2015佛山一模 广东省佛山市2015届高三教学质量检测(一)数学理试题 Word版含答案
广东省佛山市南海区2015届高三下学期七校联合交流数学(理)试题及答案
理科数学
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1． 设全集 U 是实数集 R , M
部分所表示的集合是 ( )
x|x 2 , N
x | x 3 , 则图中阴影
U
N
M
A． x | 2 x 3 B． x | x 2 C． x | x 2 D． x | x 3
100 名司机，已知抽到的司机年
龄都在 20,45 岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用
这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的众数 ．．大约是 ( )
A． 27.5 岁 B． 30 岁 C． 32.5 岁
D． 35 岁
8. 设 V 是平面向量的集合，映射 f ： V V 满足
（Ⅲ）若
( ,3 ),且 f ( 22
5 ) 20 , 试求 tan( 6 13
) 的值 . 4
17．（本小题满分 12 分）
设不等式组
2≤x≤2 确定的平面区域为 U，
0≤ y≤ 2
x y 2≥ 0 x y 2≤ 0 确定的平面区域为 V ． y≥ 0
（ I）定义坐标为整数的点为“整点”． 在区域 U 内任取 3 个整点， 求这些整 点中至多有 1 个整点在区域 V 的概率；
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.
既不充分也不必要条件
”是“ m
”的 ( )
5．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，
称这个数为 “伞数 ”。现从 1，2，3 ，4，5 ，
【解析】广东省佛山市2015届高三第一次教学质量检测(一模)数学文试题Word版含解析
2015年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：原式===2﹣i，故选：C．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知集合M={x∈R|0＜x＜2}，N={x∈R|x＞1}，则M∩（∁R N）=（）A．[1，2）B．（1，2）C．[0，1）D．（0，1]【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出N的补集，从而求出其与M的交集．【解析】：解：∵集合M={x∈R|0＜x＜2}=（0，2），N={x∈R|x＞1}=（1，+∞）∴∁R N=（﹣∞，1]∴M∩∁R N=（（0，2）∩[1，+∞）=（0，1]故选：D．【点评】：本题考查了集合的运算，是一道基础题．3．（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D． 2【考点】：函数奇偶性的性质；函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数y=的图象关于原点对称，得到函数y=f（x）是R上的奇函数，根据奇函数的定义求出a的值即可．【解析】：解：令y=f（x），∵函数y=的图象关于原点对称，∴函数y=f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）====﹣=﹣f（x）=﹣，∴a=﹣1，故选：B．【点评】：本题考查了函数的奇偶性，是一道基础题．4．（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．12 B．24 C．8 D．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=0时，z=3x+y取得最大值为12．【解析】：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中O（0，0），A（4，0），B（，），C（0，8）设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，0）=12故选：A．【点评】：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．5．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．【解析】：解：由单位向量的夹角为45°，则•=1×1×cos45°=，由⊥（λ﹣），可得，•（λ﹣）=0，即λ﹣=0，则﹣1=0，解得λ=．故选B．【点评】：本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的两个命题是（）A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③【考点】：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：作图题．【分析】：我们可以从正方体去观察理解，①从空间两条直线的位置关系判断．②由线面垂直的性质定理判断；③从两平面的位置关系判断；④由射影的条数判断．【解析】：解：①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面．不正确；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质定理知正确；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，可能平行，也可能相交，不正确；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．故选B【点评】：本题主要考查了两直线的位置关系，两平面的位置关系及线面垂直的性质定理，斜线，垂线，射影等概念，作为客观题要多借助空间几何体来判断．7．（5分）某校高三年级学生会主席团有共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）A．0.35 B．0.4 C．0.6 D．0.7【考点】：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】：概率与统计．【分析】：分别计算出从5名学生中选出2名学生进入学生会的基本事件总数和满足这两名选出的同学来自不同班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解析】：解：来自同一班级的3名同学，用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用，A，B表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1A，1B，23，2A，2B，3A，3B，AB共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有1A，1B，23，2A，2B，3A，3B共7种，故这两名选出的同学来自不同班级概率P==0.7故选：D【点评】：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．8．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点，若|AB|=5，则△ABF1的周长为（）A．16 B．20 C．21 D．26【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长．【解析】：解：由双曲线的方程可知a=4，则|AF1|﹣|AF2|=8，|BF1|﹣|BF2|=8，则|AF1|+|BF1|﹣（|BF2|+|AF2|）=16，即|AF1|+|BF1|=|BF2|+|AF2|+16=|AB|+16=5+16=21，则△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5=26，故选D．【点评】：本题主要考查双曲线的定义，根据双曲线的定义得到A，B到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键．9．（5分）已知f（x）=x﹣x2，且a，b∈R，则“a＞b＞1”是“f（a）＜f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据二次函数的性质分别判断其充分性和必要性．【解析】：解：画出函数f（x）=x﹣x2的图象，如图示：，由图象得：f（x）在（，+∞）递减，∴a＞b＞1时，f（a）＜f（b），是充分条件，反之不成立，如f（0）=0＜f（）=1，不是必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了二次函数的性质，考查了充分必要条件，是一道基础题．10．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）A．45 B．55 C．90 D．100【考点】：归纳推理．【专题】：等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】：用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．【解析】：解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；设乘积的和为T n，则T n=1+2+…+（n﹣1）=n（n﹣1）当n=10时，T10=×10×（10﹣1）=45故选：A【点评】：本题主要考查等差数列的求和．属基础题．在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一．解决本题的关键在于特殊值法的应用．二、填空题：本大共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）如果f（x）=，那么f[f（2）]=1．【考点】：函数的值．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：根据x的范围，分别求出相对应的函数值，从而得到答案．【解析】：解：∵f（2）=0，∴f（0）=1，即f[f（2）]=1，故答案为：1．【点评】：本题考查了分段函数问题，考查了函数求值问题，是一道基础题．12．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4）到直线l：x+my﹣1=0的距离相等，则m的值为或1．【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：直线与圆．【分析】：利用点到直线的距离公式即可得出．【解析】：解：由点到直线的距离公式可得=，即|4m﹣1|=3，解得m=或1．故答案为：或1．【点评】：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．13．（5分）如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD=2，CE=2，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，∠BCE=75°，∠E=60°，则A、B两点之间的距离为．（其中cos48.19°取近似值）【考点】：解三角形的实际应用．【专题】：应用题；解三角形．【分析】：求出AC，通过正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB．【解析】：解：依题意知，在△ACD中，∠A=30°由正弦定理得AC==2在△BCE中，∠CBE=45°，由正弦定理得BC==3在△ABC中，由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB=10∴AB=．故答案为：．【点评】：本题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．三、几何证明选讲14．（5分）如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB=2，MC=1，则CD=2．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：几何证明．【分析】：由切割线定理，得MA2=MC•MD，由此能求出CD．【解析】：解：由已知得MA=，∵MA是切线，MCD是割线，∴MA2=MC•MD，∵MC=1，∴3=1×（1+CD），解得CD=2．故答案为：2．【点评】：本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．四、坐标系与参数方程15．（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：计算题．【分析】：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．【解析】：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：【点评】：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求f（）．（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．【考点】：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【专题】：作图题；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）依题意先解得ω=2，可得解析式f（x）=sin（2x﹣），从而可求f（）的值．（2）先求范围2x﹣∈[﹣，]，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．【解析】：解：（1）依题意得=π，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x﹣），…2分∴f（）=sin（）=sin cos﹣cos sin==…4分（2）∵x∈[﹣，]∴2x﹣∈[﹣，]，列表如下：2x﹣﹣﹣π﹣0x ﹣﹣﹣f（x）0 ﹣1 0 1画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象如下：由图象可知函数y=f（x）在（﹣，）上的单调递减区间为（﹣，﹣），（，） (12)分【点评】：本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的图象与性质，属于基础题．17．（12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）资料如下：（图1和表1）2014年11月份AQI数据日期1 2 3 4 5 6 7 8 9 10AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48日期11 12 13 14 15 16 17 18 19 20AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117日期21 22 23 24 25 26 27 28 29 30AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45表12014年11月份AQI数据频率分布表分组频数频率[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，120）[120，140]表2（Ⅰ）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表（表2）并完成频率分布直方图（图2）；（Ⅱ）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI＜100时，空气质量为优良）．试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据题意，填写2014年11月份AQI数据的频率分布表，画出频率分布直方图；（Ⅱ）利用数据计算2013年与2014年的11月优良率是多少，比较数据信息得出结论．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，填写2014年11月份AQI数据的频率分布表，如下；分组频数频率[20，40）2[40，60）7[60，80）12[80，100）5[100，120） 1[120，140] 3（3分）；根据频率分布表，画出频率分布直方图如下；（6分）（Ⅱ）支持，理由如下：2013年11月的优良率为：，…（8分）2014年11月的优良率为：，…（9分）∴；…（11分）∴利用数据信息得出“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”．…（12分）【点评】：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求点D到平面PAM的距离．【考点】：点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD．（Ⅱ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P﹣ACD 的体高，由V D﹣PAC=V P﹣ACD，能求出点D到平面PAM的距离．【解析】：（Ⅰ）证法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，所以OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD．…（4分）证法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，又M为PC的中点，所以AM⊥PC，DM⊥PC，又AM∩DM=M，AM⊂平面AMD，DM⊂平面AMD，所以PC⊥平面AMD，又AD⊂平面AMD，所以PC⊥AD．…（4分）（Ⅱ）解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，证明如下：…（6分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，所以A，Q，M，D四点共面．…（8分）（Ⅲ）解：点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．…（9分）在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，所以△PAC的面积，…（10分）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得…（11分），又，所以，…（13分）解得，所以点D到平面PAM的距离为．…（14分）【点评】：本题考查异面直线垂直的证明，考查四点共面的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1（n∈N），且a1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）设bn=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜（n∈N）．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由已知得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，从而=，由此能证明数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由a n=2n﹣1，S n=n+=n2，得bn===，由此利用裂项求和法能证明T n ＜（n∈N）．【解析】：（1）证明：∵4S n=（2n﹣1）a n+1+1，①∴n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，②①﹣②，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，n≥2∴（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，∴=，∴a n==1×=2n﹣1，∴a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）解：∵数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=2n﹣1，S n=n+=n2，∴bn====，n≥2∴T n＜（1+++…+）=．∴T n＜（n∈N）．【点评】：本题考查数列{a n}为等差数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用．20．（14分）已知点M（2，1），N（﹣2，1），直线MP，NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC 为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．【考点】：圆与圆锥曲线的综合．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设出P点坐标，依题意得列关于P点坐标的方程，化简后得答案；（Ⅱ）证法一、设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求出直线BC的方程，和抛物线方程联立后由判别式等于0可证直线BC与曲线E相切．证法二：设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求得直线BC的斜率，然后利用导数求出抛物线在过C点的切线的斜率，可得直线BC与曲线x2=4y过点C的切线重合，即说明直线BC与曲线E相切．【解析】：解：（Ⅰ）设P（x，y），依题意得，化简得x2=4y（x≠±2），∴曲线E的方程为x2=4y（x≠±2）；（Ⅱ）结论：直线BC与曲线E相切．证法一：设C（x0，y0），则，圆A的方程为，令x=0，则，∵y0＞0，y＜0，∴y=﹣y0，点B的坐标为（0，﹣y0），直线BC的斜率为，直线BC的方程为，即，代入x2=4y得，，即，，∴直线BC与曲线E相切．证法二：设C（x0，y0），则，圆A的方程为，令x=0，则，∵y0＞0，y＜0，∴y=﹣y0，点B的坐标为（0，﹣y0），直线BC的斜率为，由x2=4y得，得，，过点C的切线的斜率为，而，∴k=k1，∴直线BC与曲线x2=4y过点C的切线重合，即直线BC与曲线E相切．【点评】：本题考查了曲线方程的求法，考查了圆与圆锥曲线的综合，考查了直线与圆的位置关系，对于（Ⅱ）的第二种证明方法，运用了利用导数研究过曲线上某点的切线的斜率，体现了导数在解题中的广泛应用，该题属中高档题．21．（14分）设函数f（x）=的导函数为f'（x）（a为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2））处的切线斜率为﹣；（Ⅲ）当x≠a时，若不等式||+k|x﹣a|≥1恒成立，求实数k的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（Ⅱ）根据导数的几何意义，令a+2=t，则有e t+t3﹣1=0，构造函数，利用导数求出即可；（Ⅲ）原不等式可化为，在分类讨论，继而求出实数k的取值范围．【解析】：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（﹣∞，a）∪（a，+∞），…（1分）对f（x）求导得：，…（2分）由f'（x）＞0得x＞a+1；由f'（x）＜0得x＜a或a＜x＜a+1，…（4分）所以f（x）在（﹣∞，a），（a，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（6分）令得e a+2+a3+6a2+12a+7=0…①令a+2=t，则有e t+t3﹣1=0，…（8分）令h（t）=e t+t3﹣1，则h'（t）=e t+3t2＞0，…（9分）故h（t）是R上的增函数，又h（0）=0，因此0是h（t）的唯一零点，即﹣2是方程①的唯一实数解，故存在唯一实数a=﹣2满足题设条件．…（10分）（Ⅲ）因为，故不等式可化为，令x﹣a=t，则t≠0，…（11分）且有…（12分）①若t＜0，则，即，此时k≥0；②若0＜t≤1，则，即，此时k≥1；③若t＞1，则，即，此时k≥1．故使不等式恒成立的k的取值范围是[1，+∞）．…（14分）【点评】：本题考查了导数和函数单调性的关系，以及导数的几何意义，以及不等式恒成立的问题，培养了学生的转化能力，属于中档题。
2015届高三教学质量一模数学试题(理)及答案
2015年高三教学质量检测（1）数学试题（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{1,0,1},{||10}A B x x =-=+>，那么AB =A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．(1,)-+∞D ．[)1,-+∞ 2、已知复数1z i =+，则21z-= A ．i - B ．1 C ．i D ．-13、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为4、已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A ．求11112310++++的值 B ．求111124620+++的值 C ．求11112311++++的值 D ．求111124622+++的值 5、已知平面向量,a b 满足11,(2)()2a b a b a b ==+-=-，则与a 与b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π6、在正项等比数列{}n a 中，232629log log log 3a a a ++=，则111a a 的值是 A ．16 B ．8 C ．4 D ．27、在二项式251()x x-的展开式中，含7x 的项的系数为A ．-10B ．10C ．-5D ．58、某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率9、焦点在y 轴上的双曲线G 的下焦点为F ，上顶点为A ，若线段FA 的中垂线与双曲线G 有公共点，则双曲线G 的离心率的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．()3,+∞D ．[)3,+∞ 10、已知()[)[]211,010,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象正确的是A ．()1f x +的图象B ．()f x 的图象C ．()fx 的图象 D ．()f x 的图象11、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>过圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心，则11a b+的最小值为（ ） A ．14 B．32+．32+ 12、定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意x R ∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()log (1)a y f x x =-+在()0,+∞上恰有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编：统计与概率
图17432109878广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编统计与概率一、选择题 1、（2015届广州市）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是A. 91, 91.5B. 91, 92C. 91.5, 91.5D. 91.5, 922、（2015届茂名市）如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3,1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A 、37 B 、47 C 、114 D 、13143、（2015届汕头市）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8． 则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①选择题参考答案1、C2、D3、B二、填空题 1、（2015届江门市）已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为a x b y +=，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为a bx y +=，则b b ____ ，a a ____．（填“>”或“<”）2、（2015届揭阳市）某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记1035p =（），结果用含p 的代数式表示）3、（2015届湛江市）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均值为10，方差为2，则x y -的值为4、（2015届佛山市）某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为_________填空题参考答案1、＜，＞2、所求概率9910101010323()+C ()555P C =（）91023352310()()455533p p p =⨯⨯+=⨯+=. 3、3 4、96625(或0.1536) 三、解答题 1、（2015届广州市）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X .（1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.2、（2015届江门市）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：⑵估计该基地榕树树苗平均高度；⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有X 株，求X 的分布列和期望．3、（2015届揭阳市）图2是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI）指数40120160200图2（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设ξ是此人停留期间空气质量优良的天数，求ξ的数学期望．（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图34、（2015届茂名市）第117届中国进出品商品交易会（简称2015年春季广交会）将于2015年4月15日在广州举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：cm），若身高在175cm 以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”。
2015年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科综合(试题+答案)
2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）理科综合试题 2015.2本试卷共12页,满分300分，考试时间150分钟注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将白已的姓名和考号填写在答题卡上．用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A 或B ）填涂在答题卡上，并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信涂黑。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案答在试题卷上无效。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考试结束后，将答卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题 （共118分）一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分。
共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
1．下列有关蛋白质说法正确的是A ．蛋白质不参与生物膜系统的构成B ．抗体蛋白在细胞内液和细胞外液中都起作用C ．人体蛋白类激素都可以起到信息分子的作用D ．蛋白质进出细胞需要载体蛋白的参与2．对非洲爪蟾的精巢切片进行显微观察，绘制以下示意图，有关说法错误．．的是A ．甲、丁细胞均为初级精母细胞B ．乙、丙细胞不含有染色单体C ．丙细胞处于有丝分裂后期D ．乙、丁细胞内的两条染色体都发生了互换3．下图是基因表达过程的示意图，有关说法正确的是甲 乙 丙 丁A．①为单链，不存在碱基互补配对现象B．一条③上可同时结合多个②C．④上的密码子决定了氨基酸种类D．该过程需要解旋酶和DNA聚合酶的参与4．下列符合现代生物进化理论的叙述是A．新物种的形成可以不经过隔离B．进化时基因频率总是变化的C．基因突变产生的有利变异决定生物进化的方向D．一般来说突变频率高的基因所控制的性状更适应环境5．下列关于细胞分化、衰老、癌变和凋亡的叙述，错误．．的是A．高度分化的细胞更适合做植物组织培养的材料B．衰老的细胞内水分减少、代谢减慢C．细胞凋亡是生物体正常的生命活动D．原癌基因或抑癌基因发生的变异累积可导致癌症6．为探究NAA促进插条生根的最适浓度，某兴趣小组进行了预实验，结果如右图。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：统计与概率(含答案)
3、（ 2015 届湛江市） 某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x ， y ，10 ，11 ， 9 ．已知这组数据的平均值为 10 ，方差为 2 ，则 x y 的值为
4、（ 2015 届佛山市）某市有 40% 的家庭订阅了《南方都市报》 , 从该城市中任取 4 个家庭 , 则这 4 个家庭中恰好有 3 个家庭订阅了《南方都市报》的概率为 _________
6 个城市， 省环保部门再从中随机选取 3 个城市组织专家进行调研， 记省环保部门 “选到空气
质量“良好”的城市个数为
”，求 的分布列和数学期望．
8、（ 2015 届湛江市） 广东省第十四届运动会将在湛江举行，组委会招募了 12 名男志 愿者和 18 名女志愿者，将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图 （单位：cm ）， 身高在 175 cm 以上（包括 175 cm ）定义为“高个子”身高在 175 cm以下（不包括 175 cm ）定义为“非高个子”． 1 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中 选 2 人，求至少有一人是“高个子”的概率；
球的概率为 1 ，每个球被取到的机会均等 . 现从袋子中每次取 7
再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为
X.
1个球，如果取出的是白球则不
（ 1）求袋子中白球的个数；
（ 2）求 X 的分布列和数学期望 .
2、（ 2015 届江门市） 某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了
100 株树苗，分别测出它们的高度（单位： cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表
广东省各市 2015 年高考一模数学理试题分类汇编
统计与概率
一、选择题
广东省佛山市佛山一中2015届高三数学9月月考试题 理(含解析)
佛山市第一中学2015届高三9月考理数试题【试卷综析】试题试卷结构稳定，考点分布合理，语言简洁，设问坡度平缓，整体难度适中. 注重基础. 纵观全卷，选择题、填空题比较平和，立足课本，思维量和运算量适当.内容丰富，考查了重点内容,渗透课改，平稳过渡.针对所复习的内容进行考查，是优秀的阶段性测试卷.一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）【题文】1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1} 【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算．A1【答案解析】C 解析：由已知中阴影部分在集合A 中，而不在集合B 中，故阴影部分所表示的元素属于A ，不属于B （属于B 的补集）,即（CRB ）∩A={1，2}．故选C ．【思路点拨】由已知中U 为全集，A ，B 是集合U 的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案． 【题文】2、设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，i z 211+=，则12z z =A.i 54+B. i 4C. i 5D. 5【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案解析】C 解析：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，z1=1+2i ，∴z2=2+i ，∴z1z2=（1+2i ）（2+i ）=5i ，故选：C ． 【思路点拨】先求出z2=2+i ，再计算z1z2． 【题文】3、下列说法正确的是A ．命题“若x2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B ．命题“∀x ≥0，x2＋x －1＜0”的否定是“∃x0＜0，x20＋x0－1≥0”C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题D ．若“q p ∨”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题【知识点】复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定。
广东省佛山市2015～2016学年第一学期普通高中高一教学质量检测数学试题带答案
图12015～2016学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}A x x Z =∈,{}03B x x =<<,则A B = ( )A . {}03x x <<B . {}1,2C . {}12x x ≤≤D . {}x x Z ∈ 2. 下列函数中，在其定义域内是偶函数为( )A . ()1f x x=B . ()2xf x = C . ()lg f x x = D . ()cos f x x = 3. 下列大小关系正确的是( )A . 113334> B . 0.40.30.30.3> C . 76log 6log7< D . sin 3sin 2>4. 下列计算正确的是( )A m n =-B . 222log 3log 5log 15⨯=C . 1099222-= D . 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭5. 已知函数()y f x =的图像经过点()1,2P -,则函数()y f x =--的图像必过点( )A . ()1,2-B . ()1,2C . ()1,2--D . ()2,1- 6. 已知函数()tan 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,则256f π⎛⎫=⎪⎝⎭( ) AB. C .3 D . 3- 7. 已知函数221y x ax =-+(a ∈R )的图像如图1所示, A D .2016年1月8. 某同学在求函数lg y x =和1y x=的图像的交点时,计算出了下表所给出的函数值,则交点的横坐标在下列哪个区间内( )A . ()2.125,2,25B . ()2.75,2.875C . ()2.625,2.75D . ()2.5,2.625 9. 某地区今年1月,2月,3月,4月,5月患某种传染病的人数分别是52,61,68,74,78.若用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数,哪个最不合理？( )A . ()f x kx h =+B . ()2f x ax bx c =++C . ()xf x pq r =+ D . ()ln f x m x n =+10.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ) A . 向左平移5π12个长度单位 B . 向右平移5π12个长度单位 C . 向左平移5π6个长度单位 D . 向右平移5π6个长度单位11.已知集合,A B ,定义{A B x x A -=∈且}x B ∉,{A B x x A +=∈或}x B ∈,则对于集合,M N 下列结论一定正确的是( )A . ()M M N N --=B . ()()M N N M -+-=∅C . ()M N M N +-=D . ()(M N - 12.已知函数()()ln 1f x x x a =--,下列说法正确的是( )A . 当0a >时,()f x 有零点0x ,且()01,2x ∈B . 当0a >时,()f xC . 当0a =时,()f x 没有零点D . 当0a <时,()f x 二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分．13.函数()y f x =与函数()xg x a =互为反函数,且()y f x =图像经过点(14.如图2是幂函数i y x α=(0,1,2,3,4,5i i α>=)在第一象限内的图像, 其中13α=,22α=,31α=,412α=,513α=,已知它们具有性质:① 都经过点()0,0和()1,1； ② 在第一象限都是增函数. 请你根据图像写出它们在()1,+∞上的另外一个共同性质: .15.设()222f x ax x a =+-在[)1,2-上是增函数,则a 的取值范围是 .16.已知偶函数()f x 满足()()2f x f x +=,当[0,1]x ∈时,()f x x =,则当[],1x k k ∈+()k Z ∈时,函数()f x 的解析式是_________________.三、解答题:本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分) 证明:函数()f x =()0,+∞上是减函数.18.(本小题满分12分)已知角α的终边落在第二象限,,将角α的终边逆时针旋转2π与角β的终边重合.(Ⅰ) 求cos α； (Ⅱ) 求()sin cos sin 2sin 2ααππββ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.19.(本小题满分12分)已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图像如图3所示. (Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 当[]5,2x ∈--时,求函数()f x 的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)已知()()()ln 1ln 1f x x x =--+.(Ⅰ) 指出函数()f x 的定义域并求1111,,,3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； (Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,请你猜想函数()f x 的一个性质,并证明你的猜想； (Ⅲ) 解不等式:()1ln30f x ++>.21.(本小题满分12分)已知()12,1211,01211,0x x x f x x x x m⎧--≥⎪⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≤⎪-⎩.(Ⅰ) 若1m =,画出函数的简图,并指出函数的单调区间.(Ⅱ) 若函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0m >)有两个不同的交点,求m 的取值范围22.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 有两个零点3-和1,且有最小值4-. (Ⅰ) 求()f x 的解析式；(Ⅱ) 令()()1g x mf x =+(0m ≠).②若0m <,证明:()g x 在[)3,-+∞上有唯一零点；② 若0m >,求()y g x =在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.2015～2016学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学参考答案与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 2 14.α越大函数增长越快 15. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16. ()(),1,k x k k f x x k -⎧⎪=⎨-+⎪⎩为偶数为奇数[说明]第14题的参考答案有:①α越大函数增长越快；②图像从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤1α>,图像下凸；⑥图像无上界；⑦当指数互为倒数时,图像关于直线y x =对称；⑧当1α>时,图像在直线y x =的上方；当01α<<时,图像在直线yx =的下方；(说明:答案不唯一,其他正确答案照样给5分)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)证明:函数()f x =在区间()0,+∞上是减函数.【解析】任取()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,则()()12f x f x -=…………………3分===分因为210x x ->0>,0>0>,……8分所以()()120f x f x ->,即函数()f x =在区间()0,+∞上是减函数.……………10分 18.(本小题满分12分)已知角α的终边落在第二象限,且与单位圆交点的纵坐标为5,将角α的终边逆时针旋转2π与角β的终边重合. (Ⅰ) 求cos α； (Ⅱ) 求()sin cos sin 2sin 2ααππββ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【解析】(Ⅰ)解法一:sin α=由题意得,…2分 又22sin cos 1αα+=,α是第二象限角…3分 所以cos 5α==-…………5分 解法二:因为角α的终边与单位圆交点P 的纵坐标为P y =,又221x y +=,α是第二象限角,所以P x ==-,…………3分 所以cos P x α==-…………5分(Ⅱ)依题意22k πβαπ=++,k Z ∈,……6分 所以sin sin 2cos 2k πβαπα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭…7分 ()sin sin 2sin 2k πβαπα⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭…8分 所以()sin cos sin cos cos 2sin sin 2sin 2ααπααπααββ--+=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭…9分 tan 121112tan 145αα+-+===--+…………12分 19.(本小题满分12分)已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,0πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝的图像如图3所示.(Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 当[]5,2x ∈--时,求函数()f x 的最大值和最小值. 【解析】(Ⅰ)由图像可知,函数的周期为6T =,263ππω==.…………………………………………2分又()f x 的图像过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以12sin 032πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以1232k πϕπ⨯+=,即2,6k k Z πϕπ=-∈,又因为02πϕ-<<,所以6ϕ=-,………4分故所求函数的解析式是()2sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.…………………………………………5分(Ⅱ) 因为函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期是6T =,所以求[]5,2x ∈--时函数()f x 的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[]1,4上的最大值和最小值.……………………………8分 由图像可知,当2x =时,函数的最大值是()22sin 2236f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭；………………10分当4x =时,函数的最小值是()42sin 4136f ππ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.……………………………… 12分说明:本题也可以直接求函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]5,2--上的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)已知()()()ln 1ln 1f x x x =--+.(Ⅰ) 指出函数()f x 的定义域并求1111,,,3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； (Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,你猜想函数()f x 的一个什么性质,并证明你的猜想； (Ⅲ) 解不等式:()1ln30f x ++>.【解析】(Ⅰ)函数的定义域为()1,1-,…………………………… 1分 1ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 1ln 32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 1ln 32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1ln 23f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.…………… 3分 (Ⅱ) 以下两个性质之一均可得到满分方向一:由于1133f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,猜想函数()f x 为奇函数,……5分证明:设任意()()()()()1,1,ln 1ln 1x f x x x f x ∈--=+--=-,所以函数()f x 为奇函数.……7分 方向二:由于11113223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->->> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x 在定义域上单调递减,……5分 证明:设任意()1212,1,1,x x x x ∈-<且,则()()()()()()121211222111ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11x x f x f x x x x x x x ⎛⎫-+-=--+--++=⨯ ⎪-+⎝⎭,因为1211x x -<<<,所以12110x x ->->,2111x x +>+, 则122111111x x x x -+⨯>-+,122111ln 011x x x x ⎛⎫-+⨯> ⎪-+⎝⎭,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >, 函数()f x 在定义域上单调递减.……………………7分(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)可知,1ln 32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则()112f x f ⎛⎫+>-- ⎪⎝⎭,…………8分又()f x 为奇函数,则()112f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,又函数()f x 在定义域上单调递减,………………9分故原不等式可化为:111112x x -<+<⎧⎪⎨+<⎪⎩,………………10分 解得122x -<<-,即原不等式的解集为12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………12分解法二:因为111x -<+<,所以20x -<<,………………8分 所以()()()1ln ln 2f x x x +=--+,…………9分原不等式可化为:()()ln ln 2ln30x x --++>………………10分即()()ln 3ln 2x x ->+,所以32x x ->+,解得12x <-,…………………………11分 又20x -<<,所以122x -<<-,即原不等式的解集为12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………12分21.(本小题满分12分)已知()12,1211,01211,0x x x f x x x x m ⎧--≥⎪⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≤⎪-⎩.(Ⅰ) 若1m =,画出函数的简图,并指出函数的单调区间.(Ⅱ) 若函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0m >)有两个不同的交点,求m 的取值范围(Ⅱ) 由于()101f m=-,…………………………………………………7分 ()()221121110m m m m m m m --+⎛⎫---==≥ ⎪⎝⎭…………………………………8分 当且仅当1m =时,111m m-=-,此时,函数()y f x =的图像与直线1y m =-有两个交点.……9分当1m >时,函数()y f x =的图像与直线1y m =-没有交点…………10分当01m <<时,111m m->-,直线1y m =-与函数()()0y f x x =≤的图像有且只有一个交点,要保证函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0)m >有两个交点,则112m -<-,即12m <.所以m 的取值范围为102m <<或1m =.…………12分22.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 有两个零点3-和1,且有最小值4-.(Ⅰ) 求()f x 的解析式；(Ⅱ) 令()()1g x mf x =+(0m ≠).① 若0m <,证明:()g x 在[)3,-+∞上有唯一零点； ② 若0m >,求()y g x =在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.【解析】(Ⅰ)由题意可得()30f -=,()10f =,所以()f x 的图像关于直线1x =-对称设()()214f x a x =+-,令1x =,则()1440f a =-=,1a =,所以()223f x x x =+-.……2分 (Ⅱ)①由题意得()()2141g x m x m =+-+,0m <对称轴为13x =->-,所以()g x 在[]3,1--上单调递增,[)1,-+∞上单调递减.……3分 又()310g -=>,()1140g m -=->,所以函数()g x 在[]3,1--没有零点,在[)1,-+∞上有且只有一个零点,…………6分 所以()f x 在[)3,-+∞上有唯一零点.………………7分 ②()114g m -=-,()31g -=,39124g m ⎛⎫=+⎪⎝⎭,因为0m >,所以 ()332g g ⎛⎫>- ⎪⎝⎭,…………8分当140m -≥,即14m ≤时,()max max 39124y g x g m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭,…………9分当140m -<,即14m >时,若94114m m -≤+,即1847m <≤,()max max 39124y g x g m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭.……………10分 若94114m m ->+,即87m >,()()max max 141y g x g m ==-=-,………11分综上所述,当807m <≤时,max 914y m =+；当87m >时,max 41y m =-.……12分。
广东省佛山市第一中学2015届高三10月段考数学(理)试题 Word版含答案
佛山一中2015届高三上学期数学（理科）段考试题2014.10.14本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x|－x 2－3x>0}，B ＝{x|x<－1}，则A ∩B ＝( )A ．{x|－3<x<－1}B ．{x|－3<x<0}C ．{x|x<－1}D ．{x|x>0} 2．函数2cos 1y x =+在下列哪个区间上为增函数A ．π[0, ]2B ．π[, π]2C ．[]0, πD ．[]π, 2π 3．已知幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--，则2log (4)f 的值为 A ． 3 B ．4 C ．6 D ．－6 4．已知函数()12sin()cos()2f x x x ππ=++-，则()f x 是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数5．向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝A ．12B ．13C ．14D ．156．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于A ．14a ＋12bB ．23a ＋13bC ．12a ＋14bD ．13a ＋23b8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为A. 9(,2]4-- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9(,)4-+∞二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m 等于________．10．已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. 11．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，已知a =4B π=， ，求b .”若破损处的条件为三角形的一个内角的大小，且答案提示b =试在横线上将条件补充完整.12．若数()f x x a =+-a =__________.13．直线2()y x m m R =+∈和圆122=+y x 交于A 、B 两点,以Ox 为始边,OA ,OB 为终边的角分别为α,β,则)sin(βα+的值为_________.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设A 、B 分别在曲线C ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 23cos 24y x （θ为参数）和曲线21=ρ上，则||AB 的取值范围是_______15．（几何证明选讲）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则OBC S ∆= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .17．（本题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。
广东省佛山市高三数学教学质量检测(一)试题 文
2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式: 锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+ B ．i 21-C．i2-D ．i 2+2．已知集合{}02M x x =∈<<R ,{}1N x x =∈>R ,则()R MN =ð( )A ．[)1,2B ．()1,2C ．[)0,1D ．(]0,13．若函数42x xay +=的图象关于原点对称,则实数a 等于( ) A ．2- B ．1- C ．1 D ．24．已知x ,y 满足不等式组282800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则目标函数3z x y =+的最大值为( )A ．12B ．24C ．8D ．3325．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )A ．1 BCD ．2 6．在空间中，有如下四个命题： ①平行于同一个平面的两条直线是平行直线； ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直. 其中正确的两个命题是( ) A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③7．某校高三年级学生会主席团有共有5名同学组成,其中有3名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为( )A ．0.35B ．0.4C ．0.6D ．0.78. 已知双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线与该双曲线的右支交于A 、B 两点,若5=AB ,则1ABF ∆的周长为( )A ．16B ．20C ．21D ．26 9．已知()2f x x x =-,且a ,b ∈R ,则“1a b >>”是“()()f a f b <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10．有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( )A . 45B . 55C . 90D .100二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题(11～13题)11．如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则m 的值为 . 13. 如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)C图1O DCAMPB图22013年11月份AQI 数据频率分布直方图(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,PA 、PB是圆O 的两条切线,切点分别为A 、B ,PA 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C 、D 两点,若PB =1MC =,则CD= .15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线1C :)sin 1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0a >)的一个交点在极轴上,则a =______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0ω>),x ∈R 的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在2π⎛- ⎝17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI )(单位:3g /m μ)资料如下:图32014年11月份AQI 数据表12014年11月份AQI 数据频率分布表 表2PABC DM图620 40 AQI60 80 100 120 140 图42014年11月份AQI 数据频率分布直方图(Ⅰ) 请填好2014年11月份AQI 数据的频率分布表．．．．．并完成频率分布直方图．．．．．．．；(Ⅱ) 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI 100<时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?18.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=︒的菱形,M 为PC 的中点.(Ⅰ) 求证:PC AD ⊥；(Ⅱ) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面?若存在,指出点Q 的位置并证明；若不存在,请说明理由；(Ⅲ) 求点D 到平面PAM 的距离.19.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()14211n n S n a +=-+(*n ∈N ),且11=a .(Ⅰ) 求证：数列{}n a 为等差数列； (Ⅱ) 设n b =数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:32n T <(*n ∈N ).20.(本小题满分14分)已知点()2,1M ,()2,1N -,直线MP ,NP 相交于点P ,且直线MP 的斜率减直线NP 的斜率的差为1.设点P 的轨迹为曲线E . (Ⅰ) 求E 的方程；(Ⅱ) 已知点()0,1A ,点C 是曲线E 上异于原点的任意一点,若以A 为圆心,线段AC 为半径的圆交y 轴负半轴于点B ,试判断直线BC 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.21.(本小题满分14分)设函数()e xf x x a=-的导函数为()f x '(a 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).(Ⅰ) 讨论函数()f x 的单调性； (Ⅱ) 求实数a ,使曲线()y f x =在点()()2,2a f a ++处的切线斜率为3261274a a a +++-；(Ⅲ) 当x a ≠时,若不等式()()1f x k x a f x '+-≥恒成立,求实数k 的取值范围. 2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．[必做题] 11．1 12．112-或 13[选做题] 14．2 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.【解析】(Ⅰ)依题意得2ππω=,解得2ω=,所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,………………2分 所以s i63f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.………4分 (Ⅱ)因为22x ππ-≤≤,所以532444x πππ-≤-≤,列表如下:……………………6分8π3π2014年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据频率分布表画出函数()y f x =在区间,⎡⎤-上的图像如图所示! 由图象可知函数()y f x =在,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间为,28ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭.…………12分 17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分) (Ⅱ) 支持,理由如下:2013年11月的优良率为:119200.0050.0050.0150.010330⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭, …………8分2014年11月的优良率为:3026, …………9分 因此2619723.3%20%303030-=≈> …………11分 所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”.…………………12分………8分PABCDM QO18.【解析】(Ⅰ)方法一:取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形,所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OCOP O =,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC ,所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以PC AD ⊥.………………4分 方法二:连结AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 又M 为PC 的中点,所以AM PC ⊥,DM PC ⊥, 又AMDM M =,AM ⊂平面AMD ,DM ⊂平面AMD ,所以PC ⊥平面AMD ,又AD ⊂平面AMD ,所以PC AD ⊥.………………4分(Ⅱ)当点Q 为棱PB 的中点时,,,,A Q M D 四点共面,证明如下:………………6分 取棱PB 的中点Q ,连结QM ,QA ,又M 为PC 的中点,所以//QM BC ,在菱形ABCD 中//AD BC ,所以//QM AD ,所以,,,A Q M D 四点共面.………………8分(Ⅲ)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面A B C D ,即PO 为三棱锥P ACD -的体高.………………9分在Rt POC ∆中,PO OC =,PC = 在PAC ∆中,2PA AC ==,PC ,边PC 上的高AM ==, 所以PAC ∆的面积1122PAC S PC AM ∆=⋅==,………………10分 设点D 到平面PAC 的距离为h ,由D PAC P ACD V V --=得………………11分1133PAC ACD S h S PO ∆∆⋅=⋅,又22ACD S ∆==,所以11133h =………13分 解得h=, 所以点D 到平面PAM 的距离为5.………………14分 19.【解析】(Ⅰ) 由题设()14211n n S n a +=-+,则21413a S =-=，3234115,a S =-=35a =. 当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+, 两式相减得()()12121n n n a n a ++=-, ……………………………………2分方法一：由()()12121n n n a n a ++=-，得12121n n a a n n +=+-，且2131a a=. 则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列，即1121211n a a n ==-⨯-，也即21n a n =- ……………………………6分所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列 ………………………………………7分方法二：由()()12121n n n a n a ++=-，得()()122321n n n a n a +++=+， 两式相减得212n n n a a a +++=,且1322a a a += ……………………………………6分所以数列{}n a 等差数列. ………………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得12-=n a n ,()21212n n n S n +-==,()121n b n n =-,…………9分当1=n 时,1312T =<成立；…………………………………………………10分 当2n ≥时,()()111111*********n b n n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪---⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭…………12分所以1111111122231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113111222n ⎛⎫=+-<+= ⎪⎝⎭综上所述,命题得证.………………………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ)设(),P x y ,依题意得11122y y x x ---=-+, ……………………3分 化简得24x y=(2x ≠±),所以曲线E的方程为24x y =(2x ≠±). …………………5分(Ⅱ) 结论:直线BC 与曲线E 相切. 证法一:设()00,C x y ,则2004x y =,圆A的方程为()()22220011x y x y +-=+-, ……………7分 令0x =,则,()()()2222000111y x y y -=+-=+,因为00,0y y ><,所以y y =-,点B的坐标为()00,y -, ………………………………………9分直线BC 的斜率为002y k x =,直线BC 的方程为0002y y y x x +=,即002y y x y x =-,……………11分 代入24x y =得200024y x x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即20000840x x y x x y -+=,……………13分()22000000064441640y x x y y y x ∆=-⋅=-=,所以,直线BC 与曲线E 相切.……………………………………………………………14分 证法二:设()00,C x y ,则2004x y =,圆A的方程为()()22220011x y x y +-=+-,……………7分令0x =,则,()()()2222000111y x y y -=+-=+,因为00,0y y ><,所以y y =-,点B的坐标为()00,y -,………………………………………9分直线BC 的斜率为02y k x =,…………………………………10分 由24x y =得214y x =得12y x '=,过点C 的切线的斜率为1012k x =,……………12分 而200000122142x y k x x x ⨯===,所以1k k =,……………13分 所以直线BC 与曲线24x y =过点C 的切线重合,即直线BC 与曲线E 相切.…………………………………………………………14分 21.【解析】(Ⅰ)函数()f x 的定义域是()(),,a a -∞+∞,…………………………1分对()f x 求导得:()()()2e 1x x af x x a --'=-,…………………2分由()0f x '>得1x a >+；由()0f x '<得x a <或1a x a <<+,…………………4分 所以()f x 在(),a -∞,(),1a a +上单调递减,在()1,a ++∞上单调递增.…………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得()2e 24af a +'+=……………………………………6分令232641274a a e a a ++++-=得 32261270a a a a e +++++=………① 令2a t +=,则有310te t +-=,……………………………8分令()31th t e t =+-,则()203th t e t '=+>,……………………………9分故()h t 是R 上的增函数,又()00h =,因此0是()h t 的唯一零点,即2-是方程①的唯一实数解,故存在唯一实数2a =-满足题设条件.…………………………………………………………10分(Ⅲ)因为()()1f x x a f x x a '--=-,故不等式()()1f x k x a f x '+-≥可化为11x a k x a x a--+-≥-,令x a t -=,则0t ≠,……………………………11分 且有111k t t≥-- ………12分 ① 若0t <,则1kt t -≥,即21k t ≥-,此时0k ≥； ② 若01t <≤,则12kt t ≥-,即2221111k t t t ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭,此时1k ≥；③ 若1t >,则1kt t ≥,即21k t≥,此时1k ≥. 故使不等式恒成立的k 的取值范围是[)1,+∞.………………………………………………14分。
广东省佛山市第一中学2015届高三9月考数学(理)
广东省佛山市第一中学2015届高三9月考数学（理）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1}2、设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，i z 211+=，则12z z = A.i 54+ B. i 4 C. i 5D. 53、下列说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．命题“∀x ≥0，x 2＋x －1＜0”的否定是“∃x 0＜0，x 20＋x 0－1≥0” C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题 D ．若“q p ∨”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 4、若)4,2(∈x ，则下列结论正确的是x 2x 2x 2x2A ．0B ．1C ．2D ．38、如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角α，使得α≥∠AOB 对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A 、B 恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O 的“确界角”．已知曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0 , 0 , 143 )(2x e x x x f ex（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O 为坐标原点，则曲线C 的相对于点O 的“确界角”为 A ．3π B ．125π C ．2π D ．127π二、填空题：(本题共6个小题，每小题5分，共30分， 请将你的答案写在答卷上相应位置）9、3216)1258(8log -+= ．10、dx xx ⎰+212)12(＝________．11、已知函数x a ax x x f )1(2131)(23-+-=（a ∈R ）是区间)4,1(上的单调函数，则a 的取值范围是 ．12、若函数3)2(2)2()(222-+++++=k x x k x x x f 恰有两个零点，则k 的取值范围为 ；13、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是 .14、已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点),(b a P 成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”.则函数23)(23--+=x x x x f 图像的对称中心坐标为 .三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答） 15、(本小题满分12分)已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期；（6分）（2）若∀x ∈⎣⎡⎤0，π2，都有f (x )－c ≤0，求实数c 的取值范围．（6分）16、(本小题满分12分)如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.⑴求证：AC ⊥平面BDE ；（5分） ⑵求二面角D BE F --的余弦值；（7分）17、（本小题满分14分）某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测. 下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].（1）求图中x 的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；（5分） （2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；（3分）（3）若产品净重在[98，104)为合格产品，其余为不合格产品. 从这60件抽样产品中任选2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列及数学期望。
广东省佛山市2015～2016学年第一学期普通高中高一教学质量检测数学试题带答案
图12015-2016学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}A x x Z =∈,{}03B x x =<<,则AB =( )A . {}03x x <<B . {}1,2C . {}12x x ≤≤D . {}x x Z ∈ 2. 下列函数中，在其定义域内是偶函数为( )A . ()1f x x=B . ()2xf x = C . ()lg f x x = D . ()cos f x x = 3. 下列大小关系正确的是( )A . 113334> B . 0.40.30.30.3> C . 76log 6log 7< D . sin3sin 2> 4. 下列计算正确的是( )A m n =-B . 222log 3log 5log 15⨯=C . 1099222-= D . 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭5. 已知函数()y f x =的图像经过点()1,2P -,则函数()y f x =--的图像必过点( )A . ()1,2-B . ()1,2C . ()1,2--D . ()2,1- 6. 已知函数()tan 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,则256f π⎛⎫=⎪⎝⎭( ) AB. C .3 D . 3- 7. 已知函数221y x ax =-+(a ∈R )的图像如图1所示,2016年1月A .B .C .D . 8. 某同学在求函数lg y x =和1y x=的图像的交点时,计算出了下表所给出的函数值,则交点的横坐标在下列哪个区间内( )A . ()2.125,2,25B . ()2.75,2.875C . ()2.625,2.75D . ()2.5,2.625 9. 某地区今年1月,2月,3月,4月,5月患某种传染病的人数分别是52,61,68,74,78.若用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数,哪个最不合理？( ) A . ()f x kx h =+ B . ()2f x ax bx c =++C . ()xf x pq r =+ D . ()ln f x m x n =+10.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ) A . 向左平移5π12个长度单位 B . 向右平移5π12个长度单位 C . 向左平移5π6个长度单位 D . 向右平移5π6个长度单位,A B ,定义{A B x x A -=∈且}x B ∉,{A B x x A +=∈或}x B ∈,则对于集合,M N 下列结论一定正确的是( )A . ()M M N N --=B . ()()M N N M -+-=∅C . ()M N M N +-=D . ()(M N -12.已知函数()()ln 1f x x x a =--,下列说法正确的是( )A . 当0a >时,()f x 有零点0x ,且()01,2x ∈B . 当0a >时,()f xC . 当0a =时,()f x 没有零点D . 当0a <时,()f x 二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分．13.函数()y f x =与函数()xg x a =互为反函数,且()y f x =图像经过点(14.如图2是幂函数i y x α=(0,1,2,3,4,5i i α>=)在第一象限内的图像, 其中13α=,22α=,31α=,412α=,513α=,已知它们具有性质: ① 都经过点()0,0和()1,1； ② 在第一象限都是增函数. 请你根据图像写出它们在()1,+∞上的另外一个共同性质: .15.设()222f x ax x a =+-在[)1,2-上是增函数,则a 的取值范围是 .16.已知偶函数()f x 满足()()2f x f x +=,当[0,1]x ∈时,()f x x =,则当[],1x k k ∈+()k Z ∈时,函数()f x 的解析式是_________________.三、解答题:本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分) 证明:函数()f x =在区间()0,+∞上是减函数.18.(本小题满分12分)已知角α的终边落在第二象限,且与单位圆交点的纵坐标为5,将角α的终边逆时针旋转2π与角β的终边重合.(Ⅰ) 求cos α； (Ⅱ) 求()sin cos sin 2sin 2ααππββ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.19.(本小题满分12分)已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图像如图3所示. (Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 当[]5,2x ∈--时,求函数()f x 的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)已知()()()ln 1ln 1f x x x =--+.(Ⅰ) 指出函数()f x 的定义域并求1111,,,3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； (Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,请你猜想函数()f x 的一个性质,并证明你的猜想； (Ⅲ) 解不等式:()1ln30f x ++>.21.(本小题满分12分)已知()12,1211,01211,0x x x f x x x x m ⎧--≥⎪⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≤⎪-⎩.(Ⅰ) 若1m =,画出函数的简图,并指出函数的单调区间.(Ⅱ) 若函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0m >)有两个不同的交点,求m 的取值范围22.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 有两个零点3-和1,且有最小值4-. (Ⅰ) 求()f x 的解析式；(Ⅱ) 令()()1g x mf x =+(0m ≠).若0m <,证明:()g x 在[)3,-+∞上有唯一零点；② 若0m >,求()y g x =在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.2015～2016学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学参考答案与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 2 14. α越大函数增长越快15. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 16. ()(),1,k x k k f x x k -⎧⎪=⎨-+⎪⎩为偶数为奇数[说明]第14题的参考答案有:①α越大函数增长越快；②图像从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤1α>,图像下凸；⑥图像无上界；⑦当指数互为倒数时,图像关于直线y x =对称；⑧当1α>时,图像在直线y x =的上方；当01α<<时,图像在直线yx =的下方；(说明:答案不唯一,其他正确答案照样给5分)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)证明:函数()f x =在区间()0,+∞上是减函数.【解析】任取()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,则()()12f x f x -=…………………3分===…………………………6分因为210x x ->0>>,0>0>,……8分所以()()120f x f x ->,即函数()f x =在区间()0,+∞上是减函数.……………10分 18.(本小题满分12分)已知角α的终边落在第二象限,,将角α的终边逆时针旋转2π与角β的终边重合. (Ⅰ) 求cos α； (Ⅱ) 求()sin cos sin 2sin 2ααππββ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【解析】(Ⅰ)解法一:sin 5α=由题意得,…2分 又22sin cos 1αα+=,α是第二象限角…3分 所以cos α==5分 解法二:因为角α的终边与单位圆交点P 的纵坐标为P y =,又221x y +=,α是第二象限角,所以5Px==-,…………3分所以cos5Pxα==-…………5分(Ⅱ)依题意22kπβαπ=++,k Z∈,……6分所以sin sin2cos2kπβαπα⎛⎫=++=⎪⎝⎭…7分()sin sin2sin2kπβαπα⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭…8分所以()sin cos sin coscos2sinsin2sin2ααπααπααββ--+=-⎛⎫+-⎪⎝⎭…9分tan121112tan145αα+-+===--+…………12分19.(本小题满分12分)已知函数()()2sinf x xωϕ=+0,0πωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝的图像如图3所示.(Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 当[]5,2x∈--时,求函数()f x的最大值和最小值.【解析】(Ⅰ)由图像可知,函数的周期为6T=,263ππω==.…………………………………………2分又()f x的图像过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭,所以12sin032πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭所以1232kπϕπ⨯+=,即2,6k k Zπϕπ=-∈,又因为02πϕ-<<,所以6ϕ=-,………4分故所求函数的解析式是()2sin36f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭.…………………………………………5分(Ⅱ) 因为函数()2sin36f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期是6T=,所以求[]5,2x∈--时函数()f x的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[]1,4上的最大值和最小值.……………………………8分由图像可知,当2x=时,函数的最大值是()22sin2236fππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭；………………10分当4x=时,函数的最小值是()42sin4136fππ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.……………………………… 12分说明:本题也可以直接求函数()2sin36f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]5,2--上的最大值和最小值. 20.(本小题满分12分)已知()()()ln1ln1f x x x=--+.(Ⅰ) 指出函数()f x的定义域并求1111,,,3223f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,你猜想函数()f x的一个什么性质,并证明你的猜想；(Ⅲ) 解不等式:()1ln30f x++>.【解析】(Ⅰ)函数的定义域为()1,1-,…………………………… 1分1ln23f⎛⎫-=⎪⎝⎭,1ln32f⎛⎫-=⎪⎝⎭,1ln32f⎛⎫=-⎪⎝⎭,1ln23f⎛⎫=-⎪⎝⎭.…………… 3分(Ⅱ) 以下两个性质之一均可得到满分方向一:由于1133f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,猜想函数()f x 为奇函数,……5分 证明:设任意()()()()()1,1,ln 1ln 1x f x x x f x ∈--=+--=-,所以函数()f x 为奇函数.……7分 方向二:由于11113223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->->> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x 在定义域上单调递减,……5分 证明:设任意()1212,1,1,x x x x ∈-<且,则()()()()()()121211222111ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11x x f x f x x x x x x x ⎛⎫-+-=--+--++=⨯ ⎪-+⎝⎭,因为1211x x -<<<,所以12110x x ->->,2111x x +>+,则122111111x x x x -+⨯>-+,122111ln 011x x x x ⎛⎫-+⨯> ⎪-+⎝⎭,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >,函数()f x 在定义域上单调递减.……………………7分(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)可知,1ln 32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则()112f x f ⎛⎫+>-- ⎪⎝⎭,…………8分 又()f x 为奇函数,则()112f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,又函数()f x 在定义域上单调递减,………………9分故原不等式可化为:111112x x -<+<⎧⎪⎨+<⎪⎩,………………10分 解得122x -<<-,即原不等式的解集为12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………12分解法二:因为111x -<+<,所以20x -<<,………………8分 所以()()()1ln ln 2f x x x +=--+,…………9分原不等式可化为:()()ln ln 2ln30x x --++>………………10分即()()ln 3ln 2x x ->+,所以32x x ->+,解得12x <-,…………………………11分 又20x -<<,所以122x -<<-,即原不等式的解集为12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………12分21.(本小题满分12分)已知()12,1211,01211,0x x x f x x x x m⎧--≥⎪⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≤⎪-⎩.(Ⅰ) 若1m =,画出函数的简图,并指出函数的单调区间.(Ⅱ) 若函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0m >)有两个不同的交点,求m 的取值范围 【解析】(Ⅰ)作图如图所示:…………4分 其中()00f =,()()11,202f f =-=函数的单调递减区间为(],1-∞和[)2,+∞, 单调递增区间为()1,2.…………6分 (Ⅱ) 由于()101f m=-,…………………………………………………7分 ()()221121110m m m m m m m --+⎛⎫---==≥ ⎪⎝⎭…………………………………8分 当且仅当1m =时,111m m-=-,此时,函数()y f x =的图像与直线1y m =-有两个交点.……9分当1m >时,函数()y f x =的图像与直线1y m =-没有交点…………10分当01m <<时,111m m->-,直线1y m =-与函数()()0y f x x =≤的图像有且只有一个交点,要保证函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0)m >有两个交点,则112m -<-,即12m <.所以m 的取值范围为102m <<或1m =.…………12分22.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 有两个零点3-和1,且有最小值4-.(Ⅰ) 求()f x 的解析式；(Ⅱ) 令()()1g x mf x =+(0m ≠).① 若0m <,证明:()g x 在[)3,-+∞上有唯一零点； ② 若0m >,求()y g x =在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.【解析】(Ⅰ)由题意可得()30f -=,()10f =,所以()f x 的图像关于直线1x =-对称设()()214f x a x =+-,令1x =,则()1440f a =-=,1a =,所以()223f x x x =+-.……2分(Ⅱ)①由题意得()()2141g x m x m =+-+,0m <对称轴为13x =->-,所以()g x 在[]3,1--上单调递增,[)1,-+∞上单调递减.……3分 又()310g -=>,()1140g m -=->,所以函数()g x 在[]3,1--没有零点,在[)1,-+∞上有且只有一个零点,…………6分 所以()f x 在[)3,-+∞上有唯一零点.………………7分 ②()114g m -=-,()31g -=,39124g m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0m >,所以 ()332g g ⎛⎫>- ⎪⎝⎭,…………8分 当140m -≥,即14m ≤时,()max max 39124y g x g m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭,…………9分当140m -<,即14m >时,若94114m m -≤+,即1847m <≤,()max max39124y g x g m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭.……………10分 若94114m m ->+,即87m >,()()max max141y g x g m ==-=-,………11分综上所述,当87m<≤时,max914y m=+；当87m>时,max41y m=-.……12分。
2015年广东省普通高中一模考试答案(理数)
又 a1 1 适合上式， ∴ an 2 n 1 .
/w
解法 2：由 an1 2 Sn 1 ，得 an 1 1 4Sn ， 当 n 2 时， an 1 4Sn 1 ，
2
tp :/
ht
∴ an 1 1 an 1 4 Sn Sn 1 4an . ∴ an1 an 2an1 2an 0 .
∴Rt△ POA ～Rt△ HGA .
PO PA ∴ . HG HA
∴ HG
PO HA 32 3 30 . PA 5 30
3
教 gu an 研 gz tr .e du .c n/
P
3 . ……5 分 G
A
D
E
州
H
O
B
F
…………………………12 分
在 Rt△ BHG 中， tan BGH
Sn 1 .
2
∵ an 0 ，∴ S n 0 . ∴ Sn1 ∴数列
n
Sn 1 .
∴ Sn 1 n 1 n .
州
S 是首项为
2
S1 1 ，公差为 1 的等差数列.
广
∴ Sn n .
ww .
2 2
2
当 n 2 时， an Sn Sn 1 n n 1 2n 1 ，
广
∴ PO BO . …………………………6 分 ∵ PO EF ， EF BO O ， EF 平面 BFED ， BO 平面 BFED ，
AO 2 PO 2 30 ，
在 Rt△ POA 和 Rt△ HGA 中， POA HGA 90 , PAO HAG ， …………………………11 分
2015年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科
2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（文科）2015.1本试卷共4页,21小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式: 锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+ B ．i 21-C．i2-D ．i 2+2．已知集合{}02M x x =∈<<R ,{}1N x x =∈>R ,则()R MN =ð( )A ．[)1,2B ．()1,2C ．[)0,1D ．(]0,1 3．若函数42x xa y +=的图象关于原点对称,则实数a 等于( )A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知x ,y 满足不等式组282800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则目标函数3z x y =+的最大值为( )A ．12B ．24C ．8D ．3325．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )A ．1B ．2C ．233D ．2 6．在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β； ④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直. 其中正确的两个命题是( ) A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③7．某校高三年级学生会主席团有共有5名同学组成,其中有3名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为( )A ．0.35B ．0.4C ．0.6D ．0.78. 已知双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线与该双曲线的右支交于A 、B 两点,若5=AB ,则1ABF ∆的周长为( )A ．16 B ．20 C ．21 D ．26 9．已知()2f x x x =-,且a ,b ∈R ,则“1a b >>”是“()()f a f b <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10．有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( )A . 45B . 55C . 90D .100二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题(11～13题)11．如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则m 的值为 . 13. 如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)AD频率组距0.0200.025 2013年11月份AQI 数据频率分布直方图(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,PA 、PB 是圆O 的两条切线,切点分别为A 、B ,PA 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C 、D 两点,若23PB =,1MC =,则CD = .15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线1C :()2cos sin 1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0a >)的一个交点在极轴上,则a =______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0ω>),x ∈R 的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调递减区间.17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI )(单位:3g /m μ)资料如下:O DCA MPB图22π-xy O112-1-122π图32014年11月份AQI 数据日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AQI89 55 52 87 124 72 65 26 46 48 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117分组频数频率[)20,40[)40,60 [)60,80 [)80,100 [)100,120 []120,1402014年11月份AQI 数据频率分布表 表2PABC DM图620 40 0.010 0.005AQI0.015 60 80 100 120 140 图42014年11月份AQI 数据频率分布直方图20 40 0.010 0.005频率组距AQI0.015 0.020 0.025 60 80 100 120 140 图5(Ⅰ) 请填好2014年11月份AQI 数据的频率分布表．．．．．并完成频率分布直方图．．．．．．．；(Ⅱ) 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI 100<时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?18.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=︒的菱形,M 为PC 的中点.(Ⅰ) 求证:PC AD ⊥；(Ⅱ) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面?若存在,指出点Q 的位置并证明；若不存在,请说明理由；(Ⅲ) 求点D 到平面PAM 的距离.19.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()14211n n S n a +=-+(*n ∈N ),且11=a .(Ⅰ) 求证：数列{}n a 为等差数列； (Ⅱ) 设1n n nb a S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:32n T <(*n ∈N ).20.(本小题满分14分)已知点()2,1M ,()2,1N -,直线MP ,NP 相交于点P ,且直线MP 的斜率减直线NP 的斜率的差为1.设点P 的轨迹为曲线E . (Ⅰ) 求E 的方程；(Ⅱ) 已知点()0,1A ,点C 是曲线E 上异于原点的任意一点,若以A 为圆心,线段AC 为半径的圆交y 轴负半轴于点B ,试判断直线BC 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.21.(本小题满分14分)设函数()e xf x x a=-的导函数为()f x '(a 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).(Ⅰ) 讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ) 求实数a ,使曲线()y f x =在点()()2,2a f a ++处的切线斜率为3261274a a a +++-；(Ⅲ) 当x a ≠时,若不等式()()1f x k x a f x '+-≥恒成立,求实数k 的取值范围.2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．题号 12345678910答案CDBABBDDAA二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． [必做题] 11．1 12．112-或 13．10 [选做题] 14．2 15．22三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.【解析】(Ⅰ)依题意得2ππω=,解得2ω=,所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,………………2分 所以8π38π2π-xyO112-1-122π8π-38π-频率组距0.010 0.015 0.020 0.025 2014年11月份AQI 数据频率分布直方图分组 频数 频率[)20,40 2 151 [)40,60 7307[)60,80 1252[)80,100 5 61[)100,120 13012014年11月份AQI 数据频率分布表 sin sin cos cos sin 6343434f πππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32126222224-⨯-⨯=.………4分 (Ⅱ)因为22x ππ-≤≤,所以532444x πππ-≤-≤,列表如下:……………………6分 x2π- 38π- 8π- 8π 38π 2π 24x π-54π- π- 2π- 02π 34π y220 1- 0 122画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示!由图象可知函数()y f x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间为,28ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭.…………12分 17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分) (Ⅱ) 支持,理由如下:2013年11月的优良率为:119200.0050.0050.0150.010330⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭, …………8分2014年11月的优良率为:3026, …………9分 因此2619723.3%20%303030-=≈> …………11分 所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”.…………………12分………8分………10分PABCDM QO18.【解析】(Ⅰ)方法一:取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形,所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC OP O =,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC ,所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以PC AD ⊥.………………4分 方法二:连结AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 又M 为PC 的中点,所以AM PC ⊥,DM PC ⊥, 又AMDM M =,AM ⊂平面AMD ,DM ⊂平面AMD ,所以PC ⊥平面AMD ,又AD ⊂平面AMD ,所以PC AD ⊥.………………4分(Ⅱ)当点Q 为棱PB 的中点时,,,,A Q M D 四点共面,证明如下:………………6分 取棱PB 的中点Q ,连结QM ,QA ,又M 为PC 的中点,所以//QM BC ,在菱形ABCD 中//AD BC ,所以//QM AD ,所以,,,A Q M D 四点共面.………………8分(Ⅲ)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面A B C D ,即PO 为三棱锥P ACD -的体高.………………9分在Rt POC ∆中,3PO OC ==,6PC =,在PAC ∆中,2PA AC ==,6PC =,边PC 上的高AM =22102PA PM -=, 所以PAC ∆的面积11101562222PAC S PC AM ∆=⋅=⨯⨯=,………………10分 设点D 到平面PAC 的距离为h ,由D PAC P ACD V V --=得………………11分1133PAC ACD S h S PO ∆∆⋅=⋅,又23234ACD S ∆=⨯=,所以115133323h ⨯⋅=⨯⨯,………13分 解得2155h =, 所以点D 到平面PAM 的距离为2155.………………14分 19.【解析】(Ⅰ) 由题设()14211n n S n a +=-+,则21413a S =-=，3234115,a S =-=35a =. 当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+,两式相减得()()12121n n n a n a ++=-, ……………………………………2分方法一：由()()12121n n n a n a ++=-，得12121n n a a n n +=+-，且2131a a=. 则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列，即1121211n a a n ==-⨯-，也即21n a n =- ……………………………6分所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列 ………………………………………7分方法二：由()()12121n n n a n a ++=-，得()()122321n n n a n a +++=+， 两式相减得212n n n a a a +++=,且1322a a a += ……………………………………6分所以数列{}n a 等差数列. ………………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得12-=n a n ,()21212n n n S n +-==,()121nbn n =-,…………9分当1=n 时,1312T =<成立；…………………………………………………10分 当2n ≥时,()()111111*********n b n n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪---⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭…………12分所以1111111122231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113111222n ⎛⎫=+-<+= ⎪⎝⎭综上所述,命题得证.………………………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ)设(),P x y ,依题意得11122y y x x ---=-+, ……………………3分 化简得24x y=(2x ≠±),所以曲线E的方程为24x y =(2x ≠±). …………………5分(Ⅱ) 结论:直线BC 与曲线E 相切. 证法一:设()00,C x y ,则2004x y =,圆A的方程为()()22220011x y x y +-=+-, ……………7分 令0x =,则,()()()2222000111y x y y -=+-=+,因为00,0y y ><,所以y y =-,点B的坐标为()00,y -, ………………………………………9分直线BC 的斜率为002y k x =,直线BC 的方程为0002y y y x x +=,即0002y y x y x =-,……………11分 代入24x y =得200024y x x y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,即20000840x x y x x y -+=,……………13分 ()22000000064441640y x x y y y x ∆=-⋅=-=,所以,直线BC 与曲线E 相切.……………………………………………………………14分 证法二:设()00,C x y ,则2004x y =,圆A的方程为()()22220011x y x y +-=+-,……………7分 令0x =,则,()()()2222000111y x y y -=+-=+,因为00,0y y ><,所以y y =-,点B的坐标为()00,y -,………………………………………9分直线BC 的斜率为02y k x =,…………………………………10分 由24x y =得214y x =得12y x '=,过点C 的切线的斜率为1012k x =,……………12分 而200000122142x y k x x x ⨯===,所以1k k =,……………13分 所以直线BC 与曲线24x y =过点C 的切线重合,即直线BC 与曲线E 相切.…………………………………………………………14分 21.【解析】(Ⅰ)函数()f x 的定义域是()(),,a a -∞+∞,…………………………1分对()f x 求导得:()()()2e 1x x af x x a --'=-,…………………2分由()0f x '>得1x a >+；由()0f x '<得x a <或1a x a <<+,…………………4分 所以()f x 在(),a -∞,(),1a a +上单调递减,在()1,a ++∞上单调递增.…………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得()2e 24af a +'+=……………………………………6分令232641274a a e a a ++++-=得 32261270a a a a e +++++=………① 令2a t +=,则有310te t +-=,……………………………8分令()31th t e t =+-,则()203th t e t '=+>,……………………………9分故()h t 是R 上的增函数,又()00h =,因此0是()h t 的唯一零点,即2-是方程①的唯一实数解,故存在唯一实数2a =-满足题设条件.…………………………………………………………10分 (Ⅲ)因为()()1f x x a f x x a '--=-,故不等式()()1f x k x a f x '+-≥可化为11x a k x a x a--+-≥-,令x a t -=,则0t ≠,……………………………11分 且有111k t t≥-- ………12分 ① 若0t <,则1kt t -≥,即21k t≥-,此时0k ≥； ② 若01t <≤,则12kt t ≥-,即2221111k t t t ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭,此时1k ≥；③ 若1t >,则1kt t ≥,即21k t≥,此时1k ≥. 故使不等式恒成立的k 的取值范围是[)1,+∞.………………………………………………14分。
2015佛山一模_广东省佛山市普通高中2015届高三教学质量检测(一)数学理试卷及答案
2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）2015.1本试卷共4页,21小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+2．已知集合{}02M x x =∈<<R ,{}1N x x =∈>R ,则()R M N =I ð( )A ．[)1,2B ．()1,2C ．(]0,1D ．[)0,1 3．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )A ．1B ．2C ．233D ．2 4. 已知,a b ∈R ,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5．已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2 6．下列函数中,可以是奇函数的为( )A ．()()=-f x x a x ,a ∈RB ．2()1=++f x x ax ,a ∈RC ．()2()log 1=-f x ax ,a ∈RD ．()cos =+f x ax x ,a ∈R 7．已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( ) A . 45 B . 55 C . 10! D . 1010二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．如果()1,1sin ,1x f x x x ì£ïï=íï>ïî,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦ . 10.不等式13x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .11.已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则实数m 的值为__________. 12.某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为__________.13.如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos48.19︒取近似值23)(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,PA 、PB 是圆O 的两条切线,切点分别为A 、B ,PAB A DC E图1g ODCA MPB图220 频率组距40 0.010 0.005AQI 0.015 0.020 0.025 60 80 100 120 140 2013年11月份AQI 数据频率分布直方图图4分组频数频率[)20,40[)40,60 [)60,80 [)80,1002014年11月份AQI 数据频率分布表 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C 、D 两点,若23PB =,1MC =,则CD = .15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线1C :()2cos sin 1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0a >)的一个交点在极轴上,则a =______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π. (Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调递减区间.17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI )(单位:3g /m μ)资料如下:(Ⅰ) 请填好2014年11月份AQI 数据的频率分布表．．．．．并完成频率分布直方图．．．．．．．；2π-xy O 112-1-122π图32014年11月份AQI 数据频率分布直方图0.010 0.005频率组距0.015 0.020 0.025 2014年11月份AQI 数据 日期1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 AQI1371397763637764655545表1(Ⅱ) 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI 100<时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?18.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是ABC ∠=60︒的菱形,M 为棱PC 上的动点,且PMPCλ=([]0,1λ∈). (Ⅰ) 求证:△PBC 为直角三角形；(Ⅱ) 试确定λ的值,使得二面角P AD M --的平面角余弦值为255.19.(本小题满分14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =，2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ). (Ⅰ) 求23,a a ；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项； (Ⅲ)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).20.(本小题满分14分)已知曲线E :2211x y m m +=-. (Ⅰ) 若曲线E 为双曲线,求实数m 的取值范围；PABC DM图6(Ⅱ) 已知4m =,()1,0A -和曲线C :()22116x y -+=.若P 是曲线C 上任意一点,线段PA 的垂直平分线为l ,试判断l 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.21.(本小题满分14分)已知函数()()ln x a f x x-=. (Ⅰ) 若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；(Ⅱ) 若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值； (Ⅲ) 若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．题号 12345678答案CCBADABA二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． [必做题] 9．1 10．(][),24,-∞-+∞U 11．112-或 12．96625(或0.1536) 13．10 [选做题] 14．2 15．22三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.【解析】(Ⅰ)依题意得2ππω=,解得2ω=,所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,………………2分所以sin sin cos cos sin 6343434f πππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32126222224-⨯-⨯=.………4分 (Ⅱ)因为22x ππ-≤≤,所以532444x πππ-≤-≤,列表如下:……………………6分 x 2π- 38π- 8π- 8π 38π 2π24x π- 54π- π- 2π- 02π 34π8π38π2π-xyO 112-1-122πgg g ggg8π-38π-100 120 频率组距20 40 0.010 0.005AQI0.015 0.020 0.025 60 80 140 2014年11月份AQI 数据频率分布直方图分组频数频率[)20,402 151 [)40,607 307 [)60,80 12 52 [)80,100 5 61 [)100,1201 301 []120,14031012014年11月份AQI 数据频率分布表 y220 1- 0 122画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示!由图象可知函数()y f x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调递减区间为,28ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭.…………12分17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分) (Ⅱ) 支持,理由如下:2013年11月的优良率为:119200.0050.0050.0150.010330⎛⎫⨯⨯+++=⎪⎝⎭, …………8分 2014年11月的优良率为:3026, …………9分 因此2619723.3%20%303030-=≈> …………11分 所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”.…………………12分18.【解析】(Ⅰ)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC OP O =I ,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC , 所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以AD PC ⊥,因为//BC AD ,所以BC PC ⊥,即90PCB ∠=︒,从而△PBC 为直角三角形.………………5分说明:利用PC ⊥平面AMD 证明正确,同样满分!………8分………10分P AD M Oyz(Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD I 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD .………………6分 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则 ()0,0,3P ,()0,1,0A -,()0,1,0D ,()3,0,0C,()3,0,3PC =-u u u r………………7分 由()3,0,3PM PC λλ==-u u u u r u u u r可得点M 的坐标为()3,0,33λλ-,………………9分所以()3,1,33AM λλ=-u u u u r ,()3,1,33DM λλ=--u u u u r,设平面MAD 的法向量为(),,x y z =n ,则00AM DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u rn n ,即()()33303330x y z x y z λλλλ⎧++-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得10x z y λλ-⎧=⎪⎨⎪=⎩,令z λ=,得()1,0,λλ=-n ,………………11分显然平面PAD 的一个法向量为()3,0,0OC =u u u r,………………12分依题意()()223125cos ,513OC OC OC λλλ-⋅===+-⋅u u u ru u u r u u u r n n n ,解得13λ=或1λ=-(舍去), 所以,当13λ=时,二面角P AD M --的余弦值为255.………………14分[传统法]由(Ⅰ)可知AD ⊥平面POC ,所以AD OM ⊥,AD OP ⊥, 所以POM ∠为二面角P AD M --的平面角,即25cos 5POM ∠=,………………8分 在△POM 中,5sin 5POM ∠=,3PO =,4OPM π∠=,所以sin sin 4PMO POM π⎛⎫∠=∠+ ⎪⎝⎭ 310sin cos cos sin 4410POM POM ππ=∠+∠=,………10分 由正弦定理可得sin sin PM PO POM PMO =∠∠,即35310510PM =,解得63PM =,………………12分P AB CDMO又226PC PO OC =+=,所以13PM PC λ==, 所以,当13λ=时,二面角P AD M --的余弦值为255.………………14分19.【解析】(Ⅰ)当2n =时,2242S a =-,解得256a =； ……………………………………1分 当3n =时,3396S a =-, 解得31112a =； …………………………………………2分 (Ⅱ)方法一：当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得()2211(1)n n nS n S n n --=+-，即()1111n n n S nS nn -+-=- ……………………………………………5分所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. ……………………………………………6分所以()1nn S nn+=，即21n n S n =+ ……………………………………………7分代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+. ……………………………………………8分方法二：由(Ⅰ)知:1231511,,2612a a a ===,猜想()111n a n n =-+,…………………………………4分下面用数学归纳法证明: ①当1n =时，()1112111n a ==-⨯+，猜想成立； ……………………………………………5分②假设()*n k k =∈N,猜想也成立,即()111k a k k =-+,则当1n k =+时,有()()()22111111k k k k k a S S k a k k k a k k +++=-=+-+-+-整理得()122k k k a ka ++=+，从而()()1112212211k k k a ka k k k k k +⎛⎫+=+=-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭，于是()()11112k a k k +=-++ 即1n k =+时猜想也成立.所以对于任意的正整数n ,均有()111n a n n =-+. ……………………………………………8分(Ⅲ)由(Ⅱ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………………………………9分当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭………11分当1=n 时,13522T =<成立；…………………………………………………12分当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 综上所述,命题得证. ………………………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ) 因为曲线E 为双曲线,所以()10m m -<,解得01m <<, 所以实数m 的取值范围为()0,1.…………………………………………………4分 (Ⅱ)结论:l 与曲线E 相切.………………………5分证明:当4m =时,曲线E 为22143x y +=,即223412x y +=, 设()00,P x y ,其中()2200116x y -+=,……………………………………6分线段PA 的中点为001,22x y Q -⎛⎫⎪⎝⎭,直线AP 的斜率为001y k x =+, (7)分当00y =时，直线l 与曲线E 相切成立.当00y ≠时，直线l 的方程为00001122y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,即2200000112x x y y x y y ++-=-+,…9分因为()2200116x y -+=,所以220001214x y x +-=+,所以000017x x y x y y ++=-+,………………10分代入223412x y +=得220000173412x x x x y y ⎡⎤+++-=⎢⎥⎣⎦,化简得()()()()2222200000041381747120x y x x x x x y ⎡⎤++-++++-=⎣⎦,…………12分即()()()()222000078171610x x x x x x +-++++=, 所以()()()()222200006417471610x x x x ∆=++-+⨯+=所以直线l 与曲线E 相切.……………………………………………………14分 说明:利用参数方程求解正确同等给分!21.【解析】(Ⅰ)当1a =-时,函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞U ,………………1分对()f x 求导得()()2ln 11xx x f x x-++'=,………………………………………………2分 令()()ln 11xg x x x =-++,只需证:0x >时,()0g x ≤.又()()()22110111xg x x x x '=-=-<+++,………………………………3分 故()g x 是()0,+∞上的减函数,所以()()0ln10g x g <=-=…………………………5分 所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数. …………………………………………………6分(Ⅱ)由题意知,()11x f x ='=,…………………………………………7分即()1ln 111a a --=-,()ln 101a a a--=-…………………………………8分 令()()ln 1,11a t a a a a =--<-,则()()211011t a aa '=+>--,…………………………………9分故()t a 是(),1-∞上的增函数,又()00t =,因此0是()t a 的唯一零点,即方程()ln 101aa a--=-有唯一实根0,所以0a =,…………………………………10分 [说明]利用两函数1xy x=-与()ln 1y x =-图象求出0a =(必须画出大致图象),同样给至10分.(Ⅲ)因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1x x x x x x -+==---,故原不等式等价于()()ln e 11ln 1e 1xxx x -++>-,………11分由(Ⅰ)知,当1a =-时,()()ln 1x f x x+=是()0,+∞上的减函数,…………………………………12分故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1xx <-,令()e 1xh x x =--,则()e 10xh x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,…………………………13分所以()()00h x h >=,即e 1x x <-,故()()1e x f x f >-, 即()()ln e 11ln 1e 1e 1x x x x x x -++>=--…………………………………………………………14分。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：导数及其应用(含答案)
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2015届深圳市）在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,0(πB 。
]3,0(πC 。
],3[ππD 。
),3(ππ选择题参考答案1、D 二、填空题1、（2015届揭阳市）已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=-2、（2015届深圳市）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为填空题参考答案1、由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k ka a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又 310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.2、2三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2、（2015届江门市）设函数)(ln )(a x e x f x -=，e 是自然对数的底数，718.2≈e ，R a ∈为常数．⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．3、（2015届揭阳市）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑．4、（2015届茂名市）设函数2()ln ||f x x x ax =-+。
2015年佛山市普通高中高三教学质量检测
2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（2015佛山一模）24．我国推出“八项规定”、“六项禁令”以来，公款消费得到了有效遏制，给某高档白酒厂的发展带来了重大影响。
该影响的合理传导途径是①白酒价格降低 ②生产规模缩小 ③消费需求减少 ④酒厂利润减少A ．①-③-②-④B ．③-①-④-②C ．①-③-④-②D ．③-①-②-④25．几年前我国房价高涨，购房者却络绎不绝，政府通过限购令等来调控楼市；如今多地政府相继取消限购令，房价依然呈下跌趋势，持币观望者大有人在。
对这一现象的合理解释是A ．经济不景气，居民收入下降B ．政策因素影响消费需求C ．楼市价格对需求的影响有限D ．消费受心理预期的影响26．下图是我国国内企业与国外企业在某些产品中存在的成本“剪刀差”。
它给我国国内企业的启示是A ．发挥人力资源比较优势B ．加快发展战略性新兴产业C ．转变对外经济发展方式D ．大力发展劳动密集型产业27．习近平主席在哈萨克斯坦访问时全面阐述中国对中亚国家睦邻友好合作政策，倡导用创新的合作模式，共同建设区域大合作的“丝绸之路经济带”。
“丝绸之路经济带”①是适应世界多极化发展的客观要求②是市场经济发展的内在要求③有利于更好地利用国际国内两个市场、两种资源④有利于把“引进来”和“走出去”更好结合起来A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④28．截至（2014年）11月30日，广东省累计报告登革热确诊病例45053例。
防治登革热，人人有责！以下做法与书本知识对应正确的是①做好家居清洁卫生、灭蚊共作，彻底杜绝传染源——个人利益服从国家利益②协助村（居）委会做好灭蚊宣传工作——参与民主管理③对卫生做得不好的部门提出批评和建议——参与民主监督④对政府相关部门灭蚊行动提出书面建议——参与民主决策A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④29．中国共产党和我国国家机构得组织活动原则都是民主集中制。
我国出台关系国家前途和命运得重大决策通常要经历的法定程序是①全国人大审议通过 ②国务院编制草案稿 ③中共中央召开党外人士座谈会听取意见④全国政协会议讨论 ⑤中国共产党中央委员会全体会议通过决议A ．③-⑤-②-④-①B ．①-②-③-④-⑤C ．⑤-③-④-①-②D ．③-⑤-④-①-②30、2014年APEC 峰会于11月5日至11日在北京召开，此次峰会的主题是：共建面向未来的亚太伙伴关系。
(理科数学)-2015-2016学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
．
11．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六 百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探 讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上 1 束，下一层 3 束，再下一层 6 束， , 成三角 锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数 为 ．
轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标； （2）若 P 为圆 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值． 24．（本小题满分 10 分） 选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f ( x ) | x 2 | a ， g ( x ) | x 4 | ， a R． （1）解不等式 f ( x ) g ( x ) a ； （2）任意 x R， f ( x ) g ( x ) a 恒成立，求 a 的取值范围．
C． 45
D． 55 ）
是函数 f ( x ) sin( 2 x ) 的一个极大值点，则 f ( x ) 的一个单调递减区间是（ B． (
2
6 , 3
)
5
3 , 6
)
C． (
2
F1 、F2 分别是双曲线
x2 y2 1（ a 0 ，b 0 ）的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点 P ， a2 b2
b ”是“ ln a ln b ”的（
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
x y 10 4．若变量 x ， y 满足 0 x y 20 ，则 2 x 3 y 的最大值为（ 0 y 15
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2015年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学(理科) 2015.1
一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.
1.复数
31i i
++等于( ). A.12i + B.12i - C.2i - D.2i + 2.已知集合{}{}|02,|1M x R x N x R x =∈<<=∈>,则()
R M N =I ð( ).
A.[)1,2
B.()1,2
C.(]0,1
D.[)0,1 3.已知两个单位向量12,e e u r u r 的夹角为45o ,且满足()
121e e e λ⊥-u r u r u r ,则实数λ的值为( ).
D.2 4.已知,a b R ∈,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
,则2z x y =+的最大值为( ).
A.2-
B.1-
C.1
D.2
6.下列函数中,可以是奇函数的为( ).
A.()(),f x x a x a R =-∈
B.()2
1,f x x ax a R =++∈ C.()()2log 1,f x ax a R =-∈ D.()cos ,f x ax x a R =+∈
7.已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:
(1)存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥.
(2)存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥.
(3)存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等.
其中不正确的命题个数为( ).
A.0
B.1
C.2
D.3
8.有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为
( ).
A.45
B.55
C.10!
D.10
10
二.填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9～13题)
9.如果()1
1sin 1
x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦____________. 10.不等式13x x a -+-≥恒成立,则a 的取值范围为____________.
11.已知点()()2,0,0,4A B -到直线:10l x my +-=的距离相等,则m 的值为____________.
12.某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为______________.
13.如图1,为了测量河对岸,A B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点,A B ,找到一个点D ,从D 点可以观察到点,A C ,找到一个点E ,从E 点可以观察到点,B C ,并测量得到一些数
据:2,45,105,48.19,75,CD CE D ACD ACB BCE ==∠=∠=∠=∠=o o o o E ∠=
60o ,则,A B 两点之间的距离为____________.(其中cos 48.19o 取近似值23
).
(二)必做题(14～15题,考生只能从中选做一题)
14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,,PA PB 是圆O 的两条切线,切点分别为
,,A B PA 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于,C D 两点,若1PB MC ==,则CD =_________.
15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线)
1:c o s s i n 1C ρθθ+=与曲线()2:0C a a ρ=>的一个交点在极轴上,则a =__________.
三.解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知函数()()sin 0,4f x x x R πωω⎛
⎫=->∈ ⎪⎝⎭
的最小正周期为π. (1)求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(2)在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的图象,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝
⎭上的单调递减区间.
17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数
(AQI )(单位:3/g m μ)资料如下:
(1)请填好2014年11月份AQI 数据的平率分布表并完成频率分布直方图.
(2)该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当100AQI <时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?
18.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=o 的菱形,M 为棱PC 上的动点,且
[]()0,1PM PC λλ=∈. (1)求证:PBC V 为直角三角形.
(2)试确定λ的值,使得二面角P AD M --
19.(本小题满分14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知
()()211,12
n n a S n a n n n N *==--∈. (1)求23,a a .
(2)求数列{}n a 的通项.
(3)设1
1n n n b S S +=
,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <()n N *∈.
20.(本小题满分14分)已知曲线22
:11
x y E m m +=-. (1)若曲线E 为双曲线,求实数m 的取值范围.
(2)已知()4,1,0m A =-和曲线()2
2:116C x y -+=.若P 是曲线C 上任意一点,线段PA 的垂直平分线为l ,试判断l 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.
21.(本小题满分14分)已知函数()()ln x a f x x
-=. (1)若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数.
(2)若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值
.
(3)若0x >,证明:()ln 11
x x x x e +>-(其中 2.71828e =L 是自然常数).。