2015佛山一模 广东省佛山市2015届高三教学质量检测(一)数学理试题 Word版含答案

2015年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)

数学(理科) 2015.1

一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.

1.复数

31i i

++等于( ). A.12i + B.12i - C.2i - D.2i + 2.已知集合{}{}|02,|1M x R x N x R x =∈<<=∈>,则()

R M N =I ð( ).

A.[)1,2

B.()1,2

C.(]0,1

D.[)0,1 3.已知两个单位向量12,e e u r u r 的夹角为45o ,且满足()

121e e e λ⊥-u r u r u r ,则实数λ的值为( ).

D.2 4.已知,a b R ∈,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( ).

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩

,则2z x y =+的最大值为( ).

A.2-

B.1-

C.1

D.2

6.下列函数中,可以是奇函数的为( ).

A.()(),f x x a x a R =-∈

B.()2

1,f x x ax a R =++∈ C.()()2log 1,f x ax a R =-∈ D.()cos ,f x ax x a R =+∈

7.已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:

(1)存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥.

(2)存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥.

(3)存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等.

其中不正确的命题个数为( ).

A.0

B.1

C.2

D.3

8.有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为

( ).

A.45

B.55

C.10!

D.10

10

二.填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.

(一)必做题(9～13题)

9.如果()1

1sin 1

x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦____________. 10.不等式13x x a -+-≥恒成立,则a 的取值范围为____________.

11.已知点()()2,0,0,4A B -到直线:10l x my +-=的距离相等,则m 的值为____________.

12.某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为______________.

13.如图1,为了测量河对岸,A B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点,A B ,找到一个点D ,从D 点可以观察到点,A C ,找到一个点E ,从E 点可以观察到点,B C ,并测量得到一些数

据:2,45,105,48.19,75,CD CE D ACD ACB BCE ==∠=∠=∠=∠=o o o o E ∠=

60o ,则,A B 两点之间的距离为____________.(其中cos 48.19o 取近似值23

).

(二)必做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,,PA PB 是圆O 的两条切线,切点分别为

,,A B PA 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于,C D 两点,若1PB MC ==,则CD =_________.

15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线)

1:c o s s i n 1C ρθθ+=与曲线()2:0C a a ρ=>的一个交点在极轴上,则a =__________.

三.解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)已知函数()()sin 0,4f x x x R πωω⎛

⎫=->∈ ⎪⎝⎭

的最小正周期为π. (1)求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭.

(2)在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上的图象,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝

⎭上的单调递减区间.

17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数

(AQI )(单位:3/g m μ)资料如下:

(1)请填好2014年11月份AQI 数据的平率分布表并完成频率分布直方图.

(2)该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当100AQI <时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?

18.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=o 的菱形,M 为棱PC 上的动点,且

[]()0,1PM PC λλ=∈. (1)求证:PBC V 为直角三角形.

(2)试确定λ的值,使得二面角P AD M --

19.(本小题满分14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知

()()211,12

n n a S n a n n n N *==--∈. (1)求23,a a .

(2)求数列{}n a 的通项.

(3)设1

1n n n b S S +=

,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <()n N *∈.

20.(本小题满分14分)已知曲线22

:11

x y E m m +=-. (1)若曲线E 为双曲线,求实数m 的取值范围.

(2)已知()4,1,0m A =-和曲线()2

2:116C x y -+=.若P 是曲线C 上任意一点,线段PA 的垂直平分线为l ,试判断l 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.

21.(本小题满分14分)已知函数()()ln x a f x x

-=. (1)若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数.

(2)若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值

.