奥数讲义-整除-第十三讲代数数论学生版
小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题培训资料
小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.1.2表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
2013高中数学奥数培训资料之整除
兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料） §26整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ. 整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如b a ,是整除，0≠b ，则ba 不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数a 和任一整数b ，必有惟一的一对整数q ，r 使得r bq a +=，b r <≤0，并且整数q 和r 由上述条件惟一确定，则q 称为b 除a 的不完全商，r 称为b 除a 的余数.若0=r ，则称b 整除a ，或a 被b 整除，或称b a 是的倍数，或称a b 是的约数（又叫因子），记为a b |.否则，b | a .任何a 的非1,±±a 的约数，叫做a 的真约数. 0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数. 由整除的定义，不难得出整除的如下性质： （1）若.|,|,|c a c b b a 则（2）若.,,2,1,,|,|1n i Z c b c a b a i ni i i i =∈∑=其中则（3）若c a |，则.|cb ab 反之，亦成立.（4）若||||,|b a b a ≤则.因此，若b a a b b a ±=则又,|,|. （5）a 、b 互质，若.|,|,|c ab c b c a 则（6）p 为质数，若,|21n a a a p ⋅⋅⋅ 则p 必能整除n a a a ,,,21 中的某一个. 特别地，若p 为质数，.|,|a p a p n则（7）如在等式∑∑===mk kn i i ba 11中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c 的倍数.（8）n 个连续整数中有且只有一个是n 的倍数. （9）任何n 个连续整数之积一定是n 的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.Ⅱ. 最大公约数和最小公倍数定义二：设a 、b 是两个不全为0的整数.若整数c 满足：b c a c |,|，则称b a c ,为的公约数，b a 与的所有公约数中的最大者称为b a 与的最大公约数，记为),(b a .如果),(b a =1，则称b a 与互质或互素.定义三：如果a d 是、b 的倍数，则称a d 是、b 的公倍数. b a 与的公倍数中最小的正数称为b a 与的最小公倍数，记为],[b a .最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用),,,(21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最大公约数，],,,[21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最小公倍数.若1),,,(21=n a a a ，则称n a a a a ,,,,321 互质，若n a a a ,,,21 中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n 个整数互质与n 个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于|||,|,b a b a 与有相同的公约数，且|)||,(|),(b a b a =（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.Ⅲ.方幂问题 一个正整数n 能否表成m 个整数的k 次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当1=m 时称为k 次方问题，当2=k 时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论：（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9.（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1. （3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6.（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7.（6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例题讲解1．证明：对于任何自然数n 和k ，数1042),(3++=k k n n k n f 都不能分解成若干个连续的正整数之积.2．设p 和q 均为自然数,使得 .131911318131211+--+-= qp 证明：p 可被1979整除.3．对于整数n 与k ，定义,),(112∑=-=nr k rk n F 求证：)1,(n F 可整除).,(k n F4．求一对整数b a ,，满足：(1))(b a ab +不能被7整除；（2）777)(b a b a --+能被77整除.5．求设a 和b 是两个正整数，p b a ,1),(=为大于或等于3的质数，ba bab ac pp+++=,(），试证：（1）1),(=a c ；（2）1=c 或.p c =6．m 盒子中各若干个球，每一次在其中)(m n n <个盒中加一球.求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是.1),(=n m7．求所有这样的自然数n ，使得n 222118++是一个自然数的平方.课后练习1． 选择题（1）若数n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，则不是n 的因数的最小质数是（ ）.（A ）19 （B ）17 （C ）13 （D ）非上述答案（2）在整数0、1、2…、8、9中质数有x 个，偶数有y 个，完全平方数有z 个，则x+y+z 等于（ ）.（A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）11 （E ）10 （3）可除尽311+518的最小整数是（ ）.（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）311+518（E ）以上都不是 2． 填空题（1）把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.(2)一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.(3)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.3.求使为整数的最小自然数a 的值.4.证明:对一切整数n,n 2+2n+12不是121的倍数.5.设是一个四位正整数,已知三位正整数与246的和是一位正整数d 的111倍,又是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.6.能否有正整数m 、n 满足方程m 2+1954=n 2.7.证明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n 为非负整数.(2)若将(1)中的11改为任意一个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论.8.设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除.9. 100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论.课后练习答案１．Ｂ．Ｂ．Ａ２．（１）２５·５５．（２）２７．３．由2000a为一整数平方可推出a=5．４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素数且除尽（＋１）２，∴１１除尽ｎ＋１１１２除尽（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能．５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍数，∴只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝１２１×１１ｎ＋１２×１１ｎ－１２×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝…＝１３３×１１ｎ＋１２×（１４４ｎ－１１ｎ）．第一项可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１．（２）１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ（ａ＋１）＋１．改动后命题为ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上证明．８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ、ｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有一个是５的倍数，则题中结论必成立．若均不能被５整除，则ａ２，ｂ２，ｃ２个位数只能是１，４，６，９，从而ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表示的数至少有一个被５整除，又２、５互质．９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公约数为ｄ，并令则ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１×１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１×９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１×１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值为１００１例题答案：1. 证明：由性质9知，只需证明数),(k n f 不能被一个很小的自然数n 整除.因,1)1)(1()3(31033),(333++--++=++-+=kk k k kk kk kn n n n nn nn nk n f),1)(1(|3),3(3|33+-++kkkkkn n n n n 3 1，故3 ),(k n f ，因而),(k n f 不能分解成三个或三个以上的连续自然数的积. 再证),(k n f 不能分解成两个连续正整数的积.由上知，)(13),(N q q k n f ∈+=，因而只需证方程：)1(13+=+x x q 无正整数解.而这一点可分别具体验算234,134,3++=r x 时，)1(+x x 均不是13+q 形的数来说明.故),(k n f 对任何正整数n 、k 都不能分解成若干个连续正整数之积.2. 证明：)131814121(2)1319131211(+++-+++= qp =)6591211()1319131211(+++-++++=)99019891()131816611()131916601(++++++ =1979×)99098911318661113196601(⨯++⨯+⨯两端同乘以1319！得1319！*).(1979N m m qp ∈⨯=⨯此式说明1979|1319！×.p 由于1979为质数，且1979 1319！，故1979|.p 【评述】把1979换成形如23+k 的质数，1319换成*)(12N k k ∈+，命题仍成立.牛顿二项式定理和n b a b a b a b a nnnn(|)(,|)(-+--为偶数), nb a b a nn(|)(-+为奇数)在整除问题中经常用到.3.证明：当m n 2=时，,)12()1,2(21∑=+==mr m m rm F∑∑+=-=-+=mm r k m r k rrk m F 2112112),2(],)12([)12(12112112112-=-=-=--++=-++=∑∑∑k m r k mr k m r k r m rr m r由于[…]能被12)12(+=-++m r m r 整除，所以),2(k m F 能被12+m 整除，另一方面，=),2(k m F ,)2(])2([1212121112----=-++-+∑k k k m r k m mr m r上式中[…]能被m r m r 2)2(=-+整除，所以),2(k m F 也能被m 整除.因m 与2m +1互质，所以),2(k m F 能被m （2m +1）（即)1,(m F ）整除.类似可证当12+=m n 时，F （2m +1，k ）能被F （2m +1,1）整除. 故),(k n F 能被)1,(n F 整除.4. 777)(b a b a --+=)](5)(3)[(7223355b a b a b a ab b a ab +++++ =.))((7222ab b a b a ab +++ 根据题设要求(1)(2)知，|,)(|72226ab b a ++即.|7223ab b a ++令,7322=++ab b a 即,343)(2=-+ab b a 即19=+b a ，则.343192-=ab 故可令1,18==b a 即合要求.5. 由已知得),(,N s t cs ba bact b a pp∈=++=+，两式相乘得,)(1112ct patpactc a ct aba st c p p p pp pppp---++-=-+=+= 于是,12211-----++-=p p p p p patpact ccs 故.|1-p pac（1）现用反证法来证明1),(=a c .若,1),(>=k a c 令q 是k 的一个质因子，则有.|,|a q c q 因b a c +|，则b a q +|，从而.|b q 于是q 是a 、b 的一个公约数，这与),(b a =1矛盾，故1),(=a c .（2）因为,1),(,|1=-a c pac p 所以.|p c 而p 为质数且3≥p ，故1=c 或.p c =6. 证明：设1),(=n m ，则有Z v u ∈,使得)1()1(1++-=+=v m v vm un ，此式说明：对盒子连续加球u 次，可使1-m 个盒子各增加了v 个，一个增加)1(+v 个.这样可将多增加了一个球的盒子选择为原来球数最少的那个，于是经过u 次加球之后，原来球数最多的盒子中的球与球数最少的盒子中的球数之差减少1，因此，经过有限次加球后，各盒球数差为0，达到各盒中的球数相等.用反证法证明必要性.若1),(>=d n m ，则只要在m 个盒中放1+m 个球，则不管加球多少次，例如，加球k 次，则这时m 个盒中共有球kn m ++1（个），因为,1,|,|>d n d m d 所以kn m ++1不可能是d 的倍数，更不是m 的倍数，各盒中的球决不能一样多，因此，必须1),(=n m .7. 证明：（1）当8≤n 时，)122(222118118++⋅++=--n n n N ，因（…）为奇数，所以要使N 为平方数，n 必为偶数.逐一验证8,6,4,2=n 知，N 都不是平方数. （2）当9=n 时，11222289118⨯=++=N 不是平方数.（3）当10≥n 时，)29(288-+=n N ，要N 为平方数，829-+n 应为奇数的平方，不妨假设829-+n =2)12(+k ,则).2()1(210+⨯-=-k k n 由于1-k 和2+k 是一奇一偶，左边为2的幂，因而只能1-k =1，于是得2=k ，由21022=-n 知12=n 为所求.。
2018最新五年级奥数.数论.整除性(A级).学生版
数论之整除性九进制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。
他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。
他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。
他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。
拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。
拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。
拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻人维也纳，也是相隔129年。
拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。
美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。
两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。
接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。
更巧的是，杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔又是100年。
兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。
他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。
兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。
他发现将l、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。
他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。
取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。
他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。
这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。
奥数专题：《整除》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如整除在购物找零中的应用。
-应用整除解决实际问题：通过实际例题，学会运用整除知识简化计算过程，如求解最大公因数、最小公倍数等。
举例：讲解质数2、3、5的倍数特征时，强调它们能整除的数的末尾数字规律；在解决购物问题时，运用整除性质快速计算出总价的几种支付方式。
2.教学难点
-理解整除的推广：学生往往难以理解整除概念在分数、小数中的推广，如分数的整数倍、循环小数的整除性质。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调整除的定义和整除性质这两个重点。对于难点部分，比如因数分解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整除相关的实际问题，如如何用整除性质快速找出一个数的因数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际操作，演示整除的基本原理，如用纸牌游戏来模拟整除过程。
3.合作与交流：通过小组讨论、合作探究，培养学生有效沟通、协作的能力，学会在团队中发挥个人优势，共同解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解整除的定义：整除是数学中的基本概念，学生需要掌握能被一个整数整除的数的特征，即除数、被除数、商都是整数，且余数为零。
-掌握整除的性质：包括质数与合数的整除性质，如质数的倍数特征，合数的因数分解等。
数论第一章--整除
数论第⼀章--整除数的整除性定义设,a b Z ∈，0b ≠，如果存在c Z ∈，使得a bc =成⽴，则称b 整除a ，记作b a ；不然，则称b 不整除a ，记作|b a /．每个⾮零整数a 都有约数1，1-，a ，a -，这4个数称为a 的平凡约数，a 的其他的约数称为⾮平凡约数．性质（1）a b a b ?±±；（2）a b ，b c a c ?；（3）1122(1,2,,)i k k b a i k b a x a x a x =?+++（其中i x 是任意整数）；（4）b a bc ac ?（其中c 是任意的⾮零整数）；（5）b a ，0a b a ≠?≤；（6）b a ，0a b a1.已知,,,,a b c d t Z ∈，且10t a b -，10t c d -．求证：t ad bc -．2.设,a b 是两个给定的⾮零整数，且有整数,x y ，使得1ax by +=．求证：若a n ，b n ，则ab n ．3.已知,,,a b c d Z ∈，且a c ab cd -+．求证：a c ad bc -+．4.证明：设a 是奇数，若2a n ，则a n ．5.证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，若d b c -，则()()d f b f c -．6.已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若⼲个数之和能被11整除的数组共有多少个？7.已知6a b c ++，求证：3336a b c ++．8.已知n 为⼤于2的整数，求证：5312054n n n -+．素数与合数定义若整数0,1a ≠±，并且只有约数1±，a ±，则称a 是素数（或质数）；不然，则称a 为合数．注意：①素数也称为不可约数，它总是指正整数；②由定义知，全体整数可以分为1、素数、合数三⼤类．定理（1）任何⼤于1的整数a 都⾄少有⼀个素约数；（2）如果a 是⼤于1的正整数，则a 的⼤于1的最⼩约数必为素数；（3）任何⼤于1的合数a（4）素数有⽆穷多个；（5）设12{,,,}k A d d d =是n 的所有约数的集合，则12{,,,}kn nnB d d d =也是n 的所有约数的集合．1.若n 是奇数，则281n -．2.以()d n 表⽰n 的正约数的个数，例如(1)1d =，(2)(3)2d d ==，(4)3d =等等，问20151()k d k =∑是否为偶数？3.设1(1,2,,)a Z i n ∈=，且120n a a a +++=，12n a a a n =，则4n ．4.求三个素数，使得它们的积为和的5倍．5.若n 是合数，则n 位数111n 个也是合数．6.设a 是⾃然数，问4239a a -+是素数还是合数？7.设p 是n 的最⼩素约数，11,1n pn n =>．证明：若p 1n 是素数． 8.证明：存在⽆穷多个正整数a ，使得4(1,2,)n a n +=对任意正整数n 都是合数．带余除法定理若,a b 是两个整数，且0b >，则存在两个整数q 及r ，使得(0)r a q b r b =≤<+成⽴，且q 和r 是唯⼀的．式⼦中，q 称为a 被b 除的商，r 称为a 被b 除的余数．1.任给的5个整数中，必有3个数之和能被3整除．2.设01,,,n a a a Z ∈，10()n n f x a x a x a =+++．已知(0)f 与(1)f 都不是3的倍数．证明：若⽅程()0f x =有整数解，则3(1)f -．3.设223a b +．证明：3a ，且3b ．4.证明：对于任何整数,m n ，等式222(1)2n n m ++=+不可能成⽴．5.已知n 是整数．证明：3(1)(21)n n n ++．6.证明：形如31n -的数不可能是完全平⽅数．7.已知2229a b c ++．则229a b -或229b c -或229c a -．8.若00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数，,a b 是两个不全为零的整数）的数中的最⼩正数，则00()ax by +|()ax by +，其中,x y 是任意整数．定义整数12,,,(2)k a a a k ≥，若整数d 是它们中每⼀个数的因数，那么d 就叫做12,,,k a a a 的⼀个公约数．整数12,,,k a a a 的公因数中最⼤的⼀个叫做最⼤公因数（或最⼤公约数），记作12(,,,)k a a a ．若12(,,,)1k a a a =，就说12,,,k a a a 互质或互素；若诸(,)1i j a a =，即12,,,k a a a 中每两个整数都互素，就说它们两两互素．性质（1）1212(,,,)(,,,)k k a a a a a a =；（2）(,1)1a =，(,0)a a =，(,)a a a =；（3）(,)(,)a b b a =；（4）若p 是素数，a 是整数，则(,)1a p =或p a ；（5）若a pb r =+，则(,)(,)a b b r =．定理设,a b 是任意两个不全为零的整数．（1）若m 是任意⼀个正整数，则(,)(,)am bm a b m =；（2）若δ是,a b 的任意⼀个公约数，则(,)(,)a b a b δδδ=．特别地，(,)1(,)(,)a ba b a b =． 1.证明：若*n N ∈，则214143n n ++是既约分数．2.设,a b 是整数，且229a ab b ++，则3(,)a b ．3.证明：2121|212n n ++/，n Z ∈．4.证明：若(,4)(,4)2a b ==，则(,4)4a b +=．5.证明：若(,)1a b =，c a b +，则(,)(,)1c a c b ==．6.证明：从任意5个互素的三位数中，总能选出4个数是互素的．定义整数12,,,n a a a 的公共倍数称为12,,,n a a a 的公倍数，12,,,n a a a 的正公倍数中最⼩的⼀个叫做12,,,n a a a 的最⼩公倍数，记作12[,,,]n a a a ．性质（1）[,1]a a =，[,]a a a =；（2）[,][,]a b b a =；（3）1212[,,,][,,,]n n a a a a a a =；（4）若a b ，则[,]a b b =．定理（1）对任意的正整数,a b ，有[,](,)aba b a b =；（2）设,,m a b 是正整数，则[,][,]ma mb m a b =；（3）若12,,,n a a a 是()2n n ≥个正整数，记122[,]a a m =，233[,]m a m =，…，211[,]n n n m a m ---=，1[,]n n n m a m -=，则12[,,,]n n a a a m =．1.设,,a b c 是正整数，则[,,](,,)abca b c ab bc ca =．2.设,a b 是正整数，则[,]()[,]a b a b a b a b +=+．3.设,a b 是正整数，证明：[,](,)a b a b a b =?=．4.证明：[,,](,)(,)(,)1a b c abc a b b c c a =?===．5.证明：设(,)1m a =，则(,)(,)m ab m b =．6.证明：若0a >，(,)1b c =，则(,)(,)(,)a bc a b a c =．辗转相除法定义设a 和b 是整数，0b >，依次做带余除法：111(0)a bq r r b =+<<， 12221(0)b rq r r r =+<<，……211(0)n n n n n n r r q r r r ---=+<<， 1111(0)n n n n n r r q r r -+++=+=，且12110n n n b r r r r r -+>>>>>>=，则 111(,)(,)(,)(,)(0,)n n n n n n a b r b r r r r r r -+======，这⼀组带余除法叫做辗转相除法．定理（1）若a 和b 是任意两个⾮零整数，则存在整数,x y ，使得(,)ax by a b +=成⽴；（2）若a 和b 是任意两个⾮零整数，则a 与b 互素?存在整数,x y ，使得1ax by +=成⽴．1.求(12345,678)，(169,121)，(1859,1573)-，(221,391,136)．2.求(125,17)，以及,x y 使得12517(125,17)x y +=．算术基本定理定理（1）设a 是任意⼀个⼤于1的整数，则a 的除1以外最⼩正因数q 是⼀个素数，并且当a 是合数时，q ≤（2）若p 是⼀素数，a 是任⼀整数，则a 能被p 整除或p 与a 互质；（3）设12,,,n a a a 是n 个整数，p 是素数，若12n p a a a ，则p ⼀定能整除某⼀个i a ；（4）任何⼤于1的正整数a 可以写成素数之积，即12n a p p p =，其中诸ip 皆为素数；（5）算术基本定理：任何⼤于1的正整数a 可以唯⼀地表⽰成1212n n a p p p ααα=，其中诸i p 皆为素数，12n p p p <<<，诸i α皆为正整数．我们称1212n n a p p p ααα=是a 的标准分解式．由此可知a 的不同的正约数个数等于12(1)(1)(1)n ααα+++．推论1：设a 是⼀个⼤于1的整数，且1212n n a p p p ααα=，(1,2,,)i i n α=是正整数，则a 的正因数d 可以表⽰成1212n n d p p p βββ=（,1,2,,i i i n αβ≥=）的形式。
七年级奥数整除知识点
七年级奥数整除知识点整除，在初中数学中是一个非常基础的知识点。
对于很多中学生来说，整除早已经成为了家常便饭，但是一些细节还是需要掌握。
在本篇文章中，我们将为大家介绍七年级奥数整除知识点，希望对大家的学习有所帮助。
一、整除的定义整除是指在数学上，若a÷b的商（或结果）c是一个整数，则称a能被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。
我们通常将“a能被b整除”写成“b|a”。
需要注意的是，整除中“|”的方向指向的是被除数方向，即b|a 读作“b整除a”，而不是“a整除b”。
二、整除的性质1. 若a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
证明：设a=mb，b=nc，则a=mnc，即a能被c整除。
2. 若a能被b整除，且b能被c整除，则a能被c整除。
证明：设a=mb，b=nc，则a=(mn)c，即a能被c整除。
3. 任何数都能被1整除。
4. 任何数都能被自身整除。
5. 若p为质数，且p|ab，则p|a或p|b。
证明：因为p为质数，则p和a的最大公因数只能是1或p，若p和a的最大公因数是1，则p|b。
若p和a的最大公因数是p，则a=mp，其中m为正整数，则p|a。
6. 若a|b，b|c，则a|c。
证明：设a|b，则b=ma，设b|c，则c=nb，则c=nma，即a|c。
三、判断整除的方法1. 整数末位为0、2、4、6、8，则该数能被2整除。
2. 整数末位为0或5，则该数能被5整除。
3. 将整数各位上的数字相加，若和能被3整除，则该数能被3整除。
4. 如果一个整数既能被2整除，又能被3整除，则该数能被6整除。
5. 把整数的末尾两位去掉，减去去掉的两位数的两倍，如果差能被11整除，则该数能被11整除。
注：以上方法仅适用于第一次筛查，如果不符合以上条件，仍需进行其他方法判断。
四、习题1. 求1001、231、3024、33719、268125能否被19整除。
解答：（1）1001不是19的倍数。
（2）满足：231=19×12，即231能被19整除。
【精品资料】小学奥数知识点-数论
数论知识点整除定义及特征判断1、数的整除性：整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a．2、整除的性质：性质1. 如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）性质2. 如果bc｜a，则b｜a，c｜a性质3. 如果c｜b，b｜a，则c｜a3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。
4、涉及极值的整除问题：贪心法、弃倍法、逐步调整法。
5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。
如果相加的和能被99所整除，那么这个数就能被99所整除。
奇数、偶数与奇偶性的应用一、奇数和偶数的概念：1)整数可以分成奇数和偶数两大类。
2)能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
3)因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)，因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k＋1来表示奇数(这里k是整数)。
小学奥数经典讲义五年级秋季 第三讲数论之数的整除性提高
第三讲 数论之数的整除性数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要. 本讲需要教授的内容有：，方框教学目标分析：因为36=4×9，所以C6能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，A、B应尽可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍数，B=1，C=5时，取得最小值.[拓展]要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最大，那么A、B、C分别是多少？分析：先取A=9，则3+B+C是9的倍数，B=8，C=7时，取得最大值.【例4】（★★★祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x，则20x-1=153a，a是整数，即20x=153a＋1，因为20x的末位数一定是0，所以a最小取3，从而x最小是23.[巩固](这一类型的题虽然也被分入Ⅰ类，但非常特殊，应当注意).一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？分析：20x=59a-7，59a个位是7，所以a的个位是3，a=3时，x不能取整数，a=13时，x=38.【例5】（★★★★）求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以.应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺]：求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998. [拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.Ⅱ、整除与数字组合【例6】（★★★2002年南京市少年数学智力冬令营）一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3， (18)除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是 .分析：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，必有b＋d-(a＋c)=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个．经检验，它是4 876 391 520．【例7】（★★）用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除，这个六位数是 .分析：168=2×2×2×3×7，由于这个六位数被8整队，后三位只能是688，768或者776三种情况，分别验证这个6位数被7除的情况可知，只有768768满足要求.[拓展]：用数字4、5、6各两个，组成一个六位数，使它们能被165整除，这样的六位数有多少个？分析：165=3×5×11，所以，这样的六位数的个位数为5，且各位数数字之和为3的倍数（已满足），奇偶数位之和的差为11的倍数，4+4+5+5+6+6=30，30拆成两个差为11的倍数的数和有两种方法：30=15+15或4+26，显然后一种是无法达到的，而15只能等于4+5+6，所以，万位数和百位数上一个是4，一个是6，十万位、千位、十位上是4、5、6的某个排列，所以一共有2×3×2×1=12个.【例8】（★★★）用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?分析：现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被¨除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：(1) 1，8 9，8(2) 1，9 8，8(3) 9，8 1，8(4) 8，8 1，9经过验证，第(1)种分组法满足前面的要求：A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B －A=11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第(1)分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，×[；③×Ⅲ、多位数整除【例10】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面这个199位整数：19910010010011001位被13除，余数是多少？[拓展]199100000位被13除余多少？分析：19910010010011001位-199100000位=19610010011001位显而易见19610010011001位也是1001的倍数，所以也是13的倍数，所以199100000位与19910010010011001位被13除所得的余数相同,余数是1.【例11】（★★）200820082008200808n 个能被11整除，那么，n 的最小值为多少 分析：200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6.[巩固]（★★全国小学数学奥林匹克）如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例12】（★★★）应当在如下的问号“？”的位置上填上哪个数码，才能使得所得的整数可被7整除？（其中数码2和7都重复了50次）222...22?77 (777)分析：事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下“22?77”．从中减去21077，并除以100，即得“1?”．此时不难验证，具有此种形式的二位数中，只有14可被7整除．所以？上填4.专题展望数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.1、（★例1）六位数20□□08能被99整除，□□是 .72×是0的末尾数一定是9，所以a 最小取7，从而x 最小是17.5、（★★★例9）已知ABABAB 是154的倍数，求AB 的最小值.分析：事实上ABABAB =AB ×10101，而10101=3×7×13×37，所以只要保证AB 能被22整除，所以AB 的最小值为22.练习三数学知识时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的.原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍.以1/60作为单位，就正好具有这个性质.譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位.这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数.这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.。
小学奥数数论讲义 6-数的整除之代数思想与应用强化篇
数的整除之代数思想与应用1．合数的整除判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。
2．试除法在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小(一般为最大)。
当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。
3．数的整除的代数表示方法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：A=a n a n－1…a1a0=a n⨯10n+a n－1⨯10 n－1+…+a1⨯10+a0。
【例1】某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【巩固】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【例2】在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是什么？【巩固】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是多少？【例3】从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少？【巩固】(2010年“数学解题能力展示”五年级初赛)已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积(即abcba=45⨯deed)，那么这个五位回文数最大的可能值是。
【例4】有四个非零自然数a，b，c，d，其中c=a+b，d=b+c。
如果a能被2整除，b能被3整除，c能被5整除，d能被7整除，那么d最小是。
【巩固】有四个非零自然数a，b，c，d，其中c=a+b，d=b+c。
如果a能被3整除，b能被4整除，c能被5整除，d为大于等于11的自然数，那么a最小是。
【例5】如图依次排列的5个数是13，12，15，25，20。
它们每相邻的两个数相乘得4 个数。
人教版高中数学奥赛辅导 数论初步—数的整除性
整数的整除性定义：设a ，b 为二整数，且b ≠０，如果有一整数c ，使a ＝bc ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数，又称b 整除a ，记作b|a.显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０.性质：设a ，b ，c 均为非零整数，则①．若c|b ，b|a ，则c|a.②．若b|a ，则bc|ac③．若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|ma ＋nb④．若b|ac ，且(a ，b)＝1，则b|c证明：因为(a ，b)＝1则存在两个整数s ，t ，使得as ＋bt ＝1∴ asc ＋btc ＝c∵ b|ac ⇒ b|asc∴ b|(asc ＋btc) ⇒ b|c⑤．若(a ，b)＝1，且a|c ，b|c ，则ab|c证明：a|c ，则c ＝as(s ∈Z)又b|c ，则c ＝bt(t ∈Z)又(a ，b)＝1∴ s ＝bt'(t'∈Z)于是c ＝abt'即ab|c⑥．若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c⑦．(a －b)| (a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为奇数)整除的判别法：设整数N ＝121n 1a a a a -①.2|a 1⇔2|N ，5|a 1⇔ 5|N②.3|a 1＋a 2＋…＋a n ⇔3|N9|a 1＋a 2＋…＋a n ⇔9|N③.4|a a ⇔ 4|N25|a a ⇔ 25|N④.8|a a a ⇔8|N125|a a a ⇔125|N⑤．7||41n n a a a -－aa a |⇔7|N⑥．11||41n n a a a -－a a a|⇔11|N⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)]⇔11|N⑧．13||41n n a a a -－a a a |⇔13|N推论：三个连续的整数的积能被６整除.例题：1.设一个五位数d a c b a ，其中d －b ＝3，试问a ，c 为何值时，这个五位数被11整除. 解：11|d a c b a∴ 11|a ＋c ＋d －b －a即11|c ＋3∴ c ＝81≤a ≤9，且a ∈Z2.设72|b 673a ，试求a ，b 的值.解：72＝8×9，且(8，9)＝1∴ 8|b 673a ，且9|b 673a∴ 8|b 73 ⇒ b ＝6且 9|a ＋6＋7＋3＋6即9|22＋a∴ a ＝53.设n 为自然数，A ＝3237n －632n －855n ＋235n ，求证:1985|A.证明：∵1985＝397×5A＝(3237n－632n)－(855n－235n)＝(3237－632)×u－(855－235)×v(u，v∈Z)＝5×521×u－5×124×v∴5|A又A＝(3237n－855n)－(623n－235n)＝(3237－855)×s－(623－235)×t(s，t∈Z)＝397×6×s－397×t∴397｜A又∵(397,5)＝1∴397×5｜A即1985｜A4.证明：没有x，y存在，使等式x2＋y2＝1995(x，y∈Z)成立.证：假设有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立。
小学奥数数论讲义 6-数的整除之代数思想与应用强化篇
数的整除之代数思想与应用1．合数的整除判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。
2．试除法在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小(一般为最大)。
当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。
3．数的整除的代数表示方法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：A=a n a n－1…a1a0=a n⨯10n+a n－1⨯10 n－1+…+a1⨯10+a0。
【例1】某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【巩固】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【例2】在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是什么？【巩固】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。
问修改后的这个数是多少？【例3】从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少？【巩固】(2010年“数学解题能力展示”五年级初赛)已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积(即abcba=45⨯deed)，那么这个五位回文数最大的可能值是。
【例4】有四个非零自然数a，b，c，d，其中c=a+b，d=b+c。
如果a能被2整除，b能被3整除，c能被5整除，d能被7整除，那么d最小是。
【巩固】有四个非零自然数a，b，c，d，其中c=a+b，d=b+c。
如果a能被3整除，b能被4整除，c能被5整除，d为大于等于11的自然数，那么a最小是。
【例5】如图依次排列的5个数是13，12，15，25，20。
它们每相邻的两个数相乘得4 个数。
五年级下册数学奥数讲义—第十三讲数的整除通用版
数的整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；1. 2和5例：把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？解：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．，，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55。
《数整除复习》课件
下一步学习计划
深入学习数论中的其 他概念和定理，如质 数、合数、最大公约 数等。
尝试解决一些复杂的 数学问题，以提高自 己的数学素养和解题 能力。
通过阅读相关书籍和 论文，了解整除在数 学和其他领域的应用 。
2023-2026
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
REPORTING
综合练习题
总结词
整合知识、提升思维
详细描述
综合练习题是最具挑战性的题目，通常涉及多个知识点和解题技巧的整合运用。这些题 目旨在提高学生的思维能力和解决问题的能力，帮助他们将零散的知识点整合起来，形
成完整的数学知识体系。
PART 05
总结与回顾
本章重点回顾
01
02
03
整除的定义
如果一个数a除以另一个 数b得到的结果是整数， 那么我们说a能被b整除。
。
在几何中，整除的概念可以应用于解决 一些与图形和空间有关的问题。例如， 当我们需要计算一个图形的周长或面积 时，我们可以使用整除的方法来得到精
确的结果。
在日常生活中的应用
整除的概念在日常生活中也具有广泛的应用。例如，当我们需要将一个物品分成 若干等份时，我们可以使用整除的方法来计算每份的数量。
在商业中，整除的概念可以应用于计算折扣、优惠和促销活动。例如，当我们需 要计算商品的原价和折扣价格之间的差额时，我们可以使用整除的方法来得到精 确的结果。
在计算机科学中的应用
在计算机科学中，整除的概念也具有广泛的应用。例如，当 我们需要编写一个程序来处理整数时，我们可以使用整除的 方法来计算两个整数之间的商和余数。
在加密学中，整除的概念可以应用于一些加密算法的实现。 例如，RSA算法中就使用了整除的概念来生成公钥和私钥。
小升初数学-数论-奥数篇-整除专题解析必考知识点
小升初数学-数论-奥数篇-整除专题解析必考知识点整除1.被一个数整除2. 被两个数整除3. 被三个数整除4. 整除与生活应用一被一个数整除10÷2＝5四种说法：看末几位末一位末两位末三位被2，5整除的数被4，25整除的数被8，125整除的数看各个数位数字之和被3，9整除的数的特征：取隔断三位隔断（求差）两位隔断（求和）一位隔断（求差）被7，11，13整除的数被99整除的数被11整除的数被2 5 4 25 8 125 整除例1.在（）里填入适当的数使所组成的数能被2整除使所组成的数能被5整除292（）328（）（）785（）96（）51. 用5，7，8，0组成一个四位数，使它是2的倍数，这个数是（）；使它是5的倍数，这个数是（）例2. 下列哪些书能被4整除？哪些数能被25整除？12456 2350 37212 7800 5408 653251. 在（）里填入适当的数使所组成的数能被4整除65（）4 ，1235（），78（）4 ，7653（）使所组成的数能被25整除2785（），96（）5 ，98（）5 ，667（）例3.在（）里填入适当的数使所组成的数能被8整除2210（），427（）6 ，23（）6使所组成的数能被125整除662（），887（）0 ，4525（）（），6673（）（）被3 9 整除例1.下面12个自然数，哪些能被3整除，哪些能被9整除？864 650 432 3675 9064 22125 5748 3108 96311125 2950 72901. 在89 121 135 480 157 483 中，是3的倍数的有（）个。
2. 有一个四位数7AA1 是9的倍数，那么A是（）3. 1024至少减去（）就是3的倍数，1708至少加上（）就是5的倍数。
4. 判断：个位上是3，6，9的数都是3的倍数。
（）对于两个不相等的自然数，它们的和、差、积中必有一个是3的倍数。
（）5. 已知x+2y（其中x y都是正整数）能被9整除，则2（5x-8y-4）被9除的余数为（）被7 11 13 整除例1. 下面5个自然数中：128114 94146 64152 6139 4913678哪些能被7整除?哪些能被11整除？哪些能被13整除？1. 小月写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89 ，他们让小白写一个一位数放在59和89之间组成一个五位数59（）89，使这个五位数能被7整除，小白写的数字是多少？被99 整除例1.2007a12b2既是9的倍数，又是11的倍数，那么这个数是多少？1. 已知七位数92AB427能被99整除，那么AB=2. 若1A219B7能被99整除，那么两位数A+B=（）3. 六位数（）2008（）能同时被9和11整除。
六年级奥数.-数论.整除问题-(ABC级).学生版
六年级奥数.-数论.整除问题-(ABC级).学生版3.要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
4.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
5.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
6.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
7.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
8.若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除.9.若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）三、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；四、其他重要结论1、能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。