4.有限差分法基本原理

隐式方法需要同时求解非线性方程组！
显式和隐式算法
• 显式算法
• 相对简单；对给定的 t , x 有一个由稳定性要求的上限。
• 隐式算法
• 较大时仍可满足稳定性的要求；但是相对复杂，通 常在每个时间步都需要处理大型的矩阵，由于采用的 t 较大，截断误差也较大，因此跟踪物理量的变化没有显式 方法得到的结果精确。
t
n in 1 i 1
2x
0
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
t n 1 n n (in i i i 1 ) 1 2x 0 i ( xi )
观察上述差分格式可看出：若知道第 n 层的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 1层的 ，故称这类格式 为显示格式。
• 方程的一般变换
• 方程的一般变换
• 拉伸（压缩）网格
dy e d y e
• 椭圆网格
• 椭圆网格
• 自适应网格
• 自适应网格
• 非结构网格和笛卡尔网格
离散网格点
差分和逼近误差
差分概念： 设有 x 的解析函数 y f ( x )，函数 y 对 x 的导数 为： y dy f ( x x ) f ( x ) lim lim dx x 0 x x 0 x dy dy、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数对 自变量的导数，又称微商。上式中的y、x 分别称为 y 为函数对自变量的差商。 函数及其自变量的差分， x
0 t x
2 2 对流－扩散方程： t x x
热传导方程：
2 2 t x
Poisson方程：
2 2 2 f 2 y x 2 0 2 x y
2 2
Laplace方程：
差分方程的建立过程
稳定性分析方法简介
分析例题
T 2T a 2 t x Ti
n 1
一维热传导方程
t n n n Ti a ( 2 T T T i 1 i i 1 ) 2 (x )
n
定义 D 为差分方程的精确解, 因此它精确满足差分方程。可以 写出：
Din 1 Din a t n n n D D D ( 2 i 1 i i 1 ) 2 ( x )
t
误差及稳定性分析
收敛性 收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问 题。如果在求解区域中的任一离散点 ( x, t ) 上，当网格步长 x、t 趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有 限差分方程的解是收敛的。
T (i, n)
x 0 , t 0
lim
时间导数用一阶向前差商近似代替：
n 1 n i i t t i n
空间导数用一阶中心差商近似代替：
n in i 1 1 2x x i n
则对流方程在 ( xi , t n ) 点对应的差分方程为
in 1 in

Dw p w u v w w 2 2 V z Dt z y z 3 w x x z y
差分和逼近误差
由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
差分和逼近误差
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
差分和逼近误差
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。 由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
有限差分法基本原理
流体的控制方程
u v w 0 t x y z
Du p u 2 u v w u 2 V Dt x x x 3 y y x z x z w v Dv p u v v 2 2 V Dt z y z y x y x y y 3
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分和逼近误差
二阶中心差分：
差分和逼近误差
混合偏微分二阶中心差分：
ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 2u ( )i , j = +[(x) 2 , (y ) 2 ] 4xy xy
差分和逼近误差
差分的三种形式（一阶）： y f ( x x ) f ( x ) 向前差分 向后差分 中心差分
y f ( x ) f ( x x ) y f ( x x ) f ( x x )
与其对应的差商的三种形式（一阶）： f ( x x ) f ( x ) y 向前差商 x x y f ( x ) f ( x x ) 向后差商 x x y f ( x x ) f ( x x ) 中心差商 x 2 x
显式有限差分模板：
时间推进：
显式和隐式算法
• 热传导方程
T 2T a 2 t x
T
n 1 3
• 显式（中心二阶差分）
t n n n T a ( 2 T T T 3 2 1 ) 2 (x )
n 2
• 隐式算法（将空间差分写成n和n+1时刻的平均）
1 n 1 1 1 n 1 n n 1 n n (Ti 1 Ti 1 ) (2Ti 2Ti ) (Ti 1 Ti n 1 n 1) Ti Ti 2 2 a 2 (x 2 ) t
in 1 in a
t n n n ( 2 i 1 i i 1 ) 2 (x )
上式称为误差传播方程。
in 1 1 n i
a
t 1 (x 2 ) 2
3.Lax等价定理 对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相 容的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方 法最基本的定律。 适用条件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值； 2）该定理只适用于线性问题，对非线性此定理至今未 得到证明。 重要的实际意义：一般情况下，证明有限差分方程的解 收敛于它所近似的偏微分方程的解比较困难。而证明有限差分 方程的稳定性和相容性相对来说比较容易。根据该定理只要证 明有限差分方程是相容的、稳定的，就保证了收敛性。
Ti t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
2.稳定性 （1）离散误差。离散误差由差分方程的截断误差和由边界条件的 数值处理方法引入的误差组成。 （2）舍入误差。在计算中不断舍去有限位数以后的数字引起的数 值误差。 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0 t x ( x,0) ( x)
差分方程的建立过程
1.划分网格 选定步长 x和 t ，然后在坐标平面用平行于坐标轴 的两族直线划分网格： xi x0 ix, i 0, 1, 2, ...,
数值离散概述
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先 将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连 续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上，并源自文库偏微分方程中的微分项用相 应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的 差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差 分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格 点上流动变量的数值解。
t n nt
n 0, 1, 2, ...,
2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 ( xi , t n )点为
0 x i t i
n n
t
x t
t n 1 tn t n 1
x o
xi 1 xi xi 1
• 网格和相应变换
标准的有限差分方法要求在均匀的网格上进行，因为没有 在非均匀网格上利用有限差分方法求解流动控制方程的直 接方法
• 方程的一般变换
将物理平面的自变量（x,y,t)转换到计算平面内的新的 自变量 ( , , )
( x, y , t ) ( x, y , t ) (t )
小结
小结
思考：边界 如何处理？
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于 复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程： 对流方程：