谈谈勾股数组

谈谈勾股数组

常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a ，b 与斜边长c 之间满足等式：a 2+b 2=c 2（*）”的一个最简单特例。我们把满足（*）的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数组，记为（a ，b ，c ）。那么勾股数组到底有多少个呢？它们有什么样有规律呢？怎样求勾股数组呢？带着这些问题，我们作一点思考。

首先，我们建立表1：

表1 勾股数组表

1）勾股数组有无数个。

2）a 、b 中至少有一个是偶数，不能全是奇数，至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数；a 、b 、c 中至少有一个是5的倍数。

3）从表1左半部分可以发现：a 为奇数时，b 为a 的平方减1再除以2，c 为b 加1，也就是a 的平方加1再除以2。换句话说，若k 是一个奇数，则

（k ，212-k ，2

12+k ） （k ≥3的奇数） ①

就是一个勾股数组。

这样，我们任给一个奇数，就可以按照公式①写出一个勾股数组来。任给一个偶数呢？这也有规律。设m 是一个偶数，且m ≥4，则可以证明：

（m ，1)2(2-m ，1)2

(2+m

） （m ≥4的偶数） ②

也是一个勾股数组。（如表1右半部分所示）

至此，根据公式①和②，对于任意的正整数n(n ≥3),都可以写出一个勾股数组。

4）若（a ，b ，c ）是勾股数组，则（λa ，λb ，λc ）也是勾股数组，其中λ为任意正整数。并约定λ（a ，b ，c ）=（λa ，λb ，λc ）。

遗憾的是，仅由公式①和②不能求出全部勾股数组。如由（3，4，5）可以断定（6，8，10），（9，12，15）等都勾股数组，其中（9，12，15）显然不包含在公式①和②之中。有没有能求出全部勾股数组的公式呢？答案是肯定的。

其实，我们有勾股数组公式（不失一般性，设a 为奇数，b 为偶数）：

a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，（其中正整数m ＞n ＞0，m 、n 互质，且m 、n 为一奇一偶） ③

根据公式③，我们可以求出所有a 、b 、c 互质的勾股数组（a ，b ，c ），再由结论4）求出如（9，12，15）这样a 、b 、c 不互质的勾股数组来。但公式③并不能随心所欲地求出你想要的勾股数组。

下面，我们思考这样的问题I ：对于（*），给定正整数a （a ≥3）的值，如何确定b 、c 的值，进而确定勾股数组（a ，b ，c ）的个数有多少？

为讨论方便，我们约定各字母都是正整数，以后不再声明。符号T(a)表示符合问题I 的勾股数组（a ，b ，c ）的个数。d(N)表示正整数N 的正约数的个数。我们将（*）变形成

（c+b ）（c-b ）=a 2 (**)

为了讨论（**）的正整数解的个数T （a ），我们先给出以下基础知识： A 、算术基本定理：任何一个大于1的正整数N 都能分解成质因数的连乘积的形式，即有

N=1

1

βp 2

2

βp …n n p β ④(其中p 1，p 2，…，p n 为互不相等的质数，βi ＞0的正整数，i=1，2…，n)。若不考虑质因数的顺序，这个分解式是唯一的，我们把此

分解式称为N 的标准分解式。

B 、利用标准分解式，易得正整数N 的正约数的个数 d （N ）=（β1+1）（β2+1）…（βn +1）。 ⑤

C 、若（x+y ）（x-y ）=z ，则x+y 与x-y 必然同时为奇数或同时为偶数，且x ＞y ，x+y ＞x-y 。

根据上述基础知识，我们有：

（一）当a=1，2时，(**)无正整数解，T(a)=0。

（二）当a 为奇数时，由公式④⑤可知d （a 2）为奇数，且a 2的正约数全为奇数。所以，要确定(**)中c 、b 的值，只须将常数a 2分解成两个不相等的奇因数a 1，a 2的积即可，进而

（c+b ）（c-b ）=a 2=a 1a 2， （a 1＞a 2）

∴⎩⎨⎧=-=+21

a b c a b c ，解得⎪⎩

⎪⎨

⎧+=-=222

1

21a a c a a b ，于是a 1，a 2的一种取法对应（**）的一个正整数解。那么a 1，a 2的不同取法有多少种呢？这由上述分析不难知道a 1，a 2

的取法有21)(2-a d 种，∴ (**)有21)(2-a d 个正整数解，即T(a)=2

1

)(2-a d 。

如a=5时，a 1=25，a 2=1，b=12，c=13，(**)有唯一一解（5，12，13）。

又如a=105时，a 2=32×52×72，d （a 2

）=（2+1）（2+1）（2+1）=27，T(a)=13， ∴ a=105时，(**)有13个解，13个解的详解过程略，解的结果列表(表2)如下：

（1）若a=2p ，应将a 2分解成两个不相等的偶因数a 1，a 2的积，即

a 2=22p =a 1a 2， （a 1＞a 2），a 1与a 2的不同取法列表（表3）如下：

∴ a 1与2；

（2）若a=2p M =a 1a 2（其中M 为奇数，a 1≠a 2，且同为偶数），也有两类情况：

第一类：若a 2=a 1a 2=12(2)(2)m n M M 。（其中m+n=2p ，且mn ≠0；M 1M 2=M 2，且M 1≠M 2）经分析，不难知道：m 、n 的不同取法有（2p -1）种；M 1、M 2的不

同取法有2()12

d M -，所以，此时，a 1、a 2的不同取法共有T 1(a)=()2()1212d M p --⋅

种。

第二类：若a 2=a 1a 2=(2)(2)m n M M 。（其中m+n=2p ，m ≠n 且mn ≠0）。经分析，m 、n 的不同取法有(p -1)种，即a 1、a 2的不同取法共有T 2(a)=(p -1)种。

∴ 当a=2p

M 时，T(a)=()2()1

212

d M p --⋅+p -1；

综上述，我们得到：对于（*），给定正整数a （a ≥3）的值，满足（*）的勾股数组（a ，b ，c ）的个数

22

()1()2()1

(2)

()1(21)1

(2,)

2p p d a a T a p a d M p p a M M ⎧-⎪⎪⎪

=-=⎨⎪-⎪-+-=⎪⎩

为奇数为奇数

特别地，当a=p m (p 为奇质数，m 为正整数)时，

T(p m

)=2()12

m d p -=211

2m +-=m 。

如a=32时，a=25，T （a ）=5-1=4，（**）有4解：

（32，24，40）=2（16，12，20）=4（8，6，10）=8（4，3，5）； （32，60，68）=2（16，30，34）=4（8，15，17）； （32，126，130）=2（16，63，65）； （32，255，257）。

如a=48时，a=24×3，T （a ）=（2×4-1）×1+4-1=10，（**）有10解： （48，64，80）=2（24，32，40）

=22（12，16，20） =23（6，8，10） =24（3，4，5）；（48，36，60）=12（4，3，5）；

（48，20，52）=22（12，5，13），