事项：除数不能为0，否则无意义
举例说明：多项式除以单项式的具体运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个单项式通过加减运算得到的代数式。
多项式的次数是所有单项式中次数最高的那一项的次数。
多项式中每一项的系数不能为0。
多项式中单项式的排列顺序不影响多项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
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三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)

多项式及其根和系数

多项式及其根和系数多项式在数学中占据着重要的地位，是数学中重要的一类函数。

在现代数学的各个领域中，多项式都有着广泛的应用。

在本文中，我们将以多项式为主题来探讨它的性质，包括多项式的根和系数等方面内容。

一、多项式的定义多项式是由若干个单项式经过加减运算得到的函数。

通常，多项式的形式为：$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中$a_n$为多项式的次数，$a_i$为多项式中每一项的系数。

二、多项式的根多项式函数的根是指满足多项式函数等于0的$x$值。

对于一个次数为$n$的多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，它有$n$个复根。

根据代数基本定理，一个次数为$n$的多项式在复数域上必有$n$个复根。

多项式的根在数值计算和应用中有着广泛的应用。

比如说，求解方程$x^2 - 2x +1=0$，该方程的解是$x=1$。

这里的方程就是一个二次多项式，方程的根就是多项式函数的根。

三、多项式的系数在多项式的定义中，多项式的系数占据了重要的位置。

多项式的系数不仅决定了多项式函数的取值，而且还决定了多项式的性质和特征。

多项式系数的特征表示出多项式的对称性质。

对于一个次数为$n$的多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，它的系数$a_i$可以表示出多项式的对称性质。

比如说，如果多项式具有偶对称性，那么多项式的系数$a_i$必须满足$a_{n-i}=a_i$。

而如果多项式具有奇对称性，那么多项式的系数$a_i$必须满足$a_{n-i}=-a_i$。

多项式系数的展开式是指将多项式按照系数的大小排列成一个数列，并将该数列进行展开的操作。

多项式系数的展开式与多项式函数的泰勒展开式有着密切的联系。

四、多项式运算多项式的运算主要有加、减、乘、除。

在实际应用当中，多项式的运算一般都是通过计算机进行的，因为计算机可以快速、准确地计算多项式的值和多项式的运算结果。

多项式

(2) 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除
f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x) h (x)
成立. 我们用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 整除 f (x) ，
用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式.
的一个最大公因式.
(2) 最大公因式有以下性质：
1) P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大公因式. 两个零多项式的最大公因式是零多项式，它是唯一确定的. 两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子的差别；这时，首系数为1的最大公因式是唯一确定的. f(x)与g(x)的首系数为1的最大公因式记为 (f(x), g(x)).
注：由于重因式一定是不可约因式，所以f (x)的
重因式也和所在的数域有关.
(3) 关于重因式有下列结论：
1) 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k重因式
(k 1)，那么它是导数 f (x) 的 k - 1 重因式. 特别
(2) 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x)
的 k 重因式，如果 pk(x) | f (x) , pk+1(x) | f (x) . 如果 k = 0 , 那么 p(x) 根本不是 f (x) 的因式；
如果 k = 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式；如果
k > 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式.
2) 设f (x) , g(x) 是P[x] 中两个多项式，g(x) 0，

多项式的定义是什么

多项式的定义是什么多项式函数以其简单的结构和性质在数值逼近中起到重要的作用,多项式的定义是什么?以下是小编为大家整理的关于多项式的定义，欢迎大家前来阅读!多项式的定义多项式是代中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。

例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。

多项式是整式的一种。

不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。

多项式在数学的很多分支中乃至许多自然以及工程学中都有重要作用。

多项式数学术语多项式 polynomial不含字母的项叫做常数项。

如：5X+6，6就是常数项。

比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。

按这个定义，多项式就是整式。

实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。

0作为多项式时，次数为正无穷大。

单项式和多项式统称为整式。

多项式几何特性多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。

泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。

多项式定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。

高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。

应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。

这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。

关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式，如果有一个素数p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且p2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。

由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。

因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。

分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。

多项式的概念、系数和次数

多项式的概念、系数和次数多项式是数学中的一个重要概念，它在代数学、微积分、数论等领域都有广泛的应用。

本文将介绍多项式的概念、系数和次数，以及它们之间的关系。

一、多项式的概念多项式是由若干个单项式相加或相减而得到的一种代数式。

其中，单项式是指只有一个未知量或常数的代数式，例如x、2x、3x等。

多项式的一般形式如下：P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0其中，an、an-1、…、a1、a0是常数，n是非负整数，x是未知量。

多项式的系数是指每个单项式中未知量的系数，例如上面的多项式P(x)中，系数an、an-1、…、a1、a0分别为多项式的系数。

二、多项式的系数多项式的系数可以是任意实数或复数，也可以是任意整数或有理数。

例如，下面是一些多项式的例子：P(x) = 2x - 3x + x - 7Q(x) = -5x + 6x - 2x + 3x - 1R(x) = 3x + 2x + 5x - 4x + 1在这些多项式中，系数都是实数或整数。

多项式的系数可以用于求解方程、计算导数和积分等问题。

三、多项式的次数多项式的次数是指多项式中最高次项的次数。

例如，上面的多项式P(x)、Q(x)、R(x)的次数分别为3、4、4。

如果多项式中所有系数都是0，则多项式的次数为0。

例如，多项式S(x) = 0是一个次数为0的多项式。

多项式的次数对于求解方程、计算导数和积分等问题都有重要的作用。

例如，对于一个n次多项式，它最多有n个不同的实根或复根，这是代数基本定理的一个重要结果。

四、多项式的系数和次数的关系多项式的系数和次数之间有一些重要的关系。

例如，如果多项式的系数都是实数或复数，则多项式的次数可以表示为多项式的根的个数，其中每个根的重复次数等于它的代数重数。

这是代数基本定理的一个重要结果。

另外，多项式的次数也可以用于判断多项式的性质。

例如，如果一个多项式的次数为偶数，则它在无穷远处的值为正数；如果一个多项式的次数为奇数，则它在无穷远处的值为正数或负数，具体取决于多项式的首项系数的符号。

多项式定义

多项式
若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
多项式polynomial
不含字母的项叫做常数项。如：5X+6,6就是常数项
比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起的定理：0作为多项式时，次数ห้องสมุดไป่ตู้负无穷大。
多项式的加法
有限个单项式之和称为多元多项式,简称多项式。不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。
多项式的加法,是指多项式的同类项的系数相加(即合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后相加，且合并同类项。

多项式

多项式维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索在数学领域里，多项式是由变量以及标量（一般是实数或复数）经乘法及加法构法而成，属于整式的代数式。

下列四种都是多项式：多项式中每一个 x n 皆称之为多项式的项次数：多项式 x n 中每一项的n为此项的次数同次项：若有多个多项式，其中每一项的 x k 项称之为同次项首项：指多项式的项中次数最大者，若多项式首项为n，则称此多项式为n次多项式∙∙∙∙非多项式的例子：∙∙这些式子的变量位在分母，称作分式，并非多项式。

及也是多项式，但若然及是可置换的变量，即，则这两个多项式是相同的。

单项式是指可以纯粹由乘法构法的多项式，如: 、及。

单项式其实是不含加法或减法运算的整式.（注：有说单项式不是多项式，而多项式是由起码两个或以上的单项式相加起来而成。

这是最常见单项式及多项式的定义。

但多项式相加也可以是单项式，如，这个区分令理论研究变得复杂。

若然把单项式也归纳为多项式，则多项式相加的和也是多项式，情况比较简单。

）几何学中，多项式是最简单的平滑曲线。

简单是指它仅由乘法及加法构法；平滑皆因它类同口语中的平滑——以数学述语来说，它是无限可微，即可以对它的所有高次微分都存在。

事实上，多项式的微分也是多项式。

简单及平滑的特点，使它在数值分析，图论，以及电脑绘图等，都发挥极大的作用。

历史多项式的研究，源于“代数方程求解”，是最古老数学问题之一。

有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。

另一些多项式，如f(x)=x² + 1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。

若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。

能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。

一元二次多项式的根相对容易。

三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。

四次多项式的情况也是如此。

经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震掝数坛。

多项式

是一个三次三项式.
2
x 2 x y 3 y 是一个四次三项式.
练习: 1 .指出下列多项式的项和次数（1）3x－1＋3x2；（2）4x3＋2x－2y2 。 2. 指出下列多项式是几次几项式。（1）x3－x＋1；（2）x3－2x2y2＋3y2。
3.下列多项式各由哪些项组成？是几次几项多项式？ x² -3x+4
例1：指出下列多项式的项和次数.
（1）（2）
a a b ab b
3 2 2
3
3n 2n 1
4 2
解：（1）多项式 a 3 a 2 b ab2 b 3 的项 2 3 有 a ， a b ，ab2 ， b 3 ；
（2）多项式 3n 2n 1 的项有
4 2
2
3 ab 9 D.单项式的次数是2, 系数为 2 2
2
8. 多项式 3a
2
b 5a b 4ab 2 中，
3 2 2
多项式的次数是______, 二次项是_____，它的系数是___, 次数是_____.
9.多项式 5xm y 2 (m 2)xy 3x
如果的次数为4次，则m为多少？如果多项式只有二项，则m为多少？
2.1.2 多项式
t-5
3x+5y+2z 2ar–r²
x2+2x+18
2(a+b)
x–21
1 ab r 2 2
一、多项式的定义：
几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项，叫做常数项。例如，多项式3x² –2x+5有三项，它们是3x² ，–2x，5。其中5是常数项。一个多项式含几项，就叫几项式。二、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫这个多项式的次数。例如，多项式3x² –2x+5是一个二次三项式。

多项式的定义

多项式的定义什么是多项式多项式是数学中的一种基本代数结构，也是数学中常见的一类函数表达形式。

多项式是由若干个变量的幂次项与系数相乘、加减而得到的表达式。

具体地说，一个多项式可以由以下形式表示：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0x^0其中，P(x)表示多项式，a_n至a_0是多项式的系数，x是多项式的变量，n是多项式的最高次数。

多项式的幂次项为变量的非负整数次幂，并且系数可以为实数或复数，即多项式可以表示实系数多项式或复系数多项式。

多项式的特性和运算多项式具有以下几个重要的特性和运算：多项式的次数多项式的次数是指多项式中最高次幂的指数。

例如，多项式P(x) = 3x^4 +2x^3 + x^2 + 5的次数为 4。

多项式的零多项式和非零多项式如果一个多项式的所有系数都为零，则称该多项式为零多项式。

例如，P(x) = 0是一个零多项式。

反之，如果一个多项式的至少存在一个系数不为零，则称该多项式为非零多项式。

多项式的加法与减法多项式的加法和减法操作是通过将多项式的相同幂次项进行系数的相加或相减得到的。

例如，有两个多项式P(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 5和Q(x) = -x^3 + 2x - 1。

它们的加法可以表示为：P(x) + Q(x) = (2x^3 + x^2 - 3x + 5) + (-x^3 + 2x - 1) = x^3 + x^2 -x + 4因此，多项式的加法与减法操作可以用来对多项式进行合并和整理。

多项式的乘法多项式的乘法操作是通过将两个多项式的每个幂次项的系数进行相乘，并相加得到新的多项式。

例如，有两个多项式P(x) = x^2 + 2x + 1和Q(x) = x + 1。

它们的乘法可以表示为：P(x) * Q(x) = (x^2 + 2x + 1) * (x + 1) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1因此，多项式的乘法操作可以用来描述两个多项式之间的关系，也可以用来求解多项式的乘积。

高等代数中的多项式基本概念与计算方法

高等代数中的多项式基本概念与计算方法高等代数中的多项式：基本概念与计算方法在高等代数中，多项式是一种重要的数学对象。

它是由各个数乘以一个（或多个）不同幂次的未知数，并加以相应系数得到的代数表达式。

本文将介绍多项式的基本概念以及常用的计算方法。

1. 多项式的定义多项式由一系列的单项式相加或相减而得。

单项式由一个数与若干个未知数的乘积构成，其系数和指数可以是实数或复数。

一个常数也可以看作是只有零个未知数的单项式。

2. 多项式的表示一般来说，多项式的表示形式为：P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0其中，P(x)代表多项式，x是未知数，a_n,...,a_0是系数，n是多项式的次数。

系数可以为实数或复数，次数n是一个非负整数。

3. 多项式的运算（1）多项式的加法和减法：两个多项式相加或相减的规则是将对应的项合并。

例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 - x + 4则P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - x + 4) = 5x^2 + x + 5（2）多项式的乘法：多项式的乘法是将每一项相乘，并将同类项合并。

例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x - 1则P(x) × Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) × (2x - 1) = 6x^3 -1x^2 + 4x - 14. 多项式的因式分解多项式的因式分解在很多应用中都有重要作用。

它是将一个多项式表示为几个较简单的因子相乘的形式。

例如，给定多项式P(x) = x^2 + 4x + 4可以进行因式分解为P(x) = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2这里的(x + 2)称为多项式P(x)的因子。

5. 多项式的求值给定一个多项式P(x)，我们可以通过给定的值x来求出P(x)的具体数值。

什么是多项式？

什么是多项式？
1、⼏个的和叫做多项式。

在多项式中，每个叫做多项式的项。

其中含字母的各个的数字因数，叫每个项的系数（特别要注意系数的性质符号）。

不含字母的项，叫做常数项。

多项式的次数以所含单项式中最⾼的次数为次数
例如－3x²+4x－5，这是⼀个多项式，它的系数分别是－3 、4 ；它的常数项是（-5）；次数是(最⾼次数的那项－3x²的次数)是2；它的项数是3项，称作⼆次三项式。

单项式和多项式统称为整式。

2、是指这个多项式的项数超过1，且最⾼次⽅数为2
3、，⼜叫根，对于⾮负实数来说，是指某个⾃乘结果等于的实数，表⽰为〔√￣〕，其中属于⾮负实数的称算术。

⼀个正数有两个*⽅根；0只有⼀个*⽅根，就是0本⾝；负数没有*⽅根
单项式与多项式相乘，⽤单项式分别去乘多项式的每⼀项，再把所得的积
扩展资料
多项式是简单的连续函数，它是*滑的，它的微分也必定是多项式。

泰勒多项式的精髓便在于以多项式逼*⼀个*滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。

第二讲多项式理论

2、根式的定义与意义
3、复合根式的计算
4、根式的恒等变形和化简
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一、有理分式的恒等
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二、根式的定义和意义
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三、复合根式的计算
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四、根式的恒等变形的化简类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基本对称多项式的形式
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类型2 一元代数式型根式基本思想：转化为一元代数方程式
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式化成几个既约多项式乘积的形式。”
11
关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
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类型3 一元代数式型基本思想：降低次数法
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类型4 方程型无理根式基本思想：构造对偶式、函数等方法，
利用相关性质求解
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5、代数代换法
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6、函数型根式——构造几何模型法
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7、三角形代换法
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指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短不以活着的年龄为标准，而以人的贡献来计算的话，那么对数的发现将人类的寿命延长了两倍。
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定义分析：
1、一个置换实际上是指一个排列；
2、置换的总数共有n!种。
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判断下列多项式是否是对称多项式
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（2）基本对称函数（基本对称多项式）

多项式的概念和运算

多项式的概念和运算多项式是数学中重要的一类代数表达式，它由一系列有限次幂的非负整数和系数乘积所构成。

本文将介绍多项式的定义、特点以及常见的运算方法。

一、多项式的定义和特点多项式的定义：多项式由若干项的代数和组成，每一项包括系数和次数。

一般形式可以表示为：P(x) = aₙₓⁿ + aₙ₋₁ₓⁿ⁻¹ + ... + a₁x¹ + a₀其中，aₙₓⁿ 表示最高次数项，aᵢxⁱ表示第 i 项，常数 aₙ,aₙ₋₁, ..., a₁, a₀为系数，x 为变量，n为多项式的次数。

多项式的特点：1. 多项式的次数是指其中最高次幂的非负整数。

比如，P(x) = 3x² + 2x + 1 的次数为2。

2. 多项式中每一项的次数不能为负数。

3. 多项式可以包含常数项，即不含变量的项。

比如，P(x) = 2x³+ 1 的常数项为1。

4. 多项式中的系数可以是实数、有理数或复数。

二、多项式的运算多项式的运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面依次介绍这些运算方法。

（一）多项式的加法和减法多项式的加法：将两个多项式的对应项相加，并将相同次数的项合并。

例如，P(x) = 2x² + 3x + 1，Q(x) = x² + 2x + 3，它们的和 P(x) + Q(x) = 3x² + 5x + 4。

多项式的减法：将两个多项式的对应项相减，并将相同次数的项合并。

例如，P(x) = 2x² + 3x + 1，Q(x) = x² + 2x + 3，它们的差 P(x) - Q(x) = x² + x - 2。

（二）多项式的乘法多项式的乘法：将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项进行乘法运算，并将结果相加。

例如，P(x) = 2x + 1，Q(x) = x² - 3x，它们的乘积 P(x) * Q(x) = 2x³ - 5x² - 3x。

第一章多项式

第一章多项式§1 基本知识§1. 1 基本概念1、数域：由复数构成并含有数1,0的集合P 称为数域，如果P 关于数的加、减、乘、除（除数不为零）封闭。

2、多项式：形式表达式n n x a x a a ++10 （1.1）或01a x a x a n n ++ （1.2）其中n 是一个非负整数，n a a a ,,,10 全是数域P 中的数，（1.1）或（1.2）就称为系数在数域P 中的一元多项式，或简称为数域P 中的一元多项式。

（1.1）是多项式的升幂书写，（1.2）是降幂书写；i i x a 称为多项式的i 次项，i a 称为i 次项的系数；x 是一个文字。

3、零多项式：系数全部为零的多项式称为零多项式。

4、多项式的相等：设∑==ni i i x a x f 0)(∑==m i i i x b x g 0)(是数域P 上的两个一元多项式，如果当n m <时必有：01===+n m a a ，当m n <时必有：01===+m n b b 且 },min{,,1,0,n m i b a i i ==。

一个多项式可以任意去掉或添加一些系数为零的项。

5、多项式的次数：形为（1.1）或（1.2）的多项式中，若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的最高次项或首项，n a 称为多项式的最高次项系数或首项系数，而非负整数n 就称为多项式的次数，零多项式没有次数。

6、多项式的和、差、积：设∑==ni i i x a x f 0)(∑==m i i i x b x g 0)(是数域P 上的两个一元多项式，不妨设n m ≤，且n m <时：01===+n m b b ，则∑=+n i i i i x b a)( ∑=-n i i i i x b a0)(∑+=n n k k k x c称为多项式)(x f 和)(x g 的和、差、积，并记为)()(x g x f +、)()(x g x f -、)()(x g x f ，其中n m k b a b a c k i i k i k j i j i k +===∑∑=-=+,,1,0,0 。

第62讲__多项式

第2讲多项式理论多项式理论是代数学的重要组成部分，它在理论上和方法上对现代数学都有深刻的影响，与多项式有关的问题除了出现在函数、方程、不等式等代数领域中，还涉及到几何、数论等知识，是一个综合性的工具，也是数学竞赛中的热点问题．多项式的基本理论主要包括：余数定理与因式定理；多项式恒等条件；韦达定理；插值公式等．具体如下： 1．多项式恒等：(1) 多项式恒等条件：两个多项式相等当且仅当它们同次幂的系数相等．(2)带余除恒等式：多项式f (x )除以多项式g (x )，商式为q (x )，余式为r (x )，(则r (x )的次数小于g (x )的次数），则()()()()f x q x g x r x =+．特别是多项式f (x )除以x -a ，商式为g (x )，余数为r ，则f (x )=(x -a )g (x )+r ．(3)多项式恒等定理：若有n +1个不同的x 值使n 次多项式f (x )与g (x )的值相同，则()()f x g x ≡．在数学竞赛中，经常用到先猜想后证明的思想：比如先找出一个n 次多项式f (x )符合题意，再验证f (x )与g (x )在n +1个不同的x 值处，均有f (x )=g (x )，则()()f x g x ≡． 2．余数定理与因式定理：(1)余数定理：多项式f (x )除以x -a 所得的余数等于f (a )． (2)因式定理：多项式f (x )有一个因式x -a 的充要条件是f (a )=0． (3)几个推论：①若f (x )为整系数多项式，则f (x )除以(x -a )所得的商也为整系数多项式，余数为整数．②若f (x )为整系数多项式，a 、b 为不同整数，则|()().a b f a f b -- ③f (x )除以(0)px q p -≠所的的余数为()q f p． 3．代数基本定理(1)代数基本定理：一个n 次多项式在复数范围内至少有一个根． (2)根的个数定理：一个n 次多项式在复数范围内有且仅有n 个根． 4．韦达定理与虚根成对定理(1)韦达定理：如果一元n 次多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++的根是12,,,n x x x ，那么有112,n n n a x x x a --+++=212131,n n n na x x x x x x a --+++=131231242,n n n x n na x x x x x x x x a ----+++= 012(1).nn n a x x x a =-简写成12121(1)r r rn rj j j j j j nna x x x a -≤≤≤≤=-∑． (2)复根成对定理：若实系数多项式f (x )有一个虚根(,,0),a bi a b R b α=+∈≠那么它的共轭复数a biα=-也是f (x )的根，并且a 和α有相同重数．运用时要注意必须是实系数方程．5．拉格朗日（L agrange ）插值公式设f (x )是一个次数不超过n 的多项式，数a 1，a 2，…，a n +1两两不等，则 2311121311()()()()()()()()n n x a x a x a f x f a a a a a a a ++---=+---1312212321()()()()()()()n n x a x a x a f a a a a a a a ++------12111121()()()()()()()n n n n n n x a x a x a f a a a a a a a ++++---+---．简写成f (x )=1111111111()()()()()()()()()n i i i n i i i i i i i n f a x a x a x a x a a a a a a a a a +-++=-++--------∑．A 类例题例1 将关于x 的多项式2019321)(x x x x x x f +-+-+-= 表为关于y的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a ．（2005年全国联赛一试）分析先利用等比数列的求和公式求出f (x )的表达式，然后用变量代换转化为关于y 的多项式，最后对它赋值即可．解由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121++=----=x x x x x f令,4+=y x 得,51)4()(21+++=y y y g 取,1=y 有.615)1(2120210+==++++g a a a a说明赋值法在解决多项式系数之和问题中经常被使用．例2 在一次数学课上，老师让同学们解一个五次方程，明明因为上课睡觉，没有将方程抄下，到下课时，由于黑板被擦去了大半，明明仅抄到如下残缺的方程54151200x x--=，若该方程的五个根恰构成等差数列，且公差||1d ≤，试帮明明解出该方程．分析题目已知一个五次方程的五次项系数、四次项系数和常数项，可由韦达定理确定出方程5个根的和与积，再利用其为等差数列的特点，解方程．解设该方程的5个根为2,,,,2a d a d a a d a d --++，则由韦达定理可得2215,{(2)()()(2)120.a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=--++=由此得3,a =及22(94)(9)40.d d --= 令2d t =，得241445410,4t t t -+==或1．于是d =或1d =±．由条件||1d ≤，可知1d =±．因此这5个根为1，2，3，4，5．说明韦达定理给出了如果一元n 次多项式方程的n 个根与方程的系数的之间关系，在解决方程问题时，有着极其广泛的应用．运用韦达定理时，特别要注意符号不能搞反．例3 若422()f x x px qx a=+++可被21x -整除，求f (a )．分析由于422()f x x px qx a =+++可被21x -整除，故可以用待定系数法设出f (x )因式分解后的形式，利用多项式恒等条件确定p ,q ,a 的关系，最后求出f (a )．解设42222()(1)().f x x px qx a x x mx n =+++=-++ 展开得422432(1).x px qx a x mx n x mx n +++=++---比较两边系数得22011,q m p n p a n a =-=⎧⎪=-∴=--⎨⎪=-⎩故4224222()(1)0f a a pa qa a a a a a =+++=-++=．说明多项式恒等条件即两个多项式相等当且仅当它们同幂次得系数相等，往往是解决多项式分解及恒等问题的重要依据，常通过待定系数法实现转化．()f x x =(-1)=f (1)=0．因此得由①－4)a a pa =+情景再现1．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，求na a a 242+++ 的值为（）(2005年浙江省数学竞赛) A ．n3B ．23-nC ．213-nD ．213+n2．设235293212x a bx x x x -=+-+--是关于变量x 的一个恒等式，则ab 的值为 ( )A ． -246B ． -210C ． 29D ． 210 3．四次多项式432182001984x x kx x -++-的四个根中有两个根的积为-32，求实数k ．B 类例题例4 已知123,,x x x 是多项式32()f x x ax bx c =+++的三个零点，试求一个以222123,,x x x 为零点的三次多项式g (x )．分析由于原多项式和所求多项式的零点之间存在着平方关系，利用韦达定理就能构造出满足题意的多项式g (x )．解设32()g x x mx nx p=+++，则由韦达定理知222123222222122323222123(), ,.m x x x n x x x x x x p x x x ⎧=-++⎪=++⎨⎪=-⎩故22123122323()2()2,m x x x x x x x x x b a =-+++++=-222222122323n x x x x x x =++22122323123123 ()2() 2,x x x x x x x x x x x x b ac =++-++=-22222123123()p x x x x x x c =-=--=-．因此32222()(2)(2)g x x b a x b ac x c=+-+--．说明利用韦达定理构造出满足题意的多项式g(x)是本题的关键．例5 设a，b，c，d是4个不同实数，p(x)是实系数多项式，已知①p(x)除以(x-a)的余数为a；②p(x)除以(x-b)的余数为b；③p(x)除以(x-c)的余数为c；④p(x)除以(x-d)的余数为d．求多项式p(x) 除以(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)的余数．（1990年意大利数学奥赛题)分析首先利用余数定理将条件转化，再通过构造一个新函数F(x)，使得它能被(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)整除，再确定出F(x)与p(x)的关系．解法一根据余数定理，p(x)除以(x-a)的余数为p(a)，故p(a)=a．同理，p(b)=b，p(c)=c，p(d)=d．考察多项式F(x)= p(x)-x，则有F(a )=0，F(b )=0，F(c )=0，F(d )=0．由因式定理可知，F(x )含有因式(x -a ) (x -b ) (x -c ) (x -d )，而p (x ) = F(x )＋x ，故多项式p (x ) 除以(x -a ) (x -b ) (x -c ) (x -d )的余数为x ．解法二利用待定系数法设p (x )= (x -a ) (x -b ) (x -c ) (x -d )q (x )+r (x )，其中32().r x mx nx lx t =+++由题设得p (a )=a ，p (b )=b ，p (c )=c ，p (d )=d 知a ，b ，c ，d 是320mx nx lx t +++=的4个互不相同的根，但该方程是个三次方程，故m =n =l -1=t =0，即m =n =t =0，l =1．故所求余式为x ．说明灵活运用因式定理和余数定理，并巧妙构造多项式函数是解决本题的关键，而这些都可以通过仔细观察题目条件的特点后能自然得出．本题还可以用待定系数法解决，一题多解，有利于拓宽视野，把问题看的更加透彻．()n x a -例6 设1210012100,,,;,,,a a a b b b 为互不相同的两组实数，将它们按如下法则填入100×100的方格表内，即在位于第i 行第j 列处的方格处填入.i j a b +现知任何一列数的乘积为1，求证：任一行数的积为-1．分析注意到100×100的方格表内，位于第i 行第j 列处的方格处填入的数为(,1,2,,100)i j a b i j +=，且任何一列的乘积为1，故可以构造两个恒等的多项式解之．解考察多项式12100()()()() 1.p x x a x a x a =+++-由于任何一列的乘积为1，故知12100,,,b b b 是p (x )的根，故有12100()()()().p x x b x b x b =---由多项式恒等可知1210012100()()()1()()().x a x a x a x b x b x b +++-=---取i x a =-，代入上式可得：100121001(1)()()()(1,2,100).i i i a b a b a b i -=-+++=即12100()()() 1.i i i a b a b a b +++=-故知任何一行数的乘积为-1．说明本题的关键是巧妙地构造两个恒等的多项式，是一利用多项式恒等定理解决问题的精妙之作．11)())(n n x a a a ++--12)())(n n x a a a ++--21)())(n n x a a a a +--11111111)()()()())()()()i i n i i i i i n x a x a x a x a a a a a a a a -++-++--------．存在性：令11111111()()()()().()()()()i i n i i i i i i i n x a x a x a x a l x a a a a a a a a -++-++----=----的特点，可知()1,()0().i i i j l a l a j i ==≠故()()().i i i i f a l a f a = 故该多项式满足题目条件．是一个满足题意的n 次多项式，则,1).n +故惟一性得证．拉格朗日插值公式在数学的许多领域都有着广泛的应用，拉格朗日插值多项式的构造是十分巧妙，值得好好领会和应用，以下一例就是拉格朗日插值公式的简单应用．例7 已知函数2()f x ax c =-满足4(1)1,1(2)5,f f -≤≤--≤≤则f (3)的取值范围是 ( ) A ．7(3)26f ≤≤ B ．4(3)15f -≤≤ C ．1(3)20f -≤≤D ．2825(3)33f -≤≤分析由于所给函数为偶函数，故有(1)(1)f f -=，再运用拉格朗日插值公式将f (3)表示为关于f (-1)、f (1)和f (2)的关系式即可．解选C ．由拉格朗日插值公式，得(1)(2)(1)(2)(1)(1)()(1)(1)(2).(11)(12)(11)(12)(21)(21)x x x x x x f x f f f --+-+-=-++----+-+-2241(1)(1),()(1)(2).33x x f f f x f f ---=∴=+从而58(3)(1)(2).f f f =-+故1(3)20f -≤≤．例8 是否存在二元多项式(,)p x y ，满足条件 (1)对任意的,,(,)0;x y p x y >(2)对于任意的c >0，存在x ，y ，使得(,).p x y c =分析本题是关于二元多项式问题，关键是消去一元转化成一元多项式问题．解存在．取22(,)(1)21,p x y y x xy =+++将y 看成常数，则关于x 的二次三项式的判别式40,∆=-<∴对所有的x ，y 均有(,)0.p x y >又将p (x ，y )看成x 的函数(y 固定)，则p (x ，y )的值域为21[,).1y +∞+ 因为当21,01y y →∞→+时．所以对于任意的c >0，存在0201,.1y c y >+使得从而存在000,(,).x p x y c =使得情景再现4．若3x px q ++可被21x mx +-整除，则m ，p ，q 应符合的条件是( )A ．0,1q m p ===-B ．1,0m p q +=-=C ．2,1q m m p =+=-D ．,|m q p m =±5．求次数小于3的多项式f (x )，使f (1)=1，f (-1)=3，f (2)=3． 6．求所有的值a ，使多项式326x x ax a -++的根123,,x x x 满足333123(3)(3)(3)0.x x x -+-+-=（奥地利数学竞赛题）C 类例题例9 已知数列)0(,,,0210≠a a a a 满足),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然数n ，01101()(1)(1)n n n n p x a C x a C x x -=-+-+2222(1)n n a C x x --+111(1)n n n n n n n a C x x a C x ---+-+是x 的一次多项式或零次多项式．（1986年全国联赛一试题）分析由112i i i a a a -++=知{}n a 是等差数列，则),,2,1(01 =+=+=-i id a d a a i i 从而可将)(x p 表示成da 和0的表达式，再化简即可．解因为),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i ，所以数列}{n a 为等差数列，设其公差为d 有),3,2,1(0 =+=i id a a i ，从而011222000()(1)()(1)(2)(1)n n n n n n P x a C x a d C x x a d C x x --=-++-++-0()n nn a nd C x+++011112220[(1)(1)][1(1)2(1)n n n n n n n n n n n a C x C x x C x d C x x C x x ---=-+-+++⋅-+-],n nn nC x ++由二项定理，知,1])1[()1()1()1(222110=+-=++-+-+---n n n n n n n n n n x x x C x x C x x C x C 又因为,)]!1()1[()!1()!1()!(!!11--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 从而nn n n n n n x nC x x C x x C ++-+--- 22211)1(2)1(])1()1[(12111----++-+-=n n n n x x x C x nx .])1[(1nx x x nx n =+-=- 所以.)(0ndx a x P +=当0d ≠式，P (x )为x 的一次多项式，当d =0时，P (x )为零次多项式．例10 求一切实数p ，使得三次方程55171116632x p x p x p -++-+=()()的三个根均为自然数．(1995年全国联赛二试题)分析容易看出x =1是原三次方程的一个自然数根，原方程可用综合除法降次为2556610.x px p -+-=① 当且仅当二次方程①的两个根均为自然数时，原三次方程的三个根才均为自然数．设方程①的两个正整数根为u ，v ，则由韦达定理得,1(661).5u v p uv p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩从而p 为正整数．因此本题相当于解不定方程,5661,u v p uv p +=⎧⎨=-⎩消去p 得66(u +v )=5uv +1，由该不定方程解出u ，v ，再求出p =u +v 即可．解容易看出x =1是原三次方程的一个自然数根，由综合除法，原三次方程可降次为二次方程2556610.x px p -+-=①当且仅当二次方程①的两个根均为自然数时，原三次方程的三个根才均为自然数．设方程①的两个正整数根为,(0),u v u v <≤由韦达定理则得,1(661).5u v p uv p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩故p 为正整数．消去p 得66(u +v )=5uv +1②，由②得v (5u -66)=66u -1>0，从而5v -66>0．对方程②两边乘5后，移项、分解得(5u -66)(5v -66)=19×229，其中19，229均为素数，于是56619,566229;u v -=⎧⎨-=⎩或5661,5664351;u v -=⎧⎨-=⎩（无解）从而得到不定方程②的唯一自然数解，u =17，v =59，这样p =u +v =17+59=76．所以当且仅当p =76时方程①有三个自然数根1，17，59．说明由于我们对三次方程的求根公式（卡当公式）不很熟悉，因此在遇到此类问题时，我们一般先用观察法找到它的一个根，通常是整数根，再将原三次方程降次为二次方程，降次的一般用综合除法．然后再设法处理我们熟悉的二次函数问题．情景再现7．求证：2004log x 不能表示成()()f xg x 的形式，其中(),()f x g x 为实系数多项式，且(),()f x g x 互质．习题1．已知多项式2012n n a a x a x a x ++++是195819571959(2)x x ++的展开式，则5124032222a a a a a a --+--+等于( )A ．1B ．-1C ．0D ． 22．满足条件22()()(())f x f x f f x ==的二次函数f (x )有（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无穷多个3．设一个二次三项式的完全平方展开式是43267,x x x ax b -+++那么这个二次三项式是________________________．4．已知实数,αβ均不为0，多项式32()f x x x x ααββ=-++的三个根为123,,x x x ，则123123111()()x x x x x x ++++= ．（德国高中数学竞赛题）5．若f (x )、g (x )为两个实系数多项式，并且33()()f x xg x +可被21x x ++整除，则(1)f =，(1)g =．6．当310a a --=时,2a 是某个整系数多项式的根，求满足上述条件的次数最低的首项系数为1的多项式．（1997年日本数学竞赛题）7．设432(),f x x ax bx cx d =++++若(1)10,(2)20,(3)30,f f f ===则(10)f +(6)f -的值为 ( ) A ．8014 B ．40 C ．160 D ．82708．以有理数a ，b ，c 为根的三次多项式32()f x x ax bx c =+++有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个9．多项式742()1f x x x x =+++在实数范围内有多少个零点?10．设(),(),()()p x q x r x s x 及都是多项式，且5525432()()()(1)(),p x xq x x r x x x x x s x ++=++++求证：x -1是(),(),(),()p x q x r x s x 的公因式．11．设p (x )是2n 次多项式,满足(0)(2)(2)0,p p p n ====(1)(3)(21)2,p p p n ===-=(21)30,().p n n p x +=-及求及12．任给实多项式：()2212111nn n f x x a x a x --=++++．其中n为正整数，系数1221,,,n a a a -用下面方法来确定：甲，乙两人，从甲开始，依次轮流给出一个系数的值，最后一个系数由甲给出后，如果所得的多项式()f x 没有实根，则甲胜；若所得的多项式()f x 有实根，则乙胜．试问不管甲如何选取系数，乙必胜吗？(2004年江苏省数学夏令营一级教练员测试题十)本节“情景再现”解答：1．C2．A 解将该恒等式变形成多项式恒等，则有3529()(2),x a b x a b -=+-+比较两边系数得35,229a b a b +=+=．解得6,41a b =-=．因此246ab =-．3．86 解设多项式432182001984x x kx x -++-的四个根为1234,,,.x x x x 则由韦达定理，得 1234121314232434123124134234123418, ,200, 1984.x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++++=⎪⎨+++=-⎪⎪=-⎩ 设123432,62,x x x x =-=则故123462()32()200.x x x x +-+=-又121234344,18,14.x x x x x x x x +=⎧+++=∴⎨+=⎩ 故12341234()()86.k x x x x x x x x =++++=4．C 解3232(1)()()(1),x px q x mx x q x m q x qm x q ++=+--=+--++20,(1),, 1.m q p qm m q p m ∴-==-+=+=-即5．21x x -+ 解由拉格朗日插值公式得2(1)(2)3(1)(2)3(1)(1)()1(11)(12)(11)(12)(21)(21)x x x x x x f x x x +----+=++=-++------+． 6．－97．解 (反证法)假设有2004()log ,()f x xg x =且(),()f x g x 互质． 22200420042()2log log ()f x x x g x ==，又20042()2log ()f x x g x =， 22()()2()().f x g x f x g x ∴=又222((),())1,()|2().f x g x f x f x =∴但当f (x )的次数1≥时，恒有2()f x 的次数大于2()f x 的次数， ()f x ∴为常数．同理g (x )也为常数，故2004log x 为常数，矛盾．故原命题得证．本节“习题”解答：1．A 2．B 3．23 1.x x -- 4．－1 5．0， 0 6．6432()821310 1.f x x x x x x =--+--解记x a =则a x =代入方程,得3((10,x x --=即3251)0.x x -+-=32511).x x x ∴+-=+两边平方，得624342*********(961).x x x x x x x +++--=++故所求的多项式为6432()821310 1.f x x x x x x =--+--7． A 解设()()10g x f x x =-，则(1)0,(2)0,(3)0g g g ===，故()(1)(2)(3)(),g x x x x x r =----于是(10)(6)(10)(6)40987(10)789(6)40f f g g r r +-=+-+=⨯⨯⨯-+⨯⨯++78916408014.=⨯⨯⨯+=8． C 解由韦达定理知,,a b c a ab bc ca b abc c ++=-++==-．如果a =0(或b =0)得c =0，b =0．如果0,0,0,1, 2.a b c a b ≠≠===-但得如果a ，b ，c 均不为零，得1,1a b c ===-．故满足题设的多项式为332,2,x x x x +-321x x x +--．9．1 解显然，x =0不是f (x )=0的根．令1y x=，则 74277531()1()(1)0,f x x x x y y y y=+++=+++= 75310.y y y ∴+++=又753()1f y y y y =+++单调递增，且当y →-∞时，();,()f y y f y →-∞→+∞→+∞，因此，恰有一个根．10．解设432() 1.f x x x x x =++++取1的5次虚单位根234,,,,()0(1,2,3,4).k f k εεεεε==则所以2()(1)(1)(1)0(1,2,3,4).k k r q p k εε++==即方程2(1)(1)(1)04(1,2,3,4).k x r xq p k ε++==有个不同根故(1)(1)(1)0.r q p ===再把x =1代入所设等式，得s (1)=0．命题得证．11．解令1()()1,()(1),0,1,2,,2.k f x p x f k k n +=-=-=则又 201112001112()()()()()()(),()()()()()n k k n k k k k k k k k n x x x x x x x x x x f x f k x x x x x x x x x x -+=-+-----=-----∑ 其中(0,1,2,,2).k x k k n == 将x =2n +1代入上式,得21221221210(21)(2)(22)(2)21(21)(1)(1)1(1)(2)[(2)](21)(2)(22) (1)! 12.n k k n n k n k n n k n n n k n k f n k k n k n n n k k C +=+=++=--+-⨯+=--⨯⨯-⨯---+-+=-=-=-∑∑∑ 21(21)30,(21)31,3112 2.n p n f n n ++=-+=--=-=由有故，解得这表明p (x )是四次多项式, 由(0)(2)(4)0,(1)(3)2,p p p p p =====得432(2)(3)(4)(1)(2)(4)()221(1)(2)(3)321(1)2164032 .3333x x x x x x x x p x x x x x ------=+⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯-=-+-+12．解乙有必胜策略．证明如下．在选取过程中，不管甲取了那个系数，接下去，乙必取余下的一个偶数次项的系数，如果已经没有偶数次项的系数，乙才取奇数次项的系数．因此当最后留下两个系数，必由乙先取．注意到乙的选系数方式以及偶项系数的总数，恰好比偶项系数的总数少一个，所以最后两个系数只能是两个奇数项系数或者一个奇数项系数，一个偶数项系数，它们可设为2121t t a x ++，s s a x ．这里21s t ≠+，s 可奇，也可偶．于是()()2121s t s t f x g x a x a x ++=++．其中()g x 是已经确定的多项式．接下来由乙来取s a ，我们希望不管最后甲取的21t a +的值是什么，都不影响()f x 必有实根，为此，我们给出如何选取sa 的值的方法，并证明最终所得的多项式()f x 有实根．任取2m <-，则()()2111s t f g a a +=++，()()2121s t s t f m g m a m a m ++=++．为了不管21t a +如何选取，这意味着从上两式中消去21t m +，于是有： ()()()()21212111t t t s s s m f f m m g a m g m a m +++-=+-- ()()()21211t t s s m g g m a m m ++=-+-．注意到等式右边和21t a +无关，所以()()211t m f f m +-和21t a +无关，又由2m <-，所以21t s m m +≠．令()()21211t s t s g m m g a m m++-=-，则有 ()()211t m f f m +=．我们来证明()f x 必有实根．显然()0f ±∞>．如果()10f ≤，则在[)1,+∞必有实根．如果()10f >，由于2m <-，所以210t m +<，因此()0f m <，这证明了(),m +∞中必有实根．总之，()f x 必有实根．这证明了乙必胜．。