谈谈勾股数组

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勾股定理和勾股数组

马明勾股定理和勾股数组在直角三角形中，两直角边a 、b 和斜边c 之间有这样的关系：a 2+b 2=c 2. 这就是我们学过的勾股定理. 反过来，如果一个三角形的三边之间存在“某两边平方的和等于第三边的平方”这样的关系，那么我们就可以判定这个三角形是直角三角形，并且第三边所对的角是直角. 这就叫做勾股定理的逆定理.在我国，很早就有人发现勾股定理和它的逆定理. 《周髀算经》是我国最早的一本算书，大约是西汉时期的著作，里面曾经记载有：“商高曰，……勾广三，股修四，径隅五……”这就是a ﹕b ﹕c =3﹕4﹕5，又有“……勾股各自乘，并而开方除之……，”这又进一步提出c b a =+22. 可惜这里没有给出证明. 到了三国时，有位赵爽，他对勾股方圆做了图注，补充了这个定理的证明. 在他所写的“勾股方圆图注”中有这样一段话：“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这句话的意思是：按弦图（图27）， ab 等于两个直角三角形的面积， 2ab 等于四个直角三角形的面积， (b -a )2是中间这个正方形的面积, 把这四个直角三角形和一个正方形并在一起，就得到一个边长是c 的正方形，就是2ab +(b -a )2=c 2，化简后就得到a 2+b 2=c 2. 从这里，他还得到一些更复杂的结果，如：c b c a b c =+++)(2)(22；b b c a b c =+-+)(2)(22；c b a b c a c -+=--))((2；.)()(2222•a b b a c -=+-在几何里，我们已经知道勾股定理有两种证明方法，一种是根据直角三角形中比例线段定理来证明的；另一种是用计算面积的方法来证明的，这种方法又叫做面积割补法. 由于割补的方法不同，所采用的面积图也就各式各样. 我国古代数学家创造了许多这样的图，根据每一张图，都可以推出勾股定理.先看图28，因为正方形CDEF 的面积=正方形MNOP 的面积，又正方形CDEF 的面积=242ab c ∙+，正方形MNOP 的面积=2422ab b a ∙++，所以 a 2+b 2=c 2.再看图29：（图里用罗马数字表示图形的面积，并且用相同的罗马数字表示全等的图形.）全图的面积=c 2+I+II+III ，或者全图的面积=b 2+a 2+I+II+III ，所以c2=a2+b2.下面我们附了12个图，读者可以当做练习写出它的推理过程. 如果你有兴趣的话，还可以另外设计几个图.比《周髀算经》稍微晚一点的古算书，要推汉时代的《九章算术》了. 在这本书里谈到勾股弦的一些整数关系：32+42=52，52+122=132，72+242=252，82+152=172，202+212=292. 它说明，适合于方程 a 2+b 2=c 2 （Ⅰ）的自然数有上列五组. 我们把每一组数叫做勾股数组. 如果我们能记熟这些数组，就可以节省一些计算时间. 但是，适合于方程（Ⅰ）的自然数是否只有这五组呢？中外古代数学家对这个问题作了研究，发现组数是无限的，并且可以由下列公式算,,2,2222•n m •••••••••cmn •••••••b•n m a +==-=其中m 和n 是自然数，并且m ＞n .例如设：m =2，n =1，就有32+42=52，（1） m =3，n =2，就有52+122=132，（2） m =3，n =1，就有82+62=102，（3） m =4，n =3，就有72+242=252，（4） m =4，n =2，就有122+162=202，（5） m =4，n =1，就有152+82=172，（6） m =5，n =4，就有92+402=412，（7） m =5，n =3，就有162+302=342，（8） m =5，n =2，就有212+202=292，（9） m =5，n =1，就有242+102=262，（10）按照上述推算公式得出的数组一定是勾股数组，道理很简单，因为,2)(42242222••n n m m n m c ++=+=而,2)2()(4224222222•n n m m ••••••mn n m b a ++=+-=+所以 .222•b a c +=读者一定想知道，上面这个推算公式是怎样产生的，是否包括所有适合方程（Ⅰ）的自然数解. 不忙，我们先来考察一下上面写出的几组数有什么特征.首先，我们注意到，（3）可以由（1）产生，就是把（1）里的3，4，5各个数同乘以2就得到（3）；同样的，（5）也可以由（1）产生；而（8）可以由（6）产生；（10）可以由（2）产生. 也就是说，（3），（5），（8），（10）各组数有一个特征：就是每组数里的三个数a、b、c都有一个公约数不是1，而这个公约数不是1. 这样的数组没有什么稀奇，我们需要多少，就可以产生多少. 例如，把第一组里的3，4，5都乘以2，得6、8、10；都乘以3，得9、12、15；都乘以4，得12、16、20；……；这些新的数组一定适合于方程（Ⅰ）. （读者可以想一想：这是为什么？）所以，我们在研究找出勾股数组的时候，可以假定a、b、c三数互质. 所谓几个数互质就是这几个数除了1以外，再没有公约数. 如果用符号（a、b、c）表示括号内各数的最大公约数，a、b、c三数互质，就可以简单地表示成（a、b、c）=1；如果a、b、c三数不互质，就可以简单财表示成（a、b、c）≠1. 例如，（3，8，2）=1，（6，8，10）=2≠1；同样（4，7）=1，（3，6）=3≠1.其次，我们再考察一下，a、b、c互质的那些数组还有什么特征. 先看下面这个表：可以看出：（1）a与b互质，a与c互质，b与c也互质，也就是说，a、b、c三数中两两互质.（2）c都是奇数，并且a、b两数都是一奇一偶.那么，对于所有a、b、c互质的数组，上面这两点是不是都成立呢？我们说，这两点都成立. 现在我们来证明它.先证）（1）.设（a，b）=d≠1，那么a和b分别写成a=a′d，b=b′d，其中（a′，b′）=1.由勾股定理可得（a′d）2+（b′d）2=c2，两边同除以d2，得a′2+b′2=2⎪⎭⎫⎝⎛dc.因为a′和b′都是自然数，2⎪⎭⎫⎝⎛dc也就应当是自然数，也就是说，c有约数d(d≠1). 这样一来，a、b、c有公约数d(d≠1). 这和假设a、b、c互质是矛盾的. 所以（a，b）=1.读者可以试一试证明：（b，c）=1；（a，c）=1.再证（2）.设c是偶数，并且使c=2c′，那么a和b就都不能是偶数，否则偶数a（或者偶数b）和偶数c就不互质[这和（1）相矛盾]. 因此，当c是偶数时，a、b一定都是奇数，设a=2a′-1，b=2b′-1，由勾股定理可得(2a′-1)2+(2b′-1)2=(2c′)2，(4a′2-4a′+1)+(4b′2-4b′+1)=4c′2，2=4(c′2-a′2-b′2+a′+b′)，1=2(c′2-a′2-b′2+a′+b′).可以看到，这里，左边是奇数而右边是偶数，这是不可能的.由此可知，c 不能是偶数，也就是c 一定是奇数.那么，当c 是奇数时，a 和b 是不是一奇一偶呢？我们说，是的. 证明一下： a 和b 只有下列三种可能情况：a 和b 都是偶数；a 和b 都是奇数；a 和b 是一奇一偶.如果我们能够说明前面两种情况是不存在的，那么a 和b 就一定是一奇一偶了. a 和b 不可能都是偶数，否则，a 、b 不互质，这和（1）相矛盾；a 和b 也不可能都是奇数，否则，a 2+b 2=偶数=c 2，这样c 也就是偶数了，但是上面已经说明c 不能是偶数；因此，a 和b 一定是一奇一偶. （上面这种证法叫做穷举法，就是把所有可能发生的情况都列举出来，然后一个一个地加以否定，余下一种没有能被否定的情况就一定成立. 穷举法是反证法的一种，在数学里经常被采用.）这样，我们就得到关于勾股数组的两个基本性质：如果a 2+b 2=c 2，并且（a ，b ，c ）=1，那么（1）（a ，b ）=（a ，c ）=（b ，c ）=1；（2）c 一定是奇数，而a 和b 一定是一奇一偶. （为了今后叙述的方便起见，如果不加说明的话，我们就设a 是奇数，b 是偶数.）有了上面这点准备工作，我们就可以导出勾股数组的推算的公式了. 导出勾股数组的推算公式的方法很多，这里只介绍其中的两种. 第一种推导的方法：假设a 、b 、c 适合于方程（Ⅰ），并且（a ，b ，c ）=1. 因为c 和a 都是奇数[性质（2）]，所以c +a 和c - a 都是偶数，我们可以设c +a =2ud ， c-a =2vd ，这里，（u ，v ）=1，并且u >v .代入方程（Ⅰ），得 .22))((222vd ••ud ••a c a c a c b ∙=-+=-=所以 b 2=uv (2d )2.因为u 和v 互质，这个等式只有在u 和v 都是平方数的时候才可能成立，设u =m 2，v =n 2，就得b 2=m 2n 2(2d )2，就是b =2mnd .这里，m >n ，（m ，n ）=1.因为⎪⎩⎪⎨⎧==-==+;22,2222d •n vd a c d •m ud a c 解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=.)(,)(2222d •n m c d •n m a 因为（a ，b ，c ）=1，可以推得d =1，又因为a 、c 都是奇数，那么m 和n 一定是一奇一偶. 这样，我们就得到勾股数组的推算公式：,,2,2222•n m •c mn ••b •n m a +==-=这里（m ，n ）=1，m >n ，并且m 和n 是一奇一偶.第二种推导方法：因为a+b >c ，设m >n ，那么m mn(1<、n 都是自然数），所以总可以得到 .c b mna =∙+（例如，a =3，b =4，c =5的时候，可以使m =4，n =2，得.54423c •b m n a ==∙+=+）两边平方，得.2,2222222•c b mn ab m n ••••a•••••••••••c b m n a =∙+∙∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+把c 2=a 2+b 2代入上式，得,2,22222222222ab •mnb m n •••••••••b•b a b mn ab m n a ∙=∙-+=∙+∙+ .2,2)(2222•mnbn m a •••••••••••••mna •n m b =-=- 设这两个比的比值是k ，那么 mnbn m a•222=-=k ， a =(m 2-n 2)k ， b =2mnk . 代入方程（Ⅰ），可得c =(m 2+n 2) k .再设k =1，就有a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2.（m >n ）这样，我们也导出了勾股数组的推算公式.在（a 、b 、c ）=1的条件下，前面已经获得两个重要的基本性质，这些性质对于我们记忆勾股数组是有很大帮助的. 下面，我们再研究一下，还有一些什么样的类似的性质呢？观察一下第28页的表，可以发现b+c 是一个平方数，例如，4+5=32，12+13=52，24+25=72，8+17=52，40+41=92，20+29=72. 这样，我们就有理由设想“b+c 总是一个完全平方数”. 事实上，这个论断也是成立的. 证法如下：b +c =2mn +(m 2+n 2)=(m+n )2.发现这个论断，我闪是相当兴奋的，因为这个论断对我们记忆或者判断一组数是否为勾股数组会有很大的帮助的. 不过要注意，如果三个数只符合这个论断，它们不一定就是勾股数组；但是，如果它们不符合这个论断，我们就可以肯定地说：这个数组不是勾股数组. 也就是说，“b+c =完全平方数”这个条件是a 、b 、c 构成勾股数组的必要条件，而不是充分条件.如果我们再仔细观察一下这个表，还可以发现：（1）2ca +也是一个完全平方数；（2）abc 一定能被60整除.（1）是很容易证明的（读者可以自己证一下）；（2）的证明已经超出你们的知识范围，这里就不谈了.练习1．设a 2+b 2+c 2；（1）如果（a ，b ，c ）=1，a 是奇数，证明：22ac ••a c -+和都是完全平方数. （2）如果b 是偶数，证明b 能被4整除.2．取一个奇数，例如67，那么672=4489，把4489分成相差1的两个数，就得2244和2245，这样，这三个数：67、2244、2245就是一组勾股数. 在一般情况下，你能证实这个结论吗？3．在第28页的那个表里，有些勾股数组有下列性质：c -b =1, 证明：在c-b =1的条件下，推算勾股数组的公式可以表示成：a =2m -1，b =2m 2-2m ，c =2m 2-2m +1.4．下面这个图形是由8个全等的正方形组成的，你能把它变成一个面积相等的大正方形吗？（采用割补法）5．下面这个图形是由5个全等的正方形组成的，你能把它变成一个面积相等的大正方形吗？（采用割补法）.本文节选自《圆和二次方程》上海教育出版社。

常用勾股数

常用的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等等。

勾股数，又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

勾股数的依据是勾股定理。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。

反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。

据《周髀算经》中记述，公元前一千多年周公与商高论数的对话中，商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素。

古埃及在公元前2600年的纸莎草就有（3,4,5）这一组勾股数，而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（12709，13500，18541）。

勾股数概念

勾股数概念勾股数概念是一个与直角三角形密切相关的数学概念。

在勾股数概念中，有一个重要的定理被称为勾股定理。

勾股定理表述如下：在一个直角三角形中，假设边长分别为a、b和c，其中c为斜边（即直角三角形的斜边），而a和b为直角三角形的两条其他边。

则根据勾股定理，成立以下关系：a^2 + b^2 = c^2。

这个定理源自古希腊数学家毕达哥拉斯的研究，故又称为毕达哥拉斯定理。

勾股数指的是满足勾股定理的整数组合。

例如，3、4和5是勾股数，因为3^2 + 4^2 = 5^2。

同样的道理，5、12和13也是勾股数，因为5^2 + 12^2 = 13^2。

除了整数勾股数外，还存在有理数勾股数和无理数勾股数。

有理数勾股数是指满足勾股定理的有理数组合，而无理数勾股数是指满足勾股定理的无理数组合。

勾股数概念在几何学和三角学中具有广泛的应用。

它可以用于计算直角三角形的边长、角度和面积等问题，同时也是其他数学和物理学分支的基础。

勾股数概念是古代数学中一个重要而有趣的内容。

在古希腊时期，勾股数得以广泛研究和运用，尤其是由毕达哥拉斯提出的勾股定理成为了几何学和数学中的重要定理之一。

在直角三角形中，我们知道直角三角形的一个内角是90度，而由勾股定理可知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个简单而重要的数学关系为我们解决各种几何问题提供了便利，也激发了许多人对数学的兴趣和探索。

勾股数不仅仅是整数，还可以是有理数和无理数。

有理数是指可以用整数表示为分数的数，而无理数是不能写为有理数的分数形式的数。

有理数勾股数的例子包括3、4和5这样的整数组合，也包括如1.5、2.5和2.91547594742这样的有理数组合。

而像根号2、根号3这样的无理数组合也可以构成勾股数。

勾股数的概念不仅仅存在于数学领域，它还渗透到了许多领域，如物理学、工程学等。

在物理学中，勾股数被广泛用于描述力的合成、速度的计算等问题；在工程学中，勾股数常常用于设计建筑、制作工艺等方面。

勾股数

2．任取两个正整数m、n、（m>n），那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。
证明： a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 a、b、c构成一组勾股数。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方；= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5
则说明斜边为5。
编辑本段多种证明方法
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。
(2）若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。例如8是勾股数组中的一个数。那么8、15，17便是一组勾股数。
证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 （2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数
勾股数组的通式：
a=M²-N²
b=2MNc=M²+N² (M>N,M,N为正整数）

100以内常用勾股数组

100以内常用勾股数组勾股定理是数学中一个重要的理论，他指出两个正整数的平方和等于另外一个正整数的平方，即：a+b = c，其中a和b称为勾股数。

因此，中学生一般都要掌握勾股数的知识，本文将介绍100以内的常用勾股数组。

首先，我们介绍1到10之间常用的勾股数组：3-4-5、5-12-13、7-24-25。

3-4-5为最常见的勾股数，由3+4=5成立，它在经典传统建筑中能够引人注目，最著名的例子就是古希腊的宙斯神殿。

5-12-13也是常用的勾股数组，它可以通过5+12=13证明。

它在建筑中的应用最著名的例子就是希伯来教堂，垂直支撑和双重砖柱都用到了这个勾股数组。

7-24-25是另一个常用的勾股数，它可以证明7+24=25。

它被用于古代建筑，比如印度的塔拉德拉塔，它就用到了7-24-25的勾股数组。

另外，我们还要介绍像20-21-29、28-45-53、36-77-85这类常用勾股数组。

20-21-29的勾股数组来自20+21=29。

它在建筑中的应用被应用在古哲学建筑中，比如古希腊的圆形十字架。

28-45-53的勾股数可以通过28+45=53的公式得出，它曾经在古希腊的神庙中被使用，作为神庙的支撑技术。

36-77-85的勾股数可以通过36+77=85的公式得出，它也被用于古代建筑，比如印度教堂，它也用到了这种勾股数组。

此外，40或以上的勾股数组也很常用，如63-80-97、60-91-109、84-87-141、 75-90-105等，它们也形成了古代建筑中重要的一部分。

63-80-97的勾股数可以通过63+80=97的公式得出，它被用于古代庙宇建筑，比如埃及的克里特神庙。

60-91-109的勾股数可以由60+91=109的公式证明，它也被用于古希腊的神殿，比如土耳其的卫兰神殿。

84-87-141的勾股数可以通过84+87=141的公式得出，它也被用于古代建筑，比如古印度的婆罗门神庙。

75-90-105的勾股数可以由75+90=105的公式证明，它曾经被用于古代庙宇建筑，比如伊朗的苏莱曼清真寺。

构造勾股数组的几个方法

构造勾股数组的几个方法我们知道勾股定理在西方又叫毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

在数论中，如果两个正整数的平方和等于第三个正整数的平方，我们把这三个正整数叫作勾股数组。

如果一组勾股数组中的三个数互质，则这样的勾股数组叫作基本解。

如果正整数n m 、互质，且一奇一偶，则正整数2m -2n ,2mn 和2m +2n 构成勾股数组的基本解。

验证如下：（2m -2n ）2=4m -22m 2n +4n ;（2mn ）2=42m 2n ;则：（2m -2n ）2+（2mn ）2=4m -22m 2n +4n +42m 2n=4m +22m 2n +4n（2m +2n ）2=4m +22m 2n +4n 所以：（2m -2n ）2+（2mn ）2=（2m +2n ）2验证完毕。

很显然，勾股数组基本解的正整数倍数也能构成勾股数组。

根据勾股数组基本解的公式我们可以由一个数构造出一个勾股数组。

一、除1以外的所有正奇数可以构造出一组勾股数组，它们是2n +1、22n +2n 、22n +2n +1。

验证如下：（2n +1）2+（22n +2n ）2=42n +4n +1+44n +83n +42n =44n ++83n +82n +4n +1；（22n +2n +1）2=44n +43n +22n +43n +42n +2n +22n +2n +1 =44n +83n +82n +4n +1。

所以：（2n +1）2+（22n +2n ）2=（22n +2n +1）2。

二、若除1以外的正奇数n =pq ，p 、q 为正整数，且p >q ，则根据n =pq =2m -2n=（n m +）（n m -）可得：m =2q p +，n =2q p -，则这组勾股数组是pq 、（2p -2q ）2、（2p +2q ）2。

验证如下：（pq ）2+[（2p -2q ）2]2=2p 2q +（p4-2p 2q 2+q4）4=42p 2q 4+（p4-2p 2q 2+q4）4=（p4+2p 2q 2+q4）4；[（2p +2q ）2]2=（p4+2p 2q 2+q4）4。

勾股定理数组的规律

勾股定理数组的规律稿子一嘿，朋友！今天咱们来聊聊勾股定理数组的规律，这可有意思啦！你知道吗？勾股定理说的是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

那勾股定理数组呢，就是满足这个关系的一组数。

比如说 3、4、5 就是一组常见的勾股数，因为 3 的平方加上 4 的平方正好等于 5 的平方。

我发现勾股定理数组有个好玩的地方，就是如果一组数是勾股数，那给它们同时乘以一个整数，得到的新数组还是勾股数。

就像3、4、5 乘以 2 变成 6、8、10，还是满足勾股定理呢！还有哦，勾股定理数组的规律可不只是这些。

如果一组勾股数中最小的奇数是 m，那另外两个数就是(m² 1) / 2 和(m² + 1) /2 。

是不是有点神奇？比如说 5 是最小的奇数，按照这个规律算，另外两个数就是(5² 1) / 2 = 12 ，(5² + 1) / 2 = 13 ，5、12、13 果然也是勾股数！怎么样，勾股定理数组的规律是不是很有趣？咱们接着探索！其实啊，勾股定理数组还有很多隐藏的小秘密等着我们去发现呢。

每次找到新的规律，都感觉像是找到了宝藏一样开心！对啦，你要是在做题的时候能熟练运用这些规律，那可就轻松多啦，简直是如虎添翼！好啦，今天就先聊到这儿，咱们下次继续深挖勾股定理数组的奇妙世界！稿子二嗨呀，亲爱的小伙伴！咱们又见面啦，今天来唠唠勾股定理数组的规律哟！说起勾股定理数组，那可是数学里的小精灵，藏着好多好玩的秘密。

你想想，像 6、8、10 或者 5、12、13 这样的数组，它们之间的关系是不是特别奇妙？这就是勾股定理的魅力所在。

我发现啊，勾股定理数组中的数好像总是有着特殊的“默契”。

比如说，如果一组勾股数中最大的数是偶数，那么另外两个连续的奇数就是勾股数。

还有还有，如果一组勾股数从小到大排列，相邻两个数的差也有规律呢。

有时候它们的差是固定的，有时候又会按照某种模式变化。

而且哦，勾股定理数组在实际生活中也有大用处呢！比如说盖房子的时候，工人师傅要确定直角，就可以用勾股定理数组来帮忙。

勾股数的特点和规律

勾股数的特点和规律嘿，朋友们！今天咱来聊聊勾股数那些有意思的事儿。

你们知道吗，勾股数就像是数学世界里的一群小精灵，特别有趣！啥是勾股数呢？简单说，就是满足直角三角形三边关系的三个整数。

比如说 3、4、5 就是一组勾股数，因为 3 的平方加上 4 的平方正好等于 5 的平方呀。

你想想看，这勾股数多神奇啊！它们就像是被施了魔法一样，总是那么恰到好处地组合在一起。

而且哦，勾股数还有很多特点呢。

它们可不是随便出现的，而是有着自己的规律。

就好像一群小伙伴，有着自己的小团体规则。

比如说，一组勾股数中，必定有一个是奇数。

这多有意思呀，难道奇数就特别受勾股数的青睐？再比如说，较大的那个数往往是两个较小数的和或者差。

这就好像是它们之间的一个小秘密约定。

咱再来看看，勾股数还可以无限扩展呢！你找到一组勾股数，就能通过一些方法找到更多的勾股数。

这就像是打开了一个神奇的盒子，里面有无尽的宝藏等你去发现。

哎呀呀，这勾股数不就像是生活中的那些小惊喜吗？有时候你不经意间就会遇到，然后感叹一声：“哇，原来还有这样的奇妙之处！”它们让我们看到数学并不是那么枯燥无味，而是充满了乐趣和奥秘。

你说，如果我们把勾股数比作是一场奇妙的冒险，那每一组勾股数是不是就是一个独特的关卡呢？我们要去探索它们，了解它们的特点和规律，就像是在冒险中不断解开谜题一样。

而且啊，勾股数可不仅仅是在数学课本里才有哦，在我们的生活中也能找到它们的影子呢！比如建筑设计中，不是就得考虑直角和边长的关系嘛，这不就是勾股数在发挥作用嘛。

总之呢，勾股数就是这么神奇、这么有趣。

它们就像是数学世界里的一颗颗璀璨明珠，等着我们去发现、去欣赏。

所以啊，大家可别小瞧了这些小小的勾股数，它们里面蕴含的智慧和乐趣可多着呢！它们是数学的魅力所在，也是我们探索知识的无尽动力呀！大家都快来一起感受勾股数的奇妙吧！。

勾股定理常用数组根号及规律

勾股定理常用数组根号及规律一、基本原理勾股定理中，直角边的平方和等于斜边的平方，即c2 = a2 + b2。

如果已知其中任意两个量，就可以求出剩下的一个量。

举个例子，已知直角边a和斜边c的长度，便可通过勾股定理计算出直角边b的长度，即b = √(c2 - a2)。

同理，已知直角边b和斜边c的长度，也可以计算出直角边a的长度。

另外，勾股定理还可以用于判定三角形是否为直角三角形。

如果已知三角形三边长度，若满足c2 = a2 + b2，则该三角形为直角三角形。

二、勾股数勾股数指的是满足勾股定理的正整数数对，如(3,4,5)、(5,12,13)等。

勾股数是勾股定理的经典应用，也是直角三角形中最简单、最常见的形态。

具体而言，勾股数有以下性质：1. 勾股数一定存在。

根据欧几里得算法，任意两个正整数a 和b（a>b）都可以表示成a = k·b + r的形式，其中k、r为正整数，r n>0。

2. 勾股数有无限多组。

因为可以取不同的整数m和n，得到不同组的勾股数。

3. 勾股数中，斜边是两直角边的算术平均数。

即c =(a+b)/2，这是勾股定理的另一种表述形式。

4. 每个奇数都可以表示成两个平方数之差。

根据勾股数的通式，若n为奇数，则取n=2k+1，即可得到a=k2-(k+1)2，b=2k(k+1)，c=k2+(k+1)2。

因此，每个奇数都可以表示成两个平方数之差。

三、根号的运算在勾股定理的运算中，根号起到了举足轻重的作用。

根据勾股定理的通式c = √(a2 + b2)，可以将根号的运算归纳为以下几种：1. 带根式的加减法。

如√2 + √3、√5 - √2等。

2. 带根式的乘法。

如√2·√3、(√2 + √3)·(√2 - √3)等。

3. 带根式的除法。

如√10/√2、(√6+√2)/(√6-√2)等。

4. 同底数根式的加减法。

如3√2 + 2√2、4√3 - 2√3等。

5. 平方根的运算。

勾股数定理

勾股数定理勾股数定理，又称勾股定理，是数学中的一条基本定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。

勾股数定理的发现可以追溯到公元前6世纪的古希腊，由毕达哥拉斯提出并证明，因此也被称为毕达哥拉斯定理。

勾股数定理可以用简洁的数学语言表述为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则有a² + b² = c²。

这个定理在解决各种几何问题中具有广泛的应用，也是许多高等数学课程的基础。

勾股数定理的证明可以通过几何方法、代数方法和物理方法等多种途径，其中最著名的是几何证明。

几何证明是通过构造图形，运用几何性质和推理来证明定理的正确性。

例如，可以通过在直角三角形的两条直角边上构造正方形，然后利用面积的性质来证明勾股数定理。

除了几何证明，还可以通过代数方法证明勾股数定理。

代数证明利用了平方差公式和因式分解等数学工具，通过变换和化简等步骤，将定理转化为数学等式的形式，从而得到证明。

物理方法则是利用物理实验和测量来验证勾股数定理，例如利用尺子和角度计等工具测量直角三角形的边长和角度，通过比较测量结果来验证定理。

勾股数定理的应用非常广泛。

首先，它在解决几何问题中起到重要的作用。

例如，可以利用勾股数定理来求解未知边长或角度的问题，计算三角形的面积和周长等。

其次，勾股数定理也广泛应用于物理学和工程学中。

在力学中，可以利用该定理计算斜面上物体的重力分量和斜面倾角等。

在建筑学和测量学中，可以利用该定理进行测量和设计。

此外，勾股数定理还被用于密码学、图像处理和计算机图形学等领域。

勾股数定理不仅仅是一条数学定理，它还反映了数学思维的严谨和逻辑性。

它的发现和证明过程充分展示了人类智慧的闪光点，也是培养学生逻辑思维和问题解决能力的重要内容之一。

因此，学习勾股数定理对于培养学生的数学素养和综合能力具有重要的意义。

勾股数定理作为数学中的一条基本定理，具有广泛的应用价值和深远的影响。

它不仅帮助我们解决各种几何问题，还反映了数学思维的严谨性和逻辑性。

史仲夏勾股数组通解公式及（3≤a≤100）常用勾股数组表

史仲夏勾股数组通解公式及（3≤a≤100）常⽤勾股数组表史仲夏勾股数组通解公式及（3≤a≤100）常⽤勾股数组表公式：a^2+b^2=(b+k)^2，k=1.2.3.……令a=mk，b=k(m^2-1)/2。

规律：当a=质数时，k=1且只有⼀组勾股数组。

当a=质数的2倍时，k=2，也只有⼀组勾股数组。

k必须是整数，m通常是奇数或分数。

除⾮k与m同是偶数。

k为奇数时，为分母的平⽅。

k为偶数时，为分母的⽴⽅。

a=mk=3，k=1，m=3，b=k(m^2-1)/2=4，3^2+4^2=5^2a=mk=4，k=2，m=2，b=k(m^2-1)/2=3，4^2+3^2=5^2*a=mk=5，k=1，m=5，b=k(m^2-1)/2=12，5^2+12^2=13^2a=mk=6，k=2，m=3，b=k(m^2-1)/2=8，6^2+8^2=10^2a=mk=7，k=1，m=7，b=k(m^2-1)/2=24，7^2+24^2=25^2a=mk=8，k=2，m=4，b=k(m^2-1)/2=15，8^2+15^2=17^2a=mk=8，k=4，m=2，b=k(m^2-1)/2=6，8^2+6^2=10^2*a=mk=9，k=1，m=9，b=k(m^2-1)/2=40，9^2+40^2=41^2a=mk=9，k=3，m=3，b=k(m^2-1)/2=12，9^2+12^2=15^2a=mk=10，k=2，m=5，b=k(m^2-1)/2=24，10^2+24^2=26^2a=mk=11，k=1，m=11，b=k(m^2-1)/2=60，11^2+60^2=61^2a=mk=12，k=2，m=6，b=k(m^2-1)/2=35，12^2+35^2=37^2a=mk=12，k=4，m=3，b=k(m^2-1)/2=16，12^2+16^2=20^2a=mk=12，k=6，m=2，b=k(m^2-1)/2=9，12^2+9^2=15^2*a=mk=12，k=8，m=3/2，b=k(m^2-1)/2=5，12^2+5^2=13^2*a=mk=13，k=1，m=13，b=k(m^2-1)/2=84，13^2+84^2=85^2a=mk=14，k=2，m=7，b=k(m^2-1)/2=48，14^2+48^2=50^2a=mk=15，k=1，m=15，b=k(m^2-1)/2=112，15^2+112^2=113^2a=mk=15，k=3，m=5，b=k(m^2-1)/2=36，15^2+36^2=39^2a=mk=15，k=5，m=3，b=k(m^2-1)/2=20，15^2+20^2=25^2a=mk=15，k=9，m=5/3，b=k(m^2-1)/2=72，15^2+72^2=81^2a=mk=16，k=2，m=8，b=k(m^2-1)/2=63，16^2+63^2=65^2a=mk=16，k=8，m=2，b=k(m^2-1)/2=12，16^2+12^2=20^2*a=mk=16，k=4，m=4，b=k(m^2-1)/2=30，16^2+30^2=34^2a=mk=17，k=1，m=17，b=k(m^2-1)/2=44，17^2+44^2=45^2a=mk=18，k=2，m=9，b=k(m^2-1)/2=80，18^2+80^2=82^2a=mk=18，k=6，m=3，b=k(m^2-1)/2=24，18^2+24^2=30^2a=mk=19，k=1，m=19，b=k(m^2-1)/2=180，19^2+180^2=181^2a=mk=20，k=2，m=10，b=k(m^2-1)/2=99，20^2+99^2=101^2a=mk=20，k=4，m=5，b=k(m^2-1)/2=48，20^2+48^2=52^2a=mk=20，k=8，m=5/2，b=k(m^2-1)/2=21，20^2+21^2=29^2a=mk=20，k=10，m=2，b=k(m^2-1)/2=15，20^2+15^2=25^2*a=mk=21，k=1，m=21，b=k(m^2-1)/2=220，21^2+220^2=221^2a=mk=21，k=3，m=7，b=k(m^2-1)/2=72，21^2+72^2=75^2a=mk=21，k=7，m=3，b=k(m^2-1)/2=28，21^2+28^2=35 ^2a=mk=21，k=9，m=7/3，b=k(m^2-1)/2=20，21^2+20^2=29^2*a=mk=22，k=2，m=11，b=k(m^2-1)/2=120，22^2+120^2=122^2a=mk=23，k=1，m=23，b=k(m^2-1)/2=264，23^2+264^2=265^2a=mk=24，k=2，m=12，b=k(m^2-1)/2=143，24^2+143^2=145^2a=mk=24，k=4，m=6，b=k(m^2-1)/2=70，24^2+70^2=74^2a=mk=24，k=6，m=4，b=k(m^2-1)/2=45，24^2+45^2=51^2a=mk=24，k=8，m=3，b=k(m^2-1)/2=32，24^2+32^2=40^2a=mk=24，k=12，m=2，b=k(m^2-1)/2=18，24^2+18^2=30^2*a=mk=24，k=16，m=3/2，b=k(m^2-1)/2=10，24^2+10^2=26^2*a=mk=24，k=18，m=4/3，b=k(m^2-1)/2=7，24^2+7^2=25^2*a=mk=25，k=1，m=25，b=k(m^2-1)/2=112，25^2+612^2=613^2a=mk=25，k=5，m=5，b=k(m^2-1)/2=，25^2+60^2=65^2a=mk=28，k=8，m=7/2，b=k(m^2-1)/2=45，28^2+45^2=53^2a=mk=28，k=14，m=2，b=k(m^2-1)/2=21，28^2+21^2=35^2*a=mk=29，k=1，m=29，b=k(m^2-1)/2=420，29^2+420^2=421^2a=mk=30，k=2，m=15，b=k(m^2-1)/2=224，30^2+224^2=226^2a=mk=30，k=6，m=5，b=k(m^2-1)/2=72，30^2+72^2=78^2a=mk=30，k=10，m=3，b=k(m^2-1)/2=40，30^2+40^2=50^2a=mk=30，k=18，m=5/3，b=k(m^2-1)/2=16，30^2+16^2=34^2*a=mk=31，k=1，m=31，b=k(m^2-1)/2=480，31^2+480^2=481^2a=mk=32，k=2，m=16，b=k(m^2-1)/2=255，32^2+255^2=257^2a=mk=32，k=4，m=8，b=k(m^2-1)/2=126，32^2+126^2=130^2a=mk=32，k=8，m=4，b=k(m^2-1)/2=60，32^2+60^2=68^2a=mk=32，k=16，m=2，b=k(m^2-1)/2=，32^2+24^2=40^2*a=mk=33，k=1，m=33，b=k(m^2-1)/2=544，33^2+544^2=545^2a=mk=33，k=3，m=11，b=k(m^2-1)/2=180，33^2+180^2=183^2a=mk=33，k=9，m=11/3，b=k(m^2-1)/2=56，33^2+56^2=65^2a=mk=33，k=11，m=3，b=k(m^2-1)/2=44，33^2+44^2=55^2a=mk=34，k=2，m=17，b=k(m^2-1)/2=288，34^2+288^2=290^2a=mk=35，k=1，m=35，b=k(m^2-1)/2=612，35^2+612^2=613^2a=mk=35，k=5，m=7，b=k(m^2-1)/2=120，35^2+120^2=125^2a=mk=35，k=7，m=5，b=k(m^2-1)/2=84，35^2+84^2=95^2a=mk=35，k=25，m=7/5，b=k(m^2-1)/2=12，35^2+12^2=37^2a=mk=36，k=2，m=18，b=k(m^2-1)/2=323，36^2+323^2=325^2a=mk=36，k=6，m=6，b=k(m^2-1)/2=105，36^2+105^2=111^2a=mk=36，k=8，m=9/2，b=k(m^2-1)/2=77，36^2+77^2=85^2a=mk=36，k=12，m=3，b=k(m^2-1)/2=48，36^2+48^2=60^2a=mk=36，k=18，m=2，b=k(m^2-1)/2=27，36^2+27^2=35^2*a=mk=37，k=1，m=37，b=k(m^2-1)/2=684，37^2+684^2=685^2a=mk=38，k=2，m=19，b=k(m^2-1)/2=360，38^2+360^2=361^2a=mk=39，k=1，m=39，b=k(m^2-1)/2=760，39^2+760^2=761^2a=mk=39，k=3，m=13，b=k(m^2-1)/2=252，39^2+252^2=255^2a=mk=39，k=9，m=13/3，b=k(m^2-1)/2=80，39^2+80^2=89^2a=mk=40，k=2，m=20，b=k(m^2-1)/2=399，40^2+399^2=401^2a=mk=40，k=4，m=10，b=k(m^2-1)/2=198，40^2+198^2=202^2a=mk=40，k=8，m=5，b=k(m^2-1)/2=96，40^2+96^2=104^2a=mk=40，k=10，m=4，b=k(m^2-1)/2=75，40^2+75^2=85^2a=mk=40，k=32，m=5/4，b=k(m^2-1)/2=9，40^2+9^2=41^2*a=mk=41，k=1，m=41，b=k(m^2-1)/2=840，41^2+840^2=841^2a=mk=42，k=2，m=21，b=k(m^2-1)/2=440，42^2+440^2=442^2a=mk=42，k=6，m=7，b=k(m^2-1)/2=144，42^2+144^2=150^2a=mk=42，k=14，m=3，b=k(m^2-1)/2=56，42^2+56^2=70^2a=mk=42，k=18，m=7/3，b=k(m^2-1)/2=40，42^2+40^2=58^2a=mk=43，k=1，m=43，b=k(m^2-1)/2=924，43^2+924^2=925^2a=mk=44，k=2，m=22，b=k(m^2-1)/2=483，44^2+483^2=485^2a=mk=44，k=4，m=11，b=k(m^2-1)/2=240，44^2+240^2=244^2a=mk=44，k=8，m=11/2，b=k(m^2-1)/2=117，44^2+117^2=125^2 a=mk=44，k=22，m=2，b=k(m^2-1)/2=33，44^2+33^2=55^2*a=mk=45，k=1，m=45，b=k(m^2-1)/2=1012，45^2+1012^2=1013^2 a=mk=45，k=3，m=15，b=k(m^2-1)/2=336，45^2+336^2=339^2a=mk=45，k=5，m=9，b=k(m^2-1)/2=200，45^2+200^2=205^2a=mk=45，k=9，m=5，b=k(m^2-1)/2=108，45^2+108^2=117^2a=mk=45，k=15，m=3，b=k(m^2-1)/2=60，45^2+60^2=75^2a=mk=45，k=27，m=5/3，b=k(m^2-1)/2=24，45^2+24^2=51^2*a=mk=46，k=2，m=23，b=k(m^2-1)/2=528，46^2+528^2=530^2a=mk=47，k=1，m=47，b=k(m^2-1)/2=1104，47^2+1104^2=1105^2 a=mk=48，k=2，m=24，b=k(m^2-1)/2=575，48^2+575^2=577^2a=mk=48，k=4，m=12，b=k(m^2-1)/2=286，48^2+286^2=290^2a=mk=49，k=1，m=49，b=k(m^2-1)/2=1200，49^2+1200^2=1201^2 a=mk=49，k=7，m=7，b=k(m^2-1)/2=168，49^2+168^2=175^2a=mk=50，k=2，m=25，b=k(m^2-1)/2=624，50^2+624^2=626^2a=mk=50，k=10，m=5，b=k(m^2-1)/2=120，50^2+120^2=130^2a=mk=51，k=1，m=51，b=k(m^2-1)/2=1300，51^2+1300^2=1301^2 a=mk=51，k=3，m=17，b=k(m^2-1)/2=432，51^2+432^2=435^2a=mk=51，k=9，m=17/3，b=k(m^2-1)/2=140，51^2+140^2=149^2 a=mk=51，k=17，m=3，b=k(m^2-1)/2=68，51^2+68^2=85^2a=mk=52，k=2，m=26，b=k(m^2-1)/2=675，52^2+675^2=677^2a=mk=52，k=4，m=13，b=k(m^2-1)/2=336，52^2+336^2=340^2a=mk=52，k=8，m=13/2，b=k(m^2-1)/2=165，52^2+165^2=173^2 a=mk=52，k=26，m=2，b=k(m^2-1)/2=39，52^2+39^2=65^2*a=mk=53，k=1，m=53，b=k(m^2-1)/2=1404，53^2+1404^2=1405^2 a=mk=54，k=2，m=27，b=k(m^2-1)/2=728，54^2+728^2=730^2a=mk=54，k=6，m=9，b=k(m^2-1)/2=240，54^2+240^2=246^2a=mk=54，k=18，m=3，b=k(m^2-1)/2=72，54^2+72^2=90^2a=mk=55，k=1，m=55，b=k(m^2-1)/2=1512，55^2+1512^2=1513^2 a=mk=55，k=5，m=11，b=k(m^2-1)/2=300，55^2+300^2=305^2a=mk=55，k=11，m=5，b=k(m^2-1)/2=132，55^2+132^2=143^2a=mk=55，k=25，m=11/5，b=k(m^2-1)/2=48，55^2+48^2=73^2*a=mk=56，k=2，m=28，b=k(m^2-1)/2=783，56^2+783^2=785^2a=mk=56，k=4，m=14，b=k(m^2-1)/2=390，56^2+390^2=394^2a=mk=56，k=8，m=7，b=k(m^2-1)/2=192，56^2+192^2=200^2a=mk=56，k=14，m=4，b=k(m^2-1)/2=105，56^2+105^2=119^2a=mk=56，k=32，m=7/4，b=k(m^2-1)/2=33，56^2+33^2=65^2*a=mk=57，k=1，m=57，b=k(m^2-1)/2=1624，57^2+1624^2=1625^2 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a=mk=84，k=14，m=6，b=k(m^2-1)/2=245，84^2+245^2=259^2a=mk=84，k=42，m=2，b=k(m^2-1)/2=63，84^2+63^2=105^2*a=mk=85，k=1，m=85，b=k(m^2-1)/2=3612，85^2+3612^2=3613^2 a=mk=85，k=5，m=17，b=k(m^2-1)/2=720，85^2+720^2=725^2a=mk=85，k=25，m=17/5，b=k(m^2-1)/2=132，85^2+132^2=157^2a=mk=87，k=9，m=29/3，b=k(m^2-1)/2=416，87^2+416^2=425^2a=mk=87，k=29，m=3，b=k(m^2-1)/2=116，87^2+116^2=145^2a=mk=88，k=2，m=44，b=k(m^2-1)/2=1935，88^2+1935^2=1936^2 a=mk=88，k=4，m=22，b=k(m^2-1)/2=966，88^2+966^2=970^2a=mk=88，k=8，m=11，b=k(m^2-1)/2=480，88^2+480^2=488^2a=mk=88，k=16，m=11/2，b=k(m^2-1)/2=234，88^2+234^2=250^2 a=mk=88，k=22，m=4，b=k(m^2-1)/2=165，88^2+165^2=187^2a=mk=88，k=44，m=2，b=k(m^2-1)/2=66，88^2+66^2=110^2*a=mk=89，k=1，m=89，b=k(m^2-1)/2=3960，89^2+3960^2=3961^2 a=mk=90，k=2，m=45，b=k(m^2-1)/2=2024，90^2+2024^2=2026^2 a=mk=90，k=10，m=9，b=k(m^2-1)/2=400，90^2+400^2=410^2a=mk=90，k=18，m=5，b=k(m^2-1)/2=216，90^2+216^2=234^2a=mk=90，k=54，m=5/3，b=k(m^2-1)/2=48，90^2+48^2=102^2*a=mk=91，k=1，m=91，b=k(m^2-1)/2=4140，91^2+4140^2=4141^2 a=mk=92，k=2，m=46，b=k(m^2-1)/2=2115，92^2+2115^2=2117^2 a=mk=92，k=4，m=23，b=k(m^2-1)/2=1056，92^2+1056^2=1060^2 a=mk=92，k=8，m=23/2，b=k(m^2-1)/2=525，92^2+525^2=533^2a=mk=92，k=46，m=2，b=k(m^2-1)/2=69，92^2+69^2=115^2*a=mk=93，k=1，m=93，b=k(m^2-1)/2=4324，93^2+4324^2=4325^2 a=mk=93，k=3，m=31，b=k(m^2-1)/2=480，93^2+480^2=483^2a=mk=93，k=9，m=31/3，b=k(m^2-1)/2=476，93^2+476^2=485^2a=mk=93，k=31，m=3，b=k(m^2-1)/2=124，93^2+124^2=155^2a=mk=94，k=2，m=47，b=k(m^2-1)/2=2208，94^2+2208^2=2210^2 a=mk=95，k=1，m=95，b=k(m^2-1)/2=4512，95^2+4512^2=4513^2 a=mk=95，k=5，m=19，b=k(m^2-1)/2=900，95^2+900^2=905^2a=mk=95，k=19，m=5，b=k(m^2-1)/2=228，95^2+228^2=247^2a=mk=95，k=25，m=19/5，b=k(m^2-1)/2=168，95^2+168^2=193^2 a=mk=96，k=2，m=48，b=k(m^2-1)/2=2303，96^2+2303^2=2305^2 a=mk=96，k=4，m=24，b=k(m^2-1)/2=1150，96^2+1150^2=1154^2 a=mk=96，k=6，m=16，b=k(m^2-1)/2=765，96^2+765^2=771^2a=mk=96，k=8，m=12，b=k(m^2-1)/2=572，96^2+572^2=580^2a=mk=96，k=12，m=8，b=k(m^2-1)/2=378，96^2+378^2=390^2a=mk=96，k=18，m=16/3，b=k(m^2-1)/2=247，96^2+247^2=265^2 a=mk=96，k=24，m=4，b=k(m^2-1)/2=180，96^2+180^2=204^2a=mk=96，k=32，m=3，b=k(m^2-1)/2=128，96^2+128^2=160^2a=mk=96，k=48，m=2，b=k(m^2-1)/2=72，96^2+72^2=120^2*a=mk=96，k=72，m=4/3，b=k(m^2-1)/2=28，96^2+28^2=100^2*a=mk=97，k=1，m=97，b=k(m^2-1)/2=4704，97^2+4704^2=4705^2 a=mk=98，k=2，m=49，b=k(m^2-1)/2=2400，98^2+2400^2=2402^2 a=mk=98，k=14，m=7，b=k(m^2-1)/2=336，98^2+336^2=350^2a=mk=99，k=1，m=99，b=k(m^2-1)/2=4900，99^2+4900^2=4901^2 a=mk=99，k=3，m=33，b=k(m^2-1)/2=1632，99^2+1632^2=1635^2 a=mk=99，k=9，m=11，b=k(m^2-1)/2=540，99^2+540^2=549^2a=mk=99，k=11，m=9，b=k(m^2-1)/2=440，99^2+440^2=451^2a=mk=99，k=27，m=11/3，b=k(m^2-1)/2=168，99^2+168^2=195^2 a=mk=99，k=33，m=3，b=k(m^2-1)/2=132，99^2+132^2=165^2a=mk=100，k=2，m=50，b=k(m^2-1)/2=2499，100^2+2499^2=2501^2 a=mk=100，k=4，m=25，b=k(m^2-1)/2=1248，100^2+1248^2=1252^2 a=mk=100，k=8，m=25/2，b=k(m^2-1)/2=621，100^2+621^2=629^2 a=mk=100，k=10，m=10，b=k(m^2-1)/2=495，100^2+495^2=505^2 a=mk=100，k=20，m=5，b=k(m^2-1)/2=240，100^2+240^2=250^2a=mk=100，k=50，m=2，b=k(m^2-1)/2=75，100^2+75^2=125^2*总共289组，其中重复的有34组。

常用勾股数组口诀

常用勾股数组口诀勾股数顺口溜口诀勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

接下来给大家分享勾股数顺口溜及口诀。

供参考。

勾股数顺口溜3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：5月12记一生(13)6，8，10：连续的偶数8，15，17：八月十五在一起(17)特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10勾股数的口诀(一)奇数组口诀：平方后拆成连续两个数5^2=25,25=12+13，于是5，12，13是一组勾股数。

7^2=49,49=24+25，于是7，24，25是一组勾股数。

9^2=81,81=40+41，于是9，40，41是一组勾股数。

(二)偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数8^2=64,64/2=32,32=15+17，于是8，15，17是一组勾股数。

10^2=100,100/2=50,50=24+26，于是10，24，26是一组勾股数。

12^2=144,144/2=72,72=35+37，于是12，35，37是一组勾股数。

什么是勾股数所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。

即a²+b²=c²,a,b,c∈n。

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

常用勾股数顺口溜3，4，5：勾三股四弦五；5，12，13：5·21（12）记一生（13）等等。

下面就和我一起了解一下吧，供大家参考。

什么是勾股数勾股数，又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。

其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 14532 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626 51 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 246 54 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 785 57 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 156 60 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 225 63 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 425 66 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 795 70 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 435 72 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 724 77 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 208 80 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 205 84 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 725 87 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 150 90 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549 100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 346第229组： 104 672 680第230组： 105 140 175第231组： 105 208 233第232组： 105 252 273第233组： 105 360 375第234组： 105 608 617第235组： 105 784 791第236组： 108 144 180第237组： 108 231 255第238组： 108 315 333第239组： 108 480 492第240组： 108 725 733第241组： 108 969 975第242组： 110 264 286第243组： 110 600 610第244组： 111 148 185第245组： 111 680 689第246组： 112 180 212第252组： 114 352 370 第253组： 115 252 277 第254组： 115 276 299 第255组： 116 837 845 第256组： 117 156 195 第257组： 117 240 267 第258组： 117 520 533 第259组： 117 756 765 第260组： 119 120 169 第261组： 119 408 425 第262组： 120 126 174 第263组： 120 160 200 第264组： 120 182 218 第265组： 120 209 241 第266组： 120 225 255 第267组： 120 288 312 第268组： 120 350 370 第269组： 120 391 409 第270组： 120 442 458 第271组： 120 594 606 第272组： 120 715 725 第273组： 120 896 904 第274组： 121 660 671 第275组： 123 164 205 第276组： 123 836 845 第277组： 124 957 965 第278组： 125 300 325 第279组： 126 168 210 第280组： 126 432 450 第281组： 126 560 574 第282组： 128 240 272 第283组： 128 504 520 第284组： 129 172 215 第285组： 129 920 929 第286组： 130 144 194 第287组： 130 312 338 第288组： 130 840 850 第289组： 132 176 220 第290组： 132 224 260 第291组： 132 351 375 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511 第644组： 336 448 560 第645组： 336 527 625 第646组： 336 540 636 第647组： 336 630 714 第648组： 336 748 820 第649组： 336 850 914 第650组： 339 452 565 第651组： 340 357 493 第652组： 340 528 628 第653组： 340 816 884 第654组： 341 420 541 第655组： 342 456 570 第656组： 344 645 731 第657组： 345 460 575 第658组： 345 756 831 第659组： 345 828 897 第660组： 348 464 580 第661组： 348 805 877 第662组： 350 576 674 第663组： 350 840 910 第664组： 351 468 585 第665组： 351 720 801 第666组： 352 420 548 第667组： 352 660 748 第668组： 352 936 1000 第669组： 354 472 590 第670组： 355 852 923 第671组： 357 360 507 第672组： 357 476 595 第673组： 360 378 522 第674组： 360 480 600 第675组： 360 546 654 第676组： 360 598 698 第677组： 360 627 723 第678组： 360 675 765 第679组： 360 770 850 第680组： 360 864 936 第681组： 363 484 605 第682组： 363 616 715 第683组： 364 585 689 第684组： 364 627 725 第685组： 365 876 949 第686组： 366 488 610 第687组： 368 465 593第691组： 370 888 962 第692组： 372 496 620 第693组： 372 925 997 第694组： 375 500 625 第695组： 375 900 975 第696组： 376 705 799 第697组： 378 504 630 第698组： 378 680 778 第699组： 380 399 551 第700组： 380 672 772 第701组： 380 912 988 第702组： 381 508 635 第703组： 384 440 584 第704组： 384 512 640 第705组： 384 720 816 第706组： 385 552 673 第707组： 387 516 645 第708组： 387 884 965 第709组： 390 432 582 第710组： 390 520 650 第711组： 390 800 890 第712组： 392 630 742 第713组： 392 735 833 第714组： 393 524 655 第715组： 396 403 565 第716组： 396 528 660 第717组： 396 672 780 第718组： 396 847 935 第719组： 399 468 615 第720组： 399 532 665 第721组： 400 420 580 第722组： 400 561 689 第723组： 400 750 850 第724组： 402 536 670 第725组： 405 540 675 第726组： 406 792 890 第727组： 407 624 745 第728组： 408 506 650 第729组： 408 544 680 第730组： 408 765 867 第731组： 408 819 915 第732组： 411 548 685 第733组： 414 448 610 第734组： 414 552 690 第735组： 416 612 740 第736组： 416 780 884第742组： 420 675 795 第743组： 420 832 932 第744组： 420 851 949 第745组： 423 564 705 第746组： 424 795 901 第747组： 425 660 785 第748组： 426 568 710 第749组： 429 460 629 第750组： 429 572 715 第751组： 429 700 821 第752组： 429 728 845 第753组： 429 880 979 第754组： 432 495 657 第755组： 432 576 720 第756组： 432 665 793 第757组： 432 810 918 第758组： 435 580 725 第759组： 438 584 730 第760组： 440 462 638 第761组： 440 525 685 第762组： 440 825 935 第763组： 441 588 735 第764组： 444 592 740 第765组： 447 596 745 第766组： 448 720 848 第767组： 448 840 952 第768组： 450 544 706 第769组： 450 600 750 第770组： 451 780 901 第771组： 453 604 755 第772组： 455 504 679 第773组： 455 528 697 第774组： 456 608 760 第775组： 456 650 794 第776组： 456 855 969 第777组： 459 612 765 第778组： 460 483 667 第779组： 462 616 770 第780组： 462 784 910 第781组： 464 777 905 第782组： 464 870 986 第783组： 465 620 775 第784组： 468 595 757 第785组： 468 624 780第791组： 476 765 901 第792组： 477 636 795 第793组： 480 504 696 第794组： 480 550 730 第795组： 480 640 800 第796组： 480 693 843 第797组： 480 728 872 第798组： 480 836 964 第799组： 481 600 769 第800组： 483 644 805 第801组： 483 720 867 第802组： 486 648 810 第803组： 489 652 815 第804组： 492 656 820 第805组： 495 660 825 第806组： 495 840 975 第807组： 498 664 830 第808组： 500 525 725 第809组： 501 668 835 第810组： 504 550 746 第811组： 504 672 840 第812组： 504 703 865 第813组： 504 810 954 第814组： 507 676 845 第815组： 510 680 850 第816组： 510 792 942 第817组： 513 684 855 第818组： 516 688 860 第819组： 519 692 865 第820组： 520 546 754 第821组： 520 576 776 第822组： 520 765 925 第823组： 522 696 870 第824组： 522 760 922 第825组： 525 700 875 第826组： 528 605 803 第827组： 528 630 822 第828组： 528 704 880 第829组： 531 708 885 第830组： 532 624 820 第831组： 533 756 925 第832组： 534 712 890 第833组： 537 716 895 第834组： 540 567 783第837组： 540 819 981 第838组： 543 724 905 第839组： 546 728 910 第840组： 549 732 915 第841组： 552 736 920 第842组： 555 572 797 第843组： 555 740 925 第844组： 558 744 930 第845组： 560 588 812 第846组： 560 684 884 第847组： 560 702 898 第848组： 561 748 935 第849组： 564 752 940 第850组： 567 756 945 第851组： 570 760 950 第852组： 573 764 955 第853组： 576 660 876 第854组： 576 768 960 第855组： 579 772 965 第856组： 580 609 841 第857组： 580 741 941 第858组： 582 776 970 第859组： 585 648 873 第860组： 585 780 975 第861组： 588 784 980 第862组： 591 788 985 第863组： 594 608 850 第864组： 594 792 990 第865组： 595 600 845 第866组： 597 796 995 第867组： 600 630 870 第868组： 600 800 1000 第869组： 612 759 975 第870组： 615 728 953 第871组： 616 663 905 第872组： 616 735 959 第873组： 620 651 899 第874组： 621 672 915 第875组： 624 715 949 第876组： 638 720 962 第877组： 640 672 928 第878组： 650 720 970 第879组： 660 693 957 第880组： 680 714 986 第881组： 696 697 985。

所谓勾股数

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。

即a2+b2=c2,a,b,c∈N又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：第一套路当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n2+2n, c=2n2+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n=1时(a,b,c)=(3,4,5)n=2时(a,b,c)=(5,12,13)n=3时(a,b,c)=(7,24,25)... ...这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

第二套路2、当a为大于4的偶数2n时，b=n2-1, c=n2+1也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10)n=4时(a,b,c)=(8,15,17)n=5时(a,b,c)=(10,24,26)n=6时(a,b,c)=(12,35,37)... ...这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如：n=2时(a,b,c)=(8,15,17)n=3时(a,b,c)=(12,35,37)n=4时(a,b,c)=(16,63,65)... ...编辑本段公式及证明证明a=2mnb=m^2-n^2c=m^2+n^2证：假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。

勾股数规律

（5）勾股数组的规律满足不定方程a 2+b 2=c 2的三个正整数称为勾股数组。

古巴比伦公元前2000年左右就发现了很多勾股数组。

成书于西汉时期的《周髀算经》中记载的(3，4，5)无疑是中国数学史上发现最早的一组勾股数组。

公元一世纪，我国古代数学著作《九章算术》中对于具体的数据（如勾股和、弦长等）给出了求勾股弦三个数的具体算法。

有人推测，九章算术已经给出了勾股数的一般规律：若给了两个数m 、n ，则)(2122n m -、mn 、)(2122n m +就是一组勾股数，刘徽更明确了所有的勾股数组的比率满足这一规律，但从文字看还只是具体数据的，尚不能明确。

公元前6世纪毕达哥拉斯学派发现：任取一个奇数，把它的平方数分为相差1的两个数，那么这三个数就是勾股数. 若m 为大于1的奇数，则（m ，212-m ，212+m ）便是一组勾股数组。

因此，国外人们习惯把勾股数组叫做毕达哥拉斯三元数组。

欧几里得也曾给出求勾股数组的方法：m 、n 是整数，（2222,2,m n m mn n +-）是一组勾股数。

实际上，可以证明：在三个数互质的情况下，勾股数组都可以写成（2222,2,m n m mn n +-）的形式，或者说勾股数组都可以写成（)(,2),k(m 2222n m k kmn n +-）的形式。

◎勾股数组的规律，可能真是一个“下金蛋的母鸡”勾股数组的规律，太复杂了，学生哪能探究？是的，学生要完全探究出这些规律确实困难，但也许学生探究的过程中会有很多收获哟。

当年，被称为“业余数学家之王”的法国数学家费马，在阅读丢番图的《算术》一书中“分一个给定的平方数为两个平方数的和”这个问题时，写下了著名的旁注：“一个立方数不可能分解成两个立方数的和，一个四次方数不能分解成两个四次方数的和，一般地说，大于2的任意次幂的数都不能分解为两个同次幂的数的和。

我找到了这个命题的一个真正奇妙的证明，但书上空白的地方太窄，写不下。

常见的勾股数及公式

其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145 25 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27 120 123；27 364 365；28 45 53；28 96 100 28 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 130 32 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626 51 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 246 54 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 785 57 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 156 60 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 225 63 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 425 66 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 795 70 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 435 72 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 724 77 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 208 80 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 205 84 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 725 87 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 150 90 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549 100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 346第229组： 104 672 680第230组： 105 140 175第231组： 105 208 233第232组： 105 252 273第233组： 105 360 375第234组： 105 608 617第235组： 105 784 791第236组： 108 144 180第237组： 108 231 255第238组： 108 315 333第239组： 108 480 492第240组： 108 725 733第241组： 108 969 975第242组： 110 264 286第245组： 111 680 689 第246组： 112 180 212 第247组： 112 210 238 第248组： 112 384 400 第249组： 112 441 455 第250组： 112 780 788 第251组： 114 152 190 第252组： 114 352 370 第253组： 115 252 277 第254组： 115 276 299 第255组： 116 837 845 第256组： 117 156 195 第257组： 117 240 267 第258组： 117 520 533 第259组： 117 756 765 第260组： 119 120 169 第261组： 119 408 425 第262组： 120 126 174 第263组： 120 160 200 第264组： 120 182 218 第265组： 120 209 241 第266组： 120 225 255 第267组： 120 288 312 第268组： 120 350 370 第269组： 120 391 409 第270组： 120 442 458 第271组： 120 594 606 第272组： 120 715 725 第273组： 120 896 904 第274组： 121 660 671 第275组： 123 164 205 第276组： 123 836 845 第277组： 124 957 965 第278组： 125 300 325 第279组： 126 168 210 第280组： 126 432 450 第281组： 126 560 574 第282组： 128 240 272 第283组： 128 504 520 第284组： 129 172 215 第285组： 129 920 929 第286组： 130 144 194 第287组： 130 312 338第291组： 132 351 375 第292组： 132 385 407 第293组： 132 475 493 第294组： 132 720 732 第295组： 133 156 205 第296组： 133 456 475 第297组： 135 180 225 第298组： 135 324 351 第299组： 135 352 377 第300组： 135 600 615 第301组： 136 255 289 第302组： 136 273 305 第303组： 136 570 586 第304组： 138 184 230 第305组： 138 520 538 第306组： 140 147 203 第307组： 140 171 221 第308组： 140 225 265 第309组： 140 336 364 第310组： 140 480 500 第311组： 140 693 707 第312组： 140 975 985 第313组： 141 188 235 第314组： 143 780 793 第315组： 143 924 935 第316组： 144 165 219 第317组： 144 192 240 第318组： 144 270 306 第319组： 144 308 340 第320组： 144 420 444 第321组： 144 567 585 第322组： 144 640 656 第323组： 144 858 870 第324组： 145 348 377 第325组： 145 408 433 第326组： 147 196 245 第327组： 147 504 525 第328组： 150 200 250 第329组： 150 360 390 第330组： 150 616 634 第331组： 152 285 323 第332组： 152 345 377 第333组： 152 714 730第337组： 154 528 550 第338组： 154 840 854 第339组： 155 372 403 第340组： 155 468 493 第341组： 156 208 260 第342组： 156 320 356 第343组： 156 455 481 第344组： 156 495 519 第345组： 156 667 685 第346组： 159 212 265 第347组： 160 168 232 第348组： 160 231 281 第349组： 160 300 340 第350组： 160 384 416 第351组： 160 630 650 第352组： 160 792 808 第353组： 161 240 289 第354组： 161 552 575 第355组： 162 216 270 第356组： 162 720 738 第357组： 165 220 275 第358组： 165 280 325 第359组： 165 396 429 第360组： 165 532 557 第361组： 165 900 915 第362组： 168 224 280 第363组： 168 270 318 第364组： 168 315 357 第365组： 168 374 410 第366组： 168 425 457 第367组： 168 490 518 第368组： 168 576 600 第369组： 168 775 793 第370组： 168 874 890 第371组： 170 264 314 第372组： 170 408 442 第373组： 171 228 285 第374组： 171 528 555 第375组： 171 760 779 第376组： 174 232 290 第377组： 174 832 850 第378组： 175 288 337 第379组： 175 420 455第383组： 176 468 500 第384组： 176 693 715 第385组： 176 960 976 第386组： 177 236 295 第387组： 180 189 261 第388组： 180 240 300 第389组： 180 273 327 第390组： 180 299 349 第391组： 180 385 425 第392组： 180 432 468 第393组： 180 525 555 第394组： 180 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797 第843组： 555 740 925 第844组： 558 744 930 第845组： 560 588 812 第846组： 560 684 884 第847组： 560 702 898 第848组： 561 748 935 第849组： 564 752 940 第850组： 567 756 945 第851组： 570 760 950 第852组： 573 764 955 第853组： 576 660 876 第854组： 576 768 960 第855组： 579 772 965 第856组： 580 609 841 第857组： 580 741 941 第858组： 582 776 970 第859组： 585 648 873 第860组： 585 780 975 第861组： 588 784 980 第862组： 591 788 985 第863组： 594 608 850 第864组： 594 792 990 第865组： 595 600 845 第866组： 597 796 995 第867组： 600 630 870 第868组： 600 800 1000 第869组： 612 759 975 第870组： 615 728 953 第871组： 616 663 905 第872组： 616 735 959 第873组： 620 651 899 第874组： 621 672 915 第875组： 624 715 949 第876组： 638 720 962 第877组： 640 672 928 第878组： 650 720 970 第879组： 660 693 957 第880组： 680 714 986 第881组： 696 697 985。

勾股数的3条规律总结

勾股数的3条规律总结1、第一组勾股数3，4，55，12，137，24，259，40，4111，60，6113，84，8515，112，113首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。

我们用乘方进行尝试。

先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。

3²=9，5²=25，7²=49大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。

即：3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25我们再试几组进行验证。

9²=81=40+41，11²=121=60+61目前看来这个规律是正确的。

我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。

那么总结这两点就可初步发现以下规律：一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数。

设n为一正奇数(n≠1)，那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n，(n²-1)/2，(n²+1)/2。

2、第二组勾股数6，8，108，15，1710，24，2612，35，3714，48，5016，63，6518，80，82我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。

似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。

6²=36，10+8=188²=64，15+17=3210²=100，24+26=50这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。

12²=144=2(35+37)，14²=196=2(48+50)初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：m，(m²/4)-1，(m²/4)+1验证：[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1=m²验证成功，可总结为以下规律：当一个正偶数为最小值时，它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。

勾股数组的简单推导方法

勾股数组的简单推导方法
我们都知道勾股定理，古老的几何定理。

也知道勾股数组，用来求解所有勾股数组的公式：m2-n2,2mn,m2+n2.我们也见过很多种推导方法，包括学夫子介绍的《勾股数的推导》。

今天给大家介绍一种，并非学夫子原创，早已有之的结果，拿出来和大家分享。

设(a,b,c)为勾股数组，则：
a2+b2=c2.
两边同时除以c2，则变成：
(a/c)2+(b/c)2=1………………*
我们设a/c=cosα，b/c=sinα，并且0<α<90°。

由于a，b，c都是整数，那么：
tg(α/2)=sinα/(1+cosα)一定是一个小于1的有理数，所以可以设tg(α/2)=m/n。

根据万能公式
也就是有
将式子带入*式，并化简就有：
(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2
由此便得到了我们勾股数组表达式。

这个方法没有多少难度，利用三角函数将a，b，c 化成同一个量的表达式，不可谓不精巧。