常见分布的期望与方差的计算
史上最全——概率分布期望方差以及分布图汇总
b0(, 1)
a
P(x = a)= 1
a
0
分布）
(0-1)分布（两点
b(1, )
0 < p < 1
P{ = }= (1 − )1−, = 0,1
p
1-p
分布或伯努利分
布）
二项分布
B(, )
0 < p < 1
P{ = }= (1 − )−
np
np(1-p)
2
超几何分布
H(, , )
N,M,n
(M≤N,n≤
−
P{ = }=−
k ∈ Z, max{0, − + }≤ ≤ min{, }
(1 −) ( −)
−1
N)
泊松分布
π()
> 0
−
P{ = }=!
K=0,1,2,…
−1−⁄, > 0
布）
f(x)= {Γ()
0,其它
指数分布（负指
Γ(1, )
> 0
1
−, > 0 f(x)= {
0,其它
2
数分布）
注：指数分布是Γ分布的特殊情况
χ2分布
2()
≥ 1
1
n
2n
2−1−2, > 0
f(x)= {2n⁄2Γ(⁄2)
f(x)= {√2
0 ,其它
μ+2
e2μ+2(2− 1)
e2
且Y = eX则Y
σ > 0
服从该分布
逆高斯分布
N−1(μ, λ)
λ, μ > 0
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
六大分布方差计算过程
六大分布方差计算过程
在概率论和统计学中，有六个常见的概率分布，它们都有特定的均值和方差。
这些分布是：
1. 二项分布
2. 泊松分布
3. 指数分布
4. 正态分布
5. 均匀分布
6. 伽马分布
以下是这六大分布的方差计算过程：
1.二项分布：二项分布的方差计算公式为：Var(X) = n p (1 - p)，其中n 是试验次数，p 是单次试验成功的概率。
2.泊松分布：泊松分布的方差计算公式为：Var(X) = λ，其中λ是单位时间内事件的平均发生次数。
3.指数分布：指数分布的方差计算公式为：Var(X) = λ^2 / 2，其中λ是单位时间内事件的平均发生次数。
4.正态分布：正态分布的方差计算公式为：Var(X) = σ^2，其中σ^2 是方差，表示随机变量取值偏离均值的程度。
5.均匀分布：对于区间[a, b] 上的均匀分布，其方差计算公式为：Var(X) = (1/3)
(b - a)^2。
6.伽马分布：伽马分布的方差计算公式取决于其形状参数和尺度参数。
对于形状参数为α，尺度参数为β的伽马分布，其方差计算公式为：Var(X) = αβ^2。
以上就是六大分布的方差计算过程。
这些公式在概率论和统计学中经常使用，可以帮助我们理解和分析随机现象的不确定性。
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
4_2方差及常见分布的期望方差
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X P 8 0.3 9 0.2 10 0.5
Y P
8 0.2
9 0.4
10 0.4
偏离期望 的平方的 期望
解：
E ( X ) 8 0.3 9 0.2 10 0.5 =9.2(环) E (Y ) 8 0.2 9 0.4 10 0.4=9.2(环)
因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的， 但两人射击水平的稳定性是有差别的,怎么体现这个差别呢?
b
1 E ( X ) xf ( x) dx x dx a b a ba 2 2 2 b 1 a ab b E ( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 dx a ba 3 1 2 ab 2 2 2 2 ) D( X ) E( X ) [ E( X )] (a ab b ) ( 3 2
§4.2 方 差
0. 方差概念的引入
随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变 量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的.
引例1 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距 目标的位置如图：
中心
中心
甲炮射击结果
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理解概率分布函数常见分布公式详解
理解概率分布函数常见分布公式详解概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是描述随机变量取值概率分布的函数，常用于统计学和概率论中。
在统计学中，常见的概率分布函数有众多的公式。
本文将详细解释几种常见的概率分布函数公式，包括均匀分布、正态分布、指数分布和泊松分布。
一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布函数之一，它在一个有限区间内的取值是均匀分布的。
均匀分布的概率密度函数公式为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别是区间的上下界。
均匀分布的期望值（均值）为（a + b）/ 2，方差为（b - a）^2 / 12。
二、正态分布正态分布是自然界和社会现象中常见的概率分布函数。
它在统计学中有着重要的地位。
正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)^2/(2σ^2)))其中，μ是期望值（均值），σ是标准差。
正态分布的期望值和方差分别为μ和σ^2。
三、指数分布指数分布是描述事件发生的时间间隔的概率分布函数，常用于可靠性工程和排队论中。
指数分布的概率密度函数公式为：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是事件发生率。
指数分布的期望值为1 / λ，方差为1 / λ^2。
四、泊松分布泊松分布是描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布函数，常用于描述稀有事件的发生情况。
泊松分布的概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）公式为：P(X = k) = (λ^k * exp(-λ)) / k!其中，λ是单位时间或空间内事件的平均发生率。
泊松分布的期望值和方差均为λ。
以上是几种常见的概率分布函数公式的详细解释。
这些概率分布函数在不同领域的应用非常广泛，能够描述和解释各种随机现象的概率分布情况。
常见分布的期望与方差的计算知识分享
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k} = λk e−λ , k = 0,1,2,", λ > 0.
k!
∑ ∑ 则有 E( X ) = ∞ k ⋅ λk e−λ = e−λ ∞ λk−1 ⋅ λ
k=0 k!
k=1 (k − 1)!
= λe−λ ⋅ eλ = λ
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = n k(k − 1)⎜⎛ k ⎞⎟ pk (1 − p)n−k + np
k=0
⎝n⎠
∑ = n k(k − 1)n!pk (1 − p)n−k + np
(法二) X 的分布律为
P{ X = k} = ⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,", n),
⎝k⎠
∑ ∑ 则有 E( X ) = n k ⋅ P{ X = k} = n k⎜⎛ n ⎞⎟ pk (1 − p)n−k
k=0
k=0 ⎝ k ⎠
∑n
=
kn! pk (1 − p)n−k
E( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ]
= E[ X ( X − 1)] + E( X )
∑ = +∞ k(k − 1) ⋅ λk e−λ + λ
k=0
k!
∑+∞
= λ2e−λ ⋅
λk − 2
+ λ = λ2e−λeλ + λ = λ2 + λ .
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学的重要内容之一，其应用广泛且重要。
在概率统计中，我们经常遇到需要计算随机变量的期望和方差的问题。
概率分布是解决这些问题的关键工具之一。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中常见的概率分布，以及计算期望和方差的技巧。
1. 离散概率分布离散概率分布指的是随机变量只能取有限个或可列个值的概率分布。
其中，最常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布。
1.1 二项分布二项分布在实际问题中经常出现，特别是在重复试验的情况下。
假设有n个独立的重复试验，每次试验有成功和失败两种可能结果。
如果成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则随机变量X表示n次试验中成功的次数。
二项分布的概率密度函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = npVar(X) = npq1.2 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
例如，某地区每小时的交通事故数、每天接到的电话数等。
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间或单位空间内平均发生的次数。
泊松分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = Var(X) = λ1.3 几何分布几何分布用于描述一系列独立重复试验中，首次成功所需的试验次数。
例如，投掷一枚硬币直到首次出现正面的次数等。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k) = q^(k-1) * p其中，p表示成功的概率，q=1-p表示失败的概率。
几何分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = 1/pVar(X) = q/(p^2)2. 连续概率分布连续概率分布指的是随机变量可以取某个区间内的任意值的概率分布。
最常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布。
2.1 均匀分布在均匀分布中，随机变量在某一区间内的取值是等可能的。
超几何分布和二项分布的期望和方差公式
超几何分布和二项分布的期望和方差公式
超几何分布和二项分布是两种常见的概率分布，分别用于描述随机实验中某种结果出现的次数。
下面是超几何分布和二项分布的期望和方差公式：超几何分布：
期望：E(X) = n * p
方差：Var(X) = n * p * (1 - p)
其中，n 是随机实验的次数，p 是某种结果出现的概率。
二项分布：
期望：E(X) = n * p
方差：Var(X) = n * p * (1 - p)
其中，n 是随机实验的次数，p 是某种结果出现的概率。
注意，超几何分布和二项分布的期望和方差公式是相同的。
这是因为它们的概率分布函数都是二项分布函数的一种形式。
不过，超几何分布通常用于描述在一系列独立随机实验中，某种结果出现的次数，而二项分布则常用于描述成功/失败类型的随机实验。
概率分布计算公式
概率分布计算公式概率分布是概率论中重要的概念之一，它描述了随机变量在各个取值上的取值概率。
在实际问题中，我们常常需要计算概率分布以解决相关的概率统计问题。
本文将介绍几种常见的概率分布以及它们的计算公式。
一、二项分布(Binomial Distribution)二项分布是概率论中常用的离散型概率分布，它描述了在一定次数的独立重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
其计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数，可以使用n个数任取k个的方式计算。
二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
二、泊松分布(Poisson Distribution)泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数。
其计算公式为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ表示单位时间(或单位空间)内事件发生的平均次数，e为自然对数的底。
泊松分布的期望为E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。
三、正态分布(Normal Distribution)正态分布是概率论中最重要的连续型概率分布，也称为高斯分布。
它的形状呈钟型曲线，对称于均值。
正态分布在实际问题中得到广泛应用。
其概率密度函数的计算公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2)*((x-μ)/σ)^2)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ为均值，σ为标准差，π为数学常数3.14159。
正态分布的期望为E(X)=μ，方差为Var(X)=σ^2。
四、指数分布(Exponential Distribution)指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有常数倍衰减的特点。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
常见分布的期望和方差.pdf
x +
FX (x) = F(x, +) =
边缘分布函数：
[
− −
f (u, y)dy]du
y +
FY ( y) = F(+, y) =
[
− −
f (x, v)dx]dv
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若 F(x, y) = FX (x)FY ( y) 则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。
9、期望的性质：……（3）、 E(X +Y) = E(X ) + E(Y) ；（4）、若 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X )E(Y) 。
10、方差： D(X ) = E(X 2 ) − (E( X ))2 。 若 X，Y 不相关，则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) ，否则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) + 2Cov(X ,Y) ，
分布类型
0-1 分布 B（1，p） 二项分布 B（n，p）
泊松分布 P(λ)
均匀分布 U（ a,b ） 正态分布 N（ , 2 ）
指数分布 E（λ）
2 分布， 2 (n)
t 分布， t(n)
常见分布的期望和方差
概率密度函数
pi = P X = i = Cni piqn−i (q =1− p),(i =1, 2,..., n)
⑵、 0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x，y 有： F(−, y) = F(x, −) = 0 ；
⑶、 F(x, y) 关于 x 右连续，关于 y 右连续；
⑷、对于任意的 (x1, y1), (x2, y2 ), x1 x2, y1 y2 ，有下述不等式成立：
常见的概率分布
常见的概率分布离散分布0-1分布(伯努利分布)它的分布律为：\[P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1, (0<p<1)\]0-1分布记作：\(X \sim b(1,p)\)期望：\(E(X)=p\)⽅差:\(D(X)=p(1-p)\)常⽤的场景：新⽣婴⼉性别的登记，招⽣考试的录取，产品的是否合格，硬币的正反⾯。
⼆项分布⼆项分布为\(n\)重伯努利实验的概率分布。
分布律为：\[P\{X=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n,(0<p<1)\]\[\sum\limits_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1\]⼆项分布记作：\( X \sim b(n,p)\)期望：\(E(X)=np\)⽅差:\(D(X)=np(1-p)\)常⽤的场景：⽐如⼀个⼈射击\(n\)次，其中\(k\)次命中的概率，抽查50台设备，其中10台出故障的概率等等。
从下⾯的图中，我们可以看到命中次数先增加，到了3达到最⼤，之后⼜逐渐减少，⼀般来说，对于固定的\(n,p\)，都具有这⼀性质。
（1）当\(（n+1）p\)不为整数时，⼆项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=[(n+1)p]\)时达到最⼤值；（2）当\(（n+1）p\)为整数时，⼆项概率\(P\{X=k\}\)在\(k=(n+1)p,k=(n+1)p-1\)时达到最⼤值。
%每轮射击10次，命中概率0.3，射击10000轮，x中返回的是每轮中命中的次数x=binornd(10,0.3,10000,1);%bin的数⽬为10hist(x,10);N=100;p=0.4;k=0:N;%事件发⽣k次的概率pdf=binopdf(k,N,p);%事件发⽣不⼤于k次的概率cdf=binocdf(k,N,p);plotyy(k,pdf,k,cdf);grid on;多项分布多项式分布是⼆项式分布的扩展，在多项式分布所代表的实验中，⼀次实验会有多个互斥结果，⽽⼆项式分布所代表的实验中，⼀次实验只有两个互斥结果。
常见分布的数学期望和方差
分布
k!
数
k 0,1,2,
pq
npq
学 期
均匀 分布
f (x)
1 b
a
,
a
x
b
0 , else
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
ab 2 1
(b a)2 12 1
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ，
(
x) 2 2
2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
E( X i ) p , D( X i ) p(1 p) ,
而 X= X1+X2+…+Xn ， Xi 相互独立，
n
n
所以 E( X ) E( X i ) E( X i ) np .
i 1
i 1
n
n
D( X ) D( X i ) D( X i ) np(1 p) .
i 1
i 1
所以 D( X ) np(np p 1) (np)2 np(1 p) .
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的
数学期望和方差.
设 X ~ B ( n, p )，X表示n重伯努利试验中的成功次数.
设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2,…,n
则
Xi
P
10
p 1 p
与 2X 的关系是则( ).
A.有相同的分布
B.数学期望相等
C.方差相等
概率分布期望方差汇总
概率分布期望方差汇总概率分布是描述随机变量取值的概率的数学模型。
期望是对随机变量取值的平均值的度量，方差则是衡量随机变量取值分散程度的度量。
在概率论和统计学中，期望和方差是两个重要的概念，对于理解和应用概率分布非常关键。
一、期望期望是对随机变量取值的平均值的度量，也可以理解为随机变量的中心位置。
对于离散随机变量X，其期望计算公式为E(X) = Σ x*p(x)，即随机变量各取值乘以其对应的概率之和。
对于连续随机变量X，其期望计算公式为E(X) = ∫ x*f(x) dx，其中f(x)是X的概率密度函数。
二、方差方差是对随机变量取值分散程度的度量。
方差越大，表示随机变量的取值更分散；方差越小，表示随机变量的取值更集中。
方差计算公式为Var(X) = E[(X-E(X))^2]，即随机变量取值与其期望之差的平方的期望。
方差的平方根称为标准差。
三、常见概率分布的期望和方差1.二项分布二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述在n次独立重复试验中成功次数的分布。
设X为成功次数，则X服从参数为n和p的二项分布记作X~B(n,p)。
期望：E(X) = np方差：Var(X) = np(1-p)2.泊松分布泊松分布描述单位时间或单位空间内事件发生的次数的概率。
设X为单位时间或单位空间内事件发生的次数，则X服从参数为λ的泊松分布记作X~P(λ)。
期望：E(X)=λ方差：Var(X) = λ3.均匀分布均匀分布是最简单的连续概率分布之一，描述在一个区间上随机取值的概率。
设X在[a,b]区间上服从均匀分布，则X服从均匀分布记作X~U(a,b)。
期望：E(X)=(a+b)/2方差：Var(X) = (b-a)^2/124.正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，其概率密度函数呈钟型曲线。
设X服从参数为μ和σ^2的正态分布记作X~N(μ,σ^2)。
期望：E(X)=μ方差：Var(X) = σ^25.指数分布指数分布描述连续随机事件发生的时间间隔的概率。