矩阵位移法(整刚).
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矩阵位移法的计算步骤及示例
单元①②和③：
35
⎡ 500 0 0 − 500 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
12 24
0
− 12
24
⎥ ⎥
(1)
k
=
(2)
k
=
(3)
k
=
10
3
⎢ ⎢⎢−
0 500
24 0
64 0
0 − 24 32 ⎥
500 0
0
⎥ ⎥
⎢ 0 −12 − 24 0 12 − 24⎥
⎢ ⎢⎣ 0
24 32
0
− 24
⎥ 64 ⎥⎦
8-8 矩阵位移法的计算步骤及示例 1
矩阵位移法的计算步骤：（以后处理为例）
（1）对结点和单元进行编号，建立结构（整
体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结
点位移进行编号。
（2）计算各杆的单元刚度矩 k (e)、k (e) 。
（3）形成结构原始刚度矩阵K。
（4）计算固端力
F
(e) F
、等效结点荷载FE及综合
⎢⎣0.0 0.0 6.0 12.0⎥⎦
由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵， 由此组集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异 的，故无需再进行支座约束条件处理。
（4）计算固端力列阵及等效结点 15 荷载列阵。
②单元的固端力列阵
F (2) F
=
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬kN
⋅
m
等效结点荷载列阵：
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
第十三章 矩阵位移法
0 sin 0 0
0 0 0 0 0 1
坐标转换矩阵（正交矩阵）
T
1
T
T
13-2 整体坐标系下的单元刚度矩阵
同理：
e
T
e
其中:
1 2 3 4 5 6
13-1 概述
将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需 做下面称为离散化的工作 结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也 取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。 单元：两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-4为 y 单元。 24 编码：黑的结点编号称整体码。 3 1 2 ② 2 红的1、2局限于单元，称 x ③ 局部码。 ① y 右手系 1 2 x 1 坐标：兰的坐标称 1 整体坐标。红的x、y局限于单元，称局部坐标
13-2局部坐标系下的单元刚度矩阵
EA EA F1 1 0 0 4 l l 12 EI 6 EI F 2 0 3 2 2 3 0 l l 6 EI 4 EI F 3 0 2 3 0 2 l l EA EA F 4 1 0 0 4 l l 12 EI 6 EI F 5 0 3 2 2 3 0 l l 6 EI 2 EI F 6 0 2 2 3 0 l l
局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵
13-2局部坐标系下的单元刚度矩阵
2 单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
（2）单元刚度矩阵是对称矩阵 （3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵 矩阵行列式等于零，逆阵不存在。
单位杆端位移引起的杆端力
反力互等定理
F
e
结构力学十三讲矩阵位移法
-6EI l2
4EI l
4
§13-3 单元刚度矩阵(整体座标系)
一、单元座标转换矩阵 Y1
X1
X1
Y1
MM21
e
x
M2 X2
正交矩阵 [T]-1 =[T]T
e e
e T T e
v1
y e
X 2
Y2
Fⓔ T T F ⓔ
ee
F T F ee
座标转换矩阵
5
二、整体座标系中旳单元刚度矩阵
[k] e = [T]T k e [T]
(4)
(6)
00
(5)
y
单元 局部码总码
单元 局部码总码
（1） 1 （2） 2 （3） 3 （4） 0 （5） 0 （6） 4
1
2
3 0
0
4
（1） 1
1
（2） 2
2
（3） 3 （4） 0
3 0
（5） 0
0
（6） 0
0
18
1 2
[k] 1 = 3
0 0 4
1 2
[k] 2= 3
0 0 0
123004 101 102 103 104 105 106 201 202 203 204 205 206 301 302 303 304 305 306 401 402 403 404 405 406 501 502 503 504 505 506 601 602 603 604 605 606 123000 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
矩阵位移法
第9章矩阵位移法9.1 概述前面介绍的力法、位移法和渐近法都是传统的解算超静定结构的方法，它们是建立在手算基础上的。
随着基本未知量数目的增加，其计算工作极为冗繁和困难。
而计算机的问世及其广泛应用，为结构计算提供了有效工具。
矩阵位移法就是以计算机为运算工具的一种新的结构分析方法，它完全可以代替人来完成大型复杂结构的计算问题。
矩阵位移法是以位移法为理论基础，结构分析的全部过程中运用了线性代数中的矩阵理论。
引入矩阵运算的目的就是使计算过程程序化，便于把结构分析的过程用算法语言编成计算程序，实现计算机自动化处理。
目前，应用矩阵位移法编制的结构分析软件，已在结构设计中得到了广泛的应用。
矩阵位移法又称为杆件有限元法。
它的主要解题思路是：首先将结构离散成为有限个独立的单元，进行单元分析，建立单元杆端力与单元杆端位移之间的关系式——单元刚度方程；然后利用结构的变形连续条件和平衡条件将各单元组合成整体，建立结点力与结点位移之间的关系式——结构刚度方程，这一过程称为整体分析；最后求得结构的位移和内力。
矩阵位移法就是在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。
本章主要讨论杆系结构的单元刚度矩阵及其在单元局部坐标系与结构整体坐标系间的变换、结构刚度矩阵的形成、荷载及边界条件处理等内容。
9.2 单元分析9.2.1 结构离散化结构离散化是指把结构分离成有限个独立杆件(单元)，由单元的组合体代替原结构(图9.1)。
一般单元为等截面直杆，杆系结构中每根杆件可以作为一个或几个单元。
单元的联接点称为结点。
对于等截面直杆所组成的杆系结构，只要确定了一个结构的所有结点，则它的各个单元也就随之确定了。
根据杆件联接的方式，可以将构造结点，如转折点、汇交点、支承点和截面的突变点取为结点。
在有些情况下，非构造点，如集中力作用点，也可作为结点处理。
离散化的结构用数字进行描述，即对各结点和单元进行编号。
通常用①,②,…表示单元编号，用1,2,…表示结点编号。
第八章矩阵位移法-135页PPT
Fyi Fxj
F4 Fyj
8-1 概述
31
刚架单元
结构坐标系
1 (e) ui (e)
2
v
i
δ (e)
δi (e)
δ
j
3 4
i u j
5
6
8-1 概述
10
3．结构坐标系(整体坐标系)
• 对整个结构建立统一的坐标系 • 在整体分析中，采用统一的坐标来
描述结构的结点和单元位置等。
8-1 概述
11
4．单元坐标系(局部坐标系)
• 针对每一单元的坐标系 x o y
• 以杆轴线的某方向作为 x 轴正向，在轴线
上以箭头作正方向标记，以垂直于杆件轴线 方向为 y 轴，本章采用右手坐标系
u 1v 1 1u 2v 2
2u 3v 3
3u 4v 4
T 4
8-1 概述
20
结点位移
若平面刚架有n个结点
Δ u 1v 11u 2v 22 u nv nn T
第i结点的位移为 Δ i ui vi iT
则n个结点的位移向量为
Δ Δ 1 Δ 2 Δ nT
F x 1F y 1M 1F x 2F y 2M 2F x 3F y 3M 3F x 4F y 4M 4T
8-1 概述
25
刚架的结点力向量
• 第i结点的结点力为 Fi = ( Fxi Fyi Mi )T
• 刚架的结点力向量为 F =(F1 F2 F3 … Fi … Fn )T
第九节矩阵位移法
(2 =1)
0
6EI l2 2EI l
0
6EI
l2 4EI
l
e
…（9-4）
F e k ee
…（9-5）
即为一般单元的刚度方程。其中 k e 称为局部坐标系中的单
元刚度矩阵。
2、一般单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度系数 kij ，其物理
意义表示由于单位杆端位移引起的杆端力。
( v1e
v2e
)
Fye1
6EI l2
(1e
2e )
12EI l3
( v1e
v2e )
Fye2
6EI l2
(1e
e 2
)
12 l
EI
3
( v1e
v2e
)
Fx1 M1
1
v1
Fy1
u1
…（9-2）
e
1
M2
Fx2
2 Fy2
v2
u2
2
式(9-1) 、(9-2)即为局部坐标系下平面刚架一般单元的单元刚度方
ke T Tk eT
F e kee
即为单元e在整体坐标中的单元刚度方程 其中 k e为整体坐标系的单元刚度矩阵，和 k e 同阶，且具有类似的性质。
§9-4 结构的整体刚度矩阵
作用在结构上的荷载与结构的结点位移， 也存在一一对应的关系，即为结构的整体刚 度方程。结构的整体刚度方程反映了结点荷 载和结构位移之间的关系，其实质就是位移 法的基本方程。求解方法一种是传统位移法， 另一种是直接刚度法。
l
Fxe1
EA l
u1e
EA l
u2e
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
矩阵位移法
k22坐k11标局k01成部1k029坐200标时kk20与32，3 整局k0体12部45 单k0k20514
0 k26 k26
To 47
k e ke
刚和有何整k关体3k3系单33 ？刚k0k间454535
k35 00
k3k6 36
0 k56
对称对称
kk5544
kk65k66 66
F e FEe k e e
单元杆端位移矩阵
e 1
2
3
4
T e
单元刚度矩阵(应熟记)
12 6l 12 6l
k
e
EI l3
6l
12
4l 2 6l
6l 12
2l
2
6l
6l 2l 2 6l 4l 2
是转角位移方程的矩阵表示
单元等效结点荷载矩阵
根据单跨梁的载常数，可得
向上满跨均布荷载 q 作用
(F FE )e k e e F e FEe k e e
连续梁单元需要 进行坐标转换吗？
连续梁的局部坐标与整 体坐标一致，所以不需 要转换。
第一种做法
桁架单元如何
进行坐标转换？ T
力的转换
T
F1
F2
F3
F4
T
cos
0
位移的转换
sin
0
0
cos
0 T F1
sin F2
1 2
3. 坐标转换问题
在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单 元拼装回去。在结点处位移自动满足协调条件 的基础上，令全部结点平衡，即可建立求解位 移的方程，这是下一节将讨论的内容。
除连续梁外，一般结构单元不全同方位， 为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力 都转换成统一的，对整体坐标的量，因此要 先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁 单元的转换问题。
矩阵位移法的实施步骤
矩阵位移法的实施步骤1. 简介矩阵位移法（Matrix Displacement Method）是一种用于结构分析和设计的数学方法。
它通过将结构系统建模为节点和单元的组合，将结构的变形和力学特性表示为节点位移的线性组合，从而求解结构的静力和动力响应。
2. 基本原理矩阵位移法的基本原理是基于以下假设： - 结构系统可以通过节点和单元进行离散建模。
- 结构的位移可以通过节点位移的线性组合来表示。
- 结构的刚度可以通过节点位移与节点力的关系来表示。
- 结构的整体刚度矩阵可以通过单元刚度矩阵的组合来求解。
3. 实施步骤矩阵位移法的实施步骤包括以下几个主要的步骤：3.1 节点和单元的建立在矩阵位移法中，首先需要建立结构的节点和单元。
节点可以看作是结构的关键点，在节点上定义位移和力的参数。
单元则是连接节点的元素，用于描述结构的形状和材料特性。
3.2 建立结构的位移向量在建立节点和单元之后，需要将结构的位移表示为一个向量。
一个结构系统可以有多个自由度，每个自由度对应一个节点的位移。
3.3 求解节点力通过结构的位移向量和节点的刚度矩阵，可以求解结构的节点力。
节点力表示结构在该节点处受到的外部力或约束力。
3.4 组装单元刚度矩阵单元刚度矩阵描述了单个单元的刚度特性，它与单元的几何形状和材料特性有关。
根据单元的类型和数目，将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵。
3.5 求解整体刚度矩阵通过将各个单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵，可以得到结构的整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵反映了结构系统的整体刚度特性。
3.6 求解节点位移通过结构的整体刚度矩阵和节点力，可以求解结构的节点位移。
节点位移是通过使用整体刚度矩阵的逆矩阵与节点力相乘得到的。
3.7 求解单元内力根据结构的节点位移和单元的刚度矩阵，可以计算出各个单元的内力。
单元的内力表示了单元内部材料受力的情况。
3.8 结果分析和验证最后，根据求解得到的节点位移和单元内力，可以对结构的静力和动力响应进行分析和验证。
矩阵位移法
l 2EI
l
2EI e
l 4EI
l
（9-10）
请注意，这个单元刚度矩阵是可逆的，不存在奇异性。 在力学上应作何解释？
桁架中链杆单元的单元刚度矩阵是怎样的？
请同学们自己研究，提出结论
矩阵位移法
§9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
矩阵位移法
问题的提出：
x
y
交汇于同一结点的各单元各处于不同的 局部坐标系，为结点平衡方程的建立提出 了问题。
为此，需要有一个统一的坐标系统。
矩阵位移法
(1) 单元坐标转换矩阵
Fx1 M1
Fy1
y y
x
(e)
M2
Fx2
Fy2
x
Fx1 M1
Fy1 (e) y
y
x
M2 Fx2
Fy2 x
F
e x1
F
e x1
cos
F e y1
sin
F
e y1
F e x1
sin
F
e y1
cos
Fxe1 cos
Fx1
Fye1 sin
矩阵位移法
位移法的基本思路
分析未知位移
M
C
B
将结构离散化，分析 每个杆件的杆端力
建立平衡方程，求解 结点位移
回代杆端力表达式， 求杆端力，绘内力图
A
BB
C
M BA 4iBA
M BC 4iBC
A
M
B
MB 0
化整为零
集零为整
矩阵位移法
传统解法与矩阵位移法的比较
理论同源，作法有别。前者以手算为主， 后者以电算为主。
由于 1, 2, 4, 5 为0，所以划去1、2、4、5列
矩阵位移法
⎤ ⎧δ1② ⎫ k ⎥⎨ ②⎬ k ⎦ ⎩δ 2 ⎭
② 12 ② 22
② ⎡ k11 =⎢ ② ⎣ k21 ② k12 ⎤ ②⎥ k22 ⎦
k①
① ⎡ k22 =⎢ ① ⎣ k32
① k23 ⎤ ①⎥ k33 ⎦
k②
23 / 42
第十章 矩阵位移法
② ② F1 = k11 Δ1 + k12 Δ 2 ② ① ② ① F2 = k21 Δ1 + (k22 + k22 )Δ 2 + k23 Δ 3 ① ① F3 = k32 Δ 2 + k33 Δ 3
e Nj
F = − F sinα + F cosα
e xi e yi
M ie
e
i
Me j
M ie = M ie
F
e xi
e FNi M ie e FSi
y x
e ⎧ FNi ⎫ ⎡ cosα ⎪ e⎪ ⎢ e Fi = ⎨ FSi ⎬ = ⎢ −sinα ⎪M e ⎪ ⎢ 0 ⎩ i⎭ ⎣
sinα cosα 0
10 / 42
第十章 矩阵位移法
廏鞾條栒厱冟剶异昕穧 局部坐标系下平面杆单元分析
y
i
EA
e
j
x
u je
单元方向： i → j
⎧uie ⎫ ⎪ ⎪ δ e = ⎨ e⎬ 杆端位移： ⎪u j ⎪ ⎩ ⎭
uie
e FNi
i
EA
e
j Fe Nj
F
F
e Ni
EA EA e = ⋅ ui − ⋅ u je l l
矩阵位移法与矩阵力法之不同就在于选取 的基本未知量不同，因此计算次序不同
结构力学课件 第十章 矩阵位移法
• 分别绘在结上，如图b 所示。
图17-12 返回 下一张 上一张 小结
• 第六节 矩阵位移法解题步骤
• 具体步骤如下：
• 1）将结构划分为若干个单元，并将各单元和结点进行编号。 • 2）选择结构坐标系及局部坐标系。 • 3）计算等效结点荷载，建立结点荷载列向量和结点位移列向
• 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
• 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚 度矩阵中。
• 17.3.2 结构总刚度方程
•
方程 K 式F中：
• {F} — 结构的结点力列向量；
• — 结构的结点位移列向量；
• [K] —结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。
返回 下一张 上一张 小结
e
j
• 结点的杆端力列向量为：
e
F
i
e
Xi
Y
e i
e
M i
e
X j
F
e
j
e Y j
e
M j
• 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致 为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
返回 下一张 上一张 小结
• 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
• 2）在 B、C 两点没有附加约束的情况
• 下，施加与上述固端剪力和固端弯矩
• 大小相等方向相反的力和力矩，如图
• 7-10（c）所示。
• 3） （a）=（b）+（c）
• 4）等效结点荷载为汇交在每一结点的
• 固端剪力的代数和以及固端弯矩代数
• 和，但方向相反。
•
图7-10
返回 下一张 上一张 小结
x
结构力学——矩阵位移法
局部坐标系
整体坐标系
18
第三节
单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
1、单元坐标转换矩阵 两种坐标系中单元的杆端位移转换关系为：
y
y
u1
u1
1
v1
e
v2 2
u2
x
u2
局部坐标系下的分量
x
e
整体坐标系下的分量
u 1 e v u co s s i n 0 0 1 1 u u 0 0 co s s i n 2 2 v 2 用整体量表示局部量 ？
矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为 杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语 和提法。
6
第一节
矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路 a、方法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力
结构结点力 杆件杆端力
法
杆件端点位移 结构结点位移
位移法
正问题
力学 模型 解的 性质
e
F
e
反问题 F e
e
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。 e 控制附加约束加以指 定。
将单元视为两端自由的杆 F e 件， 直接加在自由端作 为指定的杆端力。
F 都 为任何值时， 有对应的唯一解，且总 是平衡力系。
第一节
矩阵位移法概述
结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：
前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算手 段的不同，引起计算方法的差异。
在原理上同源，在作法上有别
与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力 法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有 易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。
结构力学 第三十九、四十讲矩阵位移法
Y P1 4kN
M
4kN M P1 5kN m
第十一章 矩阵位移法
例11-3 试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下 的等效结点荷载向量{Pe}。
因此
0
12kN
FP
(1)
＝10k0N
m
12kN
10kN m
0
4kN
(2) 5kN m
Y P1
M P1
X P2
Y P2
M P2 )T
第十一章 矩阵位移法
在表11-1中给出了几种典型荷载所引起的固端约束
力 FP。将e 固端约束力 反F号P，e 即得到单元等效结点
荷载 （局P部坐e 标系）：
(e)
(e)
Pe FP
（11－55）
2、单元的等效结点荷载 Pe（(e)整体坐标系）
第十一章 矩阵位移法
第十一章 矩阵位移法
目录
第十一章 矩阵位移法
§11-5 矩阵位移法基本方程 §11-6 计算步骤和应用举例
第十一章 矩阵位移法
§11-5 矩阵位移法基本方程
一、整体刚度方程的意义
F [K] （11-48）
整体刚度方程（11-48）是根据原结构的位移法基本体
系建立的，它表示由结点位移 推算结点力F（ 即在基
向相反,则取负。
第十一章 矩阵位移法
例11-3 试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下 的等效结点荷载向量{Pe}。
解：（1）求局部坐标系中的
固端约束力 FP (e)
单元①：由表11-1第1行，
q 4.8k,N / m 得a ：l 5m
X P1 0
Y P1 12kN
M
P1
结构力学 第三十八讲 矩阵位移法
第十一章 矩阵位移法
以上结构各杆都考虑轴向变形的影响。若刚架的杆 件不考虑轴向变形，则结点位移未知量编号及单元定 位向量如下：
2(1,0,2) ①
② 1(0,0,0)
3(1,0,3) 4(1,0,4)
③ 5(0,0,0)
{}(1) [1,0,2,1,0,3]T {}(2) [1,0,2,0,0,0]T {}(3) [1,0,4,0,0,0]T
3
1、结点位移未知量编号（整体码）1 为了确定各单元的定位向量，
要按照结点编号从小到大的顺序对
A①
②
0 4
C0
x
结构每个结点的未知量u、v、θ 0 B
y
统一进行编号。
0 0
若某个结点位移未知量等于零，则整体码编号为零。
则图示刚架的位移向量和相应结点力向量为：
（1） uA
（（32））
vAA
（4） C
F
F1 F2
F1 F2
4i1 2i2
4i2
4i2
2i2 3i3
4i4
12
或写为： F K K 为整体刚度矩阵
第十一章 矩阵位移法
二、直接刚度法
F1
直接刚度法以传统位移法的 基本体系为力学模型。
1
F2
② 2③
i2
i3
分别建立单元局部坐标和整 i1 ① 体坐标如图。
i4 ④
1、结点位移分量的统一编码―整体码（总码） 图11-9所示刚架整体结构的结点位移向
量 ：
(1 2 3 4)T
(uA vA A c )T
相应结点力向量为： {F}=(F1 F2 F3 F4)T
2、单元定位向量?
图11－9
第十一章 矩阵位移法 2、单元定位向量
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与结构的整 体位移编码 （总码）对 应
单元贡献矩阵
1 1 2
F1 1 i1 1
F2 2 i2 2
F3 3
2 3
2
单元１的贡献矩阵
k k k
1 1 11 1 21
k k
1 12 1 22
扩充
单元２的贡献矩阵
k k k
2 2 11 2 21
K K
i 1
e
i
e=1,2,…….NE
零位移边界条件的处理 应该按刚架处理
零位移边界对应的整体位移编码为 0。即：整体刚 度矩阵中去掉相应的行和列。
二、刚架的整体刚度矩阵
基本思路：与连续梁总刚的集成法相同。 复杂性体现在： • 一般单元的位移分量有3个 • 单刚有局部坐标与整体坐标的差别 • 联结更复杂
1 K12 1 K 22
0
0 0 0
0 2 K12 2 K 22
F1
1 i1 1
F2
2 i2 2
F3 3
0 0 2 K2 0 K 11 2 0 K 21
整体分析
K K K
1
2
4i1 2 i 1 0
2i1 4i1 4i2 2i2
联结4个单元的情况 结点数： 3
4 1 A 3 2
独立的位移有：
uA
vA
1 2 A A A
3 A
4 A
1. 结点位移分量的统一编码——总码 给出结点位移向量 3 ( 2,3,5) 结点位移编码 2 2(2,3,4) 单元定位向量
单元数: 3 结点数: 5 结点位移分量编码 结点位移未知量数 结点位移定位向量
F K
方法的特点：
•力学概念清晰；
•工作量偏大，规律性不强．
２．单元集成法
单元分析——将各元素按总位移编码对应，将单元刚
度矩阵扩充为与整体刚度矩阵同阶，称为单元贡献矩阵。
引入单元定位向量
i1 1
e
与单元ｅ的 F1 杆端位移分 1 量编码（局 部码）对应
F2 2 i2 2
F3 3
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 3
T
一．连续梁的整体刚度矩阵
1. 传统刚度法 列出个结点的 平衡方程 单元分析
e
F1 1 i1
F2 2 i2
F3 3
1
2
4ie 2ie e M 2ie 4ie 整体分析 2 1 2 1 1 1 2 2 1 3 2
M1 M
1 1
1 M2 M2 M 12
0 2i2 4i2
力学含义：
考虑单元１的贡献时，令 i２＝０
综合上述
e k
定位向量
e K
e
求和
K
单元定位向量是扩充的桥梁
矩阵元素“对号入座”
k K i j
e ij
单元集成法的实施方案
在单元分析就将各个元素累加到总刚中，采用 “边定位，边累加”的方式进行。具体步骤：
1、K=0 总刚的所有元素置 0 问题：当连续梁中有中间 铰时如何处理 e 2、将k 的元素按定位向量累加到K中。 此时：
2. 单元定位向量与单元(半)带宽
单元定位向量
e e 1 e 2
3 ( 2,3,5) 2(2,3,4)
2
3
4( 6,7,8)
1
T
T
0 0 1 2 3 4
2 M3 M2
整理得：Hale Waihona Puke M1 4i11 2i1 2
M 2 2i11 (4i1 4i2 ) 2 2i2 3
M 3 2i2 2 4i2 3
M 1 4i1 M 2 2i1 M 0 3 2i1 4i1 4i2 2i2 0 2i2 4i2 1 2 3
e k
T
e k
定位向量
e K
求和
K
二、刚架的整体刚度矩阵
1. 结点位移分量的统一编码——总码 目的： • 边界条件预处理（处理与整体坐标一致的0边 界条件）； • 铰结点的处理。 做法： • 每个独立的位移分量对应一个编码； • 已知的0位移分量的总码为 0 • 铰结点处视为若干个半独立结点。
1. 结点位移分量的统一编码——总码
3
4( 6,7,8)
0 5 0 0
1
1(0,0,1)
5 ( 0,0,0)
结点位移向量
1 2
1
3
4
5
6
x4
F6
7
8
T
T
结点力向量
F F1 F2
x2
y2 2
F3 F4
3
F5
y4 4
F7 F8
T
1 K11 1 K 1 K 21 0
1 K12 1 K 22
0
0 0 0
k k
2 12 2 22
扩充
0 0 2 K2 0 K 11 2 0 K 21
0 2 K12 2 K 22
1 K11 1 K 1 K 21 0
1. 结点位移分量的统一编码——总码
0 1 0 1 6 4 7 8
2 2 3 4
2 3 3 5
3 ( 2,3,5) 2(2,3,4)
2
2 0 1 0 2 3 4 1
4( 6,7,8)
1
3
5 ( 0,0,0)
1(0,0,1)
8
2 3 3 5
6 4 7 8
0 5 0 0
7.4 整体刚度矩阵
整体刚度矩阵（简称总刚）反映了结点位移对结 点力的贡献 所有单元结点力的组合即为整体结点力 整体结点力用 F 表示 整体坐标下的单元结点力用 F e 表示
F F
F F1
1
e
F2
F3 Fn
求和的含义 与方法
T
整体结点位移用 △ 表示
2 3 n