高中数学选修2-1第二章 2.3.2 第二课时 练习题及答案

高中数学选修2-1第二章 2.3.2 第二课时 练习题

1．已知双曲线C ：x 2

－y 24＝1，过点P (1,2)的直线l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有

( ) A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在渐近线上，

双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．

答案：B

2．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的图形只可能是( )

解析：直线方程可化为y ＝ax ＋b ，曲线方程可化为x 2a ＋y 2b ＝1.对于A ，直线中a >0，b >0，此时曲线表示椭圆，故A 不正确；对于B 、D ，由椭圆知直线斜率应满足a >0，

而由B ，D 知直线斜率均为负值，故B ，D 不正确；

由C 中直线可知a >0，b <0，曲线方程即为x 2a －y 2

－b

＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线． 答案：C

3．过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB ＝12BC ，则双曲线的离心率是 ( ) A. 2

B. 3

C. 5

D.10 解析：右顶点为A (a,0)，则直线方程为x ＋y －a ＝0，可求得直线与两渐近线的交点坐标B (a 2a ＋b ，ab a ＋b )，C (a 2a －b ，－ab a －b )，则BC ＝(2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2)，AB ＝(－ab a ＋b ，ab a ＋b ). 又2AB ＝BC ，∴2a ＝b ，∴e ＝ 5.

答案：C

4．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点.若△ABF 2为直角三角形，则双曲线的离心率为 ( )

A ．1＋ 2

B ．1±2

C. 2

D.2±1

解析：∵△ABF 2是直角三角形，

∴∠AF 2F 1＝45°，

|AF 1|＝|F 1F 2|，b 2a

＝2c . ∴b 2＝2ac ，∴c 2－a 2＝2ac ，

∴e 2－2e －1＝0.

解得e ＝1±2.又e >1，

∴e ＝1＋ 2.

答案：A

5．过双曲线x 24－y 2

b 2＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．

解析：由双曲线方程知a ＝2.

MF 2|＋|NF 2|－|MN |

＝2a ＋|MF 1|＋2a ＋|NF 1|－|MN |

＝4a ＋|MN |－|MN |

＝4a ＝8.

答案：8

6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29

＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．

解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74

.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案：x 24－y 2

3

＝1 7．双曲线C 的中心在坐标原点，顶点为A (0，2)，A 点关于一条渐近线的对称点是B (2，0)，斜率为2且过点B 的直线l 交双曲线C 于M ，N 两点，求：

(1)双曲线的方程；

(2)|MN |. 解：(1)依题意可设双曲线方程为y 22－x 2

b

2＝1， 线段AB 以中垂线y ＝x 即渐近线，∴b 2＝2，双曲线方程为y 22－x 2

2＝1. (2)MN 的方程为y ＝2(x －2)，

⎩⎪⎨⎪⎧ y 22－x 22＝1，y ＝2(x －2)

⇒3x 2－82x ＋6＝0. Δ＝56>0，x 1＋x 2＝823

，x 1x 2＝2， ∴|MN |＝1＋22|x 1－x 2|＝ 5 ·

64×29－8＝2703. 8．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 且垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且BF 与FA 同向．

(1)求双曲线的离心率；

(2)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：(1)设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d .

由勾股定理可得 (m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，

得d ＝14

m ，tan ∠AOF ＝b a ， tan ∠AOB ＝tan 2∠AOF ＝AB OA ＝43

. 由倍角公式得2

b a 1－(b a )2＝43，

解得b a ＝12，则离心率e ＝52

. (2)直线AB 的方程为y ＝－a b (x －c )，与双曲线方程x 2a 2－y 2

b 2＝1联立消y 并将a ＝2b ，

c ＝5b 代入，

化简有154b

2x 2－85b x ＋21＝0.设交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则＝

1＋(a b )2|x 1－x 2| ＝ [1＋(a b )2][(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝４，

将数值代入，有4＝

5[(325b 15)2－4·28b 25]， 解得b ＝3，故所求的双曲线方程为x 236－y 2

9

＝1.