解三角形的实际应用举例

解三角形的实际应用举例

【学习目标】

1.了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的应用；能选择正弦定理、

余弦定理解决与三角形有关的实际问题.

2.在解三角形的实际问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的

方法.

3.体会数学知识来源于实际生活，体会正弦定理、余弦定理在实际生活中的

广泛应用.

【学习重点】

熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题.

【学习难点】

数学建模的过程及解三角形的运算.

【课前预习案】

1.有关概念：

仰角与俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图 ).

方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)

2．方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)

(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．

a

(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

思考：方位角与方向角的区别

3. 坡度与坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面与垂直高度 h 和水平宽度l 的比叫坡度.

1. 解三角形的一般思路

（1）读懂题意,理解问题的实际背景,理解题中的有关名词的含义，如坡度、仰角、俯角、方位角等.

（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型,

（3）选择正弦定理、余弦定理等有关知识求解.

（4）将三角形的解还原为实际意义,检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.

【课堂探究案】

解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

探究一：测量地面上两个不能到达的地方之间的距离

例1.如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是42m ，∠BAC=45︒，∠ACB=︒75。求A 、B 两点的距离.

变式1.为了开凿隧道，要测量隧道上D 、E 间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，如图，测得CA=400m ，CB=600m ， ∠ACB=60°，又测得A 、B 两点到隧道口的距离AD=80m ，BE=40m(A 、D 、E 、B 在一条直线上)，计算隧道DE 的长.

探究二：测量高度问题

例2、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，H 、G 、B 三点在同一条水平直线上。在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是030ADE ∠=、045ACE ∠=、20CD m =，测角仪器的高是1h m =，求建筑物高度

AB。

变式1.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角0

60

α=，在塔底C处测得A处的俯角0

45

β=，已知铁塔的BC部分的高为40m,求山

高CD.

探究三：方位角问题

例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北0

30的方向上,行驶82km

后到达B处,测得此山顶在西偏北0

75的方向上,仰角

为0

15,求此山的高度CD.

探究四：航海问题

例4、如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为31

-)km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km

的C处的缉私船奉命以103的速度追截走私船.此时

走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.

40 km

30 km

D

450

B

A

C

东西

北

【课后检测案】

1. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）

A ．0.5小时

B ．1小时

C ．1.5小时

D ．2小时

2,。在中，，的平分线把三

角形面积分成两部分，则（ ） A B C D 3．如图，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，设山对于地平面的斜度θ，则cos θ=.

ABC ∆:1:2A B =C CD 3:2cos A =131234