数字图像处理_小波变换
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数字图像处理基础
主讲： 潘华伟 Email:hw_pan@163.com
信息科学与工程学院
3.2 快速傅里叶变换
• 在研究离散傅里叶计算的基础上，节省它的计 算量，达到快速计算的目的
3.3 小波变换及其应用
3.3.1 多分辨率分析的背景知识 3.3.2 多分辨率展开 3.3.3 一维小波变换 3.3.4 快速小波变换算法 3.3.5 二维离散小波变换 3.3.6 小波分析在图像处理中的应用
• I(x)图像用V1和W1中的函数表示 1 1矢量空间的基函数为 φ 1 ( x) 和 φ ( x) ，生成 生成V 1 矢量空间W1的小波函数为 ψ 11 ( x) 和ψ 0 ( x) ，I(x)可 表示为 1 1 1 1 1 1 I ( x ) = c0φ0 ( x) + c1φ11 ( x ) + d 0ψ 0 ( x ) + d11ψ 1 ( x )
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 图像金字塔
– 金字塔算法
一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降 低的图像集合 金字塔的底部是待处理图像 的高分辨率表示，而顶部是 低分辨率近似。当向金字塔 的上层移动时，尺寸和分辨 率就降低。 一个金字塔图像结构
金 字 塔 结 构
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
1 , z ∈ [ 0,1] N
h0 ( z ) = h00 ( z ) =
⎧ 2 p 2 (q − 1) / 2 p ≤ z < (q − 0.5) / 2 p ⎪ 1 ⎪ p2 (q − 0.5) / 2 p ≤ z < q / 2 p hk ( z ) = hpq ( z ) = ⎨ −2 N⎪ 其它,z ∈ [0,1] 0 ⎪ ⎩
h0 h1
↓2
x ( n)
y0 (n)
↑2
h0 '
+
~
x ( n)
↓2
y1 ( n )
↑2
h1 '
双通道子带编码和重建
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 子带编码和解码
子带图像编码的二维4频段滤波器组
小波分解树与小波包分解树 由低通滤波器和高通滤波器组成的树 原始信号，通过一对滤波器进行的分解叫做一级分 解。信号的分解过程可以迭代，即可进行多级分 解。
• 函数的伸缩和平移
例：给定函数
ϕ ( x) = ⎨
⎧ sin( x ) ⎩ 0
0 ≤ x < 2π 其它
则 ϕ 2 ,π ( x )的 波 形 如 下 图 所 示
函数的伸缩和平移
3.3.2 多分辨率展开
• 序列展开
信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函 数的线性组合。
f ( x) =பைடு நூலகம்
∑aϕ
• 图像金字塔
– 高斯和拉普拉斯金字塔编码 先对图像用高斯脉冲响应(a*exp(-((x-b)/2c)^2) ) 或 5*5的高斯模板或作低通滤波，滤波后的结果从原图 像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里； 然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不 会因此而丢失
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
S = A1 + AAD3 + DAD3 + DD2
图1-8
三级小波包分解树
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 哈尔变换
哈尔基函数是众所周知的最古老也是最简单的正交小 波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用 下述矩阵形式表达： T=HFH 其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T 是N×N变换的结果
• N×N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素 hi(z)，其中z=0/N,1/n,2/n,…,(N-1)/N。当 N=4时，k,q和p值如下
• N=4时 k 0 1 2 3
1 1 2 0 1 1 − 2 0
p 0 0 1 1
1
q 0 1 1 2
⎡ ⎢ 1 ⎢ H4 = 4⎢ ⎢ ⎣
1 ⎤ −1 −1 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ 2 − 2⎦
• 图像金字塔
– 高斯和拉普拉斯金字塔编码
n 对原始图像 f 0 ( x, y ) (N × N)，N = 2 使用g(x,y)高斯滤
波。在编码过程的每一步中，图像都被分解为半分辨率的 低频分量和整分辨率的高频分量，表示为：
f1 ( x, y ) = [ f ∗ g ](2 x, 2 y ) h1 ( x, y ) = f 0 ( x, y ) − [ f ∗ g ]( x, y )
实例：哈尔小波变换
• 哈尔小波变换
– 在实例中的求均值和差值的过程实际上就是一维小波变 换的过程，现在用数学方法重新描述哈尔小波变换 • I(x)图像用V2中的哈尔基表示
I ( x) = 9φ02 ( x) + 7φ12 ( x) + 3φ22 ( x) + 5φ32 ( x)
实例：哈尔小波变换
实例：哈尔小波变换
• 步骤2：求差值(differencing)。为能从2个像素组成 的图像重构由4个像素组成的原始图像，就需要存 储一些图像的细节系数(detail coefficient)
– 方法是把像素对的第一个像素值减去这个像素对的平均 值，或者使用这个像素对的差值除以2
原始图像用两个均值和两个细节系数表示为 [8 4 1 -1] • 步骤3：重复步骤1和2，把由第一步分解得到的图 像进一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。其 结果： [6 2] 整幅图像平均值加前一步细节表示为 [6 2 1 -1]
ϕ j , k ( x ) = 2 j / 2 ϕ (2 j x − k )
j ∈ z, k ∈ z
则 集 合 {ϕ j , k ( x )} 是 ϕ ( x )的 展 开 函 数 集 。 从 上 式 可 以 看 出 ， k 决 定 了 ϕ j , k ( x ) 在 x 轴 的 位 置 ， j决 定 了 ϕ j , k ( x )的 宽 度 ， 即 沿 x轴 的 宽 或 窄 的 程 度 ， 而 2 j / 2 控 制 其 高 度 或 幅 度 。 由 于
ϕ j , k ( x )的 形 状 随 j 发 生 变 化 ， ϕ ( x ) 被 称 为 尺 度 函 数 。
j增大时，用于表示子空间函数的 ϕ j,k ( x ) 范围变窄，x有较小 变化即可分开。 随j增加 V j 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数 包含在子空间中。
•
小波函数
3.3.2 多分辨率展开
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基础函数是正弦函数。 小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和 有限的持续时间。
– 1807: Joseph Fourier
• 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式
傅里叶展开
– 1909: Alfred Haar
哈尔变换
• 变换矩阵H包含哈尔基函数 hk (z ) ，它定义在连续 z ∈ [0,1], k = 0,1,2,..., N − 1 N = 2 n 闭区间 • 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任 意给定的信号，如用基函数的加权和表示。
k = 2 + q −1
p
0 ≤ p ≤ n − 1, p = 0时， q = 0或1 p ≠ 0时，≤ q ≤ 2 p 1
W j = span { ψ
j ,k
(x )}
W j 称为尺度为j的小波空间（细节空间）。
哈尔尺度函数
考虑单位高度、单位宽度的 尺度函数：
⎧1 0 ≤ x < 1 ϕ (x ) = ⎨ 其它 ⎩0
V0展开函数都属于V1， V0是V1的一个子空间。
实例：哈尔小波变换
• 求有限信号的均值和差值 – [例1. 1] 假设有一幅分辨率只有4个像素P0、P1、P2、P3 的一维图像，对应的像素值或称图像位置的系数分别 为： [9 7 3 5] 计算该图像的哈尔小波变换系数 • 步骤1：求均值(averaging)。计算相邻像素对的平均 值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目 变成了2个，即新的图像的分辨率是原来的1/2，相应 的像素值为 ： [8 4]
升采样的方法
512
高斯和拉普拉斯金字塔
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 子带编码和解码
–在子带编码中，一幅图像被分解成一系列限带分量的集 合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图 像。因为所得到的子带带宽要比原始图像的带宽小，子带 可以进行无信息损失的抽样，通过对这些子带的内插、滤 波和叠加就可以重建原始图像。
小波分解树(wavelet decomposition tree)用 下述方法分解形成的 树：对信号的高频分 量不再继续分解，而 对低频分量连续进行 分解，得到许多分辨 率较低的低频分量
小波分解树
小波包分解树(wavelet packet decomposition tree) 用下述方法分解形成的树：不仅对信号的低频分 量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分 解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分 量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量
k k
k
( x)
其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值
ϕ 的展开系数， k ( x) 是具有实数值的展开函数
3.3.2 多分辨率展开
• 尺度函数
– 为生成矢量空间而定义的基函数也叫做尺度函数 (scaling function)。
设 ϕ ( x ) 是 平 方 可 积 函 数 ， 即 ϕ ( x ) ∈ L2 ( R )， 实 数 二 值 尺度伸缩和整数平移函数定义为：
类似的： • N=2时
1 H2 = 2
⎡1 1 ⎤ ⎢1 − 1⎥ ⎣ ⎦
• 哈尔变换
哈尔基函数对图像的多分辨率分解
3.3.2 多分辨率展开
•
函数的伸缩和平移
给定一个基本函数 ϕ ( x ) ,则 ϕ ( x ) 的伸缩和平移公式可 记为：
ϕa ,b ( x) = ϕ (ax − b)
3.3.2 多分辨率展开
拉普拉斯金字塔编码策略
f k ( x, y ), k = 0,1,..., log 2 N − 1
H k ( x, y ), k = 0,1,..., log 2 N − 1
称为近似值金字塔； 称为残差金字塔；
• 图像的解码过程以相反的次序进行。从最后一幅图像 fn(x,y)开始，对每一幅抽样图像 fk(x,y)都进行一个增频 采样并与g(x,y)卷积进行内插。 • 增频采样是在采样点之间插入零的过程，所得结果被 添加到下一幅（前一幅）图像fk-1(x,y)上，再对所得图 像重复执行这一过程，这个过程能无误差地重建出原 始图像。
给定尺度函数，则小波函数ψ ( x) 所在的空间跨越了相邻两 尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1 的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。
尺度及小波函数空间的关系
Ψ ( x )为一个基本小波或者母 小波 ( Mother Wavelet ), 将基本小波 Ψ (t )经过伸缩和平移后，可 以得到小波序列： Ψ j , k ( x ) = 2 j / 2 Ψ ( 2 j x − k )( j , k ∈ Z )
• Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
图1-3
小波变换
傅里叶变换与小波变换
• 频域分析具有很好的局部性，但空间域上没有局部化 功能。傅里叶变换反映的是图像的整体特征。傅里叶 变换使得局部信息在变换过程中丢失了。 • 与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局 部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度 细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分， 能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号 的任意细节。
实例：哈尔小波变换
表 哈尔变换过程
分辨率 4 2 1
平均值 [9 7 3 5] [8 4] [6]
细节系数 [1 -1] [2]
–把由4个像素组成的一幅图像用一个平均像素值和三个细节系数表 示，这个过程称为哈尔小波变换(Haar wavelet transform)，也称 哈尔小波分解(Haar wavelet decomposition)。这个概念可以推广 到使用其他小波基的变换。 –特点：(1) 变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据中 重构出原始图像。(2) 对这个给定的变换，可从所记录的数据中重 构出各种分辨率的图像。(3) 通过变换之后产生的细节系数的幅度 值比较小，为图像压缩提供了一种途径，如去掉微不足道的系数。
主讲： 潘华伟 Email:hw_pan@163.com
信息科学与工程学院
3.2 快速傅里叶变换
• 在研究离散傅里叶计算的基础上，节省它的计 算量，达到快速计算的目的
3.3 小波变换及其应用
3.3.1 多分辨率分析的背景知识 3.3.2 多分辨率展开 3.3.3 一维小波变换 3.3.4 快速小波变换算法 3.3.5 二维离散小波变换 3.3.6 小波分析在图像处理中的应用
• I(x)图像用V1和W1中的函数表示 1 1矢量空间的基函数为 φ 1 ( x) 和 φ ( x) ，生成 生成V 1 矢量空间W1的小波函数为 ψ 11 ( x) 和ψ 0 ( x) ，I(x)可 表示为 1 1 1 1 1 1 I ( x ) = c0φ0 ( x) + c1φ11 ( x ) + d 0ψ 0 ( x ) + d11ψ 1 ( x )
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 图像金字塔
– 金字塔算法
一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降 低的图像集合 金字塔的底部是待处理图像 的高分辨率表示，而顶部是 低分辨率近似。当向金字塔 的上层移动时，尺寸和分辨 率就降低。 一个金字塔图像结构
金 字 塔 结 构
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
1 , z ∈ [ 0,1] N
h0 ( z ) = h00 ( z ) =
⎧ 2 p 2 (q − 1) / 2 p ≤ z < (q − 0.5) / 2 p ⎪ 1 ⎪ p2 (q − 0.5) / 2 p ≤ z < q / 2 p hk ( z ) = hpq ( z ) = ⎨ −2 N⎪ 其它,z ∈ [0,1] 0 ⎪ ⎩
h0 h1
↓2
x ( n)
y0 (n)
↑2
h0 '
+
~
x ( n)
↓2
y1 ( n )
↑2
h1 '
双通道子带编码和重建
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 子带编码和解码
子带图像编码的二维4频段滤波器组
小波分解树与小波包分解树 由低通滤波器和高通滤波器组成的树 原始信号，通过一对滤波器进行的分解叫做一级分 解。信号的分解过程可以迭代，即可进行多级分 解。
• 函数的伸缩和平移
例：给定函数
ϕ ( x) = ⎨
⎧ sin( x ) ⎩ 0
0 ≤ x < 2π 其它
则 ϕ 2 ,π ( x )的 波 形 如 下 图 所 示
函数的伸缩和平移
3.3.2 多分辨率展开
• 序列展开
信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函 数的线性组合。
f ( x) =பைடு நூலகம்
∑aϕ
• 图像金字塔
– 高斯和拉普拉斯金字塔编码 先对图像用高斯脉冲响应(a*exp(-((x-b)/2c)^2) ) 或 5*5的高斯模板或作低通滤波，滤波后的结果从原图 像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里； 然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不 会因此而丢失
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
S = A1 + AAD3 + DAD3 + DD2
图1-8
三级小波包分解树
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 哈尔变换
哈尔基函数是众所周知的最古老也是最简单的正交小 波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用 下述矩阵形式表达： T=HFH 其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T 是N×N变换的结果
• N×N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素 hi(z)，其中z=0/N,1/n,2/n,…,(N-1)/N。当 N=4时，k,q和p值如下
• N=4时 k 0 1 2 3
1 1 2 0 1 1 − 2 0
p 0 0 1 1
1
q 0 1 1 2
⎡ ⎢ 1 ⎢ H4 = 4⎢ ⎢ ⎣
1 ⎤ −1 −1 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ 2 − 2⎦
• 图像金字塔
– 高斯和拉普拉斯金字塔编码
n 对原始图像 f 0 ( x, y ) (N × N)，N = 2 使用g(x,y)高斯滤
波。在编码过程的每一步中，图像都被分解为半分辨率的 低频分量和整分辨率的高频分量，表示为：
f1 ( x, y ) = [ f ∗ g ](2 x, 2 y ) h1 ( x, y ) = f 0 ( x, y ) − [ f ∗ g ]( x, y )
实例：哈尔小波变换
• 哈尔小波变换
– 在实例中的求均值和差值的过程实际上就是一维小波变 换的过程，现在用数学方法重新描述哈尔小波变换 • I(x)图像用V2中的哈尔基表示
I ( x) = 9φ02 ( x) + 7φ12 ( x) + 3φ22 ( x) + 5φ32 ( x)
实例：哈尔小波变换
实例：哈尔小波变换
• 步骤2：求差值(differencing)。为能从2个像素组成 的图像重构由4个像素组成的原始图像，就需要存 储一些图像的细节系数(detail coefficient)
– 方法是把像素对的第一个像素值减去这个像素对的平均 值，或者使用这个像素对的差值除以2
原始图像用两个均值和两个细节系数表示为 [8 4 1 -1] • 步骤3：重复步骤1和2，把由第一步分解得到的图 像进一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。其 结果： [6 2] 整幅图像平均值加前一步细节表示为 [6 2 1 -1]
ϕ j , k ( x ) = 2 j / 2 ϕ (2 j x − k )
j ∈ z, k ∈ z
则 集 合 {ϕ j , k ( x )} 是 ϕ ( x )的 展 开 函 数 集 。 从 上 式 可 以 看 出 ， k 决 定 了 ϕ j , k ( x ) 在 x 轴 的 位 置 ， j决 定 了 ϕ j , k ( x )的 宽 度 ， 即 沿 x轴 的 宽 或 窄 的 程 度 ， 而 2 j / 2 控 制 其 高 度 或 幅 度 。 由 于
ϕ j , k ( x )的 形 状 随 j 发 生 变 化 ， ϕ ( x ) 被 称 为 尺 度 函 数 。
j增大时，用于表示子空间函数的 ϕ j,k ( x ) 范围变窄，x有较小 变化即可分开。 随j增加 V j 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数 包含在子空间中。
•
小波函数
3.3.2 多分辨率展开
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基础函数是正弦函数。 小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和 有限的持续时间。
– 1807: Joseph Fourier
• 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式
傅里叶展开
– 1909: Alfred Haar
哈尔变换
• 变换矩阵H包含哈尔基函数 hk (z ) ，它定义在连续 z ∈ [0,1], k = 0,1,2,..., N − 1 N = 2 n 闭区间 • 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任 意给定的信号，如用基函数的加权和表示。
k = 2 + q −1
p
0 ≤ p ≤ n − 1, p = 0时， q = 0或1 p ≠ 0时，≤ q ≤ 2 p 1
W j = span { ψ
j ,k
(x )}
W j 称为尺度为j的小波空间（细节空间）。
哈尔尺度函数
考虑单位高度、单位宽度的 尺度函数：
⎧1 0 ≤ x < 1 ϕ (x ) = ⎨ 其它 ⎩0
V0展开函数都属于V1， V0是V1的一个子空间。
实例：哈尔小波变换
• 求有限信号的均值和差值 – [例1. 1] 假设有一幅分辨率只有4个像素P0、P1、P2、P3 的一维图像，对应的像素值或称图像位置的系数分别 为： [9 7 3 5] 计算该图像的哈尔小波变换系数 • 步骤1：求均值(averaging)。计算相邻像素对的平均 值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目 变成了2个，即新的图像的分辨率是原来的1/2，相应 的像素值为 ： [8 4]
升采样的方法
512
高斯和拉普拉斯金字塔
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 子带编码和解码
–在子带编码中，一幅图像被分解成一系列限带分量的集 合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图 像。因为所得到的子带带宽要比原始图像的带宽小，子带 可以进行无信息损失的抽样，通过对这些子带的内插、滤 波和叠加就可以重建原始图像。
小波分解树(wavelet decomposition tree)用 下述方法分解形成的 树：对信号的高频分 量不再继续分解，而 对低频分量连续进行 分解，得到许多分辨 率较低的低频分量
小波分解树
小波包分解树(wavelet packet decomposition tree) 用下述方法分解形成的树：不仅对信号的低频分 量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分 解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分 量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量
k k
k
( x)
其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值
ϕ 的展开系数， k ( x) 是具有实数值的展开函数
3.3.2 多分辨率展开
• 尺度函数
– 为生成矢量空间而定义的基函数也叫做尺度函数 (scaling function)。
设 ϕ ( x ) 是 平 方 可 积 函 数 ， 即 ϕ ( x ) ∈ L2 ( R )， 实 数 二 值 尺度伸缩和整数平移函数定义为：
类似的： • N=2时
1 H2 = 2
⎡1 1 ⎤ ⎢1 − 1⎥ ⎣ ⎦
• 哈尔变换
哈尔基函数对图像的多分辨率分解
3.3.2 多分辨率展开
•
函数的伸缩和平移
给定一个基本函数 ϕ ( x ) ,则 ϕ ( x ) 的伸缩和平移公式可 记为：
ϕa ,b ( x) = ϕ (ax − b)
3.3.2 多分辨率展开
拉普拉斯金字塔编码策略
f k ( x, y ), k = 0,1,..., log 2 N − 1
H k ( x, y ), k = 0,1,..., log 2 N − 1
称为近似值金字塔； 称为残差金字塔；
• 图像的解码过程以相反的次序进行。从最后一幅图像 fn(x,y)开始，对每一幅抽样图像 fk(x,y)都进行一个增频 采样并与g(x,y)卷积进行内插。 • 增频采样是在采样点之间插入零的过程，所得结果被 添加到下一幅（前一幅）图像fk-1(x,y)上，再对所得图 像重复执行这一过程，这个过程能无误差地重建出原 始图像。
给定尺度函数，则小波函数ψ ( x) 所在的空间跨越了相邻两 尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1 的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。
尺度及小波函数空间的关系
Ψ ( x )为一个基本小波或者母 小波 ( Mother Wavelet ), 将基本小波 Ψ (t )经过伸缩和平移后，可 以得到小波序列： Ψ j , k ( x ) = 2 j / 2 Ψ ( 2 j x − k )( j , k ∈ Z )
• Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
图1-3
小波变换
傅里叶变换与小波变换
• 频域分析具有很好的局部性，但空间域上没有局部化 功能。傅里叶变换反映的是图像的整体特征。傅里叶 变换使得局部信息在变换过程中丢失了。 • 与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局 部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度 细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分， 能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号 的任意细节。
实例：哈尔小波变换
表 哈尔变换过程
分辨率 4 2 1
平均值 [9 7 3 5] [8 4] [6]
细节系数 [1 -1] [2]
–把由4个像素组成的一幅图像用一个平均像素值和三个细节系数表 示，这个过程称为哈尔小波变换(Haar wavelet transform)，也称 哈尔小波分解(Haar wavelet decomposition)。这个概念可以推广 到使用其他小波基的变换。 –特点：(1) 变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据中 重构出原始图像。(2) 对这个给定的变换，可从所记录的数据中重 构出各种分辨率的图像。(3) 通过变换之后产生的细节系数的幅度 值比较小，为图像压缩提供了一种途径，如去掉微不足道的系数。